Download Ejercicios de ecuaciones y sistemas

Ejercicios de ecuaciones y sistemas
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
1
7x2 + 21x − 28 = 0
2
−x2 + 4x − 7 = 0
3
12x2 − 3x = 0
4
2
Halla las soluciones de las ecuaciones:
1
2
3Resuelve:
1
x4 − 61x2 + 900 = 0
2
x4 − 25x2 + 144 = 0
4 Resuelve:
1
2
5
Hallar las raíces de:
1
2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0
2
x3 − x2 − 4 = 0
3
6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0
6
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1
2
3
4
7
Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean
iguales.
8
La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
9
Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que
tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
10
Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca.
Calcula las dimensiones de la finca.
11 Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y
5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
12
Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un
camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es
540 m².
13
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo
que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
14
Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es
.
15
Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus
cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
16
Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en
tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
17
El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son
esos números?
18
1184.
Halla una fracción equivalente a
cuyos términos elevados al cuadrado sumen
19
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6
kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,
sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta
igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
20
Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste
americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del
total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al
representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
Soluciones 1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1
7x2 + 21x − 28 = 0
x2 +3x − 4 = 0
2
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
x2 − 4x + 4 = 0
3
12x2 − 3x = 0
4x2 − x = 0
x · (4x −1) = 0
x=0
4
4
x−1=0
x = 1/4
2
Resuelve:
1
2
3
Resuelve:
1x4 − 61x2 + 900 = 0
2x4 − 25x2 + 144 = 0
4
Resuelve:
1
2
5
Hallar las raíces de:
1
2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0
P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) = 0
P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1 )2 · (2x −3 ) = 0
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
2
x3 − x2 − 4 = 0
{±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
x2+ x + 2 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
Raíz: x = 2.
3
6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0
P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0
(x+2) · (6x2 −5x +1) = 0
6x2 −5x +1 = 0
6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0
Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3
6
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1
2
3
4
7
Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
b2 − 4ac = 0
k2 − 4 · 36 = 0
k2 = 144
La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
x2 − Sx + P = 0
8
La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
x2 − Sx + P = 0
9
Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace
13 años. Calcula la edad de Pedro.
Edad actual
x
Edad hace 13 años
Edad dentro de 11 años
Edad actual
21
x −13
x + 11
10
Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las
dimensiones de la finca.
Semiperímetro
Base
Altura
55
x
55 − x
x · (55 − x) = 750
x2 − 55x + 750 = 0
x = 25
x = 30
Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m .
11
Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.
Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
1er lado (base)
3x
2º lado (altura)
3er lado
5x
1er lado
6m
2º lado
8m
3er lado
10 m
4x
12
Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino
de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540
4x2 + 168x − 540 = 0
x2 + 42x − 135 = 0
x = 3 y x = −45
La anchura del camino es 3 m .
13
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es
semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
Base
Altura
48x : 12 = 4x
36x : 12 = 3x
(4x)2 + (3x)2 = 752
25x2 = 5625
x2 = 225
Base
x = 15
4 · 15 = 60 m
Altura
3 · 15 = 45 m
14
Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es
.
15
Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es
580. ¿Cuáles son esos números?
1er número
x
2º número
x+2
1er número
16
2º número
18
16
Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres
horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
Tiempo de A
x
Tiempo de B
x+ 3
A
B
AyB
Tiempo de A
3 horas
Tiempo de B
6 horas
17
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de
jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que
1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de
aceite más 4 l de leche.
leche
x
jamón
y
aceite
z
leche
1€
jamón
16 €
aceite
3€
18
Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y
terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del
total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al
representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
infantiles
x
oeste
y
terror
z
infantiles
500 películas
oeste
600 películas
terror
900 películas
19
El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos
números?
20
Halla una fracción equivalente a
cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184.