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UNIVERSIDAD LA REPÚBLICA
ESCUELA DE INGENIERÍA
FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA
PROF. FRANCISCA GONZÁLEZ
AY. GABRIEL SORIA
TRABAJO:
“Funciones Trigonométricas”
FECHA: 22 de septiembre de 1999
INTEGRANTES:
CARLOS OLIVA MINILO
MARY CARMEN SANTANA
ALEXIS ROJAS C.
Funciones Trigonométricas
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ÍNDICE
Descripción
Página
Portada
01
Índice
02
Introducción
03
Definición de las funciones trigonométricas
04
Teorema del seno
05
Teorema del coseno
06
Identidades trigonométricas fundamentales
06
Fórmulas de reducción
07
Medida de ángulos en radianes
07
Funciones trigonométricas de ángulos especiales
08
Fórmulas de adición y sustracción
08
Funciones trigonométricas del ángulo doble
09
Conclusión
10
Bibliografía
11
Apéndice
12
Carlos Oliva - Mary Carmen Santana - Alexis Rojas C.
Funciones Trigonométricas
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INTRODUCCIÓN
En este trabajo trataremos de mostrar de una forma práctica las
funciones trigonométricas, con sus formas de presentación, origen y manejos.
También se incluirán algunos ejemplos al final para mejor difusión y
entendimiento del contenido.
Carlos Oliva - Mary Carmen Santana - Alexis Rojas C.
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1. Definición de las funciones trigonométricas :
≤ θ ≤ 360º.
Sea θ el ángulo cuya variación está dada por el intervalo -360º
Para los fines de definición de tal ángulo y de sus funciones
trigonométricas es conveniente usar el sistema coordenado rectangular. Los
enunciados que siguen se aplican a cada una de las cuatro posiciones que
aparecen en la figura.
Si a una recta que coincide con el eje X se la hace girar en el plano
coordenado XY en torno del origen O a una posición OA, se dice que se ha
generado un ángulo XOA=θ que tiene a OX por lado inicial y a OA por lado final.
Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillas de un reloj, se dice
que el ángulo es positivo; y si la rotación es en el mismo sentido de las manecillas,
se dice que el ángulo es negativo. Se dice también que el ángulo está en el mismo
cuadrante que su lado final.
Sobre el lado final OA tomemos un punto cualquiera P diferente de O,
y de coordenadas ( x , y ). Desde P bajemos una perpendicular PB al eje X. El
segmento de recta OP se llama radio vector, se designa por r, y se toma siempre
como positivo. En el triángulo OPB, OB = x y PB = y tienen los signos de las
coordenadas del punto P, como está indicado para los cuatro cuadrantes.
Entonces, cualquiera que sea el cuadrante en que esté θ, las seis funciones
trigonométricas de θ se definen en magnitud y signo, por las siguientes razones:
seno de θ = sen θ = y/r
coseno de θ = cos θ = x/r
tangente de θ = tg θ = y/x
cotangente de θ = ctg θ = x/y
secante de θ = sec θ = r/x
cosecante de θ = csc θ = r/y.
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Las definiciones son verdaderas y no cambian para ángulos
positivos y negativos mayores que 360º en valor numérico.
Sistema de cuadrantes:
Teorema del Seno
Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas
de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen
más ángulos que lados. Se define de la siguiente manera:
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Teorema del Coseno
Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de
trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más
lados que ángulos. Se define como:
2. Identidades trigonométricas fundamentales:
csc θ = 1/sen θ
sec θ = 1/cos θ
ctg θ = 1/tg θ
tg θ = sen θ/cos θ
sen² θ + cos² θ = 1
1 + tg² θ = sec² θ
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1+ ctg² θ = csc² θ
3. Fórmulas de reducción:
sen (90º ± θ) = cos θ
cos (90º ± θ) = ± sen θ
tg (90º ± θ) = ± ctg θ
sen (180º ± θ) = ± sen θ
cos (180º ± θ) = -cos θ
tg (180º ± θ) = ± tg θ
sen (270º ± θ) = -cos θ
cos (270º ± θ) = ± sen θ
tg (270º ± θ) = ± ctg θ
sen (360º ± θ) = ± sen θ
cos (360º ± θ) = cos θ
tg (360º ± θ) = ± tg θ
4. Medida de ángulos en radianes.
Sea θ un ángulo central que intercepta un arco de longitud
“s” sobre un círculo de radio “r”. La medida del ángulo θ, en radianes,
está definida por θ = s/r. Obsérvese que por ser s y r longitudes, esta
razón es un número abstracto. De esta definición de medida en
radianes tenemos de inmediato la relación de conversión:
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π radianes = 180º
de donde,
1 radián = 180/π =57,2958º (aprox.) = 57º17’ 45” (aprox.),
1º = π/180 radianes = 0,017453 radianes (aprox.).
5. Funciones trigonométricas de ángulos especiales:
Ángulo θ en
Radianes
Grados
sen θ
cos θ
tg θ
0
0º
0
1
0
π/6
30º
½
½ 3
3 /3
π/4
45º
½ 2
½ 2
1
π/3
60º
½ 3
½
π/2
90º
1
0
6. Fórmulas de adición y sustracción.
sen ( x ± y ) = sen x * cos y ± cos x * sen y;
cos ( x ± y ) = cos x * cos y ± sen x * sen y;
tg (x ± y ) = ( tg x ± tg y ) / ( 1 ± tg x * tg y ).
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indefinida
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7. Funciones trigonométricas del ángulo doble.
sen 2x = 2 * sen x * cos x
cos 2x = cos² x - sen² x = 1 - 2 * sen² x = 2 cos² x - 1
tg 2x = ( 2 * tg x ) / ( 1 - tg² x).
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Conclusión
Las funciones trigonométricas, son poderosas herramientas
en el desarrollo de complicados problemas, que incluyen triángulos no
rectángulos y en que no se tienen muchos datos ó información
referente al mismos.
Con estas se pueden resolver problemas que antes no eran
posibles de resolverse con los métodos tradicionales.
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Bibliografía
Geometría analítica - Lehmann - pág. 459 a 462.
Geometría analítica - Joseph H. Kindle - pág. 95 a 96.
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