Download Tema 4: Divisores de tensión y corriente, Puente de Wheatstone

CIRCUITOS DIVISORES DE TENSIÓN (VOLTAJE)
En ocasiones, especialmente en los circuitos electrónicos, es· necesario obtener más de un nivel de
tensión a partir de una única fuente de alimentación. Una manera de hacer esto consiste en utilizar un
circuito divisor de tensión, como el mostrado en la Figura 4.1.
Figura 4.1 (a) Un circuito divisor de tensión y (b) el circuito divisor de tensión
con la corriente i indicada.
Se analizará este circuito aplicando la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff. A partir de la ley de Kirchhoff
de las corrientes, vemos que R1 y R2 transportan una corriente de igual magnitud. Aplicando la ley de
Kirchhoff de las tensiones alrededor del lazo cerrado obtenemos
o bien
Ahora se aplica la ley de Ohm para calcular v1 y v2:
Si se desea obtener un valor concreto de v2 y está especificado el valor de vs hay un número infinito de
combinaciones de R1 y R2 que nos permiten obtener el cociente adecuado. Por ejemplo, suponga que vs
es igual a 15 V y que v2 deber ser 5 V. Entonces, v2 l vs = 1/3 y a partir de la Ecuación 4.4 vemos que este
cociente se satisface siempre que R2 = 1/2 X R1. Otros factores que pueden influir en la selección de R1, y
por tanto de R2, incluyen las pérdidas de potencia que se producen al dividir la tensión de origen y los
efectos de conectar el circuito divisor de tensión a otros componentes del circuito.
Considere la conexión de una resistencia RL en paralelo con R2 como se muestra en la Figura 4.1. La
resistencia RL actúa como carga sobre el circuito divisor de tensión. Una carga en cualquier circuito
consiste en uno o más elementos de circuito que extraen potencia del mismo. Con la carga RL
conectada, la expresión para la tensión de salida será
donde
Sustituyendo la ecuación (4.6) en la ecuación (4.5), obtenemos
Observe que la Ecuación 4.7 se reduce a la Ecuación 4.4 a medida que RL → ∞, como debe ser. La
Ecuación 4.7 muestra que siempre que RL >> R2, el cociente de tensiones vo / vs no se ve perturbado por
la adición de la carga al divisor. En pocas palabras, para que el divisor de tensión proporcione el voltaje
deseado al circuito que se conecta al divisor, resulta ideal que la resistencia de entrada de dicho circuito
tenga una resistencia de entrada idealmente igual a infinito (cercana al circuito abierto) o, al menos, que
dicha resistencia de entrada del circuito que se agrega sea mucho mayor que la resistencia del divisor a
la que se conecta.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 4.1 Análisis del circuito divisor de tensión
Las resistencias utilizadas en el circuito divisor de tensión mostrado en la Figura 4.2 tienen una
tolerancia de ± 10%. Calcule los valores máximo y mínimo de vo.
Figura 4.2 Circuito del ejemplo.
Solución:
A partir de la Ecuación 4.4, el valor máximo de vo se producirá cuando R2 sea un 10% superior al valor
nominal y R1 sea un 10% inferior, mientras que el valor mínimo de vo se producirá cuando R2 sea un 10%
inferior al valor nominal y R1 sea 10% superior. Por tanto
Así, al tomar la decisión de utilizar resistencias con una tolerancia del 10% en este divisor de tensión,
vemos que la tensión de salida en ausencia de carga estará comprendida entre 76.60 y 83.02 V.
Podemos ahora generalizar los resultados del análisis del circuito divisor de tensión de la Figura 4.1.
Considere el circuito mostrado en la Figura 4.3.
Figura 4.3 Circuito utilizado para ilustrar la división de tensión.
La caja de la izquierda puede contener una única fuente de tensión o cualquier otra combinación de
elementos de circuito básicos que permita obtener la tensión v mostrada en la figura. A la derecha de la
caja se muestran n resistencias conectadas en serie. Lo que nos interesa es calcular la caída de tensión vj
en una resistencia arbitraria Rj , en función de la tensión v. Comenzaremos utilizando la ley de Ohm para
calcular i, la corriente que atraviesa todas las resistencias conectadas en serie, en términos de la
corriente v y de las n resistencias:
La resistencia equivalente, Req, es la suma de.los valores de las n resistencias, porque las resistencias
están en serie. Aplicamos la ley de Ohm una segunda vez para calcular la caída de tensión vj en las
terminales de la .resistencia Rj , utilizando la corriente i calculada mediante la Ecuación 4.8:
Observe que homos usado la Ecuación (4.8) para obtener el lado derecho de la Ecuación (4.9). La
Ecuación (4.9) es la ecuación de división de tensión, que nos dice que la caída de tensión vj en una única
resistencia Rj, de un conjunto de resistencias conectadas en serie, es proporcional a la caída total de
tensión v en el conjunto de resistencias conectadas en serie. La constante de proporcionalidad es el
cociente entre esa única y la resistencia equivalente del conjunto de resistencias conectadas en serie, es
decir, Rj / Req.
CIRCUITOS DIVISORES DE CORRIENTE
El circuito divisor de corriente mostrado en la Figura 4.4 está compuesto por dos resistencias conectadas
en paralelo con una fuente de corriente. El divisor de corriente está diseñado para dividir la corriente i,
entre R1 y R2. Podemos determinar la relación entre la corriente i, y la corriente en cada resistencia (es
decir, i1 e i2) aplicando directamente la ley de Ohm y la ley de Kirchhoff de las corrientes. La tensión en
las terminales de las resistencias en paralelo es
Figura 4.4 El circuito divisor de corriente.
A partir de la Ecuación (4.10),
Las Ecuaciones (4.11) y (4.12) muestran que la corriente se divide entre las dos resistencias en paralelo
de forma tal que la corriente en una de las resistencias es igual a la. corriente que entra en la
combinación en paralelo multiplicada por la otra resistencia y dividida por la suma de ambas.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 4.2 Análisis del circuito divisor de corriente
Calcule la potencia disipada en la resistencia de 6 Ω mostrada en la Figura 4.5
Figura 4.5 Circuito del ejemplo.
En primer lugar, debemos calcular la corriente que atraviesa la resistencia simplificando el circuito
mediante reducciones serie-paralelo. De este modo, el circuito mostrado en la Figura 4.5 se reduce al
que se muestra en la Figura 4.6.
Figura 4.6 Simplificación del circuito de la Figura 4.5.
Calculamos la corriente io utilizando la fórmula de división de la corriente:
Observe que io es la corriente que atraviesa la resistencia de 1.6 Ω en la Figura 4.5. Ahora podemos
volver a dividir io entre las dos resistencias de 6 Ω y de 4 Ω. La corriente a través de la resistencia de 6 Ω
será:
y la potencia disipada en esa resistencia de 6 Ω será
p = (3.2)2(6) = 61.44 W.
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Figura 4.7 Circuito utilizado para ilustrar la división de corriente.
Ahora considere el circuito mostrado en la Figura 4.7. La caja de la izquierda puede contener una única
fuente de corriente o cualquier otra combinación de elementos de circuito básicos que nos proporcione
la corriente i mostrada en la figura. A la derecha de la caja hay n resistencias conectadas en paralelo. Lo
que queremos es determinar la corriente ij que atraviesa una resistencia arbitraria Rj en términos de la
corriente i. Comenzaremos utilizando la ley de Ohm para calcular v, la caída de tensión a través de cada
una de las resistencias conectadas en paralelo, en términos de la corriente i y de las n resistencias:
Se calcula resistencia equivalente de n resistencias en paralelo, Req . Aplicamos la ley de Ohm una
segunda vez para calcular la corriente ij que atraviesa la resistencia Rj , utilizando la tensión v calculada
en la Ecuación (4.13):
Observe que hemos utilizado la Ecuación (4.13) para obtener el lado derecho de la Ecuación 4.14. La
Ecuación (4.14) es la ecuación de división de la corriente, que establece que la corriente i que atraviesa
una única resistencia Rj , de un conjunto de resistencias conectadas en paralelo, es proporcional a la
corriente total i suministrada al conjunto de resistencias conectadas en paralelo. La constante de
proporcionalidad es el cociente entre la resistencia equivalente del conjunto de resistencias conectadas
en paralelo y el valor de esa única resistencia, es decir, Req / Rj . Observe que la constante de
proporcionalidad en la ecuación de división de corriente es la inversa de la constante de
proporcionalidad en la ecuación de división de tensión.
PUENTE DE WHEATSTONE (circuito para medir resistencias)
Para medir la resistencia se utilizan muchas configuraciones de circuito distintas. Aquí nos vamos a
centrar sólo en una de ellas, el puente de Wheatstone. El circuito en puente de Wheatstone se utiliza
para medir con precisión resistencias de valores medios, es decir, en el rango de 1 Ω a 1 MΩ. En los
modelos comerciales del puente de Wheatstone, pueden conseguirse precisiones del orden de ±0.1%.
El circuito en puente está compuesto por cuatro resistencias, una fuente de tensión cd (o, lo que es lo
mismo, cc) y un detector. Una de las cuatro resistencias puede variarse, lo que se indica en la Figura 4.8
mediante la flecha que atraviesa R3 (estas resistencias variables suelen llamarse potenciometros). La
fuente de tensión cd es usualmente una batería, como se indica mediante el símbolo de batería para la
fuente. de tensión v en la Figura 4.8. El detector es generalmente un medidor d'Arsonval en el rango de
los microamperios y se denomina galvanómetro. La Figura 4.8 muestra la disposición de circuito de las
resistencias, de la batería y del detector, donde R1, R2 y R3 son resistencias conocidas y Rx es la
resistencia cuyo valor deseamos determinar.
Figura 4.8 Circuito en puente de Wheatstone.
Para encontrar. el valor de Rx ajustamos-la resistencia variable Rj hasta que no atraviese el galvanómetro
ninguna corriente. Entonces, calculamos el valor de la resistencia desconocida a partir de la expresión
simple
La deducción de la Ecuación (4.15) resulta sencilla, sin más que aplicar las leyes de Kirchboff al circuito
en puente. Volvamos a dibujar el circuito en puente en la forma representada en la Figura 4.9 para
mostrar las corrientes apropiadas para la deducción de la Ecuación (4.15). Cuando ig es cero, es decir,
cuando el puente está equilibrado, la ley de Kirchhoff de las corrientes requiere que
Figura 4.9 Un puente de Wheatstone equilibrado (ig = 0).
Ahora, puesto que ig es cero, no hay caída de tensión en las terminales del detector y, por tanto, los
puntos a y b están al mismo potencial Así, cuando el puente está ·equilibrado, la ley de Kirchhoff de las
tensiones requiere que
Combinando las Ecuaciones (4.16) y (4.17) con la Ecuación (4.18) se tiene que
Obtenemos la Ecuación (4.15) dividiendo primero la Ecuación (4.20) por la Ecuación (4.19) y luego
despejando Rx en la expresión resultante:
de donde
Ahora que hemos verificado la validez de la Ecuación 4.15, hagamos algunos comentarios acerca del
resultado. En primer lugar, observe que, si la relación R2 / R1, es la unidad, la resistencia desconocida Rx
será igual a R3. En este caso, la resistencia del puente R3 debe variar a lo largo de un rango que incluya el
valor Rx. Por ejemplo, si la resistencia desconocida fuera de 1,000 Ω y R3 pudiera variar entre 0 y 100 Ω,
nunca podría llegar a equilibrarse ·el puente. Por· tanto, para cubrir un amplio rango de resistencias
desconocidas, debemos ser capaces de variar. la relación R2 / R1 . En un puente de Wheatstone
comercial, R2 / R1 están compuestas de valores decimales de resistencias que pueden conmutarse
dentro del ,circuito en puente. Normalmente, los valores decimales son 1, 10, 100 y 1,000 Ω, de modo
que el cociente R2 / R1 puede variarse entre 0.001 y 1,000 en pasos decimales. La resistencia variable R3
es usualmente. ajustable entre. 1 y 11,000 Ω en valores enteros de resistencia.
Aunque la Ecuación (4.15) implica que Rx puede variar entre cero e infinito, el rango práctico de Rx va
aproximadamente de 1 Ω a 1 M Ω. Las resistencias inferiores son difíciles de medir en un puente de
Wheatstone estándar, debido a las tensiones termoeléctricas generadas. en las uniones de metales
distintos y debido a los efectos de calentamiento térmico, es decir, a los efectos i2R. Las resistencias de
mayor valor son difíciles de medir con precisión debido a las corrientes de fugas. En otras palabras, si Rx
es grande, la corriente de fugas en el aislamiento eléctrico puede ser comparable a la corriente que
atraviesa las ,ramas del circuito en puente.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 4.3 Análisis del puente de Wheatstone
El circuito en puente mostrado en la figura está equilibrado cuando R1 = 100 Ω, R2 = 1,000 Ω y R3 = 150
Ω. El puente se alimenta a partir de una fuente de tensión de corriente continua de 5V.
a) ¿Cuál es el valor de Rx ?
b) Suponga que cada resistencia del puente es capaz de sisipar 250 mW. ¿Puede dejarse en puente en
estado equilibrado sin exceder la capacidad de disipación de potencias de las resistencias, lo que
podría dañar el puente?
Solución:
a) Usando la condición para el equilibrio del puente, los productos de las resistencias opuestas deben
ser iguales. Entonces,
b) Cuando el puente está equilibrado, no hay corriente que fluya por el detector o medidor, entonces
el medidor actúa como un circuito abierto. Esto coloca a las siguientes ramas en paralelo: La rama
con la fuente de voltaje, la rama con la combinación serie R1 y R3 y la rama con la combinación serie
de R2 y Rx. Se puede encontrar la corriente en las últimas dos ramas usando la ley de Ohm:
Se puede calcular ahora la potencia disipada por cada resistencia usando la fórmula p = Ri2.
Ya que ninguno de los valores de las disipaciones de potencia excede los 250 mW, el puente puede
dejarse en estado de equilibrio sin exceder la capacidad de disipación de potencia de las
resistencias.
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CIRCUITEOS EQUIVALENTES DELTA o PI (∆ o ∏) - ESTRELLA (Y o T)
La configuración en puente de la Figura 4.8 introduce un modelo de interconexión de las resistencias
que merece una explicación adicional. Si sustituimos el galvanómetro por su resistencia equivalente Rm ,
podemos dibujar el circuito mostrado en la Figura 4.10. No podemos reducir las resistencias
interconectadas de este circuito a una única resistencia equivalente entre los terminales de la batería si
nos restringimos a los circuitos equivalentes simples en serie y en paralelo que hemos introducido
anteriormente. Las resistencias interconectadas pueden reducirse a una única resistencia equivalente
por medio de un circuito equivalente delta-estrella ( ∆-Y o Pi-T).
.
Figura 4.10 Red resistiva generada a partir de un circuito en puente de Wheatstone.
Las resistencias R1, R2 y Rm (o R3, Rm y Rx) en el circuito mostrado en la Figura 4.10 se denominan
interconexión delta (∆), o en triángulo, debido a que la interconexión se asemeja a la letra griega ∆, que
tiene la forma triangular. También se denomina interconexión en Pi porque la ∆ puede dibujarse como
una ∏ sin perturbar la equivalencia eléctrica de las dos configuraciones. La equivalencia eléctrica entre
las conexiones en ∆ y ∏ resulta aparente en la Figura 4.11.
Figura 4.11 Una configuración en ∆ vista como una configuración en ∏.
Las resistencias R1, Rm y R3 (o R2, Rm y Rx) en el circuito mostrado en la Figura 4.10 se denominan
interconexión estrella o en Y, debido a que la interconexión se asemeja a una estrella o una Y. Resulta
más sencillo ver la forma de la Y cuando se dibuja la interconexión como en la Figura 4.12. La
interconexión en Y también se denomina interconexión en T porque la estructura en Y puede dibujarse
como una estructura en T sin perturbar la equivalencia eléctrica de las dos estructuras. La equivalencia
eléctrica de las configuraciones en Y y en T resulta obvia en la Figura 4.12.
Figura 4.12 Una estructura en estrella (Y) vista como una estructura en T.
La Figura 4.13 ilustra la transformación de circuitos equivalentes ( ∆-Y o Pi-T). Observe que no podemos
transformar la interconexión ∆ en la interconexión en Y simplemente cambiando la forma de las
interconexiones. Decir que un circuito conectado ∆ es equivalente a otro circuito conectado en Y
significa que la configuración en ∆ puede sustituirse por la configuración en Y sin que exista ninguna
diferencia en cuanto al comportamiento en las terminales de las dos configuraciones. Por tanto, si
situamos cada circuito en una caja negra, no podremos determinar mediante medidas externas si la caja
contiene un conjunto de resistencias conectadas en ∆ o un conjunto de resistencias conectadas en Y.
Esta condición es verdadera únicamente si la resistencia entre las correspondientes parejas de
terminales es la misma para los dos circuitos. Por ejemplo, la resistencia entre los terminales a y b debe
ser la misma si utilizamos el conjunto conectado en ∆ o el conjunto conectado en Y. Para cada par de
terminales en el circuito conectado en ∆, la resistencia equivalente puede calcularse utilizando
simplificaciones en serie y en paralelo, con lo que se obtiene
Conversión ∆-estrella (Y)
Figura 4.13 Transformación ∆-estrella (Y).
La manipulación algebraica de las tres ecuaciones anteriores nos da los valores para las resistencias
conectadas en Y en función de las resistencias conectadas en ∆. Por ejemplo, una forma de resolver las
ecuaciones es sustraer la Ecuación (4.24) de la Ecuación (4.23), con lo que se obtiene
La suma de las ecuaciones (4.25) y (4.26) origina
De la misma manera, se pueden obtener las ecuaciones de conversión ∆-estrella (Y) para las otras dos
resistencias, las cuales son:
y
No es necesario memorizar las ecuaciones (4.27) a (4.29). Para transformar una red ∆ en Y, se crea un
nodo extra n, como se indica en la Figura 4.14, y se sigue la regla de conversión:
Cada resistencia de la red Y es el producto de los resistores de las dos ramas ∆ adyacentes dividido entre
la suma de las tres resistencias de ∆.
Figura 4.14 Superposición de las rede ∆ y Y como ayuda en la transformación de una en otra.
Conversión estrella (Y) - ∆
Para obtener las fórmulas de conversión que transformen una red en estrella (Y) en una red delta (∆)
equivalente, en las ecuaciones (4.27) a (4.29) se advierte que
La división de la Ecuación (4.30) entre cada una de las ecuaciones (4.27) a (4.29) conduce a las siguientes
ecuaciones:
Con base en las ecuaciones (4.31) a (4.33) y de la Figura 4.14, la regla de conversión de estrella (Y) en
delta (∆) es la siguiente:
Cada resistencia de la red ∆ es la suma de todos los productos posibles de los resistores en la red Y,
tomados de dos en dos, dividido entre el resistor opuesto en la red Y.
Se dice que las redes ∆ y Y están equilibradas cuando
En estas condiciones, las fórmulas de conversión vienen a ser
Es posible que provoque sorpresa que RY sea menor que R∆. A este respecto, obsérvese que la conexión
en Y es como una conexión "en serie", mientras que la conexión en ∆ es como una conexión en
"paralelo".
Nótese que al hacer la transformación, no se quita nada del circuito ni se agrega algo nuevo en él.
Solamente se están sustituyendo patrones de red, de tres terminales diferentes, equivalente
matemáticamente para crear un circuito en el que los resistores estén en serie o en paralelo, lo que nos
permite calcular la Req de ser necesario.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 4.4 Análisis de circuitos usando transformaciones del ∆-Y o Y-∆
Calcule la corriente y la potencia 'suministrada por la fuente de 40 V en el circuito mostrado en la Figura
4.15.
Figura 4.15 Circuito del ejemplo.
Solución: