Download SOBRE NÚMEROS ENTEROS

Guía 1: Operaciones numéricas en los Números
enteros (Z)
NÚMEROS ENTEROS (Z): Existen números con signo, que son los números enteros (Z+
son los positivos y Z- son los negativos). Según se sabe, nos los podemos encontrar en:
a.- Los ascensores, donde el “0” indica la planta baja.
b.- La libreta del profesor, donde el “0” indica que aún no ha empezado a poner deberes.
c.- El golf, donde el “0” es que lleva dados los mismos golpes que se le exigen.
d.- La altitud y profundidad, done el “0” es el nivel del mar.
e.- Las temperaturas, donde el “0” es la temperatura de congelación del agua.
f.- La recta numérica, donde el “0” es el nº que separa los positivos (a la derecha) de los
negativos (a la izquierda).
g.- Los años de nacimiento, donde el “0” es el año en que nació Jesucristo.
h.- El banco, donde el “0” es que ni tengo ni debo nada...
IMPORTANTE: Los números enteros tienen siempre dos elementos que lo forman como son
“el signo” y la “cifra”. A la cifra se la conoce con el nombre de “valor absoluto”.
ORDEN DE NÚMEROS ENTEROS:
Se siguen estas reglas:
a) Entre 2 números enteros positivos siempre es mayor quien tenga mayor valor absoluto,
y viceversa.
b) Un número positivo siempre es mayor que el “0”, y viceversa.
c) El “0” siempre es mayor que cualquier número negativo, y viceversa.
d) Cualquier número positivo siempre es mayor que cualquier número negativo, y viceversa.
e) Entre 2 números enteros negativos siempre es mayor el que tenga menor valor absoluto,
y viceversa.
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS:
SUMA: Se hace de 2 formas diferentes. Antes de contestar debo lanzar una pregunta, ¿de
qué signo?
a.- De igual signo:
Se deja el mismo signo y se suman los valores absolutos.
b.- De diferente signo: Se deja el signo del que tenga mayor valor absoluto y se restan
los valores absolutos.
Ejemplos:
(+5) + (+9) = (+14)
(-2) + (-8) = (-10)
(+3) + (-1) = (+2)
(-9) + (+4) + (-7) = (-12)
RESTA: Puesto que restar es lo mismo que sumar el opuesto del número, para hacer las
restas primero habrá que pasar las restas a sumas, y después procederemos como en la
suma.
Ejemplos:
(-9) – (-5) = (-9) + (+5) = (-4)
(+8) – (+2) + (-3) = (+8) + (-2) + (-3) = (+3)
MULTIPLICACIÓN: Se aplica la regla de los signos y se multiplican los valores absolutos.
Ejemplos:
(-9) x (-5) = (+45)
(+8) x (-4) = (-32)
(+11) x (+6) = (+66)
(-3) x (+15) = (-45)
DIVISIÓN: Se aplica la regla de los signos y se dividen los valores absolutos.
Ejemplos:
(-12) : (+6) = (-2)
(+99) : (+11) = (+9)
(+340) : (-10) = (-34)
(-48) : (-6) = (+8)
Ejercitemos
1. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(+5) + ( 3) =
(+7) – (–4) – (+12) =
(–2) + (–3) – (+4) =
–(+4) – (–5) + (–7) =
(–374) + (–47) =
–(–37) – (–15) + (–7) =
2. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(–4) · (–2) · (+5) =
(+3) · (–6) : (–2) =
(–2) · (+7) · (–5) =
(–4) : (+2) =
(–7) · (+2) · (–2) : (–4) =
–[(–4) · (–3) : (–2)] =
3. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3 · (2 + 5) – 6 · 5 + 2 · (3 – 4) – (6 – 8) =
1 – [6 · (2 + 3) – (4 + 1) · 2] · 2 =
4 + 7 · (4 + 5) – 8 · (9 – 7) + (–7 – 2) =
3 + 2 · 3 · ( 4 · 2) – ( 6 – 7) – 2 · 4 · (–1) =
1 + (3 + 4 · 2 – 6) · 2 – (5 – 7) · 2 =
3 – 4 · (2 – 3) · 2 + ( 4 + 3 + 2) · (–1) · 2 =
4. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 – [3 – (2 – 5) · 3 + 2 · (1 – 3) · (–2)] + 5 =
4 – 5 · {2 – 3 · [–4 + 2 · (5 – 4) · (–1)] · (–1)} · (–1) =
8 – [4 + (2 – 5) · 2 – 6 · 3 + (6 – 2)] · (–1) + 5 · (–3 – 2) =
1 – {2 – [3 · (4 – 5) · 2 – 3] · 2} · (–2) =
2 · {2 · [–2 · (–5 + 4) · 2] + 1 } · (–2) =
6 – 4 · (–1 – 2) – 3 · 2 · (2 · 4) · (–1) =
5. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(–2)3 =
–(+4)3 =
(-2)2 · (–3)3 =
(–5)3 · [(–3) + (–2)] =
(–5)3 · (–5)2 =
(–5)3 : (–5)2 =
[(–2)3 · (–2)2] : (–2) =
6. Completa las siguientes frases referentes a números enteros:
a) Los
números
enteros
forman
un
conjunto
constituido
por
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________.
b) Los números precedidos del signo + se llaman _________________________.
c) Los números precedidos del signo
se llaman _________________________.
d) El valor absoluto de –9 es _________________________________________.
e) __________________ son los números que tienen el mismo valor absoluto
pero distinto signo.
f) La suma de dos números opuestos da ________________________________.
g) __________________ es el opuesto de cero.
h) De dos números enteros positivos es mayor ____________________________
_______________________________________________________________.
i)
Todo número positivo es siempre ______________ que todo número negativo.
j)
El cero es _________ que cualquier número negativo y _________que
cualquier número positivo.
k) De dos números negativos es mayor el que tiene _______________________.
l)
El producto o cociente de dos número positivos ________________________.
m) El producto o cociente de dos números negativos _______________________.
n) El producto o cociente de dos números de distinto signo _________________.
o) La potencia de un número entero cuya base es positiva siempre es _________.
p) Toda potencia de exponente impar de un número negativo es un número
___________________.
q) Toda potencia de exponente par de un número negativo es un número
___________________.
Soluciones
1. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(+5) + ( 3) = (+2)
(+7) – (–4) – (+12) = (–1)
(–2) + (–3) – (+4) = (–9)
–(+4) – (–5) + (–7) = (–6)
(–374) + (–47) = (–421)
–(–37) – (–15) + (–7) = (+45)
2. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(–4) · (–2) · (+5) = (+40)
(+3) · (–6) : (–2) = (+9)
(–2) · (+7) · (–5) = (+70)
(–4) : (+2) = (–2)
(–7) · (+2) · (–2) : (–4) = (–7)
–[(–4) · (–3) : (–2)] = (+6)
3. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3 · (2 + 5) – 6 · 5 + 2 · (3 – 4) – (6 – 8) = (–9)
1 – [6 · (2 + 3) – (4 + 1) · 2] · 2 = (–39)
4 + 7 · (4 + 5) – 8 · (9 – 7) + (–7 – 2) = (+42)
3 + 2 · 3 · ( 4 · 2) – ( 6 – 7) – 2 · 4 · (–1) = (+60)
1 + (3 + 4 · 2 – 6) · 2 – (5 – 7) · 2 = (+15)
3 – 4 · (2 – 3) · 2 + ( 4 + 3 + 2) · (–1) · 2 = (–7)
4. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 – [3 – (2 – 5) · 3 + 2 · (1 – 3) · (–2)] + 5 = (–13)
4 – 5 · {2 – 3 · [–4 + 2 · (5 – 4) · (–1)] · (–1)} · (–1) = (+76)
8 – [4 + (2 – 5) · 2 – 6 · 3 + (6 – 2)] · (–1) + 5 · (–3 – 2) = (–1)
1 – {2 – [3 · (4 – 5) · 2 – 3] · 2} · (–2) = (+41)
2 · {2 · [–2 · (–5 + 4) · 2] + 1 } · (–2) = (–36)
6 – 4 · (–1 – 2) – 3 · 2 · (2 · 4) · (–1) = (+66)
5. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(–2)3 = (–8)
–(+4)3 = (–64)
( 2)2 · (–3)3 = (–108)
(–5)3 · [(–3) + (–2)] = (+625)
(–5)3 · (–5)2 = (–5)5 = (–3 125)
(–5)3 : (–5)2 = (–5)
[(–2)3 · (–2)2] : (–2) = (–2)4 = (+16)
6. Completa las siguientes frases referentes a números enteros:
a) Los números enteros forman un conjunto constituido por el cero, los números
naturales distintos de cero precedidos por el signo positivo y los
números naturales distintos de cero precedidos por el signo negativo.
b) Los números precedidos del signo + se llaman enteros positivos.
c) Los números precedidos del signo
se llaman enteros negativos.
d) El valor absoluto de –9 es 9.
e) Números opuestos son los números que tienen el mismo valor absoluto pero
distinto signo.
f) La suma de dos números opuestos da cero.
g) Cero es el opuesto de cero.
h) De dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor
absoluto.
i)
Todo número positivo es siempre mayor que todo número negativo.
j)
El cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier
número positivo.
k) De dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
l)
El producto o cociente de dos número positivos es positivo.
m) El producto o cociente de dos números negativos es positivo.
n) El producto o cociente de dos números de distinto signo es negativo.
o) La potencia de un número entero cuya base es positiva siempre es positiva.
p) Toda potencia de exponente impar de un número negativo es un número
negativo.
q) Toda potencia de exponente par de un número negativo es un número
positivo.