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APLICACIONES DE LA DERIVADA
ANA COLO HERRERA
HECTOR PATRITTI
PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS
TECNOLÓGICOS DEL C.E.T.P.
APLICACIONES DE LA
DERIVADA
Ejercicios resueltos
PROF. ANA COLO HERRERA
PROF. HECTOR PATRITTI
DERECHOS RESERVADOS POR LOS AUTORES
Esta publicación no puede ser reproducida en todo o en parte, ni archivada o trasmitida por
ningún medio electrónico , mecánico , de grabación, de fotocopia, de microfilmación o en otra
forma, sin el previo conocimiento de los autores.
Publicación inscrita en la Biblioteca Nacional el 5 de enero del 2004 en el Libro No.29 con el
No.232 habiéndose realizado los aportes legales correspondientes según Art.7 de la ley No.
9739 sobre derechos de autor.
Email: [email protected]
Telefax: 7120680 Montevideo -Uruguay
[email protected]
Aplicaciones de la Derivada
CONTENIDO
Páginas
Prólogo ...........................................................................
1 -
4
Areas , Perímetros y Volúmenes ..................................
5
Fórmulas Trigonométricas ..............................................
6 -
7
Tabla de Derivadas ........................................................
8 -
9
Selección de definiciones y teoremas .............................
11 -
14
17 -
23
Capítulo 1
1–1
Introducción .......................................................
1 – 2 Enunciados de ejercicios ....................................
25 - 39
1 – 3 Resoluciones de ejercicios ..................................
41 - 79
Capítulo 2
2–1
Introducción ........................................................
83 -
88
2 – 2 Enunciados de ejercicios .....................................
89 - 124
2 – 3 Resoluciones de ejercicios ..................................
125 - 219
Apéndice
Unidades y equivalencias ...............................................
223
Ejercicios sugeridos .......................................................
227
Bibliografía .....................................................................
229
Ana Coló Herrera
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada
PROLOGO
Ana Coló Herrera
1
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Prólogo -
AL ESTUDIANTE
La presente publicación tiene por objetivo poner a tu disposición una amplia
serie de ejercicios , con sus correspondientes resoluciones , relativos a la aplicación
del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran los
Bachilleratos Tecnológicos en sus diferentes orientaciones.
Partimos de la base de que estás familiarizado con los conceptos teóricos
correspondientes a Funciones de Variable Real
que tu docente del curso ha
desarrollado respecto al concepto de Derivada.
Al comienzo de la publicación encontrarás un resumen de los conocimientos
que deberás tener presentes para resolver los problemas propuestos así como una
tabla de derivadas.
Al final de la publicación te sugerimos aquellos ejercicios que entendemos
adecuados según el Bachillerato que estás cursando, sin que ello signifique
naturalmente , que los restantes carezcan de interés para tí.
Esperamos que si aún no lo estás , llegues a convencerte de la importancia
relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolución de problemas relativos
a la tecnología en sus distintas disciplinas.
La publicación está dividida en dos Capítulos.
El Capítulo1 se refiere a la derivada como índice matemático que expresa la tasa de
variación instantánea o rapidez de variación instantánea de una función y consta de
veinticuatro ejercicios.
El Capítulo 2 está dedicado a problemas de Optimización y consta de sesenta
ejercicios.
Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a
conocidos
problemas que seguramente encontrarás en distintos textos de Matemática pero que
han sido modificados y/o adaptados por los autores a los cursos de los Bachilleratos
Tecnológicos.
Otros son creación de los autores.
El enunciado del ejercicio No. 54 corresponde al ejercicio No.18 , página 317 del
libro “Cálculo” de James Stewart que ha sido incluído por considerar que se trata de
una interesante muestra de aplicación de los conceptos que estamos manejando
Ana Coló Herrera
3
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada –Prólogo -
en una disciplina aparentemente alejada de la que tú has elegido
Las resoluciones de todos los ejercicios propuestos en la publicación son de
exclusiva responsabilidad de los autores.
Deseamos hacerte una precisión respecto de la notación utilizada en la
resolución de los ejercicios.
De las distintas notaciones que suelen utilizarse para la “función derivada primera”
de una función f de variable real x , a saber f´ , fx , df , hemos adoptado la notación
dx
de Leibnitz df que entendemos la más adecuada pues explicita claramente la
dx
variable respecto de la cual se efectúa la derivación , hecho este que en los problemas
técnicos es absolutamente relevante.
df será entonces la notación para la función derivada primera. de la función f
dx
respecto de la variable x .
df
(x o ) será el valor de la función derivada primera en el punto xo.
dx
d 2f será la notación para la “función derivada segunda” de la función f respecto de
dx 2
la variable x .
d 2f
dx
2
(x o ) será el valor de la función derivada
segunda en el punto xo.
Previo al Capítulo 1 encontrarás un resumen de fórmulas de perímetros , áreas
y volúmenes , un resumen de fórmulas trigonométricas , y una tabla de derivadas.
También una selección de definiciones y teoremas que has visto en el curso teórico y
que deberás tener presentes para resolver los ejercicios del Capítulo 1.
Si este material que ponemos a tu disposición resulta de utilidad en tu formación
matemática habremos alcanzado nuestro objetivo.
LOS AUTORES
Ana Coló Herrera
4
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada -
Perímetros , Areas y Volúmenes
Triángulo
a
c
h
p=a+b+c
A=
b.h
2
b
Rectángulo
a
b
p =2a + 2b
A = a.b
Hexágono
L
p = 6L
a
A=
p.a
2
Círculo
Long. Cfa.= 2πR
2
A=πR
R
Sector circular
Long. Arco = Rθ
θ
Esfera
R
A=
1 2
R θ
2
Cilindro
Cono
h
R
2
A = 4πR
V=
4
3
πR
3
Ana Coló Herrera
R
2
Atotal = 2πR + 2πRh
h
R
1 2
V= πR h
3
2
V=π R h
5
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada
TRIGONOMETRIA
Unidades de medida de ángulos
Grados
Radianes
3600 = 2π rad.
Equivalencia:
1800
1 rad =
π
≅ 570 17m
Longitud de un arco de circunferencia de radio R que subtiende un
ángulo central θ
θ en radianes
s = Rθ
Valores de líneas trigonométricas de algunos ángulos especiales.
θ Grados
0
θ Radianes
0
30
45
60
90
120
180
270
360
π
π
π
π
6
4
3
2
2π
3
π
3π
2
2π
3
2
0
-1
0
1
2
-1
0
1
0
∃/
0
sen θ
0
1
2
2
2
3
2
1
cos θ
1
3
2
2
2
1
2
0
-
tg θ
0
3
3
1
3
∃/
- 3
θ+ϕ=π
Angulos suplementarios
sen θ = sen (π−θ)
cos θ = - cos (π−θ)
θ+ϕ=
Angulos complementarios
sen θ = cos (
π
2
-θ)
tg θ = - tg (π−θ)
π
2
tg θ = cotg (
π
2
-θ)
Angulos opuestos
Sen (- θ) = - sen θ
Ana Coló Herrera
cos ( - θ ) = cos θ
6
tg (- θ ) = - tg θ
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada
Angulos que difieren en
sen ( θ+
π
2
π
2
) = cos θ
y en π
cos ( θ+
sen (θ+π ) = - sen θ
π
2
) = - sen θ
tg ( θ+
cos (θ + π ) = - cos θ
π
2
) = - cotg θ
tg (θ+π ) = tg θ
Teorema del seno
senA senB senC
=
=
a
b
c
A
c
b
Teorema del coseno
B
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
C
a = b + c – 2 b c cos A
b = a + c – 2 a c cos B
c = a + b – 2 a b cos C
Fórmula fundamental
2
2
sen x + cos x = 1
Fórmulas de suma y resta de ángulos
sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
sen ( x – y ) = sen x cos y – cos x sen y
cos ( x + y ) = cos x cos y – sen x sen y
cos ( x – y ) = cos x cos y + sen x sen y
tg ( x + y ) =
tgx + tgy
1 − tgx tgy
tg ( x – y ) =
tgx - tgy
1 + tgx tgy
Fórmulas del ángulo doble
2
sen 2x = 2 senx cosx
2
cos 2x = cos x – sen x
tg 2x =
2tgx
1 − tg 2 x
Fórmulas del ángulo mitad
2
sen x =
Ana Coló Herrera
1 − cos2x
2
2
cos x =
7
1 + cos2x
2
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada
TABLA DE DERIVADAS
df
dx
f(x)
df
dx
k
0
senx
cosx
x
1
cosx
- sen x
|x|
sg(x) x≠0
tgx
f(x)
m
m-1
x
mx
1
x
−
x
3
x
Arcsenx
2
1 + tg x
1
1 − x2
1
Arccosx
x2
1
Arctgx
2 x
1
3
3 x2
1
− 1 − x2
1
1 + x2
shx
chx
ex
ex
chx
shx
Lx
1
x
thx
1 – th x
L|x|
1
x
Argshx
Sg(x)
0 ∀x ≠ 0
Argchx
a
Ana Coló Herrera
x
x
a La
Argthx
8
2
1
x2 + 1
1
x2 − 1
1
1- x2
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS
d(fog)
dx
(fog)(x)
g(x)
dg
dx
k.g
k
|g|
sg(g).
h
cos g(x)
- sen g.
dg
dx
dg
dx
Arcsen g(x)
−
1 dg
g 2 dx
Arccos g(x)
g
dg
2 g dx
Arctg g(x)
g
dg
33 g 2 dx
sh g(x)
ch g(x).
dg
dx
ch g(x)
sh g(x).
dg
dx
th g(x)
(1 – th g)
m-1
1
1
g
g
h
e
g dg
dx
1 dg
g dx
1 dg 1 dh
−
g dx h dx
ag
g
dg
dx
mg
m
Lg o L|g|
L
cos g.
tg g(x)
1
g
e
sen g(x)
dg
dx
g
3
dg
dx
d(fog)
dx
(fog)(x)
a g.La.
h ⎡ dh
dg
dx
h dg ⎤
g ⎢ Lg +
⎥
g dx ⎦
⎣ dx
he
Ana Coló Herrera
Argsh g(x)
Argch g(x)
Argth g(x)
2
( 1 + tg g ).
dg
dx
1
dg
1 − x 2 dx
−
dg
1 − x 2 dx
1
dg
1 + g dx
1
2
2
dg
dx
1
dg
1 + g 2 dx
1
dg
g 2 − 1 dx
1
dg
1 − g 2 dx
e g ⎡⎢
dh
dg ⎤
+ h. ⎥
dx ⎦
⎣ dx
g
9
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Resumen -
SELECCIÓN DE DEFINICIONES Y TEOREMAS
Definición de función derivable en un punto.
Una función f de variable real x con dominio D se dice derivable en un punto xo
perteneciente a D si y sólo si existe y es finito , el siguiente límite:
f ( x o + h ) − f (x o )
h
h→0
lim
h ∈R
Al valor de dicho límite se le llama “ derivada de la función f en el punto xo”.
Teorema 1)
Derivada de suma de funciones
H) Si f y g son funciones derivables en xo
T)
Teorema 2)
d (f + g )
(x o ) = df (x o ) + dg (x o )
dx
dx
dx
Derivada del producto de funciones
H) Si f y g son funciones derivables en xo
T)
d (f.g )
(x o ) = g(xo) df (x o ) + f(x o ) dg (x o )
dx
dx
dx
Teorema 3) Derivada del cociente de funciones
H) Si f y g son funciones derivables en xo con g (xo ) ≠ 0
⎛f ⎞
df
dg
d ⎜⎜ ⎟⎟
g(x o ). (x o ) − f (x o ). (x o )
g
⎝ ⎠ (x ) =
dx
dx
T)
o
2
dx
g (x o )
Teorema 4) Derivada de la función compuesta o regla de la cadena
H)
Si g es derivable en xo y f derivable en g (xo)
T)
d(f o g )
(x o ) = df [g(x o )]. dg (x o )
dx
dg
dx
Ana Coló Herrera
11
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Resumen -
Definiciones
Función creciente en un punto
Una función f es creciente en un punto xo si cumple:
f(x) ≤ f (xo)
∀x ∈ E -x o,δ
(semientorno izquierdo de centro xo y radio δ )
f(x) ≥ f (xo)
∀x ∈ E +x
o,δ
(semientorno derecho de centro xo y radio δ )
Función decreciente en un punto
Una función f es decreciente en el punto xo si cumple:
f(x) ≥ f(xo)
∀x ∈ E -x o,δ
f(x) ≤ f(xo)
∀x ∈ E +x
o,δ
Máximo y mínimo relativos
f(xo) es máximo relativo en xo de la función f si se cumple:
f(xo) ≥ f(x)
∀x ∈ E x o,δ
f(xo) es mínimo relativo en xo de la función f si se cumple:
f(xo) ≤ f(x)
∀x ∈ E x o,δ
Teorema 5) Relación entre derivabilidad y continuidad
H) Si una función f es derivable en el punto xo
T) f es contínua en el punto xo
Sobre este teorema recuerda que el recíproco no es válido, es decir, existen funciones
contínuas en un punto pero no derivables en él.
Teoremas que relacionan la derivada en un punto con la variación de la función en él.
Teorema 6)
H)
df
(x 0 ) > 0
dx
T)
f creciente en el punto xo
Ana Coló Herrera
12
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Resumen
df
(x 0 ) < 0
dx
Teorema 7) H)
f decreciente en el punto x0
T)
Teorema 8) H)
f presenta máximo o mínimo relativo en x0
∃
df
(x 0 )
dx
df
(x 0 ) = 0
dx
T)
Respecto de este teorema debes tener presente que:
1ro) El recíproco no es cierto. Puedes tener una función con derivada nula en un
punto x0 y la función no presentar en él un extremo relativo. La fig. (1) te muestra
esa posibilidad.
2do.) Una función puede presentar extremo relativo en un punto xo y no ser derivable
en él. La fig. (2) te ilustra uno de estos casos para una función contínua en x0 y la
figura (3) para una función discontínua en x0 .
f(x)
o
f(x)
x0
x
o
fig. (1)
f(x)
x0
fig. (2)
x
o
x0
x
fig. (3)
Teoremas que relacionan la derivada segunda de una función con su concavidad.
Teorema 9)
H)
Teorema 10)
H)
Ana Coló Herrera
d 2f
dx 2
d 2f
dx 2
(x o ) > 0
T) f presenta concavidad positiva en x0
(x o ) < 0
T) f presenta concavidad negativa en x0
13
Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Resumen
Teoremas relativos a intervalos (a , b).
Teoremas que relacionan la derivada 1ra. con la variación de la función.
Teorema 11)
H)
df
>0
dx
∀ x ∈ (a, b)
T)
f creciente en (a,b)
Teorema 12)
H)
df
<0
dx
∀ x ∈ (a, b)
T)
f decreciente en (a,b)
Teorema 13)
H)
Teorema 14)
H)
Ana Coló Herrera
d 2f
dx 2
d 2f
dx 2
>0
∀ x ∈ (a, b)
T) f tiene concavidad > 0 en (a,b)
<0
∀ x ∈ (a, b)
T) f tiene concavidad < 0 en (a,b)
14
Héctor Patritti