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Matemáticas
ANTIDERIVADA
Definición :
Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales
a otra función g
derivable en D tal que se cumpla que:
g ′ ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ D
Teorema :
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D
de números reales,
entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.
h ( x ) − g ( x ) = c ∀x ∈ D
h(x)=g(x)+c
∀x ∈ D
⇒
Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales,
entonces cualquier antiderivada de
f es en ese conjunto D se puede escribir como g( x) + c ∀x ∈D , c constante real.
Integral indefinida:
D −1 f ( x ) = g ( x ) + c
∫ f ( x). dx =g( x) + c
→
f(x) : Integrando
∫ f ( x)dx = g( x) + c ,
antiderivada de f ó integral indefinida de f.
;
c : constante de integración.
c : cte real
⇒
g ′( x ) = f ( x )
g ′( x ) = f ( x )
g ′( x ). dx = f ( x ). dx
d [ g ( x )] = f ( x ). dx
⇒
∫
f ( x )dx = ∫ d [ g ( x )] = g ( x ) + c
Técnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivación de funciones
compuestas.
Dx { f [u( x)]} = f ′[u( x)]. u ′( x)
∫ f ′[u( x)]. u′( x).dx = ∫ f ′[u( x)]. d[u( x)] = ∫ d{ f [u( x)]} = f [u( x)] + c
⇒
∫ f ′(u)du=∫d[ f (u)] = f (u) +c
Propiedades de las antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que
cualquier propiedad de las
derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.
Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y
sean : f (x)dx y g(x)dx antiderivadas
∫
Si
1)
2)
α
∫
es un número real, entonces se cumple :
∫ α. f ( x)dx = α.∫ f ( x)dx
, ∀x ∈ D
∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
, ∀x ∈ D
MÉTODOS O TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Integración de funciones racionales
Son integrales de la forma:
P
P( x )
∫ f ( x). dx = ∫ Q( x) . dx
;
f ( x) =
P( x )
;
Q( x)
Q( x) ≠ 0 , donde
y Q son funciones polinomiales.
Método de descomposición en fracciones simples
Es un método algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en
descomponer una fracción en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que
tengan denominadores mas sencillos que el dado.
El procedimiento para la descomposición de fracciones simples, es el siguiente :
1) Si el grado gra do P ( x ) ≥ gra do
obteniendo un cociente y el resto:
P( x )
Q( x )
R( x )
C( x)
Por definición de división:
u(x) y v(x)
;
Q
⇒
Q( x )
(
x
)
efectuamos la división,
rr, ,...,rs
divido en 1 2
gra do R ( x ) 〈 gra do Q( x )
2) Vamos a descomponer
R( x)
Q( x)
siendo gra do R ( x )〈 gra do Q ( x )
Factoreamos el denominador. ( por teorema del álgebra : Todo polinomio con
coeficientes reales puede descomponerse en factores lineales o en factores cuadratico
irreducibles).
(
)(
Q( x) = (x − r1)(x − r 2 )......(x − r s ). x + b1 x + c1 ... x + bn x + cn
2
2
)
r ,r ,...,r
*
1 2
s son números reales algunos iguales o todos distintos
Si hay factores iguales, hay factores lineales repetidos.
*
b1 ,...,b p ,c1 ,...,c p
son números reales algunos iguales o todos distintos.
Diferentes casos:
Caso 1) Todos los factores que aparecen en el denominador Q(x) son lineales y
distintos.
Caso 2)
El denominador de
Q (x )
es un producto de factores todos lineales y algunos
están repetidos.
Caso 3)
En Q (x ) aparecen factores cuadráticos irreducibles que no se repiten.
Caso 4)
En Q (x ) aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos.
Método de integración por partes
Se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones derivables en un
dominio común.
Sean u(x) y v(x) dos funciones derivables en un dominio común. Entonces :
D[u ( x ).v ( x ) ] = v ( x ).u ′( x ) + u ( x ).v ′( x )
∀x ∈ dom. común
d [u ( x).v( x)] = v ( x).d [u ( x)] + u ( x).d [v( x)] ∀ x ∈ dom comun
d [ u. v] = v. du + u. dv
b1 ,...,bp ,c1 ,...,cp
∫ u. dv = u. v − ∫ v. du
∫u.dv=u.v −∫v.du
Formula del método de integración por partes
Procedimiento :
1) Identificar la integral dada con la formula del método parar ello descomponemos el
integrando en dos factores u y v de tal modo que el
dv
contenga al
2) Aplicar bien el método surge de una buena elección de u y
3) Elijo el
dv
tal que
v = ∫ dv
y sea fácil de calcularlo.
dv .
dx .
4) Al aplicar la formula nos reemplaza el problema de resolver la
∫ u.dv en el
∫ v.du
problema de resolver la
Condiciones para aplicar el método:
1) En el integrando aparece el producto de dos funciones.
derivable, y a partir de
obtener
v.
u y v′ tal que u sea
v ′ sea posible
2) La integral que resulta al usar la formula del método (
v.
∫ du
) debe ser de igual
complejidad o menor complejidad que la dada.
Método de integración por sustitución
Este método se basa en la regla de derivación de funciones compuestas.
Definición :
Sea
∫ f ( x)dx
la integral que queremos resolver y sea la sustitución
donde ϕ es una función derivable con derivada no nula (ϕ ′(t ) ≠ 0) y sea
sea ∃ ϕ −1 que también es derivable,
si
∫ f [ϕ ( t ) ]. ϕ ′( t ). dt = H (t ) + c
entonces :
∫ f ( x). dx = H[ϕ
−1
ϕ
x = ϕ (t )
biunivoca o
]
( x) + c
Condiciones para aplicar el método:
*
Exista una función
ϕ / x = ϕ( t )
con ϕ biunivoca y derivable con
derivada no nula.
*
La nueva integral en t que resulta al aplicar el método ∫ f [ϕ (t )]. ϕ ′(t ). dt , debe ser
inmediata o de menor complejidad .
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