Download El número y el cálculo - Departamento de Matemática Educativa

Departamento de Matemática Educativa.
CINVESTAV del IPN. de México.
Departamento de Didáctica de las matemáticas.
Universidad de Valencia. España
Bernardo Gómez Alfonso
El número y el cálculo
Maestría en educación. Especialidad Matemáticas
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
1
Problemática relacionada con el tema, de acuerdo con el
programa de la asignatura
• Análisis de los algoritmos escritos
• El cálculo pensado y el cálculo mental. Estrategias
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
2
Objetivo, método y finalidad
Objetivo: Diferenciar los distintos tipos de cálculo aritmético.
Caracterizar su evolución histórica en los libros de texto. Hacer el
análisis de los algoritmos, poniendo de relieve los hechos del sistema de
numeración y las propiedades aritméticas que los sustentan.
Metodología: Presentación y análisis de distintas situaciones numéricas
que involucran el cálculo aritmético. De este análisis se derivan las
tareas que se proponen para ser resueltas en el “taller” posterior, con el
objetivo de completar la reflexión y consolidar las ideas más relevantes.
Finalidad: Presentar criterios para el análisis de la forma de enseñanza
del cálculo aritmético: identificar y señalar sus fortalezas y debilidades y
hacer propuestas de mejora.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
3
El significado de los términos
Cálculo, del latín calculus, que quiere decir
«guijarro» y, por extensión «bola» , «ficha» y
«peón».
Hace referencia no sólo a las antiguas técnicas de
cálculo sobre el ábaco, sino también al método,
todavía más primitivo, del montón de piedras ...
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4
Diferencias entre los tipos de cálculo
El cálculo mental no debe confundirse con el cálculo estimado y éste no
debe confundirse con el cálculo aproximado. Se diferencian en que:
•
El cálculo mental trabaja con datos exactos.
•
El cálculo estimado y el cálculo aproximado no.
El cálculo estimado y el cálculo aproximado se diferencian en que:
1. El cálculo estimado trabaja con datos que proceden de un juicio
o valoración. Suelen ser números redondos, acabados en cero,
para aprovechar las ventajas de nuestro sistema de numeración
2. El cálculo aproximado trabaja con datos que proceden de la
medición. Están condicionados por la inexactitud de los
instrumentos de medida, lo que obliga a trabajar con números
decimales
En el segundo caso se puede conocer el margen de error en el primero no
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5
El cálculo estimado sirve para anticipar el resultado de un
cómputo o para juzgar su razonabilidad.
Nota de prensa: El Partido de la oposición llevó 4,000,000 de
firmas en 10 camionetas a la Cámara de los Diputados.
¿Es razonable usar 10 camionetas para 4,000,000 de firmas?
¿Llevaban cajas de paquetes de papeles sin firmas?
¿Cuántas?
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6
En una hoja de firmas hay, como mínimo, 10 firmas por hoja.
Supondremos que hay 10 firmas por hoja y que las hojas NO SON A
DOBLE CARA
1º ¿Cuántas hojas se necesitarán?
Pues: 4,000,000 firmas / 10 firmas por hoja = 400,000 hojas
2º ¿Cuántos paquetes de 500 hojas se necesitarán?
Pues: 400,000 hojas / 500 hojas = 800 paquetes de 500 hojas
3º ¿Cuánto ocupa un paquete de 500 hojas de DIN-A4?
Pues: 297 x 210 x 55 mm = 0.0034 m3
4º ¿Cuánto ocupan 800 paquetes de 500 hojas?
Pues: 0.0034 m3 x 800 paquetes = 2.72 m3
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7
Una furgoneta de segmento medio tiene una
capacidad aproximada de: 7.3 m3
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8
5º ¿Cuántas camionetas de 7,3 m3 se necesitan para
transportar 2,74 m3 que ocupan las firmas?
Si para transportar 2.74 m3 necesitaron 10 camionetas de 7.3 m3 de
capacidad,
¡9 y ½ de 10 camionetas eran falsas!
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9
Los métodos de cálculo
Los métodos de cálculo mental no son en esencia diferentes de los
métodos de cálculo escritos.
Nada hay en ellos que permita decir “éste es un método de cálculo
mental” o “éste es un método de cálculo escrito”.
Esto es así, porque los métodos de cálculo de la aritmética elemental se
basan en los mismos principios, hechos y propiedades.
Son los mismos métodos, es el uso mental o escrito que se hace de ellos
lo que los denomina.
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10
¿Mental o escrito?
728. Cuando uno de los factores se compone
de un número formado por uno o más
nueves, la operación de multiplicar puede
suplirse por una resta. Dalmau Carles. 1900.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
ANAYA (1993).
11
Los principios que rigen el cálculo
1. Los hechos
del sistema de
numeración:
99=100-1
2. Los propiedades de
las operaciones:
Distributiva: 42x(100-1).
3. El principio director.
Usar números redondos.
El análisis de las situaciones numéricas.
1.1) Base diez, 9 cifras, el cero.
1.2) Doble valor de la cifra:
forma/posición
1.3) Representaciones alternativas:
Posicional, Multiplicativas,
Polinómica/Científica, Orden de
unidad, Equivalencias: 5= 10/2; …
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Enfoques de los métodos de cálculo elemental y su
evolución
Los métodos de cálculo de la aritmética elemental han sido
presentados en los libros de texto bajo enfoques diferentes:
•
Reglas
•
Cálculo abreviado
•
Aritmética mental
•
Cálculo mental
•
Algorítmos
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
13
Las reglas
Hasta mediado del siglo XIX, la enseñanza del cálculo aritmético tenía
un nivel de exigencia que hoy consideraríamos excesivo.
Se necesitaban expertos calculistas que resolvieran con rapidez y
seguridad las cuentas que se les plantearan.
Estos calculistas, eran profesionales que conocía diferentes algorítmos
de tal modo que podían usar el más adecuado en cada operación y
situación.
La enseñanza, reflejada en los libros de texto, consistía en presentar
varios algoritmos para cada una de las operaciones, de forma reglada
y retórica.
En esta época no se hace mención al cálculo de “memoria” o “mental”.
Reglada, porque no se da razón ni fundamento matemático y retórica
porque no se usa el lenguaje abreviado y simbólico de las matemáticas
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La forma reglada y retórica
REGLA PARA EL SEIS
Cuando multiplicares un número dígito
por otro, si el uno de ellos fuere 6, o
ambos,
añade al número menor tantos
dieces como unidades hubiere en la
mitad del número menor.
Ejemplo, ¿2 veces 6 cuánto es?
Saca la mitad del dos (que es el
menor) y será uno, hágase dieces, y
júntale con el mismo número menor
(que es dos) y serán doce, …
Pérez de Moya, 1563)
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15
REGLA PARA EL NUEVE
Todas las veces que multiplicando un
número dígito por sí mismo, o por otor, el
uno, o ambos fueren nueves, se tendrá
esta regla.
Quita uno del número menor, y los que
quedare serán dieces, y mira desto que
quedare cuanto falta para nueve, y lo
que faltare serán unidades, y juntase
han con los dieces,
como por los ejemplos mejor entenderás.
Pongo, que quieres saber ¿ocho veces
nueve cuántos son? Quita del menor de
estos números (que es ocho) uno, y
quedarán siete, estos siete harás dieces,
y así serán setenta, mira ahora cuanto
falta del siete para nueve, y hallarás faltar
dos, los cuales añade a los setente, y
serán setenta y dos…
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
Pérez de Moya, 1563.
16
El cálculo abreviado
La implantación del sistema general y público de educación, en el siglo
XIX, obligó a establecer un contenido común que se tradujo en un
programa que limitaba la enseñanza del cálculo a “las cuatro reglas”.
Bajo la forma de métodos alternativos, algunos libros de aritmética,
reformularon los viejos métodos reglados como métodos particulares
para el cálculo abreviado.
En ningún caso formaron parte de la enseñanza común.
No se hace mención a su uso como cálculo de “memoria” o “mental”
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17
Ejemplo de cálculo abreviado
Dalmau Carles. 1900.
729. Multiplicar un número cualquiera por 45; por ejemplo 864.
864 x 100 …………………………..……………. 86400
Mitad de 86400 ………………………..……….. 43200
Esta 1/2, corriendo un lugar a la derecha … - 43200
Diferencia, que es el producto ……………… 38880
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18
La aritmética mental
Una vieja teoría, que consideraba que la mente se constituía por
facultades, que como músculos se fortalecen y forman con el
entrenamiento.
Llevó a considerar la "disciplina mental" como un objetivo educativo,
algo que se concretó, a finales del XIX, en una enseñanza con
materias apropiadas para este fin.
Entre ellas, destacó la Aritmética mental.
Bajo este nombre se reproducían en los libros de texto largos listados
de operaciones con números para ser resueltos una y otra vez de
cabeza.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
19
La aritmética
mental en un
texto de
comienzos del XX
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
Bruño. Serie
20
El cálculo mental
Poco a poco se irá abandonando la teoría de las facultades hasta llegar
a otra más orientada al utilitarismo y a las aplicaciones de la vida real.
Bajo esta idea se asocia el término “cálculo mental” a un tipo de cálculo
que pretende desarrollar la “agilidad mental y el “cálculo rápido”.
Se enmarca en un programa de enseñanza de la aritmética que asume a
el lenguaje simbólico, horizontal, de igualdades y paréntesis del álgebra.
Este lenguaje unifica la descripción, el ejemplo y el fundamento de los
métodos de cálculo, como realización de las propiedades de las
operaciones
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21
Ejemplo de enseñanza del cálculo mental con el lenguaje horizontal que
unifica el método, el ejemplo y el fundamento
Anaya. Azimut., 1987. p. 116 y 117
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
22
Propuestas para la enseñanza
Hoy, se entiende por cálculo mental un tipo de cálculo con números de pocas
cifras que utiliza métodos alternativos.
Se puede justificar su enseñanza en un programa de cálculo flexible. Esto es,
cálculo mental, estimado, con calculadora o con algoritmos estándar, según
convenga a la situación numérica (momento, tamaño y características de los
números involucrados).
Se trataría de disminuir el énfasis puesto en el cálculo escrito mecánico y rígido
para favorecer la disponibilidad de métodos basados en el conocimiento y la
compresión de los conceptos relacionados con la operatoria.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
23
Propuestas para la enseñanza
La enseñanza del cálculo flexible plantea la necesidad de integrar la enseñanza
del cálculo mental con la del algoritmo escrito.
Esta idea va dirigida contra la práctica escolar de ejercitar el cálculo mental
después del cálculo escrito, ya que esto produce que muchos alumnos tiendan a
resolver el problema de cálculo mental emulando las técnicas del cálculo escrito.
Un programa de integración de la enseñanza del cálculo mental, no debería
buscar la rapidez, la inmediatez, o la uniformidad en los procedimientos, sino el
análisis de las situaciones numéricas basado en los hechos del sistema de
numeración, en el significado y en las propiedades de las cuatro operaciones.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
24
El análisis de las situaciones numéricas. Ejemplo
¿De qué maneras diferentes se puede resolver 25 x 48?
Descomponiendo y distribuyendo:
25x48 = 25 x (40 + 8) = 25 x 40 + 25 x 8 = ...
25x48 = (20 + 5) x 48 = 20 x 48 + 5 x 48 = ...
25x48= (20+5)x(40+8) =20x40+5x40+20x8 + 5x8
Transformando el producto en división: 25x48 = 100x(48:4) = ...
Redondeando : 25x48=25x (50-2) =25x50-25x2= ...
Factorizando: 25x48= 5x5x6x8 =5x6x5x8=30x40 = ...
“Doble y mitad”: 25x48= 50x24 = 100x12 = …
Promediando: 25x48= (20x48+30x48):2 = …
Como en el algoritmo usual
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25
El análisis/síntesis de los algoritmos
numéricos
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
26
El análisis de la suma
1er Caso.
2º Caso.
Suma de dos números de una cifra.
Suma de dos números, al menos uno
de más de una cifra
Se hace por
Conteo ascendente,
Conmutación: 8+3 en vez de 3+8
Descomposición: 6+7= (6+6)+1;
Se
reduce
al
caso
anterior,
descomponiendo los sumandos por
órdenes de unidad, para hacer sumas
parciales de una cifra:
6+7=(6+4)+3
Compensación: 7+7 en vez de 6+8;
45+38 = (40+5) + (30+8) = (40+30) + (5+8) =
= 70+13 = 70+(10+3) = 83
10+7 en vez de 9+8
Usando el lenguaje horizontal del álgebra se ven las propiedades (asociativa) y
los hechos de la numeración (descomposición por orden de unidad) que
sustentan la operatoria.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
27
La práctica de la suma se puede optimizar usando columnas
Expandido
Extendido
Abreviado
40 + 5
45
45
+ 30 + 8
+ 38
+ 38
13
13
70 + 13 =
70 + 10+3 =
80 + 3 = 83
+ 70
83
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
+7
Estándar
1
45
+ 38
83
83
28
Preguntas y problemas
Otras formas de usar columnas
1
2
3
486
+758
11
13
14
1244
486
+758
13
11
14
1244
486
+758
111
134
1244
4
3435
+3635
70
70
7070
¿Qué reglas se han seguido en estos algoritmos de columnas?
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
29
El análisis de la resta
1er Caso.
2º Caso.
Resta de un número de una cifra.
Resta de un número de más de una
cifra.
Se hace por
2.1) Todas las cifras del minuendo son
mayores que las del sustraendo.
Conteo descendente, cuando la
diferencia es grande: 14 -3.
Se
reduce
al
caso
anterior
descomponiendo los datos por órdenes de
unidad, para hacer restas parciales de una
cifra:
Conteo ascendente, cuando la
diferencia es pequeña: 12 -9.
No es posible la conmutativa.
Descomposición: 12-6=(6+6)–6=6+(6-6)
Compensación: 17-9=(17+1)-(9+1)=18-10
67-41=(60+7)-(40+1)=(60-40)+(7-1)=20+6
2.2). Hay cifras
en el substraendo
mayores que las correspondientes del
minuendo.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
30
2.2) Hay cifras en el substraendo mayores que las
correspondientes del minuendo: 54 -27
El complemento
La conservación
Da lugar al método de compensación
con dos variantes:
54 + 10
- 27 + 10
54 + 3
57
- 27 + 3
- 30
El doble valor de 1
50 + 14
5 414
- 30 + 7
-21 7
El préstamo
54
40 + 14
-27
-20 + 7
La descomposición
Da lugar al método de
reagruparmiento natural
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
4 14
-2 7
31
Preguntas y problemas
3043
-2139
04
09
0904
1654321654321
-876543876543
¿Qué reglas se han seguido en este
algoritmo de columnas?
¿Cómo se puede hacer esta resta
con una calculadora normal de ocho
dígitos?
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
32
El análisis de la multiplicación
1er Caso.
2º Caso.
Números de una cifra.
Algún número es de varias cifras
Se hace
Se
reduce
al
caso
anterior
descomponiendo los factores por
órdenes de unidad, para obtener
productos parciales de una cifra.
Conmutando: 7 x 8 en vez de 8 x 7
Doblando: 2 x 2 x 6 en vez de 4 x 6
Descomponiendo y distribuyendo.
6x5 = (5+1)x5
98x101=9898
Compensando: 5x6=10x3;
2.1). Un número es de una cifra y el
otro de varias.
23 x 7 = (20+3) x 7 = 20 x 7 + 3 x 7
9x8=(10-1)x8=10x8-8
2.2). Los dos números son de varias
cifras
49x51=50x50-1
23x27 = (20+3) x (20+7) =
= 20x20+ 20x7 + 3x20 + 3x7
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33
La práctica de la multiplicación se puede optimizar usando tablas de
doble entrada y columnas :
Ejemplo: 27 x 23 = (20 + 7) x (20 + 3) =400+60+140+21=
Los cuatro productos
20
1
7
7x20
+
Productos parciales
3
7x3
20
2
7
+
+
20 20x20 20x3
20
140
+
Sumando por filas
3
21
20 + 3
3
7
140 + 21
+
400
60
= 161
+
20 400 + 60
= 460
621
Estándar
Posicional
4
23
161 7
460 2
621
5
23
x 27
161 7
46 2
621
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
Suma por
columnas
34
Otras formas de usar “columnas” en la multiplicación
23
27
140
400
21
60
621
43
59
1290
+1290
2580
-43
2537
23
27
14
4
21
6
621
23
27
21
4
14
6
621
23
12
92
276
234
67
134
201
268
15678
4739
357
33173
165865
1691823
43
59
2580
- 43
2537
4376215
110812
48138365
35009720
52514580
484937136580
¿Qué reglas se han seguido en estos algoritmos de columnas?
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
35
Pérez de Moya, 1563
Preguntas y problemas
¿Qué reglas se han seguido
en estos algoritmos para
multiplicar 7435 x 327?
¿Cómo se puede hacer esta
multiplicación
con
una
calculadora normal de ocho
dígitos?
43214321
X 43214321
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36
El análisis de la división
1. Cociente y divisor de una cifra.
2. Cociente de una cifra, divisor de varias
Adición. Se suma el divisor consigo
mismo hasta obtener el dividendo
Ejemplo : 3456 : 789.
Sustracción. Se resta el divisor del
dividendo tantas veces como se
pueda
Multiplicación. Puesto que el cociente es
de una cifra, se busca en la tabla de
productos del divisor por 2, 3, 4, ..., 8 y 9.
Multiplicación. Se busca en la
tabla de multiplicar de modo inverso
o por tanteo
3. Cociente de varias cifras
Se reduce al caso 2.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
37
Preguntas
¿Cuánto vale el cociente y cuanto el resto
en las siguientes divisiones
El divisor termina en
ceros: 435 ÷ 70
El dividendo termina
en ceros: 4350 ÷ 7
Dividendo y divisor
terminan en ceros:
4350 ÷ 70
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
38
3. Cociente de varias cifras. Los ceros
El dividendo termina
en ceros: 4350 ÷ 7
Se divide con los ceros
4350
15
7
Dividendo y divisor
terminan en ceros:
4350 ÷ 70
Se quita el mismo número de
ceros en el dividendo y en el
divisor y se divide.
El divisor termina en
ceros: 435 ÷ 70
Se quitan los ceros, se
pone la coma decimal …
Explicación D÷d=D/10÷d/10
Explicación 10D÷10d = D÷d.
621
435
7
43’5
15
62
15
10
3
1
7
6’2
1
Atención al cociente y al resto:
D=dq+r ↔ 10D= 10dq+10r.
Atención al cociente y al
resto:
El cociente q es el mismo,
pero el resto no. En un caso
es r y en el otro 10r.
D/10=d/10·q+r ↔ D=dq+r/10
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
El cociente es el mismo pero
el resto no.
39
Las divisiones parciales son enteras y exactas
Ejemplo: 844:4
(800+40+4):4 = 800:4+40:4+4:4
= 200 + 10 + 1 =211
Al descomponer el dividendo en una suma
de números acabados en sucesión
decreciente de ceros, el cociente será una
suma de números acabados en sucesión
decreciente de ceros.
Por lo tanto será la descomposición decimal
de un número cuyas cifras son las cifras
significativas de cada uno de los sumandos.
Expandido
40 4
800 4
-800 200 -40 10
40 4
-4 1
Extendido
844 4
-800 200+10+1
44
-40
4
-4
Abreviado
844 4
-8
211
4
-4
4
-4
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
40
Las divisiones parciales no son enteras y exactas
Ejemplo: 765:4 = (700+60+5):4 = 700:4 + 60:4 + 5:4
Aparecen restos parciales
Se puede seguir dividiendo y al final reagrupar
los restos y seguir dividiendo, …
700
-400
300
4
100
60
-40
20
4
10
5
-4
1
4
1
Se puede reagrupar antes de seguir dividiendo:
700+60+5 4
-400
100
300+60
70
- 280
80+5
Si al resto parcial obtenido se le añade la siguiente suma parcial de
la descomposición del dividendo, se obtiene un nuevo dividendo
parcial que termina con un cero menos, lo que permite sacar un
cociente parcial también con un cero menos que el anterior, lo que
es fundamental para obtener la suma de números acabados en
sucesión decreciente de ceros, cuyas cifras significativas son una a
una las cifras del cociente total.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
41
La división larga se puede abreviar con la
regla de multiplicar y restar a un tiempo
1987654 543
358
3
Se procede cifra a cifra,
“3x3, 9, a 17 son 8;
“3x4, 12 y 1, 13, a 18 son 5
“3x5, 15 y 1, 16, a 19 son 3
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
42
Preguntas y problemas
Explica qué tipos de calculo haces para responder : estimado, aproximado, mental
o escrito. ¿Usas alguna estrategia?
• Una determinada ciudad reclama 400 hm3 de agua para
cubrir sus necesidades. Para dar una idea de la magnitud
de esta petición tómese como referencia el estadio Azteca
e Imagínese que es un recipiente que se puede llenar de
agua. ¿Sería suficiente para atender la demanda o se
necesitarían más estadios? Nota: Las medidas oficiales de un
campo de fútbol son : 105x68 m2
• Imaginemos que la Avenida Reforma se vuelve en un
recipiente en forma de prisma. ¿Cuánta agua cabría?
• El partido de la oposición llevó 4,000,000 de firmas en 10
furgonetas llenas de “palets” con cajas de paquetes de
hojas de firmas. ¿Cuántos paquetes estaban llenos de
papeles falsos sin firmas?
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
43
Preguntas y problemas
Usando el lenguaje horizontal explica las siguientes reglas:
• Regla del 6. añade al número menor tantos dieces como unidades hubiere en
la mitad del número menor.
• Regla del 9. Quita uno del número menor, y los que quedare serán dieces, y
mira desto que quedare cuanto falta para nueve, y lo que faltare serán
unidades, y juntase han con los dieces.
• Para multiplicar un número cualquiera por 45, toma la mitad del número, y le
restas de sí misma corriendo un lugar a la derecha. El resultado es el
producto.
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Preguntas
Explica este algoritmo
de la división
9458 72
-7
131
24
-2
225
-21
15
-6
98
-7
28
-2
26
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Referencias
ANAYA (Serie de libros de texto. Ed. de 1993). Matemáticas 4º Primaria. L. Ferrero,
I. Gaztelu, Mª J. Luelmo, P. Mastín y L. Martínez. Grupo Anaya. Madrid.
ANAYA (Serie de libros de texto. Ed. de 1987). Azimut. Matemáticas 4º Primaria.
Equipo Signo: Manuela A. Gómez Vázquez, Juan Alvaro Muñoz Gómez.
Grupo Anaya. Madrid.
Bruño. Serie
Dalmáu Carles. J. (Serie. Ed de 1944). Aritmética razonada y Nociones de álgebra.
Tratado teórico-práctico demostrado con aplicación a las diferentes cuestiones
mercantiles para uso de las Escuelas Normales y de las de Comercio. Nueva
Edición corregida y aumentada. Libro del alumno. Grado profesional. Ed.
Dalmáu Carles. 1898. Gerona.
Gómez, B. (1986). Numeración y cálculo. Síntesis. Madrid.
Gómez, B. (1995). Los métodos de cálculo mental en el contexto educativo: un
análisis en la formación de profesores. Mathema. Ed. Comares. Granada.
Gómez, B. (2006). La enseñanza del cálculo mental. Unión. Revista
Latinoamericana de Educación Matemática. Diciembre de 2005. Nº 4. Pág 1729. ISBN 1815-0640
Pérez de Moya, J. (1573). Tratado de Mathematica en que se contienen cosas de
Arithmetica, Cosmografía, y Philosophia natural. Juan Gracian. Alcalá de
Henares.
B.Gómez. DID. MAT.U.V.
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