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ESCUELAS TÉCNICAS
RAGGIO
MATEMÁTICA
1º AÑO
CUADERNILLO DE
ACTIVIDADES
ÍNDICE
Programa analítico de estudios……………………………………pág. 2
Nivelación…………..……………………………………………..pág. 3
Números Naturales………………………………………………...pág. 8
Números Enteros…………………………………………………..pág. 22
Fracciones…………..……………………………………………..pág. 55
Proporcionalidad…………………………………………………..pág. 74
Geometría…………...……………………………………………..pág. 88
Desafíos……………..……………………………………………..pág. 109
Bibliografía y fuentes consultadas………………………………...pág. 114
Pág.1
PROGRAMA ANALÍTICO DE ESTUDIOS
Asignatura: Matemática
Año: Primero
Especialidad: Todas las Especialidades
1- Campo numérico: Repaso conjunto de números naturales. Operaciones en N:
suma; resta Propiedades. Suma algebraica. Ecuaciones. Necesidad de ampliar
el campo numérico. Conjunto de números enteros. Representación en la recta
numérica. Operaciones en Z: suma, resta, multiplicación, división. Propiedades. Operaciones combinadas. Ecuaciones. Necesidad de ampliar el campo
numérico.
2- Conjunto de números racionales. Representación en la recta numérica. Operaciones en Q: suma, resta, multiplicación, división, potenciación (potencias de
exponente natural y exponente negativo); radicación. Propiedades. Números
decimales: operaciones. Expresiones decimales periódicas puras y mixtas. operaciones combinadas. Ecuaciones. Problemas de aplicación. Concepto de número irracional.
3- Razones y proporciones. Propiedades. Cálculo de un elemento de una proporción. Magnitudes directas e inversamente proporcionales. Problemas de aplicación.
4- Conjuntos puntuales. Definición de espacio y figura. Axiomas característicos
del punto, la recta y el plano. Figuras Cóncavas y convexas. Definición de semirrecta, segmento, semiplano Ángulo. Operaciones con segmentos Ángulos.
Relaciones geométricas. Clasificación de los Ángulos. Definición
de Ángulo recto, complementario suplementario. Angulo formado por dos
rectas que se cortan. Propiedades de los Ángulos adyacentes . Ángulos opuesto
por los vértices. Relaciones entre rectas, rectas paralelas y perpendiculares.
Propiedades. Angulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una
transversal. Propiedades.
5- Triángulo. Definición. Elementos. Clasificación. Propiedades de los lados y
los Ángulos. Criterios de congruencia. Puntos notables del triángulo.
Pág.2
Pág.3
REPASAMOS FRACCIONES Y DECIMALES
1) ¿En cuáles de las siguientes figuras la parte sombreada corresponde a ¼ de la
misma?
a)
b)
c)
2) Escribe como fracción o entero según corresponda
a)
b)
c)
d)
d)
3) Completar:
a) ¿Cuántos cuartos le faltan a ¾ para ser un entero?
b) ¿Cuántos quintos le faltan a 3/5 para ser un entero?
c) ¿Cuántos octavos le sobran a 11/8 para ser un entero?
d) ¿Cuántos tercios le faltan a 2/3 para ser dos enteros?
e) ¿Cuántos cuartos le faltan a 5/4 para ser tres enteros?
4) De un rollo de 140 m de alambre se corta la ¼ parte y de ésta se utiliza la quinta
parte. ¿Cuánto se utilizó y cuántos centímetros sobran?
5) Dos amigos se van de vacaciones y recorren 2/5 partes del camino.¿Cuánto les falta
para llegar?. ¿Recorrieron más o menos de la mitad?
6) Mariano debe responder un cuestionario que consta de15 preguntas; si respondió 2/3
del mismo.¿Cuántas preguntas contestó y cuántas le falta contestar?
7) Reconstruí la figura completa (dibújala)
a) Si
representa 3/7 del total
Pág.4
b) Si
c) Si
representa ½ del total
representa 2/5 del total
8) De un camino recorrí 3/5. ¿Qué fracción me falta recorrer?. Si el camino tiene 60 m.
¿Cuántos metros recorrí?
9) De mi sueldo gasté 2/3 en impuestos y ½ del resto en regalos. ¿Qué fracción del
sueldo me queda?
10) De los pasajeros de un hotel, 1/3 toma café con leche, 1/5 jugo de frutas y los 14
restantes se fueron sin desayunar. ¿Cuántos pasajeros había en el hotel?
11) De una bolsa de caramelos, 1/3 son de menta, 7/10 del resto son de chocolate y los
60 restantes son de limón. Cuántos caramelos tengo en la bolsa?. ¿Cuántos son de
chocolate y cuántos de menta?
12) Una señora gastó ¼ de su sueldo en remedios, 5/9 del resto en alimentos. Si le
quedan $ 88. ¡Cuál es el sueldo de la señora?
13) Una persona tenía $ 3000, gastó rimero 1/3 de su dinero en alimentos, luego 3/5 de
lo que le quedaba en ropa, y el resto en gastos varios. ¿Cuánto dinero gastó para
cada cosa?
14) Escribe como fracción irreducible
a)
15
=
9
c)
210
500
b)
25
100
3
d) 1
4
15) Pasa cada una de las siguientes fracciones a número decimal
a)
1
2
b)
3
4
c)
8
100
d)
543
100
16) Ahora escribe cada decimal como fracción
a) 0,3 =
b) 0,0008 =
b) 742,34 =
d) 3,472 =
Pág.5
17) Completa con : > < = según corresponda
a) 0,08.............
c)
8
100
b) 0,35.............0,32
1
..................0,7
2
d)
3
2
.....
4
5
18) A multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros. Sin usar la calculadora
a) 0,234 . 100 =
c) 378 . 1000 =
e) 0,34 . 1000 =
b) 24: 10 =
d 0,8 : 100 =
f) 543 : 10000 =
19) En los siguientes ejercicios hay que ubicar la coma en su justo lugar para que la
cuenta sea correcta. Adelante
a) 482 . 10 = 48,2
c) 3,745 . 100 = 3745
e) 227,5 : 100 = 2275
b) 001 . 100 = 1
d) 49 : 10 = 0,49
f) 988 : 10 = 9,88
REPASAMOS PERÍMETRO
Para completar el siguiente ejercicio primero repasa las unidades de longitud pues son
las que se necesitan para hallar los perímetros. Recuerda que cuando hablamos de
perímetro nos referimos al borde de las figuras.
ahora sí.
20) Completa la tabla
0,34
7,56
5,4
423
6
0,03
dam
km
cm
hm
m
cm
m
dm
mm
km
mm
m
Pág.6
21) Calcula el perímetro de las siguientes figuras:
b
c
abcd cuadrado
a
abc equilátero
datos
b datos
ab = 5,2 cm
a
bc = 2,3 cm
d
c
abc triángulo rectángulo isósceles
5 cm
b
datos
a
ac = 5 cm
bc = 2,3 cm más que ac
4,2 cm
4,7 cm
c
5,6 cm
2,1 cm
a
b
c
f
d
fe = 8,2 cm
ab = 3,4 cm
bc = 3,2 cm
de = 1,6 cm
datos
e
REPASAMOS CÁLCULO DE ÁREAS
22) Nuevamente a completar un cuadro para repasar un poco. A no olvidarse que la
coma se corre dos lugares
3 cm 2
5,456 dm 2
7,3 dam 2
5 hm 2
0,04 dm 2
m2
mm 2
km 2
m2
cm 2
Pág.7
23) Calcula el área de un triángulo cuya base mide 8 m y su altura 300 cm
24) Calcula el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 0,4 cm
cada uno
25) Un terreno tiene 12 m de frente y 20 metros de fondo. Expresa el área del mismo en
dam 2
26) Una superficie mide 3,5 m 2. ¿Cuántos cm 2 tiene?
27) Calcula en cada dibujo la región sombreada
Son cuadrados. El lado de uno de
Ellos es 6 metros y el otro es 4 metros
Los rectángulos son idénticos. El
Lado mayor es de 5 cm y el menor
2 cm
La base del rectángulo es de 8 centímetros. La
Altura es 4 centímetros, a es el punto medio
a
REPASAMOS PORCENTAJE
28) En un mes de 30 días, 6 fueron lluviosos.¿Cuál es el porcentaje de días
de lluvia?
29) En un talonario de 150 rifas se vendieron el 70 %.¿Cuántas rifas quedaron sin
vender?
Pág.8
30) Un frasco de 180 ml de edulcorante líquido contiene 120 ml de agua.¿ Qué
porcentaje del total representa el agua?
31) Por comprar un libro de contado cuyo precio de lista es de $ 30, me hicieron un
descuento de del 15%. ¿Cuánto pagué?
32) De 80 días de clase, Juan faltó 12.¿Cuál es el porcentaje de presentismo?
REPASAMOS REGLA DE TRES
33) Para armar 128 libros se usan 24 paquetes de hojas. ¿Cuántos paquetes del mismo
tipo se usarán para hacer 224 libros iguales a los anteriores?
34) Para envasar cierta cantidad de perfume se usan cuatro docenas de frascos de 25 ml
cada uno. ¿Cuántos frascos de 40 ml se usarán para envasar la misma cantidad de
perfume?
35) Para alambrar un terreno se necesitan 16 rollos de alambre de 18 metros cada uno.
Si los rollos tuvieran 12 m. ¿Cuántos rollos más se necesitarán?
36) Para alimentar 100 aves se dispone de alimento para 60 días. Si se venden 25 aves,
¿para cuántos días se tiene alimentación?
REPASAMOS OPERACIONES
37)
a)
b)
c)
d)
e)
25:5 + ( 5-3) .2 -4=
( 6 .2 – 4 .3 ) .7 + 9:3=
20 : ( 8 -2 .2) +14 :7 – (5-3) .2=
(10- 2.3) : 2 + 9:3 -3=
10 : ( 3+2) – 6:3 + 4.2.3=
a)
b)
c)
d)
26,6: 0,2+2.3. 0,001=
0,15: 0,5 + 2.2 .0,2 +12,35=
(2,7 +1,3) :0,8 – (4,2 -3,1) . 3,2=
(12,2 + 0,002 -3,1) . 0,2=
38)
39)
1 2 6
a) . =
2 3 7
e)
Pág.9
20 10 1 1 3 1
: . 1 =
3 9 2 3 4
4
b)
5 3 4 1 1
. : =
6 4 9 4 2
f) 2
1
1 8 2 3
1 : . =
2 15 5 3 4
c)
5 15 1 4
: . =
4 8 2 3
g)
2
2 7 1
4 . 1 =
5
7 3 2
3 1 4 7
d) . =
5 10 5 3
1 3 2 1
h ) 3 . 1 =
2 4 11 4
AUTOEVALUACIÓN
2
5
del total estudia alemán,
del resto estudian
3
6
francés y los restantes portugués. ¿Cuántos alumnos estudian cada idioma?
1) Un instituto tiene 180 alumnos.
1
3
del total de su sueldo en ropa, en alimentos y el resto
5
8
para gastos varios. ¿Qué parte del dinero lo destinó para gastos varios y en qué
gastó más dinero?
2) Una persona gastó
3) Por una compra de $ 6300 pagada en cuotas me recargan el 8%. ¿Cuánto debo
abonar?.
4) Una escuela compra 85 diccionarios de $35 cada uno. Por pago al contado
descuentan el 15 %. ¿Cuánto se debe abonar?
5) Calcular la superficie de :
2
de la base
5
b) Un triángulo sabiendo que su base mide 18 cm. y su altura 1,2 DM
a) Un rectángulo cuya base es de 35 cm. y cuya altura es
6) Escribe como fracción irreducible
a)
18
45
b)
25
150
c)
240
360
d)
7) Resolver:
Pág.10
54
48
a) (20-8.2):4+15:3+ (9+2.3).2=
3 1 3 1 1
b) . :
2 3 7 4 2
c) 16,2+0,4:0,02+0,2.0,001
8) Con 24 rollos de papel de 0,5 m de ancho se puede empapelar una sala. ¿Cuántos
rollos se necesitarán si el ancho de cada rollo es de 60 cm.?
RESPUESTAS ACTIVIDADES
1) a; c; d
2) a)
3
b) 1
8
c)
1
2
3) a)
1
4
c)
3
4
d)
8
3
b)
2
5
d)
3
16
e)
7
4
4) Se utilizan 7 m y sobran 2800 cm de lo que se cortó y 13300 cm del total
5) Les faltó
3
. Recorrieron menos de la mitad.
5
6) Contestó 10 preguntas y le faltan 5
7) …………..
8) Falta
2
y recorrí 36 m.
5
9) Me queda
1
6
10) En el hotel había 30 pasajeros
11) Total: 300 caramelos; 100 de menta; 140 de chocolate
12) El sueldo es de $ 264
13) $ 1000 en alimentos; $1200 en ropa y $ 800 en gastos varios
14) a)
5
3
15) a) 0.5
16) a)
3
10
17) a) =
b)
1
4
b) 0,75
b)
8
10000
b) >
c)
21
50
d)
c) 0,08
c)
74334
100
c) <
Pág.11
7
4
d)5,43
d)
3472
1000
d) >
18) a) 23.4
b) 2,4
c) 378000 d) 0.008
19) a) 4.82
b) 0.01
c) 374.5
d) 4.9
e) 340
f) 0,0543
e) 2.275
f) 98.8
20) Completa la tabla
0,34
7,56
5,4
423
6
0.03
dam
km
cm
hm
m
cm
21) a) 20,8 cm
3,4 m
75600 dm
54 mm
42,3 km
6000 mm
0,0003 m
b) 6,9 cm
c) 17,3 cm
d) 17,4 cm
e) 26cm
22)
3 cm 2
5,456 dm 2
7,3 dam 2
5 hm 2
0,04 dm 2
0,0003
m2
54560 mm 2
0,00073 km 2
50000 m 2
4 cm 2
23) 12 m 2
24) 0.08 cm 2
25) 2,4 dam 2
26) 35000 cm 2
27) a) 20 m 2
b) 20 cm 2
c) 16 cm 2
28) 20 %
29) 45 rifas
30) 66,666…. %
31) $ 25,50
32) 85 %
33) 42 paquetes
34) 30 frascos
35) 8 rollos más
36) 80 días
37) a) 5
b) 3
c) 3
d) 2
e) 24
38) a) 133,006
b) 13,45 c) 1,48 d) 1,8204
2
4
8
41
39
39) a) 1 b)
c)
d)
e)
f)
3
3
3
15
8
g)
257
30
RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
1) 120 alemán,50 francés y 10 portugués
Pág.12
h)
5
4
2) Destinó
17
en gastos varios y gastó más dinero en ellos
40
3) $ 6804
4) $2528,75
5) a) 490 cm 2
6) a)
2
5
7) a) 36
b) 108 cm 2
b)
b) 1
1
6
c)
2
3
d)
9
8
c) 36,2002
8) 20 rollos
Pág.13
Pág.14
NÚMEROS NATURALES
Los Hindúes fueron los primeros en desarrollar un sistema práctico de notación
numeral, tras haber descubierto el cero y el valor posicional de las cifras.
Ese sistema fue dado a conocer en Europa por los árabes, en el siglo VII d.C. y de allí
que las cifras que se utilizan en la actualidad se llamen indoarábigas.
Aunque el cero fue descubierto por los hindúes, la palabra cero proviene de la voz árabe
ziffero, que significa lugar vacío.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Propiedad
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
¿La cumple la adición?
Si. 4+7=7+4
11=11
Si
(4+6)+9=4+(6+9)
10+9=4+15
19=19
Si.
Es el 0
4+0=4
¿La cumple la sustracción?
No. 10-8≠8-10 no tiene
solución en los números
naturales
No
(12-5)-3≠12-(5-3)
7-3≠12-2
4≠10
Si
Es el 0 en el sustraendo
8-0=8
Propiedad cancelativa:
a) Si en ambos miembros de una igualdad figuran términos iguales, se pueden
cancelar y se sigue teniendo una igualdad.
b) Si en un cálculo hay un término que está sumando y el mismo está restando se
pueden cancelar.
SUMA ALGEBRAICA:
Se llama así a toda combinación de sumas y restas.
Regla Práctica: Se efectúan todas las cancelaciones posibles y luego a la suma de los
números que están sumando se le resta la suma de los números que están restando.
Supresión de paréntesis:
1) Todo paréntesis precedido por el signo + puede suprimirse dejando todos los
términos que están dentro de él con sus respectivos signos.
2) Todo paréntesis precedido por un signo menos puede suprimirse cambiando los
signos de todos los términos que estén dentro de él
Supresión de paréntesis corchetes y llaves
Se suprimen primero los paréntesis, después los corchetes y por último las llaves y
luego se resuelve la suma algebraica que queda. Es conveniente efectuar todas las
cancelaciones posibles y luego aplicar la regla práctica.
Pág.15
1) Agrupá y conmutá los sumandos en forma conveniente para calcular estas sumas.
a) 700 + 1 + 300 + 99 =
b) 350 + 27 + 3 + 50 =
c) 1999 + 33 + 1 + 77 =
2) Sabiendo que a+b= 5 y a+d= 7 calcular cada una de las siguientes operaciones
aplicando las propiedades conmutativa y asociativa.
a) (a+1) + (b+d) + (a+4) =
Rta: 17
b) (a+d) +a+ (d+b)+a =
Rta: 19
c) (b+3+d) +(2+a) + (a+1) =
Rta.:18
d) (d+a+1)+(b+d) + (a+3)+ (a+1) =
Rta.: 24
3) Resolver las siguientes sumas algebraicas aplicando la regla práctica
a) 8-2+3-1+4-3+2-1-1-6=
Rta: 3
b) 9-2-3+5+2-1+10-4+5-6+2
Rta; 17
c) 8-2+4-7+3-4+4-1+6
Rta: 11
d) 9-5+1-3+5-2-1-1+4
Rta.: 7
4) Suprimir paréntesis y resolver
a) (5-2+3)-(5-10+1)-(4-2)+(6-3)
Rta.: 11
b) (8-2)-(4-2+1)+(3-2)
Rta.: 4
c) (12-2)-(7-1)+(10+2)-(2-7)
Rta.: 21
d) (6-3)-(4-3)+(5-3)-(7-6)
Rta.. 3
5) Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones.
a) 18 - { 2 + [ 9 - ( 6 - 4 ) - 5 ] }
b) ( 4 + 8 - 3 + 9 ) - 4 - ( 4 + 7 - 3 - 2 ) + ( 12 + 5 - 2 )
c) 15 - { 2 - [ 9 + ( 5 - 1 ) - ( 2 + 8 - 9 ) + 6 ] - 7 } +8
d) { 12 + 12 - [ 5 + 1 - 2 + ( 2 - 4 + 8 - 2 )] - 3} – 3
e) 26 + { 5 - [ 1 - ( 4 - 2 ) + 7 ] + ( 6 - 1 + 3 ) } + 4
f) ( 4 - x + 2 ) - [ 1 - ( 2 + x - 1 ) - y ] + 3 - ( 2 + y + 3 )
g) ( 15 - 3 ) - { 2 - [ 5 - ( 8 - 7 + 1 ) + 6 - 2 ] + 4 }
Pág.16
Rta : 14
Rta : 23
Rta : 46
Rta : 10
Rta : 37
Rta : 4
Rta : 13
6) Efectuar todas las reducciones posibles en las siguientes igualdades
a) x + a - 3 +5 = z - 3
b) 15 + 8 - z + 4 - 8 = 12 - 2 + 13
c) 8 - 4 + z - 8 = k - 1
d) 6 + y - x + 1 = y - 5 + a + 5
e) m + 3 - 5 = 3 - a
f) a - 5 + 3 - b - a + 3 + 5 = b - 3 + x
g) x + 6 +5 - x = 10 - a + 1 + a
h) 9 + 4 - x - z + 8 = 4 + x + 7 - z - 7 + 2
PUNTUACIONES , CÁLCULOS Y SÍMBOLOS
7) Coloca los signos de puntuación a este texto, transformando su sentido en algunas
formas diferentes.
Analiza en cada caso para quien es la torta que cocino.
“Cocino una torta para mi hijo no para mi hermano Pablo tampoco jamás será para
Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho es mi deseo”
“Cocino una torta para mi hijo no para mi hermano Pablo tampoco jamás será para
Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho es mi deseo”
“Cocino una torta para mi hijo no para mi hermano Pablo tampoco jamás será para
Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho es mi deseo”
“Cocino una torta para mi hijo no para mi hermano Pablo tampoco jamás será para
Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho es mi deseo”
“Cocino una torta para mi hijo no para mi hermano Pablo tampoco jamás será para
Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho es mi deseo”
Podrás darte cuenta de la importancia que tiene la puntuación de un texto.
Teniendo en cuenta esto analiza:
8) El “LOTER DOBLE” y el “ LOTER 3” son juegos de azar cuyos premios tienen en
cuenta las tres últimas cifras del número sorteado por la Lotería Nacional.
En el primero, el ganador recibe una suma de dinero equivalente al doble de la
terminación del número sorteado, más 100
En el otro, en cambio, el premio consiste en la cantidad de dinero que resulta de hallar
el doble de: la terminación del número sorteado más 100
a) ¿Cuál de los dos juegos entrega mayor cantidad de dinero en un mismo sorteo?
Pág.17
b) ¿Cuál es el mayor y cuál el menor monto que puede ganarse en cada uno de los
juegos?
c) Expresa cada situación en símbolos
9) En un comercio se ve el siguiente cartel
Radiograbador: $ 160
TV: $ 640
Vidoecasetera:: $ 360
CASA TV SOL OFRECE
1 RADIOGRABADOR
A MITAD DE PRECIO
1 TELEVISOR COLOR 14”
1 VIDEOCASETERA DE PRIMERA
MARCA
El cliente dice: Quiero aprovechar la oferta, llevo la TV, la video y el radiograbador.
El empleado dice: son $ 1080
El cliente dice: ¡no puede ser ¡ según mis cálculos son $ 660
a) ¿ a qué se debió la confusión? Escriban el cálculo que realizó el cliente y el que hizo
el empleado
b) ¿ Cómo se pudo evitar el mal entendido?
c) Escriban un cálculo que exprese una tercera interpretación posible de la oferta
publicitada.
d) Simboliza cada una
10 )Expresar en símbolos los siguientes enunciados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
La suma entre dos números iguales es el doble del mismo número
La diferencia entre dos números distintos es mayor que 100
La suma de la altura de Carlos y la de Gustavo totalizan 3,85 m
La edad de María dentro de 5 años
El triple de un número aumentado en 8
El producto de tres números distintos
Los 3/5 de un número es menor o igual que 20
Tres veces el peso de Juan, disminuído en 3 kg da como resultado el doble de 43
Tres veces: el peso de Juan disminuído en 3 kg, da como resultado el doble de 43
El doble del siguiente de un número
El producto entre un número y su consecutivo es menor que 120
El triple del anterior de un número es menor que el doble del siguiente
Pág.18
11) Completar la siguiente tabla utilizando en todos los casos la edad de Laura como
incógnita
Expresión en lenguaje
simbólico
L
Laura
Edad en años
Eduardo tiene el doble de
edad de Laura
Ana tiene dos años menos
que Eduardo
Diego tiene tantos años como
Eduardo y Ana juntos
Ariel tiene tres años más que
Diego
70
12) Plantear y resolver las siguientes ecuaciones
a) si a 45 se le resta un número se obtiene lo mismo que si a 8 se lo disminuye en 3
y luego se lo aumenta en 10 ¿Cuál es dicho número? Rta: 30
b) Si a un número se lo aumenta en 18 y luego se lo disminuye en 1 se obtiene lo
mismo que si a 35 se le resta 2 ¿Cuál es dicho número? Rta.: 16
c) Una persona sale de compras con cierta cantidad de dinero. Gasta $12 en un
negocio, y $ 15 en otro . Si le quedan $ 30 ¿Con cuánto dinero salió? Rta.:$ 57
d) Una persona tiene $ 50, gasta $18 en la carnicería y cierta cantidad en el
almacén. Si le quedan $ 25 ¿Cuánto gastó en el almacén? Rta: $ 7
13) Completá el cuadro con los resultados de las cuentas indicadas, cuando sea posible
resolverlas para que el resultado sea un número natural.
A
36
B
4
18
0
22
A+B
A-B
15
0
B-A
A. B
14
44
7
Pág.19
A:B
B:A
14) Expresá el número 14 como la suma de tres números naturales de tres formas
diferentes
15) Expresá el numero 36 como el producto entre dos números naturales de todas las
formas posibles
.
16)Ubicá en cada casilla del cuadrado los números del 1 al
9 de manera que se convierta en un cuadrado mágico,
o sea, que la suma de las casillas de cada fila, columna y
diagonal sea siempre la misma.
17) En estas cuentas se han borrado algunos números ¿ En cuáles podés decir con
seguridad qué números son los que se han borrado?
3
0
2
2 1
3
7
9
1
7
+
+
3 0 7
1 2
3
4
0 9
6
4
1
-
9
3
1
5
4
+ 3
1
8
6
3
3
-
6
3
1
Pág.20
8
2 4
5
5 8 9
1 2 7
5
8
5
AUTOEVALUACION
1) Sabiendo que r+a=7 y r+b= 9 calcular aplicando las propiedades conmutativa y
asociativa.
a) (5+r) +( a+b+4) + (r+r) + (a+2)
b) (7+b) +(5+a+1) +(1+b+3) +(r+2)+(r+6)+(r+4)
2) Resolver las siguientes sumas algebraicas (efectúa las cancelaciones posibles
a) 15+3-2+6-2+4-3+1+12-4-2
b)8-4+9-3+5-6+12-5+2-3-2+1
3) Suprimir paréntesis y resolver
a) (12-2)+(8-3)-(5-2+6)-(9-6)
b) (24-3)-(5-2+6)+(9-10+4)-(7-2)
4) Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y resolver
a) 18 4 3 4 1 2 3 1 =
b) 25 3 4 5 2 4 1 2 1 5 =
5) Hallar x
a)
b)
c)
d)
4+x-3=12-3
10-x+1-3=4+1-2
4 3 5 x 4 3 2 8
15 x 4 5 4 7 3 1
6) Expresar en símbolos:
a) El doble de un número aumentado en 89
b) El triple del siguiente de un número es menor que 74
c) La mitad de la suma de tres números consecutivos
d) el producto entre el duplo de un número y la tercera parte del anterior es 51
7) Si a un número se lo disminuye en 6 y luego se lo aumenta en 10 se obtiene lo mismo
que si a 24 se le suma 3 y luego se lo disminuye en 5. ¿Cuál es el número?
8) Si a un número se le suma 7 y luego se lo disminuye en 3 se obtiene lo mismo que si
a 23 se lo aumenta en 2 y luego se lo disminuye en 6. ¿Cuál es el número?
Pág.21
RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
1)
a) 34
b) 54
2)
a) 28
b) 14
3)
a) 3
b) 10
4)
a) 16
b) 16
5)
a) x= 8
b) x=5
c) x=15
d) x=13
6) a) 2x+89
b) 3.(x+1)‹ 74
c) x x 1 x 2 :2
d) 2x . x 1 : 3 =51
7) x= 18
8) x=15
Pág.22
Pág.23
INTRODUCCIÓN A NÚMEROS ENTEROS
Cuando utilizamos conceptos como arriba, abajo, antes, después, a la derecha o a
la izquierda, debe establecerse una referencia a partir de la cual se está arriba, abajo,
antes o después, a la derecha o a la izquierda.
Son puntos de referencia, por ejemplo el nivel del mar, la planta baja de un
edificio, el nacimiento de Cristo, kilómetro 0, etc.
En situaciones en las que se fija un punto de referencia, como el nivel del mar,
se hace necesario anteponer un signo al número considerado: si la posición es por
encima del nivel del mar se antepone el signo +, y si es por debajo el signo –
El registro de temperaturas sobre y bajo cero, la notación de ganancias y
pérdidas, los puntos a favor o en contra, son ejemplos de situaciones en las que se usan
números enteros..
Si un número está precedido por un signo +, es mayor que 0 y es un número
natural o entero positivo.
Si está precedido por un signo -, es menor que 0 y es un número entero negativoEl 0 es un número entero que no es ni positivo ni negativo.
1) Completar el cuadro con el número entero correspondiente
El termómetro marca 3 grados bajo 0
Una caverna se encuentra a un profundidad
de 200 m bajo el nivel del mar
Paula tiene $ 30
La cumbre del Aconcagua alcanza 6959
metros de altura
Claudia debe $ 10
La empresa tiene una pérdida de $ 1200
El punto de ebullición del agua es 100° C
El Titanic está hundido a una profundidad de
4000m
El ascensor se encuentra en el 5° piso
Alejandro Magno murió 323 años antes de
Cristo
Pág.24
2) Un alumno ha obtenido las siguientes calificaciones
Lengua: 2
Matemática:7
Música : 5
Ingles: 6
Geografía: 8
Biología: 8
Historia: 10
ED. Civica: 4
Si la nota de aprobación es 6 asignar a cada nota un número entero que indique cuántos
puntos más o menos obtuvo con respecto de la nota de aprobación :
Lengua:
Matemática:
Música :
Ingles:
Geografía:
Biología:
Historia:
ED. Civica:
3)Una mariposa está volando a 20 metros sobre el nivel del mar y un pez está
nadando a 20 metros de profundidad.
Por lo tanto los dos se encuentran a la misma distancia del nivel del mar, pero uno está a
+20 m y el otro a –20m.
Decimos que estos números son simétricos respecto del 0 y se llaman números
opuestos.
Llamamos módulo de un número a la distancia de ese número al 0 ( referencia)
-20= 20
+20=20
El módulo también se llama valor absoluto
5) Averigua la altura aproximada del Monte Everest y la profundidad de la fosa de las
Marianas.
a) Escribe cada dato con un número entero
b) Sabiendo que el monte Everest es la montaña más alta y que la fosa de las Mariana
es la más profunda. ¿Dónde encuentras en nuestro planeta los mayores valores
absolutos, en las alturas o en las profundidades?
2) En esta recta numérica se han marcado solo el 3 y su opuesto el –3
-3
3
¿Cómo hay que hacer para ubicar el 0 y el 1 en esta recta numérica?
6) Ubicar en una recta numérica todos los números enteros que se encuentren entre el –4
y su opuesto inclusive. Luego responde:
a) ¿ Cuáles de los números que marcaron son naturales?
Pág.25
b)
c)
d)
e)
¿Cuáles son enteros?
¿Cuántos números enteros hay entre –3 y el 2?
¿Cuántos números enteros hay entre el –3 y el –2?
¿Cuáles son el anterior y el siguiente del 0?
7) Completar el cuadro
Número
n
12
Siguiente
n+1
Anterior
n-1
Opuesto
-n
Valor absoluto
n
-2
5
-25
8) Indicar cuántos números enteros cumplen la condición que se pide en cada caso para
n y cuando sea posible, enumerarlos
a) n= 4
b)n 3
c)n=0
d) n 5
e) n 5
f)n-3
SUMA ALGEBRAICA DE NÚMEROS ENTEROS
1) Lucía, Guido y Patricio ,están jugando al chinchón con las cartas españolas. Aunque
seguramente ya conoces el juego, a continuación escribiremos los puntajes con
algunas modificaciones:
Al que corta sin cartas sobrantes se le descuentan 10 puntos
Al que corta y se queda con una carta menor que cinco se le descuenta ese número
en el puntaje.
Al resto de los jugadores se les suma el total de las cartas con las que no hicieron
juego, según el valor de cada carta.
Gana el que tiene menos puntaje
El juego finaliza cuando algún jugador supera los 50 puntos.
COMIENZA EL JUEGO
a) Cortó Guido y se quedo con el 3 de basto: -3
Lucía se quedó con el dos de copas y el tres de espadas: +5
Patricio se queda con el caballo de oro y ocho de bastos: +19
b) Cortó Patricio y se quedó con el cuatro de copas ..............
Guido se quedó con el siete de oro:....................
Lucía se quedó con el as de copas as de espadas y dos de oro:...............
c) Cortó Lucía sin cartas sobrantes:................
Guido se quedó con tres de oro y as de bastos:.................
Pág.26
Patricio se quedó con tres de oro dos de copa.................
d) Cortó Lucía y se quedó con cuatro de espadas:...............
Guido se quedó con cinco de copa y nueve de basto:...............
Patricio se quedó con tres de oro y dos de copa:.................
e) Cortó Patricio sin cartas sobrantes:....................
Guido se quedó con ocho de oro, rey de copa y nueve de basto.................
Lucía se quedó con dos de espadas:.....................
¿Quién ganó?................................. ¿Con qué puntaje?..................
Vuelca cada jugada en el cuadro siguiente, guíate con el ejemplo
GUIDO
0
-3
..............
-3
+7
......
+4
+4
...............
LUCIA
0
+5
...............
+5
PATRICIO
0
+19
...........
..............
................
Pág.27
2) Describimos el viaje en ascensor de distintas personas en un edificio que tiene 8
pisos y 4 subsuelos.
Completa las oraciones de manera que tenga sentido y simboliza cada una de ellas
completando el cuadro
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sube en el 2° piso, viaja 3 pisos hacia arriba y baja en..........................................
Sube en el 1° subsuelo................................................................baja en el 5° piso
Sube en el 4° piso, viaja 8 pisos hacia abajo y baja en ...............................................
Sube en el............................, viaja 2 pisos hacia arriba y baja en el 1° subsuelo.
Sube en el 1° subsuelo, viaja......................................y baja en el 4° subsuelo.
Sube en el......................................................., viaja 3 pisos hacia abajo y baja en el
2° piso
g) Sube en el 3° subsuelo, viaja............................................................Y baja en planta
baja
h) Sube en el ......................................................., viaja 6 pisos hacia abajo y baja en el
3° subsuelo
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
SUBE
+2
VIAJA
+3
BAJA
Expresar cada situación como una suma de números enteros.
¿Qué conclusión puedes sacar?
1) Al sumar dos números enteros del mismo signo se obtiene otro número entero
con el mismo signo que los sumandos cuyo valor absoluto es la suma de los
valores absolutos de los número dados
(-3) +(-5) = -8
(+6)+(+5) = +11
2) Al sumar números enteros de distinto signo se obtiene otro número entero cuyo
valor absoluto es la resta de los valores absolutos de los números dados y cuyo
signo coincide con el del término que tenga mayor valor absoluto
(+9)+(-2)= +7
(-18) + (+4) = -14
Resta de números enteros: Es lo mismo que sumar el opuesto del sustraendo
(+8)- (-5) = 8+ (+5)= 13
-10-(+6) =-10+(-6) =4
Supresión de paréntesis:
Pág.28
3) Todo paréntesis precedido por el signo + puede suprimirse dejando todos los
términos que están dentro de él con sus respectivos signos.
4) Todo paréntesis precedido por un signo menos puede suprimirse cambiando los
signos de todos los términos que estén dentro de él
Supresión de paréntesis corchetes y llaves
Se suprimen primero los paréntesis, después los corchetes y por último las llaves y
luego se resuelve la suma algebraica que queda. Es conveniente efectuar todas las
cancelaciones posibles y luego a la suma de los números positivos se le resta la suma de
los números negativos
Resolver las siguientes operaciones
1) Sumar
a)( + 5 ) + ( + 3 ) =
b)( - 8 ) + ( - 5 ) =
c) ( - 3 ) + ( + 9 ) =
d) (- 2 ) + ( - 15) =
e)( - 1 ) + ( + 7 ) =
f) ( - 5 ) + ( + 0 ) =
g) ( - 5 ) + ( + 5 ) =
h)) ( - 4 ) + ( - 4 ) =
a)( + 5 ) - ( + 3 ) =
b) ( - 8 ) - ( - 5 ) =
c) ( - 3 ) - ( + 9 ) =
d) ( - 2 ) - ( - 15 ) =
e)( - 1 ) - ( + 7 ) =
f) ( - 8 ) - ( + 0 ) =
2) Restar
g) ( - 5 ) - ( + 5 ) =
h) ( - 4 ) - ( - 4 ) =
3) Expresar cada una de las siguientes situaciones con una suma y resolverla:
a) Le debía 5 pesos a mi hermano y mi abuela me regaló 10 pesos. ¿Cuánto dinero
tengo?
b) La temperatura era de 2° bajo cero y descendió 3 ° más. ¿Qué temperatura hay?
c) El mes pasado encontré $4 pero ayer perdí $ 2.¿Cuánto dinero tengo?
d) Nació en el año 123 a.c. y vivió 67 años. ¿En qué año murió?
e) El submarino navegaba a 100 m bajo el nivel del mar, descendió 50 m más y luego
subió 80 m. ¿Dónde está ubicado actualmente.?
4)Sabiendo que a – b = 27 calcular:
a)
b)
c)
d)
a – ( b + 2)
a-(4+b)
(3 –b) + ( 2 + a)
( a –b) – ( b -a)
5)Contestar en cada caso V o F según corresponda Justificar
Pág.29
a)
b)
c)
d)
e)
Si a 0 y a+b = 0 entonces a y b son opuestos.
Si a+ b 0 entonces a y b son positivos.
Si a – b = 0 entonces a y b son opuestos.
Si a0 y b 0 entonces a + b 0
Si ab entonces a b
6) Sabiendo que a = -3 b= 5 c= -1
efectuar
a)
b)
c)
d)
a–b+c
-a – b – c
a + b -c
b- a – c
7) Completar la tabla con la amplitud térmica en una ciudad para cada día de la semana
pasada
Mínima
Máxima
Amplitud
termica
Lunes
-2°
5°
Martes
-4°
1°
miércoles
-6°
2°
Jueves
-3°
5°
viernes
-5°
2°
8) Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y resolver
a) - 30 + 8 - ( - 5 ) + 1 - 5 - ( -3 ) + ( - 7 ) =
Rta : - 25
b) - 4 + ( - 2 + 1 ) + 5 - [ 3 - ( 1 - 2 ) + 4 ] + 1 - 2 =
Rta : - 9
c) - 19 + ( - 4 ) - ( - 8 ) + ( - 13 ) - ( - 12 ) + 4 - 57 =
Rta : - 69
d) 3 - [ - 2 + 1 - ( 4 - 5 - 7 ) ] - 2 + [ - 3 - ( 5 - 6 - 1 ) + 2 ] =
Rta : - 5
e) - 8 + ( - 2 ) - ( - 10 ) - 2 + 5 =
Rta : 3
f) ( 3 - 8 ) + ( - 5 - 2 ) - ( -9 + 1 ) - ( 7 - 5 ) =
Rta : - 6
g) - [ 12 + ( - 3 ) ] - ( - 4 ) - 5 + 6 - ( - 4 ) =
Rta : 0
h) 5 + [ 2 - ( 4 + 5 - 3 ) + 6 ] - 1 - ( 3 + 5 ) =
Rta : - 2
i) 10 - [ - 2 + ( - 3 - 4 - 1 ) + 1 - ( - 4 - 2 + 3 - 1 ) - 4 ] =
Rta : 19
j) ( - 6 + 4 ) - { 4 - [ 3 - ( 8 + 9 - 2 ) - 7 ] - 35 + ( 4 + 8 - 15 ) } =
Rta : 13
k) - 6 - { - 4 - [ - 3 - ( 1 - 6 ) + 5 ] - 8 } - 9 =
Rta : 4
l) - 3 + { - 5 - [ - 6 + ( 4 - 3 ) - ( 1 - 2 ) ] - 5 } =
Rta : - 9
m) - ( 9 - 15 + 2 ) + { - 6 + [ 4 - 1 + ( 12 - 9 ) + 7 ] } - 3 =
Rta : 8
Pág.30
Pág.31
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
¿Qué ocurrirá con los signos si multiplicás números enteros?
Veamos algunos ejemplos.
En cuestiones de dinero, una ganancia se representa con un número positivo y una
pérdida con un número negativo, el tiempo futuro con un número positivo y el pasado
con un número negativo..
Por ejemplo:
Hace 3 días: -3
3 días después: +3
Ahora podemos usar los números enteros para calcular el aumento o disminución de la
riqueza de un hombre
Si gana $5 cada día, tres días después será: (+5) . (+3) = +15 $ 15 más rico
Si pierde $5 al día, tres días después será : (-5) . (+3) = -15
$15 más pobre
Si gana $5 por día, entonces 3 días antes era: (+5) . (-3) =........
..............
Si pierde $5 al día, hace tres días era:.....................
...........................
Otro ejemplo
Un barril de aceite se desagota a razón de 8 cm por hora
Dentro de 3 horas el nivel alcanzado será : (+3) . (-8) = -24
24 cm más abajo
Hace 5 horas el nivel era:................................................
.......................
Saca tus conclusiones .¿ Cuál será la regla de los signos de la multiplicación?
+ .+ =
+.-=
-.+=
-.-=
Para determinar el signo en un producto de varios números entero, como de cada dos
factores negativos, resulta un signo +:
Si hay un número par de factores negativos, el producto es positivo.
En caso contrario ( impar) el producto es negativo.
DIVISIÖN DE NÜMEROS ENTEROS
Se está desagotando una pileta de natación. En 4 horas el nivel del agua descendió 56
cm. ¡Cuánto desciende por hora?
Si llamamos x a la incógnita resulta
4 . x = -56
x = -56......
x =..............
Pág.32
Para resolver la ecuación efectuamos la operación inversa de la multiplicación que es
la...................
Como el resultado indica un descenso, se expresa mediante un número.....................
La respuesta del problema es....................
Para la división se aplica la misma regla de los signos que en la multiplicación
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Propiedad
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Elemento absorbente
Prop. distributiva
¿Se cumple en la
multiplicación?
Si.
-3.4= 4.(-3)
-12= -12
a.b=b.a
Si
(4).2.(5) (4).2.(5)
(-8).(-5) = (-4).(-10)
-40=-40
(a.b).c = a.(b.c)
Si el 1
-5.1= -5
a.1= a
Si el 0
9.0= 0
a.0=0
Si
(-4+3-2).(-2)=
-4.(-2)+3.(-2)-2.(-2)=
8+(-6)-(-4)=
8-6+4=6
(a+b-c) .d= a.d+b.d-c.d
1) Calcula los siguientes productos
Pág.33
¿De cumple en la división?
No
10: (-2)≠ (-2) :10
-5 ≠ -0,2
a:b≠b:a
No
(8) : (4) : 2 (8) : 4 : 2
2:2≠(-8) : (-2)
1≠ 4
(a:b):c≠ a:(b:c)
Solo como divisor
4:1=4
a:1=a
Solo el dividendo: el
0:8= 0
0:a= 0
La división por 0 no tiene
solución
Solo a derecha
(8-4) :2= 8:2-4:2
4:2=4-2
2=2
(a+b).c= a.c+b.c
10:(5+5)≠10:5+10:5
10:10≠2+2
1≠4
a: (b+c)≠a:b+a:c
a) ( - 8 ).( - 3 ) =
b) ( + 12 ) . (+ 2 ) =
d) (+ 13 ) . ( - 3 ) =
e) ( - 25 ) . ( - 5 ) =
c) ( - 7 ) . ( + 4 ) =
2) Calcula los siguientes cocientes
a)( - 21 ) : ( - 7 ) =
b) ( + 15 ) : ( + 3 ) =
d)( + 63 ) : ( - 9 ) =
e) ( - 12 ) : ( - 6 ) =
c) ( - 18 ) : ( + 3 ) =
3) Resuelve aplicando propiedad distributiva
a) ( - 12 + 24 - 18 ) : ( - 6 ) =
b) ( - 3 ). ( 6 - 8 + 4 - 3 ) =
c) ( 45 - 18 + 81 ): ( - 9 ) =
d) ( 12 - 7 - 8 + 1 ) . ( - 2 ) =
e) ( - 35 - 42 - 63 ) : ( + 7 ) =
f) ( + 4 ) . ( - 8 + 5 - 6 +2 ) =
g) ( - 72 + 24 - 48 - 12 ) : ( + 12 ) =
h) ( - 6 + 4 - 3 - 5 ) .( - 10 ) =
i) (x+5).(x-3)
j) (a+3).(a-3)
k) (x-8).(x-2)
4)Completar las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas
a)
b)
c)
d)
Si a.b = -12 y a=3 Entonces b = ......
Si a:b = 4 y a=-20 entonces b=.......
Si a.b = 0 y a = -7 entonces b = .......
Si a: b= -1 y a=8 entonces b=......
5) Indicar si cada una de las siguientes afirmaciones son V o F
a) El producto de dos números enteros a y b es igual al producto entre el opuesto de a y
el opuesto de b.
b) Si a un número entero se lo multiplica por ( -1) se obtiene su opuesto
c) Siempre que se multiplica un número entero a por (-1) se obtiene otro número
entero que es menor que a.
d) Siempre que se multiplica un número entero b por 2 se obtiene otro número entero
que es mayor que b
6) Escribir en cada caso una división cuyo resultado sea un número entero que cumpla
la condición indicada y resolverla.
Pág.34
a)
b)
c)
d)
El dividendo es mayor que el divisor.
El dividendo es menor que el divisor.
El cociente es –1.
El divisor y el cociente son iguales
7) Completar la siguiente tabla ( efectuar las operaciones)
a b c
-2 8 -6
a–b+c
( a + c). b
( a + b) : c
a.b-c
-5 -3 2
-4 8
4
8) Resolver las siguientes operaciones ( no te olvides de separar en términos)
a) ( + 5 ) . ( - 12 ) : ( + 4 ) =
Rta: - 15
b) ( - 15 ) . ( - 2 ) : [ ( + 3 ) . ( + 2 )] =
Rta: 5
c) ( - 3 ) . ( + 2 ) . ( - 4 ) : ( - 6 ) =
Rta: - 4
d ) ( - 2 + 7 ) . ( - 3 - 1 ) : ( - 2 ) - (- 3). (- 2)=
Rta: 4
e) ( -10 - 2 . 4 ) : ( - 2 - 1 ) + ( - 6 ) : ( - 3 ) - ( - 1 )=
Rta: 9
f) ( - 24 ) : ( - 7 + 1 ) - ( -4 -2 . 3 + 1 ) =
Rta: 13
g) ( - 5 ) - ( + 4 ) :[ ( - 2 ) - ( - 3 ) ] =
Rta: - 9
h) ( + 4 ) - [ ( - 15 ) : ( + 3 ) ] + ( - 4 ) . ( - 2 ) =
Rta: 17
9) Separar en términos y resolver
Pág.35
a) ( - 2 - 3 + 4 ). 5 - 9 . ( - 2 - 6 ) =
Rta: 67
b) ( - 5 - 10 - 32 ) . ( 4 - 8 - 16 ) =
Rta: 940
c) - 2 + 3 . 5 - 7 . ( - 3 + 2 - 8 ) - 4 =
Rta: 72
d) ( 2 - 10 ) . ( 6 - 3 ) - ( - 8 - 2 ) . ( - 9 - 7 ) =
Rta : - 184
e) 15 + 16. 2 - 3 . ( 5 . 2 + 4 - 3 . 2 ) - [ 2 + 2 . ( - 2 ) - 9 ] . ( - 5 ) =
Rta : - 32
f) 10 - ( - 2 - 1 + 5 . 3 ) . [ - 4 + 1 . ( - 1 ) ] + 8 + 4 . ( - 2 ) =
Rta: 70
g) - 10 - 4 . ( - 3 ) + 15 : ( - 3) + ( - 8 ) =
Rta: -11
h) ( 4 - 8 ) : ( - 2 ) - ( -27)+ (-15).3=
Rta: - 16
i) 3 . ( - 5 ) + 8 : 2 - 9 : 3 + 4 =
Rta: - 10
j) 3. [ ( - 25 ) : 5 + ( 8 - 4 : 2 ) ] - 11 =
Rta: - 8
k) - [ 45 : ( - 5 ) + 3. ( 7 - 2 ) ] + 8 =
Rta: 2
l) 17 - ( - 4 ) . 5 + 18 : ( - 9 ) - 18 =
Rta: 17
ll) [ 15 - ( - 3 ) . 4 ] . ( - 2 ) - 8 . ( - 4 ) + 1 =
Rta: - 21
m) - [ 4 - ( - 2 ) . 5 ] + 1 . ( -1 ) - 18 =
Rta: - 33
n) 7 + 8 : ( - 4 ) - [ 4 + ( - 12) : 4 ] =
Rta: 4
ñ) ( -4 + 5 ) : ( - 1 ) + 3 - 21 : ( - 7 ) : 3 -[ - 11 . ( - 2 ) - 19] =
Rta: 0
0) ( - 24 ) : ( - 6 ) - { 8 : ( -4 ) - ( - 2 - 3 )} . 2 + 1 =
Rta: - 1
p) ( - 3 ) + 3. ( - 4 + 5 ) - 5 .[ - 2 + 7 . ( - 1 ) + 9 ] =
Rta: 0
q) ( - 1 - 8 ) : ( - 3 ) + ( 9 - 2 . 5 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) =
Rta : -1
r) 3 · (2 + 5) – 6 · 5 + 2 · (3 – 4) – (6 – 8) =
Rta: -9
s)1 – [6 · (2 + 3) – (4 + 1) · 2] · 2 =
Rta : -39
t)4 + 7 · (4 + 5) – 8 · (9 – 7) + (–7 – 2) =
Rta: 42
u)3 + 2 · 3 · ( 4 · 2) – ( 6 – 7) – 2 · 4 · (–1) =
Rta. 60
v)2 – [3 – (2 – 5) · 3 + 2 · (1 – 3) · (–2)] + 5 =
Rta :-13
w) – 5 · {2 – 3 · [–4 + 2 · (5 – 4) · (–1)] · (–1)} · (–1) =
Rta :-80
x)– [4 + (2 – 5) · 2 – 6 · 3 + (6 – 2)] · (–1) + 5 · (–3 – 2) =
Rta :-41
y) – {2 – [3 · (4 – 5) · 2 – 3] · 2} · (–2) =
Rta :40
z)2 · {2 · [–2 · (–5 + 4) · 2] + 1 } · (–2) =
Rta:-36
10) Resolver las siguientes ecuaciones
a) x+8-2=12-2
x= 4
Pág.36
b) 12-3+1=4+x-2-3
x=11
c) 15-x+3-3-2=5-3
x=11
d) 4-1+3=12-x+6-1-2
x=9
e) 9-2+10=34+x-1-3
x= -13
f) 12-x+2=5-1+2
x= 8
g) 15-2+3-4= x+1-5-4
x= 20
h) -9-(-3)+(-8)=5+x-(-2)
x= -21
i) x+(-8-2)= -6-(-5)+4
x=5
j) -6-(x-4) = 5+2+(-6)
x= -3
k) 8+(x-2)-(-5) = -6+(-2)+10
x= -9
l) -2+ 4 x (1) 2 2 (1)
x= 2
m) -9-(2-4)=6- 3 x 2 (1)
x= -9
n) (5x-5):2+1=6
x= 3
o) (x:2+3).4-6= 30
x= 12
p) (3x+8):2-6=4
x=4
q)
(5x 1) : 7 2.4 4
x= 4
r) (x:4-1).5+2 =17
x= 16
s) 5x-3=2x-x+1
x=1
t) 6x-1=x+10-1
x= 2
u) 4(x-2) =2(x+1)
x= 5
v) 3(x+2-1) = 2(x-1+4)
x= 3
w) 8(x-2)+2 =6 (x-1)+4
x= 6
x) 2(x-2) -2(x+1) =3(x-3)
x= 1
y) 8:4+2(x+1)-10:5+5=9
x=1
z) 3x-12:3+2+3(x-1) = 13
x=3
aa) (6x-2.6-1+3x):2=-38
x=-7
bb) 9-8:2+3x-2(x+1)=18:3-6:3+1
x=2
cc) x:9+14:2+5=(-10):(-2)+3-3.(-2)-1
x=9
PROBLEMAS CON ECUACIONES
Plantear los siguientes enunciados como ecuación y resolver
Pág.37
1) Una persona sale de compras con cierta cantidad de dinero, gasta $19 en el almacén,
$23 en la carnicería y aún le quedan $ 35. ¿Con cuánto dinero salió? Rta: $ 77
2) Si a 19 se le suma la diferencia entre un número y 3 se obtiene lo mismo que si a –2
se le resta la suma entre –8 y 2, y luego se le suma –3 ¿ Cuál es el número? Rta.: -15
3) Si a un número se le suma la diferencia entre –8 y 2 se obtiene lo mismo que si a –6
se le resta –5 y luego se lo aumenta en 4 ¿ Cuál es el número? Rta.: 13
4) Si al doble de un número se lo aumenta en 4 y luego se halla la quinta parte de ese
resultado se obtiene 2 ¿Cuál es dicho número? Rta.: 3
5) Si a un número se lo disminuye en 6, luego se triplica ese resultado, luego se lo
aumenta en 2 y finalmente se halla la mitad de todo lo obtenido, da como resultado
10 ¿Cuál es el número? Rta.: 12
6) ¿Cuál es el número cuyo anterior es igual a la novena parte de 81? Rta.: 10
7) La suma entre un número y el doble de su consecutivo es igual a 35 ¿Cuál es el
número?. Rta.: 11
8) El doble del anterior de un número sumado a su triplo es igual a 13.¿Cuál es el
número? Rta.: 3
9) El triple de la suma de dos números consecutivos es igual a 45.¿Cuáles son los
números? Rta. : 7
10) El cuádruplo de la edad de Laura hace 2 años es igual al doble de la edad que tendrá
dentro de 10 años ¿Qué edad tiene Laura? Rta. : 14
11) La edad de Marcela es el quíntuplo de la edad de Paula. Si la suma de las edades es
78. ¿Cuál es la edad de cada una de ellas? Rta: Paula 13 y Marcela 65
12) Se distribuyen 360 figuritas en 3 paquetes. Se sabe que el segundo paquete tiene el
doble de figuritas que el primero y el tercer paquete tiene el triple de figuritas que el
segundo paquete.. ¿Cuántas figuritas fueron colocadas en cada paquete? Rta.: 40:80
y240
13) Pablo tiene 3 años menos que Ariel y Tomás tiene el doble de edad que Ariel. Si
las tres edades suman 33 años .¿Qué edad tiene cada uno? Rta.: 6,9 y 18 años
14) El perímetro de un rectángulo es 32 cm. y la base es 2 cm. mayor que la altura.
Calcular la superficie de rectángulo. Rta.: 63 cm 2
15) La base y la altura de un rectángulo miden 4x – 1 cm. y 2x + 3 cm. Si el perímetro
es 52 cm. ¿Cuál es la superficie del rectángulo? Rta.: 165 cm 2
Pág.38
16) La base y la altura de un triángulo equilátero miden 3x + 2 cm. 2x + 1 cm. Si el
perímetro es de 33 cm. ¿Cuál es la superficie del triángulo? Rta.: 38,5 cm 2
17) El perímetro de un triángulo isósceles es 30 cm. Y la base mide 3 cm. menos que
cada uno de los lados iguales. Hallar la longitud de cada lado. Rta: 11 cm y 7cm
18) Plantear y resolver las ecuaciones para hallar el perímetro de la figuras
4x-25cm
100-x cm
abc triángulo
equilátero
ab=2x+10
bc=3x+2 cm
Rta: Perimetro 78 cm
abcd rombo
Rta: Perímetro 300 cm
x + 75 cm
4x-1 cm
5x – 25cm
2x +3 cm
abcd rectángulo
Rta.: Perímetro 400 cm
Rta,:Perímetro 16 cm
Pág.39
Divisibilidad
Una ruta que une San Carlos con Costa Linda tiene 20 Km. de longitud. La Dirección
de Vialidad decidió colocar mojones indicadores de kilometraje, ¿A cuántos Km., uno
del otro, se pueden colocar los mojones si debe cumplirse que:
-
la distancia entre un mojón y otro sea siempre la misma
el número que expresa la distancia entre dos señales consecutivas sea natural
Pensemos que los mojones colocados a igual distancia “dividen” a la ruta en partes
iguales. Es evidente que una posibilidad es la de colocar mojones en cada kilómetro.
En este caso la ruta queda “dividida” en 20 partes iguales.
¿Cuáles son las otras posibilidades?....................................................................................
Los números1,….,……,…..,…..,….., son los divisores de 20
20 es divisible por1,……………………
20 es múltiplo de1,……………………
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Divisible
por
Criterio
Ejemplo
2
Un número es divisible por 2 sí es par
294-9000-2
3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es
múltiplo de 3
357
3+5+7 = 15
4
Un número es divisible por 4 cuando el número formado
por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4
2400 = 4
388 = 4
5
Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5
2700-1551875
6
Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3
12 porque
12 : 2
y 12 :3
9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es
múltiplo de 9
783 =
7+8+3=
18 es
múltiplo de
10
Un número es divisible por 10 cuando termina en 0
30 - 5000 280
100
Un número es divisible po100 cuando termina en 00
1500-800
Pág.40
Divisores de un número
Un número a es divisor de otro número b, cuando el resto de dividir b entre a es cero,
en otras palabras, cuando la división de b entre a es exacta.
Múltiplos de un número
Un número b es múltiplo de otro número a, cuando el resto de dividir b entre a es cero,
en otras palabras, cuando la división de b entre a es exacta
Pensamos
¿Cuántos múltiplos tiene un número natural?...........................
¿Cuántos múltiplos tiene el 0?.......................
¿Qué número es divisor de todos los números naturales?..................
¿Cuántos divisores tiene cada uno de los siguientes número:2,3,7,11?.............
Existe un número que tiene un solo divisor, es el número…….
Algunos números tiene solo dos divisores, se llaman números………
Algunos números tiene mías de dos divisores, se llaman números………..
Descomposición de un número en factores primos
Los números enteros compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de
números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en
factores primos.
La descomposición de un número es muy útil pues ayuda a poder calcular el máximo
común divisor o mínimo común múltiplo de varios números.
Pág.41
M.C.D. y M.C.M.
Una parte importante de la divisibilidad es la que corresponde al Máximo Común
Divisor y al Mínimo Común Múltiplo.
Definición
Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos números, es el mayor de los divisores
comunes de dichos números.
Ejemplo:
Divisores de 12 = {1,2,3,4,6,12}
Divisores de 18 = {1,2,3,6,9,18}
Divisores comunes son: {1,2,3,6}, luego M.C.D.(12,18) = 6
Definición
Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de dos números, es el menor de los múltiplos
comunes de dichos números.
Ejemplo:
Múltiplos de 12 = {12,24,36,48,60,72,84,96,108,120, ...}
Múltiplos de 18 = {18,36,58,72,90,108,126,144,162, ...}
Múltiplos comunes son: {36,72,108, ...}, luego M.C.M.(12,18)=36
M.C.M: Mínimo común múltiplo
Se descomponen estos números en sus factores primos y se efectúa el producto de los
factores primos comunes y de los factores primos no comunes con su mayor exponente.
M.C.D Máximo común divisor
Se descomponen estos números en sus factores primos y se efectúa el producto de los
factores primos comunes considerados con su menor exponente.
Pág.42
TRABAJO PRÁCTICO - DIVISIBILIDAD
Une con flechas los elementos de la primera columna que sean divisibles por los de la
segunda columna
24
12
35
85
5
3
17
6
1) Contesta verdadero o falso. Justificar.
A) La suma de dos números primos es a veces un número primo
B) El producto de dos números primos es un número primo
C) La suma de dos números impares es un número par
2) Escribe :
A) Dos números cuyo m.c.m sea 18
B) Dos números cuyo M.C.D sea 3
3) Calcula el m.c.m. y el M.C.D. de:
A) 85 y 340
B) 225 y 175
4) Un niño camina un número exacto de pasos andando 756 cm., 966 cm. y 1176 cm.
¿Cuál es la mayor longitud posible de cada paso? Rta. 42 cm
5) Tres líneas de micros hacen su recorrido entre dos ciudades, el primero cada 4
horas , el segundo cada 6 y el tercero cada 9. Si ahora salen juntos. ¿Cuándo vuelven a
coincidir las salidas? Rta: Dentro de 36 horas
6) Analizar si cada uno de estos números es divisible por 2, por 3 y por 5
a) 12
b) 24
c) 120
d) 49
e) 150
7) Proponer 3 números de 4 cifras que sean divisibles por 2 y por 5 pero no por 3
8) Proponer 3 números de 5 cifras que sean divisibles por 2 y por 3 pero no por 5
9) Proponer 3 números de 4 cifras que sean divisibles por 4 y por 6.
10)
a) Si un número es divisible por 3 y por 5. ¿Es divisible por 15? ¿Por qué?
b) Si un número es divisible por 2 y por 4. ¿Es divisible por 8?. ¿Por qué?
11) Si tengo 42 lápices, 60 biromes y 90 marcadores. ¿Cuál es la cantidad máxima de
cartucheras de igual contenido que puedo armar? ¿Cuántos lápices, biromes y
Pág.43
marcadores habrá en cada una? Rta: 6 cartucheras, 7 lápices, 10 biromes y 15
marcadores
12) El semáforo está descompuesto. La luz roja se enciende cada 96 seg. La amarilla
cada 64 seg. Y la verde cada 80 seg..
Si en este momento se encendieron las tres a la vez, indica la cantidad mínima de
minutos en que ello volverá a ocurrir. Rta: 960 minutos
13) Tres personas desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolatines entre un
cierto número de niños de modo que cada uno reciba la misma cantidad de cada cosa.
¿Cuál es el mayor número de niños que puede beneficiarse de esa forma y cuántos
libros, juguetes y chocolatines recibe cada uno?. Rta: 60 niños, 3 libros, 4 juguetes y 6
chocolatines
14) Tres personas concurren periódicamente a un club. El primero lo hace cada 36 días,
el segundo cada 20 días y el tercero cada 45 días, Si hoy se encuentran en el club.
Dentro de cuántos días será el próximo encuentro. Rta: dentro de 180 días
Resolver el siguiente crucinúmero
Horizontales
123456-
Número múltiplo de 4, 5, y 10 simultáneamente comprendido entre 9 y 21.
El mayor número primo de un dígito
Número múltiplo de 2, 3 y 4 simultáneamente , mayor que 310 y menor que 320.
Divisor impar de 40 mayor que 1.
El mayor divisor par de 20, menor que 10.
Número múltiplo de 7 y 11 simultáneamente, comprendido entre 70 y 80.
Verticales
1- El mayor número múltiplo de 2 y 4 simultáneamente comprendido entre 202 y 225
7- El número anterior impar a 95
8- El número formado por tres dígitos iguales y pares, múltiplos de 2 y 3
simultáneamente, comprendido entre 100 y 300
1
2
7
3
4
Pág.44
8
AUTOEVALUACIÓN
1) Resolver
a) 20: (-5)+(-4+2.3): (-2)- (-4+3).(-2)=
Rta.: -7
b) 9+10: (-1-1)-2.(-4)+(5-2.3).3=
Rta.:9
c) -6. (10-4.3) +25 :(-5) + (-1+3) :2=
Rta.: 8
d) 8 5 4 3.2 2 3.4 : 7.3 10 : (2)
Rta.: 1
2) Hallar x
a) 4 x 5 : 3 1.2 4
x=2
b) 4.(x-2)+2 = 2.(x+3)-4
x= 4
c)7x-4 =5x+2-6
x= 0
d) 6.(x+1)-4.(x+2) =12
x= 7
3) Si al triple de un número se lo aumenta en 4, luego se halla la mitad de ese resultado
y finalmente se lo disminuye en 1 se obtiene 7. ¿Cuál es dicho número? Rta: el número
es 4
4) La suma entre un número y el triple de su consecutivo es 23. ¿Cuál es el número?
Rta: 5
5) ¿Cuál es el número cuyo quíntuplo más su triple es igual a 32? Rta.: 4
6) El perímetro de un rectángulo es 64 cm. y la base es 4 cm. mayor que la altura.
Calcular la superficie de rectángulo. Rta.252 cm 2
7) Entre los tres primeros años de una escuela hay 97 alumnos. Si 1° B tiene dos
alumnos menos que 1° A y 1° C tiene tres alumnos más que 1° A. ¿Cuántos alumnos
hay en cada curso? Rta.: En 1º A 32 alumnos, en 1º B 30 y en 1º C 35
8) Propones dos números de 4 cifras que sean divisibles por 2 y por 3 pero no por 5.
9) Proponer dos números de tres cifras que sean divisibles por 5 y por 2 pero no por 10
10) Se desea repartir 360 diccionarios, 108 pelotas de fútbol 450 mapas entre cierta
cantidad de escuelas de modo de modo que se puedan beneficiar la mayor cantidad de
escuelas. ¿ Cual es la mayor cantidad de escuelas que se pueden beneficiar y que
cantidad de cada cosa le corresponde a cada una) Rta.: 18 escuelas,20 diccionarios, 6
pelotas 25 mapas
Pág.45
POTENCIACIÓN
1) Diego llegó a la 8 de la mañana a la estación de su pueblo. Allí se encontró con tres
amigos a quienes contó una noticia. A los 10 minutos cada uno de los 3 amigos contó la
noticia a tres 3 y este mecanismo se fue repitiendo. ¿Cuántas personas recibieron la
noticia a las 8 y 30 de la mañana?
8hs… 3.. personas
8 y 10…… personas
8 y 20……. personas
¿Qué operación tuviste que realizar?
Así como la multiplicación es una suma de sumandos iguales
3.4= 3+3+3+3
La potenciación es una multiplicación de factores iguales
25 2.2.2.2.2
En símbolos
a n a.a.a....a
n veces
donde a se llama base y n se llama exponente.
Las potencias con exponente par dan siempre como resultado números positivos:
EJEMPLO:
Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo signo es
igual al de la base.
EJEMPLO:
Todo número elevado al exponente o siempre da 1
70 1
(5) 0 1
2) Resolver
a) 5
c) 1
b) 3 4 =
d) 6 3 =
3
7
g) 9
2
e) 2 6 =
f) 2
5
h) 1
20
i) 8
0
j) 35
3) Juan debe revocar una pared de su habitación. Esta pared es cuadrada y tiene 4m de
lado. Va a la ferretería y le pregunta al ferretero cuanta mezcla le hace falta. El ferretero
le contesta que con 1 kg cubre una superficie de 1m por 1m. Juan pide 4 kg.de mezcla
a).¿Es correcto el pedido de Juan?.¿Por qué?
Pág.46
b) ¿Cuántos kg necesitaría si la pared fuera de 3m por 3m?
c) Una vez revocada la pared, Juan quiere pintar la habitación. Tiene pintura en una lata
vieja que no tiene indicada la capacidad y como desea hacer un cálculo de lo que va a
gastar, la traspasa a un cubo de 1 dm de arista por que sabe que allí cabe 1 litro de
líquido.
c.1)¿Cuantos litros caben en un cubo de 2m de arista?
c.2) ¿Y en uno de 3 dm de arista?
4) Resuelve las operaciones indicadas en cada caso y completa con = o≠ según
corresponda
a) 2.3 .........2 2.32
b) 4 : 2 ........4 2 : 2 2
c) 5 2 .........5 2 2 2
d) 6 4 ........6 2 4 2
2
2
2
2
¿Cuáles son las conclusiones?
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
a) La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la
DIVISION.
a.bn a n .b n
a : bn a n : b n
b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
a bn a n b n
a bn a n b n
5) Resolver las operaciones indicadas y completar con = o ≠ según corresponda
3
a) 23.2.2 2........2 6
c) 34 : 3......33
e) 2 2 ......2 6
b) 43.4 2........45
d) 53 : 5 2......5
f) 53 ......50
¿Cuáles son las conclusiones?
Pág.47
0
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE IGUAL BASE:
a) Cuando se MULTIPLICAN se obtiene otra potencia con la misma base cuyo
exponente es la SUMA de los exponentes dados
a m .a n a m n
b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se obiene otra potencia con la
misma base cuyo exponente es la RESTA de los exponentes dados.
a m : b n a mn
c) Si una potencia está elevada a otro número , se obtiene otra potencia con la
misma base cuyo exponente es la MULTIPLICACIÓN de los exponentes dados
a
m n
a mn
6) Aplicar las propiedades de las potencias de igual base
4 2
a) x 5 .x 3 .x
f) a 3
b) a 7 : a 2
g) x 2 x 4 .x
c) b 5 .b 2 .b.b 6
d) y 9 : y
e) b 3
2
h) a : a
i) b .b : b
j) a : a .a
3
4 2
2
3 2
3 2
Pág.48
5
7
5
2
2 4
RADICACIÓN
Don Carlos desea alambrar un campo que le ha comprado a un amigo y cuenta con
escasa información: sabe que es de forma cuadrada y que tiene 100 m 2 de área. ¿Lo
ayudamos a calcular cuánto alambre necesita?
l 2 100m 2
Por lo tanto debemos buscar un número que elevado al cuadrado dé 100.
Ese número es……
Luego la longitud del lado es……m y Don Carlos necesitará ……m de alambre.
La operación que utilizamos para resolver el problema se llama radicación.
Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que
elevado al índice me de por resultado el radicando.
REGLAS DE LOS SIGNOS DE LA RADICACIÓN
a) Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene
dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado
positivo.
EJEMPLO:
b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.
EJEMPLO:
Pág.49
PROPIEDADES DE LA RADICACION:
1)
a) ES DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.
EJEMPLOS:
b) NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
EJEMPLOS:
16 9 16 9
25 4 3
57
25 16 25 16
9 54
31
Pág.50
2) Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.
EJEMPLO:
EJERCITACIÓN POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
1) Indicar en cada caso verdadero o falso. Justificar
a) a 2 .a 5 .a a 7
5
b) a.b a 5 .b 5
c)
x y 2 x 2 y 2
2 16
33 27
4
d)
e)
f) x 6 : x 2 x 4
g)
h)
i) a b a b
j) 5 a.b 5 a .5 b
k) 3
5
x 8 x
l) 4 a b 4 a 4 b
m) 2
2 5
210
n) 6 1
0
a b3 a 3 b 3
x : y 4 x 4 : y 4
ñ) x : y x : y
o) 4 2
2) Resolver las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias de
igual base.
2
a)
5
2 .2 .2
3
4
: 2 3 . 2 2 .2
3
4
2
5 .5 .5 .5
c)
5 : 5 .5
2
3
=
4
2
4
3 2
2
4.4 .4 .4
d) 4 : 4 .4.4
3
2
3 .3 .3
b)
3 : 3 .3
2 4
7
2 2
4 3
2
2 2
=
=
5
Pág.51
2
3 2
2 2
2
3) Resolver las siguientes operaciones
a) 5 32 : 2 5 2.3 .3 8 100 :3 125 =
0
Rta: 6
9.3. 1 3 64 : 2 2 1 1
4
3
b)
2
2
2
Rta: 14
c) 4 2
. 8. 2 2.4 7 . 25 5
Rta: 28
d) 3 32.3 7 1 : 2 2 20 : 219 3 1
Rta: -3
4
7
2
25 9 . 3
3
2. 5 1 3
f) 1 8 : 2 :
2
3
g)
2
64 . 8 2.5 3
e) 3
0
Rta:10
5
4 .9 1
Rta:4
8 5 32 : 2 6 : 2 100 : 4 1
2
Rta: -4
h) 3 4. 32 16 1 9 : 4
Rta: -3
i)2 3 - 3 2 5 0 2 2 1 =
Rta: 10
20 22 . 33 43 1
j)
=
Rta: 5
k) 2. 4 2 : 4 2 5. 3 3 . 34 4 3 4 2
3
5
2
l)- 1 2 2 5 2 2 2
3
3
Rta: 10
Rta: -2
52 .23 7. 23 3 5.2 2 =
Rta:5
n)
9 1 3 8. 121 3 1 . 2 . 1 =
3
4
3
5
ñ) 2 3
. 1 . 4 3 6 4 : 2
4
=
3
10 2 2. 10 1
2
m)
4
Rta:13
4 2 32 1 =
5
Rta: -6
o) 3 2 2 3
. 2 5 32.3 8.3 27 7 4
. 2 =
Rta:10
p) 3 10 2 5 3
Rta:5
3
2
2
q) 3
27
3
r) 5
64
49 4 1 =
9
10 2 8 2 : 3 2 : 4 400 =
4
2
49 36 10 2 5.2 3 2 2 8 10 =
2
s) 2. 8 514 : 512 2 3
2
: 25
9 1. 2 =
Pág.52
Rta: - 20
Rta: 7
Rta:31
4) Resolver las siguientes ecuaciones
a)
x 22 6 10
x= 2
b)
x 3.5 1 11
x= 1
c)
d)
e)
x
4
6 .2 3 8
x= 2
2
x 2 9 40
x= 25
x 1.3 1 : 5 1
x=3
16 x 2 1 9 x 5
2
f)
3
2
x= -22
g) 4x- 4 1 2 x 3 27
2
x=3
h)
36 x 4 16 3 2 x 3 8 1
x= 2
i)
9.x 2 1 3 8.x 3 25 4
x= - 10
j)
25.x 2 2 4 9.x 2 10
x=-50
k)
4.x 1 3 3 27.x 2 81
x=-4
0
2
4
2
2
2
m) X+ 5. 2 9 1 8 : 4 5
n) 4- 1 4 x 6 : 2 15
. 4 15 1 2 3
o) -x+ 1 2 2
x 2.2 7 6 2 3.5 8 11: 3
p)
l)
x 3 9 10
. 4
2
3
2
3
3
2
3
3
2
3
q) (x+4).(x-4) = x 2 x 18
x= 64
x= 3
x= -15
x= 8
x= 7
x= 34
r)
x 32 x 2 21
x=2
s)
x 42 x 2 40
x=3
t)
x 2 1 . 2 100 6 2 2 .5
u)
v)
w)
2
3
2
2
x 2 2 : 3 1 3
2
x
3
3
25 9
x=4
x=5
1 : 7 3 125 100 81 3 400 14
8x 4 : 3 2 5 : 5 2. 1
0
2
8 .2
2
Pág.53
x=3
x=5
AUTOEVALUACION
1) Resolver:
36 : 6 3. 4 3 4 .8 2.3 214 : 212
2
a)
0
3
b) 3 : 9 3 10 2 5 . 2 2.4 1 . 1
3
2
2 5
2
c) 25 33 16 : 3.4 2 9 1 3 27
2
2
3
d) 36 1 .2 27 : 3 4 5 7.2.5
Rta.: -9
Rta.:-40
Rta.: 4
Rta.: -11
2) Hallar x
a) [3 x 1.32 6] : 2 15
x = 65
b) 2 .x 1 4 36.x 2 32
3
5
c) 25. 2 2 2.x 4 3 3x 6 : 2
2
d)
4
x 25 1 9
2
3 8.7 32
x= 8
x= -22
x= 4
3) Resolver aplicando las propiedades de potencias de igual base
a)
3 .3 .3
3 : 3 .3 .3
b)
2 .2 : 2.2
2 .2 .2
2 4
3
4 3
6
2 5
3 3
2 2
2 6
4
Rta.: 3
5
2
Rta.: 2
2 2
4)
Si a la raíz cuadrada de un número se la aumenta en dos, ese resultado se lo eleva al
cuadrado, luego se lo disminuye en 5 y finalmente se halla la mitad de ese resultado
se obtiene 10. ¿Cuál el número?
X=9
5)
Si al cuadrado de dos se lo multiplica por el siguiente de un número se obtiene lo
mismo que si a la raíz cúbica de ocho se la multiplica por el anterior de dicho
número.¿Cuál es el número?
X= -3
Pág.54
Pág.55
Pág.56
NÚMEROS RACIONALES
a
, de tal modo que b no sea igual a cero.
b
a
Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma se llama número racional. El
b
Una fracción es un número escrito en la forma
numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a. El denominador
es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b. El denominador indica en
cuántas partes iguales se ha dividido la unidad, y el numerador indica cuántas se han tomado.
Ejemplo: en la fracción 3 ; el numerador es el 3 y el denominador es el 4.
4
1-
Tomar una hoja de carpeta, doblarla por la mitad, otra vez por la mitad, otra vez por la
mitad y una vez más por la mitad. Colorear la parte que quedó.
Antes de abrir el papel ¿podrías decir qué parte del papel quedó coloreada?
2a)
Indicar en los siguientes esquemas a qué fracción de la hoja corresponde cada uno:
b)
c)
___
d)
___
e)
___
g)
f)
___
h)
___
3-
___
¿Cuánto es 1 de 1_? ………….
2
4
1 1
¿Cuánto es ? ………….
2 4
¿Cuánto es 1 de 1_? ………….
2
8
___
i)
___
___
1 1
? ………….
2 8
1 1
¿Cuánto es ? ………….
2 2
¿Cuánto es
¿Cuánto es 1 de 1_? ………….
8
4
Pág.57
¿Cuánto es
4-
¿Cuánto es 1 de 1_? ………….
4
4
1
1
? ………….
8 16
¿Podemos escribir
1
de otras 3 maneras observando tu hoja desdoblada?
2
1
= -------- = ---------- = -----------2
5-
¿Podemos hacer lo mismo con la fracción
3
?
4
3
= -------- = --------- = -------4
6-
Repartir 2 chocolatines entre 2 chicos es sencillo, pero ¿cómo repartimos 2 chocolatines
entre 3 personas? Hacer un esquema que muestre cómo las repartirías y explicarlo.
Sugerencia: podemos dividir cada chocolate en tres partes iguales usando la regla ¿y luego?
…………………………………………………………………………………………………
¿Podrías expresar el resultado utilizando una fracción?.........................¿cuál es? : _____
7-
¿ Y si repartimos 4 chocolates entre 5 chicos?
Explicar cómo podemos hacerlo:…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Pág.58
¿Qué fracción de 1 chocolate le corresponde a cada chico?
8-
1º chico:
3º chico:
2º chico:
4º chico:
5º chico:
Vamos a representar fracciones sobre la recta numérica:
a) Medimos el siguiente segmento, lo dividimos en 10 partes iguales y determinamos
su punto medio m.
A sus extremos le asignamos los valores 0 y 1.
¿Qué fracción corresponde al punto m?............................
b) Tomamos los puntos medios de los dos segmentos obtenidos en a), los llamamos a y
b ¿qué fracción corresponde ahora a cada uno de los cinco puntos destacados?
…..
…..
…..
…..
…..
…..
c) Ubicar los puntos medios de los cuatro segmentos obtenidos en b) ¿qué fracción
corresponde a cada uno de esos puntos?
…..
…..
…..
…..
¿Cómo se representa una fracción en la recta numérica?
5
Vamos a representar, por ejemplo, .
8
El denominador de una fracción nos indica en cuántas partes iguales se debe dividir la
distancia que hay en la recta numérica entre un número entero y otro.(en nuestro
1
ejemplo, serán 8 divisiones entre el 0 y el 1). Luego, cada parte representa . Sólo nos
8
queda contar 5 partes para llegar a los
0
,
5
8
,
,
,
,
,
,
,
1
,
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
8
8
,
,
,
,
9
8
10 11 12
8 8 8
,
,
2
,
13 14
8 8
15
8
16
8
,
,
0
d) Dibujar una recta para representar cada una de las siguientes fracciones:
7 ; 6 ; 2 ; 6 ; 5
5 4 2
6
8
Pág.59
RECORDEMOS QUE EXISTEN 3 CLASES DE FRACCIONES:
Fracciones propias: el numerador es menor que el denominador. Son menores que un entero,
por ejemplo : 2
5
Fracciones impropias: el numerador es mayor que el denominador y no es múltiplo de él. Son
mayores que un entero, por ejemplo: 5
2
Fracciones aparentes : el numerador es igual que el denominador o bien es múltiplo de él. En
realidad no son fracciones sino números enteros. Por ejemplo:
6
2
( en realidad se trata de 3 enteros)
Números Mixtos
Un número mixto es la suma de un número entero y una fracción. Se escribe sin el
símbolo de suma ( + ). Por ejemplo, 1 1 se lee “uno y un medio” y es igual a 1 + 1 .
2
2
Los números mixtos se pueden convertir a fracción impropia, y viceversa:
Para cambiar un número mixto a una fracción impropia:
1. Multiplicar el denominador por el número entero.
2. Sumar el numerador al producto dado en el paso 1.
3. Escribir la suma donde está el numerador original.
Ejemplo: 1
2
3
a.
3·1=3
b.
3+2=5
c.
5
3
Se multiplicó el denominador por el
numero entero.
Se sumó el producto (3) con el
numerador (2)
Se escribió la suma en el numerador
y así obtenemos:
1
1 3.1 2 5
1
5
2
3
2
3
Pág.60
Para transformar una fracción impropia a número mixto:Se efectúa la división entre el
numerador y denominador sin bajar decimales, por ejemplo:
34
2
8
4
34
8
indica el denominador de la parte racional
Indica la parte entera
indica el numerador de la parte racional
Por lo tanto:
fracción
nºmixto
34
2
4
8
8
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Adición
Igual denominador: Para sumar fracciones con igual denominador, se suman los
numeradores y se deja el mismo denominador. Por ejemplo:
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común
denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.
Sustracción: se procede de igual manera pero se restan los numeradores en lugar de
sumarlos
Ejercicios:
1. Calcular
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
La mitad de 50 =
La tercera parte de 18 =
La cuarta parte de 200 =
La mitad de 60 =
La quinta parte de 1200 =
1
de 60=
2
1
de 100 =
2
1
de 60 =
3
2
de 60 =
3
Pág.61
2- Simplificar las siguientes fracciones.
3
4
a)
c)
6
9
15
2
b)
d)
45
8
e)
f)
6
12
12
48
3- Indicar cuál fracción es mayor. ( Utilizar los signos de > o <)
a. 6 …. .. 2
11
9
b. 4 …... 6
11
7
c. 4 …… 12
9
17
d. 4 ….. 9
3
2
4-Sumar las siguientes fracciones.
a. 9
5
b. 1
2
+
+
1
5
2
3
c. 3 + 1
7 2
d. 9 + 5
11 7
e.
2
3
f.
5
6
g.
1
8
h.
3
2
+
1
5
+
+
+
5
3
1
4
4
3
5. Restar las siguientes fracciones
6 ‗ 1
7
7
4 ‗ 5
3
2
e.
c.
9 ‗ 1
11 5
g.
1 ‗ 1
5
4
d.
3 ‗ 1
4
2
h.
7 ‗ 1
9
3
a.
b.
6 ‗1
11 2
f. 5 ‗ 1
8
8
6-Operaciones combinadas : suprimir paréntesis, corchetes y llaves
Recordemos que cuando un paréntesis está precedido por un signo (+), se debe
suprimir sin cambiar los signos encerrados en él.
Cuando un paréntesis está precedido por un signo (-), se debe suprimir cambiando
los signos encerrados en él
Pág.62
a)
2 1 4 5
6
5 3 6 3
R=
b)
2 2 1 4 5
1 5
2 .......
3 3 6 3 9
3 9
R=
1
1 1 8 1 8
2 1 1 3 .......
c) 6
12 4 3 2 6
1 1 5 1 1
2 .......
7 14 21 7 2
d) 3
e) 2 1
1 1 4 5
6
10 3 6 3
12
5
1 1 3 1 3
2 3 2 2 .......
10 4 5 2 4
4
5
f)
18
5
7
6
R=
2
3
R=
44
21
R=
127
3
R=
213
20
Multiplicación de números racionales
El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores. Por ejemplo:
Si se puede se simplifica un numerador con cualquier denominador
7. Multiplicar las siguientes fracciones.
a) 2 · 1
3 2
=
e) -1
2
·
3=
5
b) 1 · 2 =
4 7
f) -1 · -1 =
3 3
c) 2 · 6 =
3 20
g)
d) 1 · 1 =
8 2
1 ·3=
9 8
h) 2 · 4 =
9
3
División de números racionales
La división de dos números racionales es otro número racional que tiene: por numerador el
producto de los extremos y por denominador el producto de los medios.
.
También podemos decir que:
Pág.63
Toda división de fracciones se transforma en una multiplicación multiplicando la primera
fracción por la inversa de la segunda.
3 : 4 = 3 ·3 = 9
5
3
5 4
20
8-Dividir las siguientes fracciones:
a) 2 : 1 =
e) 3 : 1 =
9 3
2 6
b) 1
5
-2
5
:
c) 2
9
:
d) 1
9
:
f) 1 : 1 =
5 5
=
3 =
7
1
4
g) 3
7
:
2 =
7
=
9-Calcular y simplificar el resultado (cuando se pueda)
a)
4 12 3
3 6 9
R= 1
2
2 1 7
3 5 6
3
R=
10
15 10 5
:
c)
8 4 3
9
R=
20
b)
3 1
2 .
4 5
d)
1 2
:
6 3
R= 1
e)
10 4 2 7
3 5 3 6
R=
f)
1 1
3 5
2 5
9 6
12
R=
95
g)
2 2
7
: . 6
5 3
4
R=
31
9
3 14
1 7
2 5 .
4
3
5 4
R=
8
45
1 1 1
i) 2 : 31
6 2 2
R=
3
2
1 7
3 9 11
j) 32. 5 :
8 4 6
3 2
R=
533
12
4 1 2 6
k) :
9 2 5 15
R=
1
18
h)
l)
10 3 6 8
9
: . 4
4 2 5 5
2
R=
m)
1 5 7 3
1
. 3
2 3 10 4
5
R=
51
20
Potencias de exponente entero y base racional
a) Si el exponente es positivo:
, por ejemplo:
Pág.64
7
4
97
60
b) Si el exponente es negativo:
, por ejemplo
Otros ejemplos:
Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases
Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
1 0 - R eal i z a l as si gu i ent es opera ci ones c on pot enci as:
2
2
3
a)
2 2
.
3 3
b)
2 2
.
3 3
c)
2 2
.
3 3
2
2
e)
4 27
.
9 8
f)
4
3
2
2
3
2
3
3
g)
3 2
.
2 3
3
2 2
3
Pág.65
3
d)
3
Radicación de números racionales:
Para sacar la raíz de un número racional se saca la raíz del numerador y la raíz del
denominador por separado
Ejemplo:
3
64 3 64 4
27 3 27 3
11-Realiza las siguientes operaciones con raices:
27
a) 3
125
4.4 2
d) 3
1
16
64
b)
7
e) 3 1
8
32 9
.
c) 5
243 4
f)
1
16
25
12-Operaciones combinadas
a)
R= 2
b)
R=
c)
R=
d)
R=
5
2
e)
R=
41
2
Pág.66
10
9
77
12
3
5
f)
R=
g)
R=
1
30
R=
7
90
h)
=
2
2 1
3
i)
3 6
2
j)
2
3 2
1 .
4 3
1
1
4
1
8
: 2 6 : 1 2
3
5
:
25 4
4
3
16
1
8
R=
13
9
1
R=
3
22
3
4
2
k)
1
1 2 5
:
9
2 3 6
2
1
1
9
3 1 .
8
3 8
2
4 1 . 4 3 : 9
16 3 4 8
l)
1
3
1 1 3
:
4
36 4 4
m)
1
16
5 1 : 2
1
32 3
25
1 9 1 4 15 1
1 .
3 4 2 5 : 2
R=
3
10
R=
2
17
R=
4
15
1 3 -R es ol ver l os si gu i ent es probl em as:
a) Un hom bre c am i na 4 1 km el lunes, 13 1 km el martes y 10 km el miércoles. ¿Cuánto
2
2
caminó durante esos tres días?
R= 28 km
Pág.67
b ) Julieta fue al shopping con 180$. Se gastó
3
5
de esa cantidad ¿Cuánto dinero le queda?
R= $72
c) Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva
recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 8/13 del mismo. ¿Cuál de los
dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?
R:
A recorre 260 km y B 352 km, por lo tanto B va primero
d ) Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad
tiene Pedro?
R= 36 años
e) En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido
A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido
de 15.400. Calcular el núm ero de vot os obt e ni dos por cada p art i do.
R: A= 4200 votos, B= 4620 votos, C= 5500 votos y D= 1080 votos
f) Un padre reparte entre sus hijos 1800 $. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3
y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el
2
tercero?
R: el 1º recibió 800$, el 2º 600$ y el tercero 400$
9
g) S i t engo
7
8
$, ¿cuánto me falta para tener 1$?
R=
1
8
h ) Tres obre ros de con st rucci ón t i enen que const rui r 125 m et ro s de
pared. Uno h ace 41 3 metros y otro 35 1 metros ¿Cuánto le corresponde construir al
4
6
tercero?
R= 577/12
i ) ¿ C uánt as vari l l as de
de largo?
R= 1
1
4
de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
2
3
Expresión decimal de un número racional
1
Un número racional se puede expresar en forma de fracción o en forma decimal
10
(0,10)
I- Expresiones decimales exactas
Pág.68
5
12
metros
Como recordarás la expresión decimal de una fracción se obtiene dividiendo el numerador
34
por el denominador. Consideremos la fracción
8
34
8
020
4, 25
40
0
Por lo tanto, podemos decir que 4,25 es la expresión decimal de
fracción equivalente a ella. A su vez,
34
8
34
y de cualquier
8
o cualquier fracción equivalente se llama fracción
generatriz de 4,25.
4,25 es un NÚMERO DECIMAL EXACTO porque tiene un número finito de cifras
decimales.
Transformación de una expresión decimal exacta a fracción
Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el
número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se
colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
Ejemplo 1:
0,045 =
Ejemplo 2:
1,2
45
1000
y, de ser posible, simplificamos:
45
1000
=
9
200
12 6
10 5
II- Expresiones decimales periódicas
a) Expresiones decimales periódicas puras
Si calculamos el desarrollo decimal de la fracción
40
obtenemos:
33
40
33
70
1,2121
40
70
40
Los restos se repiten y en consecuencia nunca termina la división;
40
=1,21212121.......
33
Al grupo de decimales que se repiten lo llamaremos período y lo indicaremos mediante un
arco que los abarca: 1,21
1,21 es un DECIMAL PERIÓDICO PURO porque el periodo comienza inmediatamente
después de la coma decimal.
Transformación de una expresión decimal periódica pura a fracción
Pág.69
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período
2, 6 = 26 - 2
2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período. Si se puede
simplificar, se simplifica.
2, 6 =
8
26 2
= 24 =
9
3
9
Otro ejemplo:
57,18 =
Expresar como fracción 57,1888888....
5718 57
5661
629
=
=
99
99
11
b) Expresiones decimales periódicas mixtas
Del mismo modo, si calculamos el desarrollo decimal de
23
12
110
1,91666…
020
080
080
23
obtenemos:
12
En este caso el periodo no comienza
después de la coma, diremos que
23
es
12
periódico mixto y se escribirá como
1,1916
Transformación de una expresión decimal periódica mixta a fracción
- El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al
número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes del arco.
Por ejemplo:
2,46 = 246 – 24 = 222
- El denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el
período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa
como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.
Por ejemplo:
2,46 =
246 24
222
37
7
=
=
= 2
90
15
90
15
En resumen, los decimales periódicos pueden ser:
* Decimales periódicos puros, si el período comienza inmediatamente después de la
coma, por ejemplo: 1, 21 ; 0,32 ; 3,2 ; 5,837
Pág.70
* Decimales periódicos mixtos, si el período no comienza inmediatamente después de
la coma, por ejemplo: 1,19 ;
2,1548
EXACTAS
PURAS
PERIÓDICAS
EXPRESIONES
MIXTAS
DECIMALES
NO EXACTAS
NO PERIÓDICAS
Casos particulares de expresiones periódicas cuyo período es “nueve”
Cuando el período es nueve, la expresión decimal periódica se puede transformar en una
expresión decimal exacta o en un número entero eliminando la parte periódica y agregando
una unidad al número ubicado a la izquierda del período:
Por ejemplo:
119 11 108 6
1,19
90
90 5
90 9
0,9
1
9
9
59 5 54
5,9
6
9
9
1 4 -Ex presar com o f r acci ones y resol ver:
R=
R=
1
a. 1,5 0,9 1,5 0,4
2
b.
4
0,7 1,3 0,45 0,2
3
11
90
2
1
c. 0,8 1,9 2,3 0,75
10
5
R= -
d . 2 0,75 1,4 0,9 1,36 0,93
R=
R=
f. 3,2 . 0,625 . 0,2 0,4 . 2,5 1,1 2,4
R=
Pág.71
58
15
1
99
3
e. 0,8 1,4 7,96 8,36
5
1 1
1 2
0,4 0,5
g. 22,5 . 0,02 .
4 10
2 10
1
9
157
9
1
9
R=
7
20
2
2
1
11
h . 3 0,008 23 : 22 : 0,25
10
10
R= 1
11
i.
36
R=
j.
1
4
49 1 100
0,25
. .
0,75
25 2
3
0,7
49
0,16
121
3 2 12 0,016
223
36
R = 24
15-Pasar a fracción y resolver las siguientes ecuaciones con números racionales:
a)
3
x 0,2
2
2 1
5 2 11
4
R:
b)
R:
c)
R:
d)
R:
e)
R:
f)
R:
g)
R:
h)
R:
Pág.72
i)
R: -
j)
R:
k)
R:
l)
R:
m)
R:
n)
R:
AUTOEVALUACIÓN
1. Resolver y representar el resultado en la recta numérica:
Pág.73
29
5
1 2
1
a) 1 1,9 2,46
2
3
2
b)
1
1 x 0,23
5
3 2
42 20
16
1
8 1
5 0,16 2 0,25 1 1,3 1
c)
12
3 2
R=
11
5
R:
2
9
R:
4
3
2. Simplificar cuando sea posible y resolver:
2 3
6 15 . 15 13
2 10 6 19
9 12
R= 1
3. Manuel sale de su casa con $50 y gasta
del total ha gastado?
R=
4
1
en el cine y
en chocolates, ¿qué fracción
5
10
9
10
2
de un libro de cuentos. Si todavía me quedan 36 páginas sin leer. ¿Cuántas
5
páginas tiene el libro?
R= 60 páginas
4. Ya leí
Pág.74
RAZONES Y PROPORCIONES
Pág.75
Generalmente cuando conversamos estamos haciendo comparaciones, por Ej. “ Tengo más
edad que tú”, “tienes menos lápices que yo”, etc. Estas comparaciones se llaman por
“DIFERENCIA” . Pero también existen otras comparaciones que no la conocemos con ese
nombre y que también son muy usadas. Ej. “ tome 2 cápsulas cada 8 horas “, “ 3
cucharaditas de royal por cada taza de harina”, etc. Estas comparaciones se llaman por
cociente y se expresan en forma de razón.
RAZON : Dados dos números en un cierto orden se llama razón al cociente indicado entre
ello
Ej. 2 tazas de agua por cada taza de arroz.
80 kilómetros por hora.
2
1
12 kilómetros por litro.
80
1
85 días de cada 100
FORMA DE EXPRESAR UNA RAZON :
FORMA DE LEER UNA RAZON :
a
b
o
12
1
85
100
a:b
a “ es a “ b
TERMINOS DE UNA RAZON :
a
b
a se llama antecedente
b se llama consecuente
PROPORCION :
Cuatro números a,b,c,d ( con b y d distintos de cero forman una proporción si la razón
entre los dos primeros es igual a la razón entre los dos segundos.
Ejemplo: 8;4:6;3
FORMA DE EXPRESAR UNA PROPORCION :
a c
b d
Ej.
o
a :b = c : d
se lee “ a es a b como c es a d “
8 6
4 3
TERMINOS DE UNA PROPORCION: a y d : extremos
PROPORCIÓN CONTINUA:
Una proporción es continua cuando tiene los medio iguales
a b
b es el medio proporcional
b c
PROPIEDAD DE LAS PROPORCIONES :
Pág.76
b y c : medios
en toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los
a c
medios.
byd0
a·d=b ·c
b d
CALCULO DEL TERMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCION :
aplicando la propiedad de las proporciones : producto de medios es igual al producto de
extremos, se puede encontrar un término que falta en una proporción. Ej.
3 x
4 8
3·8=4·x
x= 3·8
24 = 4x
24 : 4 = x
6=x
4
x 2 3.27
3
x
x 27
x 3.27
x 81
x 9
EJERCITACIÓN
1)
En un mapa , el número de cm está al número de km en razón 1 a 50
a) ¿Qué significa?
b) ¿Cuál es la expresión Matemática?
La razón entre alumno – maestro es en Alemania de 25:1
2)
a) Explica el significado de la expresión anterior
b) ¿Cuántos maestros hay si la población estudiantil se aproxima a 2.500.000
alumnos?
3)
Si la razón entre a y b ( ambos positivos) es 0,64. ¿Cuál es el mayor, a o b?
4)
Completar:
a)
b)
c)
d)
e)
Una proporción es una igualdad entre dos………………………………………
En toda proporción el producto de los extremos es………………………………
Una proporción que tiene sus medios iguales es una proporción……………
Para verificar una proporción se comprueba……………………………………
En toda proporción continua el producto es igual al……………………………
5)
Completar el siguiente cuadro siendo a y d extremos y b y c medios de la
proporción
Pág.77
a
b
c
3
4
-
1
2
2
3
1
5
4
2
3
0.25
0.3 2
d
2
5
3
0.125
17
4.5
6)
2
x
a) 3
3
9
4
4
1
1
2
x
x= 2
e)
x4
x3
2
1 1
1
3
16 2
2
b)
4
3
1
4
c)
16 3 2 9
1
: 1 .
25 5 3 2
1
x
3
4
x=
1
3
32
f)
x
3
4
x
1
3 1.
6
x= 0
1
6
x=
2
3 3
1 .
4 2
d)
x
1
16
3
x= -
x= -
1 2
8 3
8
3
g)
x3
5
1
32
x4
4
9
4 1 1
:
25 5 3
h)
x
7
2
Proporcionalidad
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Pág.78
x= -24
x
0.5
1
1
3
x=
5
3
En una pizzería calculan cuántas pizzas pueden hacerse con determinada
cantidad de harina. Amasan 4 kilogramos de harina y obtienen 16 pizzas.
Con esta información podemos completar la tabla:
Kilos de harina
4
8
12
2
1
Cant.de pizzas
16
32
48
8
4
Con el doble de harina (8 kilos) se pueden hacer el
doble de pizzas (32)
Con el triple de harina (12 kilos) se pueden hacer el
triple de pizzas (48)
Con la mitad de harina (2 kilos) se pueden hacer la
mitad de las pizzas (8)
Con un cuarto de harina (1 kilo) se puede hacer la cuarta parte de pizzas (4)
Cuando dos magnitudes (en este caso kilos de harina y cantidad de pizzas) se
relacionan
de tal manera que: al doble de una de ellas le corresponde el doble de la otra, al
triple de la primera el triple de la segunda, a la mitad de la primera la mitad de la
segunda,etc., decimos que las magnitudes se relacionan de manera
directamente proporcional.
Lo que acabamos de enunciar nos permite, ante una situación en la que dos
magnitudes están relacionadas, analizar este vínculo y ver si la relación es o no
directamente proporcional. Pero no es una definición rigurosa de proporcionalidad
directa.
Para hacerlo, analicemos un poco más la tabla.
A la variable de la primera columna (kilos de harina) la llamamos “x”. A la
magnitud de la segunda columna (en este caso cantidad de pizzas) la llamaremos
“y”.
Junto a la tabla y para cada par de valores (x ; y) halle la razón (división entre el
valor “y” y el valor “x”) correspondiente. El primero ya está resuelto a modo de
ejemplo.
¿Cómo son los resultados?
Kilos de harina
(x)
4
8
12
2
1
Cant.de
pizzas(y)
16
32
48
8
4
y 16
4
x 4
y
…….
x
y
.........
x
y
.......
x
a) ¿Cómo son los resultados?
Pág.79
y
.....
x
b) Marcar los puntos en el gráfico, unirlos con una línea y prolongarla hasta que
corte a los ejes
c) ¿Qué forma tiene la gráfica? ¿Contiene al punto (0;0) ¿
d) ¿Cuál es la fórmula de esta función?
Esto es lo que caracteriza a las magnitudes directamente proporcionales: “la
razón entre los pares de valores correspondientes a dos magnitudes directamente
proporcionales (x e y) es constante ( y/x da siempre el mismo resultado)”.
Simbólicamente lo escribimos así:
x e y son directamente proporcionales si
y
k
x
Toda función que relaciona dos variables directamente proporcionales se
llama función de proporcionalidad directa.
Su fórmula es del tipo y = k . x y su gráfica es una recta que pasa por el origen de
coordenadas
Con la letra k estamos simbolizando que es constante, que siempre da el mismo
resultado.
En el ejemplo que estamos analizando, k = 4.
El número k recibe el nombre de “constante de proporcionalidad”.
¿Por qué en nuestro ejemplo la constante de proporcionalidad es 4? ¿Qué
representa ese número?
En el caso de las pizzas, k = 4 nos está indicando que se hacen 4 pizzas por cada
kilo de harina.
Veamos otro ejemplo:
Supongamos que para ir a trabajar hacemos todos los días el mismo viaje. Y en
una semana (de lunes a sábado, 6 días) gastamos $ 12.
Pág.80
Analicemos si la situación enunciada corresponde a magnitudes directamente
proporcionales.
La primera magnitud es “días de trabajo” (x) y, la segunda,
“gasto en viajes” (y). Se relacionan de manera directamente
proporcional ya que al doble de días de trabajo le corresponderá
el doble en gastos por viaje, a la mitad la mitad, al triple
el triple, etc.
Lo podemos ver con los valores en una tabla:
Días (x) 6
Gasto(y) 12
12
24
3
…..
2
……..
……….
30
1
…….
……….
20
Complete la tabla y calcule la constante de proporcionalidad.
La constante de proporcionalidad en este caso es 2, lo que nos está indicando
que el gasto por día es de $ 2.
Ejercicio 1
Analice si son o no directamente proporcionales las siguientes magnitudes. En
cada caso justifique su respuesta.
a) La velocidad y la distancia (manteniendo constante el tiempo y suponiendo
uniforme la velocidad).
b) La cantidad de horas de estudio para un examen y la nota.
c) La distancia que viajamos en colectivo y el valor del boleto.
d) La medida del lado y del perímetro de un cuadrado (recuerde que el perímetro
del cuadrado se calcula multiplicando por 4 la medida del lado).
e) El tiempo y la velocidad (ahora imaginamos constante la distancia).
Ejercicio 2
Indique si las siguientes tablas corresponden a magnitudes directamente
proporcionales o no. Si lo son, calcule la constante de proporcionalidad.
x
2
4
6
8
1
y
6
8
10
12
4
x
2
4
1
10
3
y
10
20
5
50
15
x
12
6
2
10
20
y
36
18
6
30
60
x
1
4
5
2
10
y
3
10
12
6
40
En ocasiones nos encontramos ante la necesidad de calcular algún valor
correspondiente a una de dos magnitudes que son directamente proporcionales.
Por ejemplo:
“Si una máquina automática para hacer agujeros realiza 320 agujeros en 2 horas,
¿Cuánto tardará en realizar 1280 agujeros?”.
Pág.81
La situación corresponde a magnitudes directamente proporcionales, ya que al
doble de tiempo hará el doble de agujeros, a la mitad la mitad, etc.
Esto nos permite escribir la siguiente proporción
2
x
320 1280
de donde
x=
2.1280
8
320
Tardará 8 horas
A través del ejemplo observamos que, cuando estamos en presencia de un
problema de magnitudes directamente proporcionales, podemos hallar la solución
con una proporción.
Es posible que usted recuerde que este tipo de problemas pueden resolverse
utilizando lo que llamamos “regla de tres simple”, cuyo planteo es:
320 agujeros ____________ 2 horas
1280 agujeros ____________ x horas
Entonces
x=
2.1280
8
320
Como verá, esto no es diferente del método de las proporciones que utilizamos
antes.
Si usted está acostumbrado a usar la regla de tres simple, puede seguir
haciéndolo, de lo contrario resuelva estos problemas usando proporciones.
Otro ejemplo
“Para una colecta, todos los empleados de una empresa colocan la misma
cantidad de dinero. Si en uno de las secciones hay 32 empleados y reúnen $128,
¿cuántos empleados hay en la empresa si en total juntaron $1768?”
1768.32
128 1768
x=
442
32
x
128
En la empresa trabajan 160 empleados.
Ejercicio 3
Analice los siguientes enunciados. Resuelva los que correspondan a magnitudes
directamente proporcionales, de los restantes sólo justifique por qué no son
directamente proporcionales.
a) ¿Cuánto pagaré por 7 kilos de arroz, si por 3 kilos del mismo arroz pagué
$1,20?
Pág.82
b) Viajando constantemente a 100 km/h (kilómetros por hora) se tarda 8 horas en
llegar a destino. ¿Cuánto se tardará si se viaja a 75 km/h?
c) Con una lata de 4 litros de pintura pude pintar 20 m2 (metros cuadrados) de
pared. ¿Qué superficie podré pintar con 25 litros?
d) Para un concurso por correo las cartas que se envían deben tener el mismo
tamaño y no contener nada en su interior. En una oficina de correos se reciben
400 cartas que juntas pesan 2 kilogramos (o 2.000 gramos, utilice el número que
prefiera).
Cuando se juntan las cartas de todas las oficinas, el peso total es de 12.000 kilos.
¿Cuántas cartas se enviaron?
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Cuando dos magnitudes no se relacionan en forma directamente proporcional, de
todos modos pueden tener alguna relación de proporcionalidad.
Tomemos el segundo caso del ejercicio anterior: “Viajando constantemente a 100
km/h se tarda 8 horas en llegar a destino. ¿Cuánto se tardará si se viaja a 75
km/h?”.
Estas magnitudes no son directamente proporcionales, ya que no se cumple que
al doble de una de ellas le corresponda el doble de la otra, a la mitad de la
velocidad la mitad del tiempo, etc.
Sin embargo, entre ambas magnitudes existe cierta relación.
velocidad tiempo
Para ver cómo es esa relación, completemos la siguiente tabla:
x
y
100
8
50
16
25
32
200
4
400
2
10
80
Para completar la tabla a partir de la información podemos pensarlo así:
Si viajando a 100 km/h se tarda 8 horas, si vamos a la mitad de la
velocidad tardaremos el doble.
Si viajamos a la cuarta parte de la velocidad, tardaremos cuatro veces
más.
Si viajamos al doble de la velocidad, tardaremos la mitad del tiempo.
Si la velocidad es diez veces menor, tardaremos tardamos diez
veces más.
Si viajamos al cuádruple de la velocidad, tardaremos la cuarta parte.
La tabla nos está mostrando, otra vez, que la relación no es directamente
proporcional, ya que si hacemos la división en cada uno de los pares x.y de la
tabla, comprobamos que la razón no es constante.
Pág.83
8
16
100 50
Sin embargo, hay un vínculo particular entre estas magnitudes, al doble de una le
corresponde la mitad de la otra, a la mitad de la primera el doble de la segunda,
etc. Tratemos de ver cómo se refleja esto en la tabla.
Multiplique cada “x” con su correspondiente “y”,
100 . 8= 800
200 . 4 =
50 . 16=
400 . 2 =
25 . 32=
10. 80 =
¿Qué conclusión puede sacar a partir de los resultados?
Las magnitudes que tienen esta característica reciben el nombre de “magnitudes
inversamente proporcionales”.
Al igual que con las directamente proporcionales, podemos enunciar cuál es la
característica para reconocer las inversamente proporcionales y cuál es la
definición.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al aumentar una de
ellas al doble, la otra disminuye a la mitad; al aumentar al triple, la otra
disminuye a su tercera parte; al disminuir la primera a la mitad, la segunda
aumenta al doble, etc.
Grafica la tabla
Pág.84
Definición
Dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales si el producto entre los
valores correspondientes es constante x . y = k
Toda función que relaciona dos variables inversamente proporcionales se llama
función de proporcionalidad inversa y tiene una fórmula del tipo y = k/x.
Los puntos de su gráfica están sobre una curva llamada hipérbola, que no toca a
los ejes cartesianos
A través de la definición, podemos completar tablas de magnitudes inversamente
proporcionales o resolver problemas en los que intervengan magnitudes
relacionadas de esta manera.
Por ejemplo:
“En una fábrica de alfajores para empaquetarlos utilizan envases de 6 y de 12
unidades.
La producción del día de hoy demandó 280 cajas de 12 unidades. ¿Cuántas cajas
de 6 unidades hubiesen sido necesarias para empaquetar esa cantidad de
alfajores?”.
En el ejemplo, las magnitudes son x = cantidad de cajas e y = número de
alfajores por caja.
Se trata de magnitudes inversamente proporcionales, ya que si la cantidad de
alfajores por caja es el doble, el número de cajas es la mitad; si es el triple, las
cajas necesarias son la tercera parte; si es la mitad, las cajas son el doble, etc.
De acuerdo con lo expresado, la respuesta es inmediata, con cajas que sólo
contienen la mitad de alfajores se necesitarán el doble de cajas, es decir, 560
cajas.
Pero veamos cómo se hubiese resuelto si la respuesta no fuese tan simple.
Según la definición x x y = k, en este caso, x x 6 = 280 x 12 ⇒
280.12
x
560
6
Con una tabla ocurre algo similar.
Si las magnitudes son inversamente proporcionales, podemos completar la tabla
sabiendo que en todos los casos x x y = k
Pág.85
Ejercicio 4
Complete las siguientes tablas de magnitudes inversamente proporcionales. En
todos los casos, indique la constante de proporcionalidad k. Graficar
x
15
30
5
y
6
x
12
6
y
8
4
2
1
1
30
k=……….
k=……
x
40
100
y
x
40
2
1
y
80
200
2
8
10
25
400
k=……..
k=…...
Ejercicios
Ejercicio 5
Complete las siguientes tablas e indique la constante de proporcionalidad, para
que correspondan a magnitudes directamente proporcionales. Graficar
x
20
4
10
y
100
x
y
30
6
80
60
120
x
2
3
y
6
12
60
2
x
4
8
2
y
400
40
1
k=…….
k=…….
k=…….
k=4
Ejercicio 6
Usando las siguientes notaciones:
MDP = Magnitudes directamente proporcionales
MIP = Magnitudes inversamente proporcionales
MNP = Magnitudes no proporcionales
Marque, junto a cada enunciado, a cuál de estas categorías pertenecen las
magnitudes correspondientes:
a) La edad y el peso.
b) El radio de una circunferencia y la longitud de la misma (recuerde: l = 2π x r).
c) Hora del día y la temperatura ambiente.
d) Cantidad de paquetes (todos iguales) y el peso total.
e) Medida de la base de un rectángulo y la altura, siendo constante la superficie.
f) La edad de una persona y el año calendario.
g) La distancia real entre dos ciudades y la distancia en un mapa.
Ejercicio 7
Pág.86
Con la misma notación anterior, determine qué tipo de relación hay en las
magnitudes según las siguientes tablas y graficar
x
4
80
20
40
1
y
20
1
4
2
80
x
6
3
20
5
1
y
60
30
100
50
25
x
30
15
6
12
2
y
8
16
4
8
10
x
3
2
4
10
1
y
24
16
32
80
8
La proporcionalidad, entre otros casos particulares, está presente en el cálculo de
porcentajes.
Ejercicios de porcentaje
Ejercicio 1
a) Si 3 alumnos de un grupo de 20 sacaron diez en la última evaluación, ¿qué
porcentaje de alumnos sacó la nota máxima?
b) Si 7 de cada 35 autos son de color blanco, ¿qué porcentaje de autos es
blanco?
c) En una encuesta se les preguntó a 350 personas si estaban conformes con la
actuación del seleccionado de fútbol. 240 contestaron que sí, 70 que no, 35 que
sólo en algunos tramos del partido y el resto no contestó. Calcule el porcentaje de
cada uno.
Ejercicio 2
Calcule qué porcentaje es:
a) 4 de 25
b) 5 de 30
c) 40 de 160
d) 150 de 6
Ejercicio 3
a) El 2% de los 4.600 habitantes de Villa del Sauce ha completado sus estudios
secundarios.
¿Cuántos son los que terminaron el secundario?
b) ¿Qué cantidad de agua tiene una mezcla de 5 litros, si el 80% es agua?
c) El 35% de una cantidad es 105, ¿cuál es esa cantidad?
Ejercicio 4
a) En la primera cuota del impuesto municipal de este año pagué $ 45,70 y en la
segunda me cobraron $ 48,30. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
b) Un artículo, cuyo precio es de $74, por pago contado se vende a $69. ¿Cuál es
el porcentaje de descuento que realizan?
Pág.87
AUTOEVALUACION
1) Resolver las siguientes proporciones
2 1 :
a)
9
16
x
1 1 6
.
2 3 5
1
4
2
9
5
x=
7
9
b)
1 3 27
x
32
8
x= 3
2
x
3 1
:
2 4
2) Determinar si las siguientes tablas corresponden MDP, MIP o no proporcionales.
Hallar en cada caso la constante de proporcionalidad.
x
4
2
6
8
4/3
y
10
5
15
20
10/3
x
4
5
8
6
3
y
6
7
9
8
4
x
4
1
2
1/2
1/4
y
2
8
4
16
32
x
2
5
3
6
8
3) La primera tabla corresponde a una proporcionalidad directa y la segunda a una
proporcionalidad inversa. Completar las tablas y hallar en cada caso la constante de
proporcionalidad.
x
50
25
y
4
x
15
75
2
6
300
22
y
50
7.5
10
4) Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 2
disminuir la ración diaria. ¿Durante cuántos días podrá alimentarlas? Rta: 18 días
5) Por una compra de $ 1560 pagado al contado me descuentan el 15 %. ¿Cuánto debo
abonar? Rta: $ 1326
6) Se dispone de un cierto número de alfajores para distribuirlos en cajas de modo que
todos tengan el mismo número de alfajores. Si se usan 18 cajas en cada una van 8
alfajores. ¿Cuántos alfajores irán en cada caja si tengo 48 cajas? Rta: 3 alfajores
Pág.88
y
10
25
15
30
40
Pág.89
Hace muchos siglos la geometría hizo su aparición en el mundo. Fueron los griegos, y
entre ellos Euclides, quienes fundaron esta ciencia. La construyeron observando
directamente los cuerpos de la naturaleza. De ellos extrajeron los conceptos de punto, recta
y plano, que forman la base de esta ciencia.
Cualquier figura geométrica es un conjunto de puntos, rectas y planos, de modo que se les
pueden aplicar todas las ideas que sobre conjuntos conocemos.
Estos tres conceptos sobre los cuales construimos la geometría, como todo concepto
primario, no admiten una definición; por lo tanto, tenemos que recurrir a la intuición.
Estos conceptos intuitivos e indefinibles reciben el nombre de primeros principios,
axiomas o postulados.
PUNTO: No se puede definir. La huella que deja un lápiz bien afilado sobre una hoja de
papel nos sugiere la idea de un punto. Un punto carece de dimensiones, es sólo una
posición en el espacio. Se representa utilizando letras minúsculas, por ejemplo:
a
b
c
RECTA: Una idea vaga de recta se tiene por la observación del borde de una regla, un
hilo en tensión, etc. La rectase extiende sin límite en dos sentidos opuestos. Se denotan las
rectas utilizando letras mayúsculas de imprenta:
A
PLANO: Una idea de plano nos la sugiere la superficie de un tablero, el piso, etc. Un
plano tiene dos dimensiones, largo y ancho. Un plano tiene una extensión ilimitada. Un
plano se considera constituido por un conjunto infinito de puntos. Se denota el plano
utilizando letras griegas:
AXIOMAS CARACTERÍSTICOS
Postulado1: "Existen infinitos puntos".
Postulado2: "Dos puntos determinan una recta".
a
b
Postulado3: "Por un punto pasan infinitas rectas".
p
Postulado 4: "Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano".
a
R
Postulado 5: "Por una recta pasan infinitos planos".
R
Pág.90
Dos planos se cortan en una línea recta, recta de intersección.
Postulado 6: “ La recta determinada por dos puntos de un plano pertenece a dicho plano".
a m
b
d
n
c
SEMIPLANO: toda recta mn de un plano lo divide en dos regiones llamadas semiplanos.
Cada punto del plano pertenece a uno de los semiplanos, excepto los puntos de la recta mn
que pertenecen a los dos.
Un conjunto de puntos se dicen coplanares si se encuentran todos en un mismo plano.
Definición de rectas paralelas.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas cuando no se cortan, es decir que no
tienen ningún punto en común o bien cuando todos sus puntos coinciden.
R
R’
Procedimiento para trazar con regla y escuadra la recta paralela a otra dada por un punto
exterior dado, como se ve en la figura.
R// R’
R
R
R
R
Definición de rectas perpendiculares
Dos rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse, forman cuatro ángulos rectos.
M
MN
N
Pág.91
SEMIRRECTA: si señalamos un punto “a” en una recta, dicho punto junto con los puntos
que le siguen o le preceden en el mismo sentido se denomina semirrecta; A se conoce
como el origen de la semirrecta. Para denotar una semirrecta se señala otro punto además
del origen, y se utiliza el siguiente símbolo:
ab
a
b
SEGMENTO: si señalamos sobre una recta los puntos a y b, se denomina segmento ab a
la intersección de la semirrecta de origen a que contiene al punto b y la semirrecta de
origen b que contiene al punto a
ab
/
/
a
b
Una figura es cóncava si al menos un par de
Una figura es convexa si cada vez que
puntos de la figura determina un segmento no
tomamos dos puntos en ella, el segmento
incluido en ella
que los une pertenece también a dicha
a
figura.
a
b
b
Una figura es convexa si cada vez que tomamos dos puntos en ella, el segmento que los une
pertenece también a dicha figura.
ACTIVIDADES:
Con ayuda de los útiles de geometría:
1.-Dibuja dos segmentos y compara su medida o magnitud utilizando el compás o la
regla.
2.-Dibuja una recta R y tres puntos cualesquiera, con la regla y escuadra traza tres
rectas paralelas a R que pasen por cada punto dibujado.
3.-Traza una recta R y varias rectas perpendiculares a R. ¿ Cómo son estas rectas?
4.-Por un punto p exterior a una recta S traza una recta perpendicular a S.
5.-Traza dos rectas paralelas R y S y una perpendicular a R. ¿ Cómo son la recta S y la
perpendicular trazada anteriormente?.
6.-Traza dos rectas secantes y por un punto cualquiera sus respectivas perpendiculares
Pág.92
Marcar con una X la respuesta correcta
¿Cuántas rectas se pueden trazar por un punto?
Una:
Finitas:
Infinitas:
¿Cuántos planos se pueden trazar por un punto?
Ninguno:
Finitas:
Infinitas:
¿Se puede trazar más de una recta por dos puntos distintos?
Si:
No:
¿Cuántos planos se pueden trazar por dos puntos distintos?
Una:
Finitas:
Infinitos:
¿Se puede tener más de una recta que interseque a un plano en un punto?
Si:
No:
¿Cuántos planos pueden intersecar a una recta en un punto?
Ninguno:
Finitas:
Infinitas:
¿Es posible que dos planos se intersequen en un punto solamente?
Si:
No:
¿Cuántos puntos contiene una recta?
Uno:
Finitos:
Infinitos:
¿Cuántas rectas contiene un plano?
Una:
Finitas:
Infinitas:
¿Pueden dos planos contener a la misma recta?
Si:
No:
¿Pueden tres planos coincidir en un punto solamente?
Si:
No:
Clasificación de ángulos según su medida
Nulo = 0º
Agudo < 90°
Recto = 90°
Obtuso>90°
Llano = 180°
Cóncavo > 180°
Completo = 360°
Ángulo convexo
Ángulo cóncavo
Pág.93
CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN SU SUMA
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN
Ángulos consecutivos
Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.
Ángulos adyacentes
Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados
situados uno en polongación del otro. Forman un ángulo llano.
Ángulos opuestos por el vértice
Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del
otro.
Los ángulos 1 y 3 son iguales.
Los ángulos 2 y 4 son iguales.
Pág.94
Suma de ángulos
La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos
ángulos iniciales.
Numérica
1º Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los
minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
2º Si los segundos suman más de 60, se resta 60” y se añade 1minuto a los minutos
3º Se hace lo mismo para los minutos.
Resta de ángulos
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del
ángulo mayor y la del ángulo menor.
Multiplicación de ángulos
Gráfica
La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de
tantos ángulos iguales al dado como indique el número.
Numérica
1º Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.
2º Si los segundos sobrepasan los 60, se procede igual que en la suma
División de ángulos
Gráfica
La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese
número da como resultado el ángulo original.
:4=
Para dividir 37º 48' 25'' entre 5
Pág.95
:4=
1º Se dividen los grados entre el número.
2º El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
3º Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.
4º Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales.
Ejercicios
1.- Pasar a segundos el ángulo 45º 52´34´´
2.- Pasar a minutos el ángulo 31º 40´
3.- Pasar a grados el ángulo 10º 34´41´´
4.- Sumar los ángulos:
a) 35º 49´35´´ + 12º 41´50´´
b) 25º 47´ 58´´ + 15º 29´ 47´´
c) 15º 00´ 41´´ + 34º 52´ 49´´ + 17º 35´´
d) 21º + 37´51´´ + 18º 39´´
5.- Restar los ángulos:
a) 47º 25´ 36´´ - 20º 18´ 54´´
b) 35º 37´ 40´´ - 12º 47´ 53´´
c) 37º - 13º 45´ 38´´
6.- Hallar el ángulo complementario del ángulo 37º 42´ 27´´
7.- Hallar el ángulo suplementario del ángulo 75º 34´42´´
8.- Efectuar las operaciones.
a) 2 x 34º 41´
b) 3 x 15º 00´ 47´
c) 27º 36´ : 5
d) 14º 36´45´´ : 7
e) 2 x 34º 25´ 41´´ + 3 x 10º 33´17´´
f) 4 x 15º 22´31´´ - 2 x 113º 33´22´´(¿Qué observas?)
Pág.96
9. Marcar con una X la respuesta correcta
a) ¿Cuántas bisectrices puede tener un ángulo?
Una:
Finitas:
Infinitas:
b) Un ángulo agudo puede medir
Menos de 90°:
Más de 90°:
Más de 180°:
c) Un ángulo cuya medida es 90° se llama ...
Llano:
Recto:
d) El complemento de 30° es
60°:
150°:
e) El suplemento de 40° es
140°:
60°:
f) Un ángulo llano mide:
360°:
180°:
g) Los ángulos opuestos por el vértice sus medidas son:
Complementarios:
Suplementarios:
EJERCICIOS
1. a) Datos: = 38º
= 67º
Hallar , , y
Igual:
b) Datos: A B
= 27º
Hallar y
c) Datos: A B, C D
= 33º 30’
Hallar ,, , , w, y
B
D
M
A
R
C
A
C
w
B
2. En cada caso determinar el valor de x, , , , y
a) Datos: = x + 15º
b) Datos: = 3x + 28º
= 2x
= 5x + 88º
3. Calcular en cada caso todos los ángulos que faltan:
Pág.97
c) Datos: = 4x – 25º
= 3x + 30º
a) Datos: = 60º28’
b) Datos: A B
= 54º 30’
c) Datos: = 4
B
A
4. En la figura, ae fc. Completar :
ad
f
p
c
W
e-
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
+=…
W = 60º = …
fpˆ d y son …………….
y w son ……………….
= ……..
= 45º = ………..
+w + + =……
y son …………….
5. En la figura A B. Indicar en cada caso V (verdadero) o F (falso):
A
B
w
C
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
= 90º
=
y w son consecutivos
y son suplementarios
CA
y son opuestos por el vértice
w y son complementarios
y w son complementarios
6. De acuerdo al gráfico, completar cada fila del cuadro:
AB
B
A
28º15’
36º10’
38º15’12”
90º
7. La medida del complementario de es menor de 25º. ¿ Entre qué números se encuentra la
medida de ?
Ángulos formados por dos rectas y una secante
Pág.98
Si cortamos dos rectas A y B con una secante T, se forman de manera natural ocho ángulos,
cuatro en cada punto de intersección.
T
2
3
6
7
1
4
5
8
A
B
Se llama ángulos correspondientes a los ángulos que tienen la misma ubicación respecto de
las rectas A y B. De esta manera, son correspondientes los pares de ángulos: 1̂ y 5̂ , 2̂ y 6̂ ,
3̂ y 7̂ , 4̂ y 8̂
Se llama ángulos alternos externos a los ángulos que están ubicados por fuera de las rectas y
a distinto lado de la secante. De esta manera, son alternos externos los pares de ángulos:
2̂ 8̂ y 1̂ 7̂
Se llama ángulos alternos internos a los ángulos que están ubicados por dentro de las rectas y
a distinto lado de la secante. De esta manera, son ángulos alternos internos los pares de
ángulos 3̂ 5̂ y 4̂ 6̂ .
Se llama ángulos conjugados internos a los ángulos que están ubicados por dentro de las
rectas y del mismo lado de la secante. De esta manera, son ángulos conjugados internos los
pares de ángulos 4̂ 5̂ y 3̂ 6̂
Se llama ángulos conjugados externos a los ángulos que están ubicados por fuera de las
rectas y del mismo lado de la secante. De esta manera, son ángulos conjugados externos los
pares de ángulos 2̂ 7̂ y 1̂ 8̂
En el caso de rectas paralelas: A//B cortadas por la transversal T, se verifica que:
* Los ángulos correspondientes entre paralelas son de igual medida; por lo tanto en la figura:
1̂ y 5̂ son iguales por ser correspondientes entre paralelas
2̂ y 6̂ son iguales por ser correspondientes entre paralelas
3̂ y 7̂ son iguales por ser correspondientes entre paralelas
4̂ y 8̂ son iguales por ser correspondientes entre paralelas
* Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales por lo tanto en la figura:
3̂ y 5̂ son iguales por ser alternos internos entre paralelas
4̂ y 6̂ son iguales por ser alternos internos entre paralelas
* Los ángulos alternos externos entre paralelas son iguales, por lo tanto en la figura:
2̂ y 8̂ son iguales por ser alternos externos entre paralelas
1̂ y 7̂ son iguales por ser alternos externos entre paralelas
Pág.99
* Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios, por lo tanto en la figura:
4̂ y 5̂ son suplementarios por ser conjugados internos entre paralelas
3̂ y 6̂ son suplementarios por ser conjugados internos entre paralelas
* Los ángulos conjugados externos entre paralelas son suplementarios, por lo tanto en la figura:
2̂ y 7̂ son suplementarios por ser conjugados externos entre paralelas
1̂ y 8̂ son suplementarios por ser conjugados externos entre paralelas
T
2
3
6
7
1
4
5
A
8
B
EJERCICIOS:
8. Dibuja un par de ángulos adyacentes. Traza sus bisectrices. ¿Qué ángulo forman? ¿Cómo
lo explicas?
9. Traza un par de rectas paralelas. Córtalas por una transversal. Señala un par de ángulos
correspondientes. Traza sus respectivas bisectrices ¿qué puedes decir de estas semirectas?
10.
Cuál es el menor número de ángulos que necesitas medir, en cada figura, para poder
obtener el valor de los restantes ángulos en cada caso.
C
A
T
B
M
N
M//N
R
S
RT
11.
¿Son o no son paralelas? Si no lo son ¿en qué semiplano se cortan y qué ángulo
forman al
cortarse? (Las figuras pueden estar mal hechas, los datos son correctos)
a)
b)
c)
K
86º
A
45º
144º
B
138º
P
Q
42º
54º
M
N
F
G
12.
ˆ y ˆ , sabiendo que A // B:
Calcular en cada caso el valor de x ,
M
Pág.100
a)
b)
= x + 20º
= x – 20º
= x + 60º
= 80º - x
A
B
M
A
B
M
c) = 5x - 24º
= 4x + 42º
A
B
Teniendo en cuenta la siguiente figura, y sabiendo que M//N, averiguar el valor de los
ángulos α , β , δ , γ , o , ε , π y ρ en cada caso, justificando tus respuestas:
T
α β
δ ε
M
γ
π
o
a) α = 40x + 3º
o = 45x + 7º
N
ρ
b) β = 37º 12`57``
Pág.101
c) ε = 6x + 35º
γ = 7x + 30º
d) δ = 4x + 60º
γ = 6x + 20º
AUTOEVALUACIÓN
1. Averiguar en cada caso el valor de los ángulos α , β , δ y γ , justificando tu
respuesta:
a) α = 2x + 70º
β = 5x + 55º
b) δ = 42º 15`32``
c) γ = 10x - 70º
δ = 5x + 25º
α
γ
β
δ
B
A
2. Teniendo en cuenta la siguiente figura, y sabiendo que A//B, averiguar el valor de los
ángulos α , β , δ , γ , o , ε , π y ρ:
T
α β
δ ε
A
δ = 4x + 60 º
γ = 6x + 20 º
γ
π
o
B
ρ
3. Resolver las siguientes operaciones con ángulos, expresando correctamente el
resultado:
a) 45º 52´ : 3 =
b) 65º 49’35’’ + 22º 41’50’’=
c) 23º 47’ 48’’ + 12º 29’ 27’’=
d) 49º 28’ 36’’ - 20º 18’ 44’’=
e) 42º 38’ 40’’ - 15º 42’ 53’’=
f) Hallar el ángulo complementario del ángulo 27º 43’=
g) Hallar el ángulo suplementario del ángulo 35º 24’ 42’’=
h) 2 x 54º 45’=
i) 3 x 18º 00’12’’=
Pág.102
j) 37º 36’ : 5 =
k) 14º 35’ : 7 =
TRIÁNGULOS
Un triángulo es un polígono de tres lados.
Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados,
vértices.
En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y
exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).
α
π
β
ˆ , ˆ y ˆ son ángulos exteriores del triángulo
δ
ε
ρ
ˆ , ˆ y ˆ son ángulos interiores del triángulo
Clasificación de triángulos según sus lados
Triángulo equilátero
Triángulo isósceles
Triángulo escaleno
T res lados igual es.
Dos l ados i gual es.
Tres lados
desiguale s
Clasificación de triángulos según sus ángulos
Triángulo acutángulo
Triángulo rectángulo
Un án gul o re ct o
El lado ma yor e s la
hipotenusa.
Tres án gul os a gudos
Pág.103
Los l ados m eno res
s on l os cat et os.
Triángulo obtusángulo
Un án gul o obt uso.
En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
ˆ
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180º ˆ , ˆ y = 180º
δ
ε
ρ
En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes.
α
δ
ε
β
por ejemplo: π = ε + δ
ρ
π
Criterios de congruencia de triángulos
1º Criterio: Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
2º Criterio: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo
comprendido entre ellos congruentes.
3º Criterio: Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes y el lado
comprendido entre ellos congruentes.
Pág.104
Ejercicios
ˆ , ˆ y ˆ son ángulos interiores de un triángulo. Completar el siguiente cuadro
1.
calculando los ángulos que faltan:
̂
̂
47º 50’
78º 12’
34º 5’
37º 15’
102º 13’
95º 32’
̂
54º 8’
24º 23’
2. En el triángulo abc, aˆ 3x, bˆ 5x y cˆ 4x . Calcular aˆ , bˆ y cˆ
3. Datos: α = 109º 12’
π = 125º 30’
Calcular aˆ , bˆ y cˆ
b
α
π
a
c
4. Datos: aˆ 3x, bˆ 2x y cˆ x . Calcular aˆ , bˆ y cˆ
a
c
b
Puntos notables de un triángulo
Las medianas:
Son los segmentos que unen el punto medio de cada lado con el vértice opuesto. Están
trazadas en el siguiente triángulo, las tres medianas.
Las tres medianas de un triángulo cualquiera se cortan en un punto, llamado baricentro (g),
que es el centro de gravedad del triángulo
b
g
a
c
Pág. 105
Las bisectrices:
Como su nombre lo indica, son las bisectrices de los tres ángulos interiores.
Las tres bisectrices se cortan en un punto, llamado el incentro (i) del triángulo.
b
bi
a
c
Las mediatrices:
La mediatriz del lado bc es la recta perpendicular a bc que pasa por el punto medio de ese
segmento.
Así también, las mediatrices de los lados ab y ac son perpendiculares a estos segmentos, que
pasan por sus puntos medios.
Las mediatrices se cortan en un punto que se llama circuncentro (o) y es el centro de la
circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo
a
b
c
Las alturas:
Son los segmentos trazados desde cada vértice, de manera tal que son perpendiculares al lado
opuesto. Por ejemplo, los segmentos ap, cm y bn son las tres alturas del triángulo abc.
Las tres alturas se cortan en un punto llamado el ortocentro (o) del triángulo.
Puede ocurrir que una altura no corte al lado opuesto al vértice de donde parte, sino a una
prolongación de ese lado. Por ejemplo: am es la altura correspondiente al vértice a, del
triángulo abc
.
a
b
o
n
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Actividades:
1. No siempre es posible construir un triángulo con tres segmentos de longitud conocida.
Comprobalo con los siguientes ejemplos:
a) 3, 4 y 5 cm.
b) 6, 6 y 9 cm.
c) 3, 4 y 9 cm.
d) 3, 5 y 8 cm.
e) ¿que condición deben cumplir los lados de un triángulo para que se pueda
construir?
2. Regla y transportador en mano y… ¡a trabajar!:
a) Construye un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman estos dos
lados, por ejemplo: los lados miden 3 y 4 cm. y el ángulo comprendido 30º.
b) Construye un triángulo conocido un lado y dos ángulos adyacentes, por ejemplo: el
lado mide 5 cm. y los ángulos adyacentes 60º y 45º.
c) Construye un triángulo conocidos dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos,
por ejemplo: Los lados miden 5 y 8 cm. y el ángulo no comprendido entre ellos 50º.
3. Si solamente conocemos dos lados:
a) por ejemplo, que valgan 6 y 10 cm. ¿Podés construirlo? ¿Podés construir un
solo triángulo o por el contrario podés construir más de uno?
b) Intentá hacerlo ahora si sabemos los tres ángulos, por ejemplo: 30º, 25º y
125º.
4. ¿Cuánto suman los tres ángulos de un triángulo? Probá a hacer lo siguiente: dibujá en tu
cuaderno un triángulo cualquiera y recortálo. Doblá una esquina de tal forma que el
vértice coincida con el lado opuesto. A continuación doblá las otras dos esquinas de
forma que los vértices coincidan con la primera. Así habrás conseguido que los tres
ángulos estén adyacentes y puedas ver fácilmente cuanto suman.
5. Completá la siguiente tabla indicando en que casos es posible:
Triángulo
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
6. Para realizar esta actividad necesitás proveerte de unos cuantos palillos.
a) ¿Cuántos triángulos podés construir con tres palillos? (No vale romperlos) Para
mayor comodidad supondremos que cada palillo vale una unidad de medida.
b) ¿Cuántos podés construir con 4 palillos? ¿Y con cinco? ¿Y con seis?...
Pág. 107
Completá la tabla hasta 12 palillos.
Nº
PALILLOS
Equilátero
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1,1,1
Isósceles
Escaleno
1,2,2
2,2,2
2,2,3//1,3,3
2,3,3
3,3,3
4,4,4
2,3,4
2,4,4//3,3,4
3,4,4//3,3,5
1,5,5
3,4,5
c) ¿Cuántos palillos son necesarios para que aparezca un triángulo rectángulo? ¿Y
para que aparezca el primer obtusángulo?
1. Dibujá las tres alturas correspondientes a un triángulo de lados 7, 3 y 5cm. Comprobá
que las tres se cortan en un mismo punto llamado ortocentro.
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AUTOEVALUACIÓN
1. Teniendo en cuenta la siguiente figura, y sabiendo que : π =124º 12’ y ε = 48º 25’ 15’’ ,
calcular el valor de todos los demás ángulos:
α
δ
ε
β
ρ
π
2. Con la misma figura como referencia, completar el siguiente cuadro:
α
β
δ
ρ
110º
112º 56’
ε
π
47º
121º 3’
39º12’14’’
45º
3. Construir un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 4cm y 5cm y que el ángulo
comprendido entre ellos es de 53º 7’ 48’’. Clasificar el triángulo a) según sus lados y b)
según sus ángulos.
4. Construir un triángulo conocido un lado y dos ángulos adyacentes, por ejemplo: el
lado mide 3 cm. y los ángulos adyacentes 45º y 45º. ¿notás alguna característica especial
en el triángulo que construiste?
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ANEXO I: MAGNITUDES
Magnitud es todo aquello que se puede medir, sumar o comparar. Por lo tanto el volumen, el peso, la
longitud (distancia o espacio), la capacidad, etc., son magnitudes. En cambio no son magnitudes la
verdad, la alegría, la mentira, la envidia, el amor, el olor, el sabor, etc. ya que no se pueden medir ni
comparar.
Medir es comparar una magnitud física con una cantidad fija de la misma magnitud, tomada como
unidad. Las magnitudes físicas se miden con instrumentos calibrados. Por ejemplo la masa de un
cuerpo se puede medir en una balanza de platillos comparándola con la de otros cuerpos de masa
conocida. Podemos medir el largo de una regla, la capacidad de un recipiente, el peso de un objeto, la
superficie de un campo, el volumen de una habitación, etc.
UNIDADES DE LONGITUD
(Espacio, distancia, altura, profundidad, etc.)
Cada unidad equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior, y para reducir se tiene en cuenta
que cada unidad corresponde a una cifra.
MÚLTIPLOS
UNIDAD
SUBMULTIPLOS
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
103 m
102 m
101 m
100 m
10-1 m
10-2 m
10-3 m
UNIDADES DE ÁREA
Cada unidad equivale a 100 unidades del orden inmediato inferior.
MÚLTIPLOS
km
2
hm
2
1000000 m2 10000 m2
106 m2
104 m2
UNIDAD
dam
2
m
2
SUBMULTIPLOS
dm
2
100 m2
1 m2
0,01 m2
102 m2
100 m2
10-2 m2
cm2
mm2
0,0001 m2 0,000001 m2
10-4 m2
10-6 m2
Para reducir debe tenerse en cuenta que a cada unidad le corresponden dos cifras.
UNIDADES DE VOLUMEN
Cada unidad equivale a 1.000 unidades del orden inmediato inferior, y para reducir a cada unidad le
corresponden tres cifras.
MÚLTIPLOS
km3
hm3
1000000000 m3 1000000 m3
109 m3
106 m3
UNIDAD
dam3
m3
1000 m3
1 m3
103 m3
100 m3
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SUBMULTIPLOS
dm3
cm3
mm3
0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3
10-3 m3
10-6 m3
10-9 m3
Expresa las siguientes medidas en las unidades que se indican -,
a) Volumen del depósito de nafta de un coche: 50 dm3. =………………cm3
b) Volumen de aire de los pulmones: 4760000 mm3 =………………...dm3
c) Volumen de un barril de petróleo :0,000163654 dam3 =……………. dm3
d) Calcular el volumen de un cubo cuyo lado mide 36 cm =………………
e) Calcular el volumen del prisma rectangular de la figura: altura : 3 cm
profundidad: 0,4 dm
base: 0,02 m
NORMAS PARA ESCRIBIR CORRECTAMENTE LAS UNIDADES
1.- El nombre de la unidad se escribe con letra minúscula.
2.- A cada unidad le corresponde únicamente un símbolo.
3.- Detrás del símbolo no se pone un punto.
4.- Los símbolos de nombres propios se escriben con letras mayúsculas
LA CAPACIDAD
El volumen de los líquidos (leche, aceite, agua, vino, etc.) y de ciertas materias secas
(cereales, legumbres, etc.) se mide utilizando recipientes de medidas fijas que los
contengan. El volumen interior de esos recipientes se denomina capacidad y su unidad es
el litro, definido como la capacidad de 1 dm3.
Las unidades que se pueden formar a partir del litro son:
Nombre
Símbolo
Equivalencia
Kilolitro
kl
103 l = m3
Hectolitro
hl
102 l
Decalitro
dal
10 l
Litro
l
1 l = 1 dm3
Decilitro
dl
10-1 l
Centilitro
cl
10-2 l
Mililitro
ml
10-3 l = 1 cm3
Pág. 111
1. Realiza los siguientes cambios de unidades
a) ¿Cuantos litros son 50 cl? ……………………………l
b) ¿Cuántos litros son 3,6 dal? …………………………..l
c) ¿Cuántos decalitros son 0,50 kl? ………………………….dal
d) ¿Cuántos decalitros son 20,5O cl? …………………………dal
2. Una gota de agua al convertirse en vapor de agua multiplica su volumen por 1700. Calcula:
a) El volumen que ocuparán 5 cm3 de agua transformados en vapor. Expresa el resultado en
litros. …………………………………………………………………………………..
b) El volumen, en mm3, que ocuparán 4,25 litros de vapor de agua al
condensarse……………..
3. El galón es una unidad de capacidad utilizada en los países anglosajones. Su equivalencia es
de 3,7852 litros. ¿Cuántos cm3 serán 2 galones y medio? ……………………………… cm3
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ANEXO II: NOCIONES DE TRIGONOMETRÍA
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un
triángulo rectángulo asociado a sus ángulos
c
B
A
a
C
b
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo que
contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será:
La hipotenusa (A) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (B) es el lado opuesto al ángulo que nos interesa.
El cateto adyacente (C) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
sen
cateto opuesto B
hipotenusa
A
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el
mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
cos
cateto adyacente C
hipotenusa
A
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
tg
cateto opuesto
B
cateto adyacente C
Funciones trigonométricas de ángulos notables
α
0°
sen α
0
1
cos α
1
0
tg α
0
30°
45°
60°
90°
1
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Pág. 114
1_LOS CUATRO ATLETAS
De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de
B, y D ha llegado en medio de A y de C. ¿Podría calcular el orden de llegada?
2- POLILLA DESTRUCTORA
E n un estante de una biblioteca estaban colocados, uno junto a otro, los tres volúmenes
de “los cuentos criollos” que tienen 120 hojas cada uno.
Una polilla comenzó agujereando la primera hoja del primer tomo, prosiguiendo
horizontalmente en la misma dirección, finalizo su tarea destructora en la última hoja
del último volumen que, por estar en orden era el tercero del grupo.
¿Qué destrozos ocasionó la polilla?
3-CARAMELOS
Juan y Pedro fueron a comprar caramelos, luego de hacerlo si Juan le diera un
caramelo a Pedro los dos quedarían con la misma cantidad de caramelos, pero si Pedro
le diera un caramelo a Juan, Juan tendría el doble que Pedro. ¿Cuantos caramelos
compraron Juan y Pedro?
4.COLOCANDO NÚMEROS
Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:
a) 3, 6, 8, están en la horizontal superior.
b) 5, 7, 9, están en la horizontal inferior.
c) 1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda.
d) 1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha.
Pág. 115
5-NUECES
Alicia, Benito, Carlos, David y Enrique conjeturaban sobre el numero de nueces que
había en un tarro. Alicia decía que 30, Benito pensaba que 28, Carlos conjeturaba que
29, David conjeturaba que 25, y Enrique decía que 26. Dos se equivocaron en una
nuez, uno se equivoco en 4, y otro en 3. Pero uno acertó.
¿Cuántas nueces había en el tarro?
6-LAS ETIQUETAS CAMBIADAS
Un pastelero recibe tres paquetes con 100 caramelos cada uno. Uno de los paquetes
contiene caramelos de naranja, otro de limón y el tercero mitad y mitad: 50 de naranja
y 50 de limón.
Pero el fabricante le advierte que, a causa de un error de envasado, las tres etiquetas de
los paquetes- naranja, limón y surtidos- están cambiadas.
¿Cuántos caramelos tendrá que sacar como mínimo el pastelero para averiguar el
contenido de cada paquete? Especificar de que bolsas
7-HERMANOS
Maria tiene un hermano llamado Juan. Juan tiene tantos hermanos como hermanas.
María tiene el doble de hermanos que de hermanas ¿Cuántos chicos y chicas hay en la
familia?
8-LA EDAD DE MI PRIMA
Si se intercambian las dos cifras de la edad de mi prima, se obtiene justo el doble de la
edad que ella tendrá el año que viene. ¿Qué edad tiene?
9-VASOS RECICLADOS
En una fábrica reciclan todos sus materiales y pueden hacer un vaso de papel nuevo
con nueve usados. ¿Cuántos vasos reciclados pueden fabricar si inicialmente tenían
505 vasos nuevos?
10-EL AÑO DE NACIMIENTO DE MARINA
Marina nació en 19AB. En 19BA cumplió (A+B) años. ¿En qué año nació?
SOLUCIONES PROBLEMAS
Pág. 116
1.LOS CUATRO ATLETAS
B-C-D-A
2.POLILLA DESTRUCTORA
La polilla agujereó 122 hojas y cuatro tapas
Colocados los libros como se colocan en la biblioteca, la primera hoja del primer
tomo queda a la derecha del libro, es decir próxima a la última del segundo tomo, y
la última hoja del tercero, está junto a la primera del segundo tomo, comenzando
por la primera hoja del primer tomo y finalizando en la última del tercero
3.CARAMELOS
Juan compró 7 caramelos y Pedro 5. Si Juan le diera un caramelo a Pedro, Juan y
Pedro quedarían con 6 caramelos cada uno (la misma cantidad), pero si Pedro le diera
un Caramelo a Juan, Pedro se quedaría con 4 caramelos y Juan con 8 (Juan tendría el
doble que Pedro).
4. COLOCANDO NUMEROS
8
4
5
3
1
9
6
2
7
5.NUECES
En el tarro había 29 nueces
6- LAS ETIQUETAS CAMBIADAS
Basta con sacar un solo caramelo del paquete con la etiqueta "surtido".
Como las etiquetas están cambiadas, en la bolsa que dice surtidos, habrá caramelos de
naranja o limón. Al sacar un caramelo de esa bolsa sabremos su verdadero contenido,
por lo tanto en las dos restantes, sabremos también que contienen.
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Ejemplo: si sacamos un caramelo de naranja sabremos que en la que dice limón serán
surtidos y en la que dice naranja serán de limón
7.HERMANOS
Cuatro chicos y tres chicas
8- LA EDAD DE MI PRIMA
25, intercambiando es 52 que es el doble de 26
9-VASOS RECICLADOS
El número de vasos que pueden reciclarse
es 63. Con los 505 vasos iniciales se fabrican 56 reciclados ( y sobra 1 ), con esos 56
pueden fabricarse otros 6 ( y sobran 2), y con esos 6 finales más los tres que han
sobrado, uno más. Total : 63.
10-EL AÑO DE NACIMIENTO DE MARINA
Nació en 1945. En 1954 cumplió 9 años
Bibliografía y fuentes consultadas
Pág. 118
http://www.vitutor.com
http://www.matebrunca.com
http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA28/RectaParSecante.html
http://matematicasies.com/spip.php?rubrique91
http://el-profesor.8m.com/ejercicios_de_racionales.htm
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/deci
males/numerosdecimales.htm
http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-019.htm
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesgarcimendez/matematicas_archivos/1_eso_unidad
3_geometria.pdf
Propordionalidad- Bruno Serpa
Carpeta de matemática 8- Ed. Aique
Matemática 8º - Ed Puerto de Palos
Matemática 8º - Fabián Jesé – Ed. Nuevas Propuestas
Cuadernillo de nivelación – Emigdia Paracchini
Pág. 119
