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 GPT-04_M1AA1L2_Triángulos
Versión: Septiembre 2012
Revisor: Sandra Pérez
Triángulos Por Sandra Elvia Pérez Márquez
Un triángulo es un polígono de tres lados.
¿Qué es un polígono?, en la lectura Polígonos podrás averiguarlo, así como sus clases y
características. Sin embargo, por ahora te centrarás al estudio de los triángulos, ya que es uno de los
polígonos más importantes y frecuentemente utilizados.
Convenciones Se acostumbra nombrar a los ángulos interiores de un triángulo con
letras mayúsculas y del lado opuesto al ángulo en cuestión, con la
misma letra pero minúscula. La figura 1 muestra esto.
Figura 1. Denominación de ángulos y lados.
Para indicar que los lados los ángulos de dos triángulos son iguales, se acostumbra señalarlos con 1, 2
o 3 pequeños segmentos de recta, como se muestra en las figuras 2 y 3.
Figura 2. Triángulo ABC.
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El pequeño segmento de recta que aparece en el lado b, en el triángulo de la izquierda, indica que
este segmento tiene la misma longitud que el lado d del triángulo de la derecha.
Los dos pequeños segmentos de recta que aparecen en el lado a del triángulo de la izquierda
indican que este segmento tiene la misma longitud que el lado f del triángulo de la derecha.
Los tres pequeños segmentos que aparecen en el lado c del triángulo de la izquierda indican que
este segmento tiene la misma longitud que el lado e del triángulo de la derecha.
Figura 3. Triángulo DEF.
Estos acuerdos o convenciones serán de mucha utilidad a la hora de resolver ejercicios o problemas de
aplicación con triángulos.
Clasificación de triángulos Para facilitar el estudio de los triángulos, existen dos formas de clasificarlos:
a. Por la medida de sus lados
b. Por la medida de sus ángulos
A continuación te explicaré con más detalle cada una.
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a. Por la medida de sus lados
Equilátero
Sus tres lados tienen la
misma magnitud.
Isósceles
Dos de sus lados son
iguales y uno desigual.
Escaleno
Sus tres lados tienen
diferentes medidas.
Figura 4. Triángulos equiláteros.
Figura 5. Triángulos isósceles.
Figura 6. Triángulos escalenos.
Tabla 1. Clasificación de los triángulos por la medida de sus lados.
b. Por la medida de sus ángulos
Rectángulo
Tiene un ángulo de 90°.
Figura 7. Triángulo rectángulo.
Acutángulo
Todos sus ángulos son
agudos, es decir, miden
menos de 90°.
Figura 8. Triángulo acutángulo.
Obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso, es
decir, un ángulo que mide más
de 90° pero menos de 180°.
Figura 9. Triángulo obtusángulo.
Tabla 2. Clasificación de los triángulos por sus ángulos.
A los triángulos acutángulos y obtusángulos, se les conoce como triángulos oblicuángulos.
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Propiedades del triángulo Además de estudiar las formas de clasificar los triángulos, es necesario conocer sus propiedades ya
que éstas también serán de gran ayuda en la comprensión, análisis y resolución de problemas con
estas figuras. Dichas propiedades se explican a continuación.
1. En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de la longitud de los otros dos,
pero mayor que su diferencia.
Triángulo
La longitud de un lado es menor que la suma de las
longitudes de los otros dos.
(b + c) > a
Figura 10. Triángulo 1.
Figura 11. Longitud de lados 1.
Tabla 3. Propiedades del triángulo 1.
Triángulo
Figura 12. Triángulo 2.
El mismo lado es mayor que la diferencia de los otros dos
lados.
(c − b) < a
Figura 13. Longitud de lados 2.
Tabla 4. Propiedades del triángulo 2.
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2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
Figura 14. Suma de los ángulos interiores.
3. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes.
Figura 15. Ángulo exterior.
A continuación te presento algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Analiza la siguiente figura y determina de qué tipo de triángulo se trata.
Debido a que sólo conoces la longitud de sus lados, sólo puedes
definir si se trata de un triángulo equilátero, isósceles o escaleno.
Como dos de los lados del triángulo son iguales, se trata de un
triángulo isósceles.
Figura 16. Triángulo con lados
conocidos.
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Ejemplo 2
Analiza la siguiente figura y determina de qué tipo de triángulo se trata.
Debido a que sólo conoces el valor de los ángulos del triángulo,
sólo puedes definir si se trata de un triángulo rectángulo,
acutángulo u obtusángulo.
Como el triángulo mostrado tiene un ángulo de 90º, se trata de un
triángulo rectángulo.
Figura 17. Triángulo con ángulos conocidos.
Ejemplo 3
En el siguiente triángulo, determina el valor del ángulo que falta.
Aplicando la propiedad que dice la suma de los
ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°,
tienes que:
A + B + C = 180º
Figura 18. Triángulo con dos ángulos conocidos.
56 º +56 º +C = 180º
C = 180 − 56 − 56
C = 68º
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Igualdad de triángulos Dos triángulos son iguales o congruentes entre ellos, si cumplen al menos con los siguientes criterios:
a. Dos lados y el ángulo que se encuentra comprendido entre ellos son iguales.
(LAL = lado-ángulo-lado)
Se dice que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF (ABC = DEF ) ya
que los lados b = e y c = f y los ángulos formados entre los lados (92º) también
son iguales.
Figura 19. Igualdad de triángulos 1.
Figura 20. Igualdad de triángulos 2.
Tabla 5. Triángulos congruentes que cumplen dos lados iguales y un ángulo igual.
b. Dos ángulos y el lado que se encuentra comprendido entre ellos son iguales.
(ALA = ángulo-lado-ángulo)
(
)
Se dice que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF ABC = DEF ya que el
ángulo A = D y el ángulo C = F0 y los lados formados entre estos dos ángulos también son iguales
b = e.
Figura 21. Igualdad de triángulos 3.
Figura 22. Igualdad de triángulos 4.
Tabla 6. Triángulos congruentes que cumplen dos ángulos iguales y un lado igual.
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c. Si los tres lados son iguales respectivamente.
(LLL = lado-lado-lado)
Se dice que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF
sus lados son iguales AB = DF, AC = FE y BC = DE.
Figura 23. Igualdad de triángulos 5.
(ABC = DEF ) ya que todos
Figura 24. Igualdad de triángulos 6.
Tabla 7. Triángulos congruentes que cumplen tres lados iguales.
A continuación te presento un ejemplo.
1. Observa las siguientes parejas de triángulos y determina si son congruentes (o iguales).
Basándonos en el primer criterio de igualdad:
Dos lados y el ángulo que se encuentra comprendido
entre ellos son iguales.
Se puede observar que el lado c = f, que el lado b = e
y que los ángulos entre ellos son iguales, esto es: A =
D.
Por lo anterior, los triángulos mostrados son iguales.
Figura 25. Triángulo ABC.
Figura 26. Triángulo DEF.
Basándonos en el segundo criterio de igualdad:
Dos ángulos y el lado que se encuentra comprendido
entre ellos son iguales.
Se puede observar que el ángulo A = E, que el ángulo
C = F y que los lados entre ellos son iguales, esto es:
b = d.
Figura 27. Triángulo ABC
Figura 28. Triángulo DEF
Por lo anterior, los triángulos mostrados son iguales.
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Semejanza en triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen ángulos iguales y sus lados son proporcionales.
Para comprobar que dos triángulos son semejantes debes considerar lo siguiente:
a. Los tres ángulos son iguales respectivamente.
(AAA = ángulo-ángulo-ángulo)
El triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, ya que sus ángulos son iguales, es decir, A
= D, C = F y B = E. La semejanza de este par de triángulos se observa en que su forma es la
misma, aunque de tamaño son distintos.
Figura 24. Semejanza en triángulos 1.
Figura 25. Semejanza en triángulos 2.
Tabla 8. Triángulos semejantes que cumplen ángulos iguales
b. Un ángulo es igual y los lados que los sustentan son proporcionales.
(LAL = lado-ángulo-lado)
Se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, ya que los ángulos B y E son
iguales y los lados AB y DE son proporcionales con los lados AC y DF, es decir:
Figura 26. Semejanza en triángulos 3.
AB AC
=
DE DF
Figura 27. Semejanza en triángulos 4.
Tabla 9. Triángulos semejantes que cumplen un ángulo igual y dos lados proporcionales.
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c. Los tres lados son proporcionales.
(LLL lado-lado-lado)
El triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, ya que los ángulos los lados AB y DE son
proporcionales con los lados AC y DF y con los lados BC = EF, es decir:
Figura 28. Semejanza en triángulos 5.
AB AC BC
=
=
DE DF EF
Figura 29. Semejanza en triángulos 6.
Tabla 10. Triángulos semejantes que cumplen con tres lados proporcionales.
A continuación te presento un ejemplo.
Observa las siguientes parejas de triángulos y determina si son congruentes (iguales) o semejantes.
Debido a que los tres ángulos de ambos triángulos son iguales,
pero de tamaño distinto, los triángulos mostrados son
semejantes.
Figura
Figura 30. Triángulo 1.
Figura 31. Triángulo 2.
Al observar esta pareja de triángulos, se aprecia que
tienen un ángulo igual. Para que sean semejantes, se
debe cumplir que los lados que sustentan los ángulos
iguales sean proporcionales, esto es:
AB BC
=
DE EF
4 5
=
6 7.5
Figura 32. Triángulo 3.
Figura 33. Triángulo 4.
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Multiplicando cruzado tienes que:
(4)(7.5) = (5)(6)
30 = 30
Al cumplirse la regla de proporcionalidad, se comprueba
que los triángulos son semejantes.
Rectas y puntos notables de un triángulo Los triángulos poseen ciertas ʻrectasʼ y ʻpuntosʼ distintos de sus lados, y sus vértices que son de
especial interés, los cuales son:
Rectas
Altura
Mediatriz
Mediana
Bisectriz
Se relaciona con
→
→
→
→
Puntos
Ortocentro
Circuncentro
Baricentro
Incentro
Tabla 11. Rectas y puntos relacionados en un triángulo.
Veamos de qué se trata.
1. La altura es un segmento de recta perpendicular que parte de uno de los lados o su
prolongación (en el caso de un triángulo oblicuángulo) hasta el vértice opuesto. Las siguientes
figuras muestran varios ejemplos de las alturas de un triángulo.
¿Cuántas alturas posee un triángulo?
Partiendo de la definición de altura que menciona que es una recta perpendicular que parte de
un lado del triángulo hasta el vértice opuesto, todo triángulo tiene tres alturas.
Altura del lado a
Figura 34. Triángulo 1.
Altura del lado b
Figura 35. Triángulo 2.
Altura del lado c
Figura 36. Triángulo 3.
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En este triángulo, se
considera como base del
triángulo al lado a.
En este triángulo, se
considera como base del
triángulo al lado b.
En este triángulo, se
considera como base del
triángulo al lado c.
La altura se señala en
rojo.
La altura se señala en rojo.
La altura se señala en rojo.
Tabla 12. Rectas y puntos notables de un triángulo.
Altura del lado a
Figura 37. Triángulo 1.
Altura del lado b
Figura 38. Triángulo 2.
En este triángulo, se
considera como base del
triángulo al lado a.
En este triángulo, se
considera como base del
triángulo al lado b.
La altura se señala en rojo.
La altura se señala en
rojo.
Altura del lado c
Figura 39. Triángulo 3.
En este triángulo, se
considera como base del
triángulo al lado c.
La altura se señala en rojo.
Tabla 13. Alturas en diferentes tipos de triángulos
Cuando se han determinado las tres alturas de un triángulo, al punto donde éstas o sus prolongaciones
se cruzan se le conoce como ortocentro. Las siguientes figuras muestran la forma de encontrar el
ortocentro para el caso de un triángulo rectángulo y uno oblicuángulo.
Ortocentro en un triángulo rectángulo
Ortocentro en un triángulo
oblicuángulo
Figura 40. Ortocentro en un triángulo rectángulo.
Figura 41. Ortocentro en un triángulo oblicuángulo.
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En este caso, el ortocentro se localiza en
uno de los vértices del triángulo.
En este caso, el ortocentro se localizó
fuera del triángulo.
Tabla 14. Ortocentro (unión de las alturas) en diferentes tipos de triángulos.
Te recomiendo que practiques en tu cuaderno, trazando
cualquier tipo de triángulo y determina sus alturas y el
ortocentro.
2. La mediatriz es una recta perpendicular que parte del punto medio de cada uno de los lados del
triángulo. Las siguientes figuras muestran las tres mediatrices de un triángulo.
Mediatriz del lado a
Mediatriz del lado b
Altura del lado c
Figura 42. Mediatriz del lado a.
Figura 43. Mediatriz del lado b.
Figura 44. Mediatriz del lado c.
Tabla 15. Mediatriz en diferentes tipos de triángulos
El punto en donde se cruzan las tres mediatrices de
un triángulo se llama circuncentro. Este punto tiene
la peculiaridad de que al trazar una circunferencia
con centro en él. La circunferencia toca los tres
vértices del triángulo, es decir, el circuncentro es el
centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
La figura 45 muestra el trazado del circuncentro.
Figura 45. Circuncentro (unión de las mediatrices)
en unos triángulos.
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3. La mediana es el segmento de recta que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.
Mediana del lado a
Figura 46. Mediana del lado a.
Mediana del lado b
Mediana del lado c
Figura 47. Mediana del lado b.
Figura 48. Mediana del lado c.
Tabla 16. Mediana en diferentes tipos de triángulos.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un
punto llamado baricentro que es el centro de
gravedad del triángulo, es decir, si se sostiene el
triángulo justo desde el baricentro, el triángulo
permanecerá en equilibrio.
Figura 49. Baricentro (unión de las medianas)
en un triángulo.
4. La bisectriz es la recta que divide en dos partes iguales un ángulo interior de un triángulo.
Bisectriz del ángulo A
Figura 49. Bisectriz del ángulo A.
Bisectriz del ángulo B
Figura 50. Bisectriz del ángulo B.
Bisectriz del ángulo C
Figura 51. Bisectriz del ángulo C.
Tabla 17. Bisectriz en diferentes tipos de triángulos.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado
incentro que es el centro de una circunferencia inscrita en el
triángulo.
Figura 52. Incentro.
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Bibilografía Clemens, S., OʼDaffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría. (Addison- Wesley
Iberoamericana, López Mateos, M. Trad.). México: Pearson.
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill.
Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría. (3ª. ed., Villagómez, H. Trad.).
México: Thomson.
Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y
trigonometría (3ª. ed., Villagómez, H. y Romo, J. H. Trad.). México:
Thomson.
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