Download Hoja 6. Tema VI. Gravedad. Astronomía. 1. La Unidad

Curso2010-2011
Física Básica Experimental
Física Básica Experimental I
Hoja 6. Tema VI. Gravedad. Astronomía.
1. La Unidad Astronómica de longitud, UA, se define
como la distancia media de la Tierra al Sol que es
1,496 x 1011 m. El pársec es la longitud radial desde
la cual una unidad astronómica de longitud subtiende
un ángulo de 1 segundo de arco (ver figura adjunta).
¿Cuántos pársec están contenidos en una unidad
astronómica? ¿Cuántos metros tiene un pársec?
¿Cuántos metros tiene un año luz? ¿Cuánto tiempo
tarda la luz en ir del Sol a la Tierra? ¿Cuánto tiempo
tarda la luz en ir de la Luna a la Tierra? ¿Cuánto
tarda la luz en atravesar un núcleo atómico, un átomo
y la distancia Santander-Madrid? Compara los
órdenes de magnitud.(Busca en un libro la distancia
del Sol a la Tierra y toma del ejercicio 2 la distancia
de la Luna a la Tierra).
Figuras ejercicios 1 y 2
2.- El ángulo subtendido por el diámetro de la Luna en un punto de la Tierra es de
0,524º. Sabiendo que la Luna dista 384 Mm ( 1 Mm = 106 m) de la Tierra, halla el
diámetro de la Luna (ver figura adjunta).
3. Estima la densidad del Sol y la densidad de la Tierra. Compara los resultados entre sí
y con la densidad del agua. (Para calcular las densidades, consulta en la bibliografía los
valores de la masa y el radio del Sol y de la Tierra).
Figuras ejercicios 4 y 5:
4. La medida de las distancias entre planetas del sistema solar se hizo inicialmente por
triangulación, comenzando por la distancia entre la Tierra y Venus. Si dos observadores
terrestres distasen 104 km y se colocaran sobre una línea perpendicular a la dirección de
Curso2010-2011
Física Básica Experimental
Física Básica Experimental I
Venus, la posición de este planeta respecto de las estrellas fijas, en su punto de mayor
aproximación de la Tierra difiere en 49”, según se mida en uno u otro observatorio.
Calcula la distancia Tierra-Venus en su punto de mayor aproximación (ver figura).
5. Eratóstenes descubrió, leyendo unos papiros en la Biblioteca de Alejandría, que en
Siena, una vez por año, en el solsticio de verano, precisamente al mediodía, una vara
que se colocase perpendicularmente al suelo no tenía sombra. Resolvió, entonces, hacer
el experimento en Alejandría en el mismo día del año y a la misma hora, para ver lo que
sucedía. Pues bien, en Alejandría la sombra nunca llegaba a desaparecer, haciendo, al
mediodía, un ángulo de 7º con la vara, lo que sería claramente imposible si la Tierra
fuera plana (ver figura). Suponiendo entonces que ésta era esférica (hipótesis más
simple) y sabiendo que entre Siena y Alejandría había 700 km aproximadamente,
Eratóstenes obtuvo una estimación para el radio de la Tierra. ¿Qué valor obtuvo? ¿Cuál
fue su porcentaje de error?
6. Utiliza la ley de gravitación para calcular aproximadamente la masa de la Tierra,
conociendo la aceleración de caída en la superficie de la misma. Si un objeto pesa 270
N en la superficie, ¿cuánto pesa a una altitud dos veces mayor que el radio de la Tierra?
¿En qué porcentaje se reduce el peso?
7. Demuestra la 3ª ley de Kepler para una órbita circular, utilizando la ley de gravitación
universal. El satélite Fobos tiene un periodo de 460 min y un radio orbital medio de
9400 km. ¿Cuál es la masa de Marte?
8. Dos partículas cada una de masa M están situadas
como indica la figura adjunta. Calcula el campo
gravitatorio g en el punto P.
9. Una estaca no uniforme de longitud l se encuentra
sobre el eje x con un extremo en el origen. Su
densidad λ=Cx, en donde C es una constante. ¿Cuál es la masa de la estaca y qué campo
gravitatorio crea en x0>L?
10. Muestra que la 2ª ley de Kepler se deduce de la conservación del momento angular
del sistema Sol-planeta. (En negrita las magnitudes vectoriales).
Momento de una fuerza: M = r x F
Momento angular de un planeta: L = r x p = r x mv
M = dL/dt = 0 para este sistema.
11.- Compara el momento angular de la Tierra, en su órbita alrededor del Sol, con el
momento angular del electrón, en un átomo de hidrógeno, suponiendo, en ambos casos,
órbitas circulares.
12. Un satélite se mueve en una órbita elíptica alrededor de la Tierra. Las distancias
mínima y máxima a la superficie de Tierra son 400 km y 3000 km, respectivamente.
Calcula la velocidad del satélite en el apogeo y en el perigeo.
Curso2010-2011
Física Básica Experimental
Física Básica Experimental I
13. Un satélite se mueve en una órbita elíptica alrededor de la Tierra, de manera que, en
el perigeo y en el apogeo, las distancias al centro de la Tierra son D y 4D. ¿En qué
relación se encuentran las velocidades en esos puntos?
14. Muestra que la energía cinética de un objeto que se mueve en una órbita circular
alrededor de la Tierra es igual a la mitad del valor absoluto de la energía potencial del
sistema Tierra –objeto).
15. Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Determina su periodo
si el satélite está justo sobre la superficie de la Tierra y si está a la altura de un
transbordador espacial, a unos 400 km. Desprecia la resistencia del aire.
16. Un cometa recién descubierto, entra en el sistema Solar y pasa alrededor del Sol,
¿cómo podemos saber si volverá o no?
17. ¿Cómo se puede acometer el envío de una nave espacial a Marte?
Comienza pos suponer que la nave espacial se encuentra en órbita circular alrededor de
la Tierra y desde ella un ocupante lanza un objeto en la misma dirección en la que viaja.
El objeto desde la posición de perigeo entrará en una órbita que tiene más energía que la
órbita circular. Dado que la energía está relacionada con la longitud del eje mayor, el
objeto entra en una órbita elíptica que alejará más al objeto de la tierra que lo que lo
haría la órbita circular. Si otra nave espacial se encuentra en
otra órbita circular de radio mayor que la primera nave
podría recoger el objeto. Para ello es necesario que la órbita
elíptica interseque la órbita de la segunda nave. Además
ésta y el objeto deben llegar a ese punto de intersección al
mismo tiempo.
Algo parecido se hace para enviar una nave a Marte. La
nave sale de una órbita temporal alrededor de la tierra para
entrar en una órbita elíptica de transferencia alrededor del
Sol(ver figura 11.3). La nave así viaja hacia Marte y entrará
en una órbita estacionaria alrededor de Marte.
¿Cómo elegimos la órbita de transferencia?
Los propulsores se activan en la órbita temporal para
transferir la nave a la órbita elíptica, partiendo de su
perihelio y encontrándose con Marte en el afelio. Así, la
nave recorre la mitad de su órbita elíptica. Ver la figura 4.
Éste es un proceso eficiente en términos de energía aunque
consume más tiempo. En la elipse, la nave no consume
energía, la mueve el sol.
Hagamos cálculos.
Supongamos que la nave está orbitando la Tierra. La
velocidad tangencial de la Tierra alrededor del Sol es
también la velocidad media de la nave alrededor del Sol.
Calcula esta velocidad utilizando la 2ª ley aplicada al
movimiento circular (aproximado) de la Tierra alrededor del
Sol. La Tierra está bajo la acción de la fuerza GM(Sol)m(Tierra)/r2=m(Tierra)v2/r; r es
el radio de la órbita de la Tierra en este caso. Obtén v. v= 2.97 x 104m/s Ésta es la
velocidad original de la nave. Le añadiremos un ∆v para transferirla a la órbita elíptica.
El eje mayor de la elipse lo puedes calcular a partir de los radios de las órbitas de la
Curso2010-2011
Física Básica Experimental
Física Básica Experimental I
Tierra y de Marte alrededor del Sol (mira la figura 4). a = 1.89 x 1011m. Ahora usa la
tercera ley de Kepler para calcular la duración del viaje:
t(viaje)=T/2 =1/2 [4π2 / GM(Sol)]1/2 a3/2= 260 días.
Para determinar la posición relativa entre la Tierra y Marte cuando se transfiere la nave
para que Marte esté en el punto de intersección (de las órbitas de Marte y la nave) al
mismo tiempo que la nave es necesario considerar el periodo orbital de Marte alrededor
del Sol (687 días).
Calcula cuanto avanza Marte mientras dura el viaje de la nave (en el cual la nave va de
su perihelio hasta su afelio). El resultado es que Marte debe estar adelantado 44º
respecto de la Tierra cuando se lance la nave desde su órbita alrededor de la Tierra (ver
figura 4).
Calcula la ∆v necesaria para cambiar de una órbita circular, a la distancia de la Tierra, a
una órbita elíptica de transferencia a Marte.
Calcula la ∆v necesaria para cambiar de la órbita de transferencia elíptica a una órbita
circular, a la distancia de Marte.
Ahora considera los efectos de gravedad de los dos planetas: Calcula la velocidad
necesaria para transportar la nave desde la superficie de la Tierra a su órbita
independiente alrededor del Sol (la nave sale del ecuador en dirección al Este, lo más
favorable)
Considera la caída de la nave desde su órbita solar a la superficie de Marte y calcula el
módulo de ∆v necesario para un aterrizaje suave en la superficie de Marte. Marte gira
sobre su eje con un periodo de 24.6 horas. (Tomado de Serway et al. 3ª ed. Física. Ed
Thomson, 2003, pg 397).