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¿Por qué necesitamos los números imaginarios?
Los números y sus atributos se entienden mejor
cuando se utiliza algún tipo de representación
gráfica para ellos. Comenzamos con la
representación visual de los números reales, que es
una línea recta llamada la recta numérica. La recta
numérica se utiliza para mostrar el orden natural de
los números reales: ahí se muestra cómo los
números son alineados por orden de magnitud.
La forma habitual de representar los números reales
es la recta numérica (figura abajo) donde ponemos
cualquier número real positivo a la derecha de un
punto arbitrario cero ( ) y ponemos los números
reales negativos a la izquierda de ese cero.
El conjunto de números reales es el
agregado de (a) todos los números enteros,
los enteros incluyen todos los números
naturales, el cero y los negativos de los
positivos de los números naturales,
(b) además todas las fracciones positivas y
negativas, (c) además todos los números
irracionales como: ,
,
, ⋯. En la
recta numérica se incluyen también los
números trascendentes: números
trascendentes son los que no se pueden
encontrar como resultado de las ecuaciones
algebraicas con coeficientes enteros.
Pero, no toda ecuación se puede resolver con
los números disponibles en la recta numérica.
Vea la similitud de estas dos ecuaciones:
y
Ejemplos de ecuaciones simples que son
solubles con los números de la recta
numérica:
.
Pues resulta que la primera ecuación es fácil de
resolver:
; esta ecuación tiene dos
soluciones. Sin embargo, la segunda ecuación no
tiene solución dentro de la recta numérica: no
existe número real que al cuadrado y sumándole
uno sea igual a cero.
, aquí
,
, aquí
,
, aquí
,
.
¿Qué número, al cuadrado y sumado 1, es igual a 0?
!Sorpresa! ¡Ningún número real satisface esas condiciones!
Esto es realmente chocante e insospechado,
porque la recta numérica está completamente
llena de números, lo que significa que no hay
agujeros en ella: !siempre esperamos encontrar
que toda ecuación tenga al menos una solución
en ella!
Pero hay solución a este problema sin solución
aparente: !inventar un nuevo tipo de número!
Sí, esto es posible porque los números negativos,
las fracciones, los irracionales son todos inventos
de la mente humana. Esta invención es sencilla:
basta con definir una nueva entidad de tal
manera que al cuadrado sea igual a negativo
uno, y elegir un símbolo para ella.
Ref. Pérez, E. (1915). Foundations of Transcomplex Numbers. Datum, Aguadilla.
La nueva entidad matemática son los números
imaginarios, definidos y simbolizados así:
.
Ahora tenemos que
insoluble:
La ecuación anterior
ahora tiene soluciones:
.
Rafael Bombelli (1526-1572).
Matemático italiano que escribió
un libro de álgebra y metódicamente expuso los números
imaginarios. Bombelli sentó las
bases para los números complejos.
© E. Pérez http://4DLab.info