Download Un modelo epistemológico de referencia del álgebra como

Un modelo epistemológico de referencia del álgebra como
instrumento de modelización
Noemí Ruiz-Munzón
Escola Universitària del Maresme, España
Marianna Bosch
IQS School of Management, Universitat Ramon Llull, España
Josep Gascón
Dept. Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona, España
Abstract. The aim of this work is to coordinate and complete the papers we
presented at the first two conferences on the ATD. We propose a reference
epistemRORJLFDOPRGHOWKDWLV³JOREDO´HQRXJKWRSURYLGHDEDVLVIRUWKHVFKRRO
genesis of algebra as a modelling tool and to support a progressive development
of the algebraisation process of school mathematics leading to functional
modelling.
Résumé. /¶REMHFWLf de ce travail esWG¶DUWLFXOHUHWGHFRPSOpWHUOHVFRPPXQLFDtions que nous avons présentées dans les deux premiers congrès sur la TAD.
Nous proposons un modèle épistémologique de référence « global », au sens où
il sert de fondement à la genèse scolaire GH O¶DOJqEUH FRPPH LQVWUXPHQW GH
modélisation et où, en même temps, il soutient un développement progressif des
étapes successives du SURFHVVXVG¶DOJpEULVDWLRQGHVPDWKpPDWLTXHVVFRODLUHVTXL
aboutit à la modélisation fonctionnelle.
Resumen. El objetivo de este trabajo es el de articular y completar las comunicaciones que presentamos en los dos primeros congresos sobre la TAD.
Proponemos un modelo epistemológico de referencia «global» en el sentido que
permite fundamentar la génesis escolar del álgebra como instrumento de
modelización y, al mismo tiempo, sustentar un desarrollo progresivo de las
sucesivas etapas del proceso de algebrización de la matemática escolar que
desemboca en la modelización funcional.
Bosch, M., Gascón, J., Ruiz Olarría, A., Artaud, M., Bronner, A., Chevallard, Y.,
Cirade, G., Ladage, C. & Larguier, M. (Eds.), Un panorama de la TAD (pp. 743-765)
III Congreso Internacional sobre la TAD (Sant Hilari Sacalm, 25-29 enero 2010)
Eje 3. Teoría y práctica de las AEI y los REI
CRM Documents, vol. 10, Centre de Recerca Matemàtica, Bellaterra (Barcelona), 2011
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
1. Consecuencias de la aritmetización escolar del álgebra
En trabajos anteriores (Gascón 1993, 1993-94, 1999) en el ámbito de la
teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD) se ha analizado el
fenómeno de la aritmetización escolar del álgebra, mostrando que dicho
fenómeno responde a la interpretación dominante en la institución escolar
del álgebra elemental como aritmética generalizada. En esta interpretación se identifica el álgebra con el simbolismo o «lenguaje algebraico»
que generaliza, al tiempo que se opone a, un supuesto «lenguaje aritmético». En el trabajo de tesis de Pilar Bolea (2003) se destacan algunas
de las características principales de esta interpretación del álgebra
elemental como aritmética generalizada:
(a) El álgebra elemental se construye exclusivamente en un contexto
numérico, a modo de generalización de los cálculos con números y de
la traducción de expresiones numérico-verbales. Se le considera como
un mero epifenómeno de la aritmética.
(b) Se considera, de manera simplista, que las expresiones algebraicas
surgen ante la necesidad de representar y manipular números desconocidos; se supone que esta es su razón de ser.
(c) En la escritura y manipulación de expresiones algebraicas, la aritmética generalizada hace una distinción absoluta entre los datos conocidos por un lado y las incógnitas por otro.
(d) Se tiende a reducir las tareas específicamente «algebraicas» a la
manipulación formal de expresiones algebraicas con letras y números
(lo que se suele denominar «cálculo algebraico») y a la resolución de
ecuaciones.
(e) Se interpretan las ecuaciones como igualdades numéricas que se
cumplen para algunos valores concretos de las incógnitas.
En un trabajo posterior de Pilar Bolea, Marianna Bosch y Josep Gascón
(2004), se muestra que una de las consecuencias de la aritmetización
escolar del álgebra elemental es la ausencia del álgebra como instrumento de modelización en las matemáticas que se estudian en la
enseñanza secundaria. Trabajos posteriores en el ámbito de la TAD han
mostrado las conexiones de este fenómeno con la incompletitud de las
organizaciones matemáticas (en adelante, OM) que se estudian en
744
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
secundaria (Fonseca, 2004) y con el fenómeno de la desarticulación de la
matemática escolar (García, 2005).
Investigaciones más recientes en esta misma línea apuntan asimismo
que el carácter prealgebraico de las matemáticas que se estudian en la
enseñanza obligatoria constituye uno de los factores esenciales de las
discontinuidades observadas en el sistema educativo español, entre las
matemáticas de la educación secundaria obligatoria (en adelante, ESO,
con alumnos entre 12 y 16 años) y las del bachillerato (alumnos entre 16
y 18 años). Más concretamente, la ausencia del uso del instrumento
algebraico en la ESO dificulta enormemente el desarrollo de la modelización algebraico-funcional en el tránsito al bachillerato, lo que obstaculiza
la emergencia de las cuestiones problemáticas que podrían dar sentido al
cálculo diferencial (Ruiz-Munzón, 2006). Una vez constatada la importancia didáctica del carácter prealgebraico de las matemáticas que se
estudian en secundaria y el alcance de los fenómenos didácticos
relacionados con la aritmetización del álgebra escolar, se plantea el
problema de cómo introducir el álgebra en la educación secundaria como
un instrumento de modelización, sin reducirla, como pasa habitualmente
en España, a la manipulación formal de expresiones algebraicas, a la
resolución de ecuaciones y a la resolución de ciertos prototipos de
«problemas de planteo».
En la primera parte de este trabajo nos proponemos mostrar que es
posible introducir el instrumento algebraico en la enseñanza obligatoria
de manera funcional, proponiendo una posible «razón de ser» del álgebra
escolar, esto es, explicitando un tipo de cuestiones que viene a resolver la
modelización algebraica y que pueden dar sentido a la introducción del
álgebra en la primera etapa de la ESO (12-14 años). Además, dado que
pretendemos iniciar a los alumnos en el uso de la modelización
algebraica, deberemos elegir un sistema inicial para modelizar, apropiado
para que su modelización requiera la construcción de las distintas
herramientas que componen el álgebra elemental. Este planteamiento se
puede resumir en el cuestionamiento siguiente:
¿Es didácticamente viable, en el actual sistema de enseñanza de las
matemáticas, iniciar a los alumnos de la primera etapa de la ESO en el
uso funcional del instrumento algebraico? ¿Qué OM puede tomarse como
745
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
sistema inicial a modelizar? ¿Qué cuestiones problemáticas pueden dar
sentido a dicho proceso de estudio, esto es, qué cuestiones planteables en
dicho sistema requieren de manera ineludible el uso del instrumento
algebraico?
En la segunda parte de este trabajo, ampliaremos el modelo epistemológico sobre el álgebra elemental para articularlo con la modelización
algebraica con parámetros. Veremos también cómo su desarrollo conduce
a la modelización algebraico-funcional y al uso de las técnicas del cálculo
infinitesimal. El cuestionamiento asociado a esta segunda ampliación del
proceso de algebrización puede formularse en los términos siguientes:
Una vez que los alumnos estén en posesión del instrumento algebraico,
¿qué ampliaciones progresivas de las OM disponibles se requerirán para
avanzar en las sucesivas etapas del proceso de algebrización? ¿Qué
nuevos dispositivos didácticos se requerirán para llevarlo a cabo? A
medida que avance el proceso de algebrización, ¿cómo se modificará el
estudio del resto de las OM escolares y, en particular, cómo se avanzará
hacia el estudio de las relaciones funcionales entre magnitudes y la
introducción del cálculo diferencial e integral?
El trabajo que presentamos a continuación pretende aportar algunos
elementos de respuesta a estas cuestiones, proponiendo una descripción
del proceso de algebrización en términos de ampliaciones sucesivas de
determinadas praxeologías matemáticas.
2. Génesis escolar del instrumento algebraico
Partiremos de la noción clásica de «problema aritmético» como un
problema que puede resolverse mediante una cadena de operaciones
aritméticas (+, ±, ×, /, etc.) ejecutables a partir de los datos del problema,
datos que acostumbran a ser cantidades conocidas de ciertas magnitudes.
Tanto las cantidades que resultan de las operaciones intermedias como la
cantidad incógnita, tienen que poder ser interpretadas en el contexto del
enunciado del problema.
Podemos considerar que las técnicas clásicas de resolución de los
problemas aritméticos escolares se materializan en discursos verbales
que, partiendo de los datos y mediante una cadena de operaciones
746
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
aritméticas, permiten calcular la cantidad incógnita. Los elementos
tecnológico-teóricos que permiten describir, justificar e interpretar esta
práctica aritmética elemental consisten esencialmente en las propiedades
de los diferentes sistemas de números (naturales y racionales), en las
propiedades de las operaciones aritméticas con estos números y en las
operaciones elementales entre cantidades de magnitudes, a lo que se
podría añadir, en el nivel teórico, el discurso implícito que describe e
interpreta el «patrón de análisis-síntesis» (Gascón, 1993).
Para fundamentar una génesis escolar funcional del instrumento
algebraico, tomaremos como sistema inicial a modelizar una OM en torno
a los problemas aritméticos. Será esta misma OM la que consideraremos
en la segunda parte del trabajo para ejemplificar el desarrollo del álgebra
como instrumento de modelización. En esta primera parte del trabajo,
centrada en la génesis del álgebra, utilizaremos un tipo de problemas
aritméticos especialmente sencillos (que más tarde, por motivos obvios,
denominaremos «lineales») y, dado que se trata de poner de manifiesto la
necesidad inicial del instrumento algebraico, no iremos más allá de lo que
después denominaremos y caracterizaremos como «primera etapa del
proceso de algebrización».
Partimos, por lo tanto, de un problema aritmético resoluble mediante
el patrón de análisis-síntesis como, por ejemplo, el siguiente:
T0: Noelia piensa un número, lo multiplica por 3, le resta 18 y acaba
dividiendo el resultado entre 9. Si el resultado final es 7, ¿qué número
había pensado Noelia?
La resolución aritmética (verbal) de este problema podría ser:
Antes de dividir entre 9, el resultado era 7 ˜9 = 63; antes de restar 18 el
resultado era 63 + 18 = 81; y antes de multiplicar por 3 el número
(pensado) era 81/3 = 27.
También podemos escribir «en línea» esta cadena estructurada y jerarquizada de operaciones aritméticas que constituyen la síntesis del proceso de
resolución (Ruiz-Munzón, Bosch & Gascón, 2005) y que, siguiendo la
propuesta de Yves Chevallard (2004), llamaremos programa de cálculo
aritmético (en adelante, PCA):
PCA(7, 9, 18, 3) = (7 ˜9 + 18) / 3.
747
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
En general, un PCA puede depender no solo de argumentos numéricos
concretos (aj) sino también de otros argumentos que hacen el papel de
parámetros o incógnitas (xi). Esto significa que la formulación escrita de
un PCA tomará, en general, la forma de una cadena de operaciones
aritméticas en función de xi y aj. Nos referiremos a dicha cadena usando
la escritura
PCA(x1« xm, a1,« an).
Lo que, en el álgebra escolar, se conoce como una «expresión
algebraica» corresponde a esta escritura simbólica de un PCA que, en
general, sirve para modelizar tanto el proceso de resolución de un
problema aritmético como su estructura. Si asociamos a un problema
aritmético el PCA que materializa su proceso de resolución, podemos
preguntar qué tipo de problemas aritméticos puede servir como sistema
inicial para sustentar la génesis del instrumento algebraico. Postulamos
que, dadas las restricciones institucionales que aparecen en la primera
etapa de la ESO (12-14 años), debemos limitarnos a aquellos problemas
cuyo PCA asociado, una vez simplificado, puede expresarse simbólicamente en la siguiente forma canónica 1:
PCA(n1,«, nm, a0« ak) Ł b0 + b1 n1 + « + bm nm
con ni  N desconocidos y ai, bi  Z conocidos.
¿Qué cuestiones problemáticas, planteables en la OM en torno a los
problemas aritméticos, requieren del uso del instrumento algebraico para
ser respondidas y, por lo tanto, podrían posibilitar la génesis funcional del
mismo? Postulamos que deben ser cuestiones acerca de las relaciones
que deben darse entre los argumentos de dos PCA para que estos
proporcionen resultados equivalentes o relacionados de una determinada
forma. Recíprocamente, suponiendo que se da cierta relación entre los
resultados de dos PCA, las cuestiones versarán sobre el tipo de relaciones
que deben darse entre los argumentos de dichos PCA. Veamos unos
ejemplos:
1. Esta estructura canónica es la que justifica que denominemos «lineales» a los correspondientes problemas.
748
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
T11: Noelia y Marga piensan, independientemente, sendos números.
Noelia multiplica su número por 3, resta 18 y acaba dividiendo este
resultado entre 9. Por su parte, Marga empieza restando 4 unidades al
número que pensó, a continuación multiplica el resultado por 5 y acaba
dividiendo el resultado por 10. Si, casualmente, obtienen el mismo
resultado final, ¿qué relación hay entre los números pensados por Noelia
y Marga?
Si denotamos por n el número pensado por Noelia y por m el pensado por
Marga, los resultados obtenidos después de aplicar los respectivos PCA
son:
n·3 ± 18 n
Ł ± 2;
3
9
(m ± 4) 5 m
PCA(m, 4, 5, 10) =
Ł ± 2.
10
2
PCA(n, 3, 18, 9) =
Igualando los dos PCA ya simplificados se obtiene n/3 = m/2, es decir,
n = 1,5 m: el número pensado por Noelia es una vez y media el número
que pensó Marga.
Otros especímenes del mismo tipo de problemas podrían ser los siguientes, que solo enunciaremos aquí:
T11ƍ: Si el resultado final obtenido por Marga es la mitad del que ha
obtenido Noelia, ¿podrías decir qué relación hay entre los números que
pensaron?
T11ƍƍ: Si Noelia pensó el número 9 y ambas obtienen el mismo resultado
final, ¿qué número pensó Marga?
En el trabajo de Eva Cid presentado en este mismo libro se propone un
proceso de estudio experimentado a lo largo de dos cursos académicos
con alumnos de la primera etapa de la ESO, dirigido a desarrollar las
técnicas de simplificación de expresiones algebraicas como paso previo
para resolver el tipo de problemas mencionado (ejemplificados aquí por
T11, T11ƍ y T11ƍƍ) que se sitúa en la primera etapa del proceso de
algebrización. Dicho trabajo muestra que es únicamente en este ámbito
algebraico en el que es posible llevar a cabo, con sentido, la introducción,
primero «operatoria» y después «conceptual», de los números negativos.
749
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
3. Tres etapas del proceso de algebrización de las OM escolares
Para avanzar en nuestra descripción del proceso de algebrización tal
como hemos iniciado en el apartado anterior, supongamos ahora que los
alumnos están en posesión del instrumento algebraico y tomemos como
punto de partida un problema aritmético con una estructura más compleja
(no «lineal») para ejemplificar con mayor claridad los «saltos» en el tipo
de actividad matemática que aparecen progresivamente en las sucesivas
etapas del proceso de algebrización. Para ello trabajaremos con el sistema
de triángulos isósceles inscritos en una circunferencia. En dicho sistema
pueden plantearse inicialmente problemas «aritméticos» resolubles
mediante la ejecución de un PCA en forma retórica y el patrón de
análisis-síntesis. Estos problemas forman parte de un sistema S mucho
más amplio que definimos como aquella OM que incluye los problemas
aritméticos en el sentido definido anteriormente y la posibilidad de
ejecutar PCA de forma retórica. Veamos un ejemplo concreto:
Figura 1. Triángulo isósceles inscrito en una circunferencia
P0: Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia de radio
6 cm. Si la altura relativa al lado desigual del triángulo mide 9 cm,
¿cuánto vale el área del triángulo?
La resolución aritmética (verbal) apoyada en la figura 1 sería la siguiente:
si restamos el radio a la longitud de la altura relativa al lado desigual,
obtenemos un segmento de 2,625 cm, como muestra la figura; utilizando
el teorema de Pitágoras, tenemos que la mitad del lado desigual del
triángulo es
9,3752 ± (2,625)2, operando obtenemos 9 cm; el área del
triángulo se obtiene de multiplicar la longitud de la base (9 u 2 = 18) por
750
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
la altura (12) y dividirla entre dos; obtenemos por lo tanto que el área del
triángulo es de 108 cm2.
En este sistema S se pueden plantear una serie de cuestiones de naturaleza
tecnológica relativas a por qué se obtiene el tipo de resultado que se
obtiene, a la interpretación de estos resultados, al alcance o dominio de
validez de las técnicas y a la delimitación de los tipos de problemas que
se resuelven con un mismo PCA, a las condiciones que se requieren (en
términos de relaciones entre los datos) para que un tipo de problemas
tenga solución o esta sea única, a la estructura del conjunto de las
soluciones de los diferentes tipos de problemas, etc. Este cuestionamiento
provoca la necesidad de ampliar el sistema inicial mediante progresivas
modelizaciones que expondremos a continuación.
3.1. Primera etapa del proceso de algebrización
Identificamos la primera etapa del proceso de algebrización con el
momento en que es necesario considerar el PCA como un todo, traducir
la formulación retórica del PCA a una formulación escrita (simbólica) y
manipularlo globalmente. En esta etapa aparece la necesidad de utilizar
nuevas técnicas, esencialmente de «simplificación», para resolver los
nuevos problemas 2. El paso de la formulación retórica de un PCA a su
formulación simbólica pone en juego la necesidad de escribir la secuencia
de operaciones en una única línea, explicitando su estructura de forma
global y, por lo tanto, tomando en consideración la jerarquía de las
operaciones, las reglas del uso de paréntesis y las propiedades de las
relaciones entre ellas (elementos tecnológicos).
Denotaremos por M1 la OM en la que se lleva a cabo esta primera
etapa del proceso de algebrización y que constituye una primera
ampliación de S, lo que resume la figura 2.
2. Por «simplificar un PCA» se entiende la operación de transformarlo en otro equivalente
que, en cierto sentido, sea más «sencillo» o, mejor, más «adaptado» o «adecuado» para
utilizarlo en una actividad matemática concreta. Para ello, se introducen algunos símbolos
que permiten identificar y explicitar los argumentos que juegan el papel de parámetros del
PCA y cuyo ámbito numérico debe delimitarse.
751
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
M2: Problemas que requieren la
S: OM en torno a los problemas
manipulación de PCA escritos
P(x, a1«ak) + técnicas de
manipulación
aritméticos + PCA (en forma
retórica) + patrón análisis-síntesis
Figura 2. Primera etapa del proceso de algebrización
3
Veamos como una pequeña modificación de los datos del problema P0
da lugar a una tarea que se sitúa en M1 porque requiere de la explicitación
del proceso de resolución:
P1: Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia y la altura
relativa al lado desigual del triángulo mide 3/2 del radio de la circunferencia. ¿Cómo depende el área del triángulo del radio de la circunferencia circunscrita?
En el ejemplo anterior, al conocer la longitud del radio (9,375) y la altura
relativa al lado desigual (12) podíamos ejecutar el programa de cálculo
siguiente:
A = PCA(9,375; 12) =
12·(2· (9,375)2 ± (12 ± 9,375)2)
.
2
En P0 los argumentos de los que depende el PCA son datos numéricos
conocidos y A es la incógnita, es decir, el área del triángulo que estamos
buscando. En P1 los datos no son numéricos y, por lo tanto, no es posible
la resolución aritmética anterior. Pero se puede utilizar la escritura en
línea del PCA utilizando letras en lugar de las longitudes dadas y, por
medio de la simplificación, responder a la cuestión planteada:
A = PCA(R; 3·R/2) =
3·R§
2·
2 ©
2
3·R
± R· ·
©2
¹ ¹
(R)2 ± §
2
Ł
3· 3·R2
.
4
El área del triángulo es el valor del radio de la circunferencia circunscrita
al cuadrado multiplicado por 3 3 y dividido entre cuatro.
En P0 los argumentos de los que depende el PCA son datos numéricos
conocidos y el área del triángulo buscada es también una cantidad de
magnitud. En P1 los datos no son numéricos (son relaciones) y, además,
la incógnita tampoco es numérica (es otra relación), por lo que no es
3. La elección de los datos a modificar es relativamente arbitraria y, evidentemente, no es
única.
752
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
posible una resolución aritmética. Esta es, esencialmente, la caracterización de los problemas que se sitúan en la primera etapa del proceso de
algebrización.
Es en esta primera etapa donde se sitúan, también, aquellos problemas
cuya resolución requiere resolver una ecuación 4 tal que la incógnita
aparece únicamente en uno de los miembros. Denotamos por M1ƍ a la
OM que contiene este tipo de problemas y que está incluida en M1 ya que
los problemas que forman parte de M1ƍ se obtienen a partir de los
problemas de M1 sin más que dar un valor numérico concreto a una de las
variables que en M1 hacía el papel de parámetro o incógnita. Proponemos
a continuación un problema P1ƍ de M1ƍ obtenido a partir de P1:
P1ƍ: Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia, la altura
relativa al lado desigual del triángulo mide 3/2 del radio de la
circunferencia y el área del triángulo es de 3 3 cm2. ¿Cuánto mide el
radio de la circunferencia circunscrita?
Solución: Partimos del PCA escrito y simplificado del problema P1:
A = PCA(R; 3·R/2) =
3·R§
2·
2 ©
2
3·R
± R· ·
©2
¹ ¹
(R)2 ± §
2
Ł
3· 3·R2
.
4
Sabiendo que A = 3 3 , se puede aplicar la técnica inversa a la ecuación
anterior y obtener el valor del radio R = 2.
Queremos remarcar que en los problemas de M1ƍ la ecuación se construye
utilizando únicamente técnicas de simplificación (no hay que utilizar
técnicas de cancelación puesto que la incógnita aparece únicamente en
uno de los dos miembros de la ecuación). En el caso particular de los
problemas lineales, la simplificación siempre culmina en una forma
canónica que hace innecesarias las técnicas ecuacionales propiamente
dichas, puesto que la ecuación resultante después de la simplificación
puede resolverse utilizando el patrón de análisis-síntesis. De todos
modos, también podemos encontrar problemas no lineales sencillos
situados en M1ƍ cuya resolución no requiere de técnicas ecuacionales
(véase el ejemplo anterior P1ƍ).
4. El significado de la noción de ecuación es el usual y puede expresarse como la igualdad
entre dos programas de cálculo aritmético que contienen (al menos uno de ellos) una o
más incógnitas.
753
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
3.2. Segunda etapa del proceso de algebrización
El paso a la segunda etapa del proceso de algebrización se identifica con
la necesidad de igualar dos PCA que contienen los dos mismos argumentos no numéricos (x1, x2):
P(x1, x2, a1« ak) = Q(x1, x2, b1« bs).
Se requiere de nuevas técnicas, las técnicas de cancelación, puesto
que hay que manipular una igualdad de dos PCA como un nuevo objeto
matemático (ecuación). El uso de dichas técnicas tiene por objetivo
obtener ecuaciones equivalentes y no solo PCA equivalentes como
pasaba con las técnicas de simplificación características de M1. Aparece
así un segundo modelo M2 que, además de aumentar el nivel de algebrización, amplía y completa M1, como resume la figura 3:
M2: Problemas que requieren una
M1: Problemas que requieren la
igualdad entre dos PCA con los
mismos argumentos no numéricos
+ técnicas de cancelación
manipulación de PCA del tipo
P(x, a1« ak)
Figura 3. Segunda etapa del proceso de algebrización
Un ejemplo de problema en M2 podría ser el siguiente:
P2: Dos triángulos isósceles están inscritos respectivamente en circunferencias de radios R1 y R2. Se sabe que la altura (relativa al lado
desigual) del segundo es el doble de la correspondiente altura del
primero y el radio de la segunda circunferencia excede en 1 cm al radio
de la primera. Si los dos triángulos tienen la misma área, ¿qué relación
hay en cada caso entre la altura del triángulo y el radio de la
circunferencia circunscrita?
Si denominamos por h1, h2 a las alturas, R1, R2 a los radios y A1, A2 a las
áreas respectivamente, podemos expresar ambas áreas mediante los
siguientes PCA:
A1 = PCA(R1, h1) = h1· (R1)2 ± (h1 ± R1)2
A2 = PCA(R2, h2) = h2· (R2)2 ± (h2 ± R2)2
Utilizando las relaciones dadas por el enunciado, h2 = 2h1 y R2 = R1 + 1, e
igualando los dos PCA, obtenemos:
h1· (R1)2 ± (h1 ± R1)2 = 2·h1· (R1 + 1)2 ± (2·h1 ± (R1 + 1))2
754
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
que equivale a 14R1h1 ± 15h1 2 + 16h1 = 0. Así para el primer triángulo
14·R1 + 16
y la
tenemos que la relación entre la altura y el radio es h1 =
15
28·R2 + 4
relación para el segundo triángulo es h2 =
.
15
A continuación describiremos una OM incluida en M2 que tiene una
presencia muy destacada en la matemática escolar española. La
denominaremos M2ƍ y tiene la misma relación con M2 que M1ƍ WHQtD
con M1. Se trata de la OM que contiene las tareas resolubles mediante
ecuaciones con una incógnita. Veamos un ejemplo de tarea matemática
de P2ƍ en M2ƍ  M2:
P2ƍ: Dos triángulos isósceles están inscritos respectivamente en circunferencias de radios R1 y R2. Se sabe que la altura (relativa al lado
desigual) del segundo es el doble de la correspondiente altura del
primero y el radio de la segunda circunferencia excede en 1 cm al radio
de la primera. Si los dos triángulos tienen la misma área y la altura del
primer triángulo es de 2 cm. ¿cuánto mide el radio de la circunferencia
circunscrita a este triángulo?
Utilizaremos aquí la relación 14R1h1 ± 15h12 + 16h1 = 0 encontrada
anteriormente. Si substituimos el valor de h1 por 2 y llevamos a cabo la
resolución de la ecuación de primer grado obtenemos una única solución:
R1 = 1 cm.
Queremos apuntar que existe el peligro de identificar la razón de ser
del álgebra escolar con la resolución de los problemas situados en M2ƍ. En
nuestro MER la OM en la que tiene lugar la segunda etapa del proceso de
algebrización, M2, contiene ampliamente a M2ƍ (puesto que los problemas
de M2ƍ se obtienen sin más que dar un valor numérico concreto a una de
las variables que en M2 hacia el papel de parámetro o incógnita) y,
además, la razón de ser del álgebra escolar no se manifiesta plenamente
hasta culminar en la tercera etapa del proceso de algebrización.
Postulamos que el modelo dominante del álgebra escolar como aritmética
generalizada y la correspondiente obligación de que el resultado de una
tarea sea numérico es un factor que puede haber llevado a considerar que
las tareas de M2ƍ (la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico
755
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
y la resolución de ecuaciones con una incógnita) constituyen la culminación del álgebra escolar.
3.3. Tercera etapa del proceso de algebrización
La tercera etapa del proceso de algebrización corresponde al momento
en que se requiere una fuerte generalización del cálculo ecuacional
debido a la necesidad de no limitar el número de variables y de no hacer
ningún tipo de distinción entre incógnitas y parámetros. El tipo de
cuestiones que provoca esta ampliación tiene relación con el estudio de la
variación conjunta de dos o más variables y su repercusión sobre la
variación del PCA. Las técnicas para abordar estas cuestiones en el
ámbito puramente algebraico son bastante limitadas. Son eficaces en
casos sencillos: por ejemplo, si sabemos que R = x˜y/z, podemos afirmar
que el valor de R aumenta cuando x o y aumentan y que disminuye
cuando z aumenta. Pero cuando el PCA es más complejo aparecen
«fórmulas» mucho más difíciles de analizar si solo disponemos de
técnicas algebraicas. Veamos dos ejemplos:
P3: ¿Se puede determinar un triángulo isósceles por su área A y la
longitud del lado igual c? ¿Cuánto mide el radio R de la circunferencia
donde se inscribe el triángulo? ¿Cómo depende R de la variación
conjunta de los lados b y c?
Si denominamos h a la altura y c a la magnitud de los lados iguales,
utilizando el teorema de Pitágoras tenemos que la longitud del lado
desigual del triángulo es b = 2 c2 ± h2. El área del triángulo viene
entonces dada por A = PCA(c, h) = (h·2 c2 ± h2 ) / 2. Despejando h de la
ecuación, obtenemos el valor de la altura en función de los parámetros c
y A:
H=±
c2 ± c4 ± 4·A2
.
2
Hemos determinado las dimensiones del triángulo (h y b) en función de
los datos iniciales y podemos concluir que: si el valor de A es mayor que
c2/2 no existe ningún triángulo que verifique las condiciones del
enunciado; si el valor de A es igual que c2/2 existe un único triángulo que
cumpla las condiciones requeridas; y, finalmente, si A es menor que c2/2
existen dos triángulos con área A y lados iguales c.
756
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
c
c
h±R
b/2
Figura 4. Triángulo isósceles dada el área A y lado igual c
Veamos ahora cual es la relación con el valor de R. De la fórmula del área
deducimos que b = 2A/h. Observando la figura 4 y aplicando el teorema
de Pitágoras se obtiene la igualdad siguiente 5:
(h ± R)2 + (b/2)2 = (h ± R)2 + (A/h)2 = R2 .
4
Deducimos entonces que R =
(*)
2
h +A
.
2h3
Para el caso de A menor que c2/2, en el que existen dos triángulos, los
h 4 + A2
y
radios de las circunferencias respectivas son
2·h· A2 + h4 + |A2 ± h4|
4
2
h +A
. El valor de los dos radios solo es igual cuando
2·h· A2 + h4 ± |A2 ± h4|
A = c2/2, que corresponde al caso en que únicamente existe un triángulo.
Para estudiar cómo depende R de la variación conjunta de b y c, podemos
partir de la igualdad (*) combinada con h2 + (b/2)2 = c2 para obtener la
c2
expresión: R =
. Deducimos que siempre que 2c > b, tendre4c2 ± b2
mos R > 0 y, por lo tanto, existirá una única circunferencia circunscrita al
triángulo.
En la resolución que se ha iniciado con el problema P0 hasta su desarrollo
que ha desembocado en el problema P3 se ha llevado a cabo la ejemplificación de un proceso completo de modelización algebraica que permite
dar información acerca de la estructura misma del tipo de problemas que
emergen del sistema considerado. Es en esta tercera etapa, cuyo ámbito
de trabajo es una OM más amplia y completa que M2 y que denotaremos
por M3, donde se encuentran las fórmulas algebraicas y donde consi5. En el caso de que h < R, la igualdad sería (R ± h)2 + (b/2)2 = R2 y el razonamiento no
sufriría ningún cambio.
757
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
deramos que culmina el proceso de algebrización elemental, como se
resume en la figura 5.
M3: Problemas que requieren el
M2: Problemas que requieren el
uso de una fórmula
algebraica + técnicas para
estudiar cómo depende cada
variable de la fórmula de
las restantes
uso de una igualdad entre dos
PCA con los mismos
argumentos no numéricos
+ técnicas de cancelación
Figura 5. Tercera etapa del proceso de algebrización
4. El desarrollo del instrumento algebraico: la modelización
algebraico-funcional
Vamos a describir a continuación la modelización algebraico-funcional
mostrando en qué sentido se puede considerar como un desarrollo de la
modelización algebraica. Denominamos primer nivel de modelización
algebraico-funcional de un sistema el que se materializa en modelos que
se expresan mediante funciones aisladas de una única variable y las
correspondientes ecuaciones (e inecuaciones) asociadas. El paso al
primer nivel de modelización algebraico-funcional es provocado por tipos
de cuestiones que hacen referencia a la variación de una magnitud del
sistema en función de otra. Dichas cuestiones pueden surgir del trabajo en
M2 (segunda etapa del proceso de algebrización) pero no pueden ser
completamente resolubles ni en M2 ni en M3. Requieren el uso de nuevas
técnicas (que llamaremos «funcionales» y «gráficas») y que se sitúan en
una nueva ampliación de M2 que designaremos en adelante por OMf(x),
como resume la figura 6.
OMf(x): Problemas que requieren el
uso de funciones aisladas de
una única variable + técnicas
gráficas + cálculo diferencial
en una variable
M2: Problemas que requieren el
uso de una igualdad entre dos
PCA con los mismos
argumentos no numéricos
+ técnicas de cancelación
Figura 6. Primer nivel del proceso de modelización algebraico-funcional
El tipo de tareas matemáticas que forman parte de OM f(x) son las
requeridas para estudiar funciones aisladas, es decir, para descubrir las
relaciones internas entre los elementos de una misma función y para
758
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
analizar su comportamiento global. Siguiendo con el estudio del sistema
de los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia, podemos tomar
el siguiente ejemplo de problema situado en OMf(x):
P4: Un triángulo isósceles está inscrito en circunferencias de radio
R = 2 cm. ¿Qué dimensiones tendrá el triángulo de área máxima?
¿Cuántos triángulos inscritos en la circunferencia de radio 2 existen que
tengan una área A dada?
Para determinar el triángulo de área máxima inscrito en la circunferencia,
trabajaremos con el modelo que hemos obtenido en el problema P2:
A = PCA(2, h) = (h·(2· 22 ± (h ± 2)2 ))/2 Ł h· 4h ± h2.
R es un parámetro fijado por el enunciado; por lo tanto, podemos pensar
que el área A es una función que depende de h:
A
h1
h2
Figura 7. Relación entre el área A del triángulo y su altura h
A(h) = h· 4h ± h2. Usando una técnica gráfica de la figura 7 podemos
determinar de forma aproximada
6
el valor máximo del área, que se
alcanza cuando h = 3 (y b = 2 3 ) y es A(3) = 6 3. Observamos que el
valor del lado igual c, que se obtiene de la igualdad h2 + (b/2)2 = c2, mide
2 3 cm, es decir, coincide con la base del triángulo; así el triángulo de
área máxima es un triángulo equilátero.
La gráfica de la función A(h) también nos permite responder a la segunda
cuestión planteada. Para un valor A fijado del área, menor que el valor del
área máxima, existen dos posibles alturas de triángulos (h1 y h2) como se
6. También podría usarse la técnica de derivación y calcular Aƍ(h) e igualar la función
resultado a cero.
759
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
indica en la figura de la derecha, es decir, existen dos triángulos diferentes inscritos en la circunferencia de radio 2 con la misma área.7
Denominamos segundo nivel de modelización algebraico-funcional de un
sistema el que se materializa en modelos que se expresan precisamente
mediante familias de funciones de una variable y las correspondientes
ecuaciones (e inecuaciones) paramétricas asociadas. En este segundo
nivel de modelización se distingue entre «parámetros» y «variables» ya
que se trabaja con familias de funciones de una variable, pero no con
funciones de dos variables. Denominaremos OMfp(x) a la OM que amplía
OMf(x) para contener estos nuevos problemas:
OMfp(x): Problemas que requieren el
OMf(x): Problemas que requieren el
uso de funciones aisladas de
una única variable + técnicas
gráficas + cálculo diferencial
en una variable
uso de una familia de funciones
fp(x, y) = 0, donde una de las
variables puede aislarse
y = Fp(x) + teoría de familias de
funciones de una variable
Figura 8. Segundo nivel del proceso de modelización algebraico-funcional
Un ejemplo de problema que se situaría en este segundo nivel es:
P5: ¿El perímetro y el área de un triángulo isósceles determinan sus
dimensiones? En caso afirmativo, ¿cuál es el radio R de la circunferencia
circunscrita?
Para dar respuesta a esta cuestión se requiere explicitar la ecuación del
problema en función de los parámetros A (área) y P (perímetro). De la
definición de perímetro obtenemos la relación c = (P ± b)/2. Utilizando
dos relaciones usadas en los problemas anteriores (A = hb/2 y
h2 + (b/2)2 = c2), llegamos a ± 2Pb + Pb2 ± 16A2 = 0. No parece sencillo,
a partir de aquí, estudiar con técnicas algebraicas cómo depende b de los
valores de A y P, situación que motiva el uso de estrategias funcionales
7. Se podría llegar a la misma conclusión a partir del estudio del signo de la derivada de la
función y usando algunos de los teoremas de continuidad de funciones de una variable
real. Con el uso de técnicas de aproximación numéricas para el cálculo de raíces (método
de bisección, de Newton-Raphson, etc.) es posible calcular h1 y h2 para cada valor
concreto de A > 0.
760
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
para abordar el problema planteado, utilizando la familia de funciones
fA(P, b) = ± 2Pb3 + P2b2 ± 16A2. Ahora el problema se traduce al estudio
de cuántas veces interseca nuestra función con el eje de abscisas,
problema que puede resolverse calculando la derivada parcial de f
respecto de la variable b:
± 6Pb2 + 2P2b.
Igualando esta derivada a cero, deducimos que en b = 0 se sitúa el mínimo
relativo de la función y, por lo tanto, nunca existirán tres triángulos
isósceles diferentes con el mismo perímetro y área, ya que existe siempre
un punto de corte negativo con el eje de abscisas. En b = P/3 hay un
máximo relativo para el que se tiene: fA(P, P/3) = P4/27 ± 16A2. Si
P2
fA(P, P/3) = P4/27 ± 16A2 = 0, es decir, si A =
, existe un único
12 3
triángulo isósceles (que será también equilátero) con área A y períP2
metro P. Si A >
no existe ningún triangulo isósceles y si
12· 3
2
P
existen dos triángulos isósceles.
A<
12· 3
Denominamos tercer nivel de modelización algebraico-funcional de un
sistema, el que se materializa en modelos que se expresan mediante
familias de funciones de dos o más variables y las correspondientes
fórmulas asociadas. En este tercer nivel de modelización el papel de los
parámetros y de las variables es intercambiable. Se estudia cómo
repercute la variación conjunta de dos o más variables sobre la variación
de una función. Esta tarea puede plantearse en OMfp(x) aunque, como ha
pasado en los casos anteriores, no existen técnicas en esta OM que
permitan su completa resolución.
Denominaremos OMf(x1,«,xn) la OM que incluye las nuevas técnicas
que se requieren para resolver estos nuevos tipos de problemas:
OMf(x1,«, xn): Problemas que
OMfp(x): Problemas que requieren
requieren el uso de funciones de
dos o más variables + cálculo
diferencial de funciones de
varias variables
el uso de una familia de
funciones fp(x, y) = 0 + cálculo
de funciones de una variable
Figura 9. Tercer nivel del proceso de modelización algebraico-funcional
761
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
Para finalizar veamos a continuación el tercer nivel de modelización
algebraico-funcional plasmado en nuestro ejemplo:
P6: Dado un triángulo isósceles de área A inscrito en una circunferencia
de radio R, estudiar la variación del perímetro en función de A y R.
Sea b el lado desigual del triángulo, h la altura relativa a este lado y c el
lado igual. Despejando b de la fórmula del área de un triángulo tenemos
que b = 2A/h y, por lo tanto, el perímetro viene dado por
P = 2c + b = 2c + 2A/h. Basándonos en la resolución del problema P3, se
obtienen las dos igualdades siguientes:
(h ± R)2 + (b / 2)2 = R2
y
h2 + (b / 2)2 = c2,
de donde se deduce que c = 2Rh.
Podemos expresar el perímetro como un programa de cálculo con varios
parámetros:
P(R, A, h) = 2 2Rh + A/h,
2
donde 0 ” A ” 3 3 R /2 y A/R ” h ” 2 R, y estudiar la variación de esta
función con las técnicas de cálculo de varias variables.
Si retomamos el problema P3 en genérico, se puede calcular que el valor
del área máxima se obtiene cuando h = 3R/2; por lo tanto, cuando A sea
un valor menor que el valor del área máxima, que corresponde a
2
3 3 R /2, las alturas de los dos triángulos solución h1, h2 verificarán la
relación siguiente: h1 < 3R/2 < h2. Así para el triángulo de altura h2
siempre se verificará R < (3R/2)3 < h23/2; por lo tanto, una variación de
una unidad de R provocará siempre mayor variación de la longitud del
perímetro del triángulo.
En cambio, para el triángulo de h1 no podemos dar una respuesta única,
ya que dependerá del resultado numérico.
Como hemos visto, la línea de evolución del proceso de estudio nos ha
llevado a la construcción de funciones de varias variables. Es importante
remarcar que muchos de los problemas que se sitúan en OMf(x1,«,xn), esto
es, en el tercer nivel de modelización algebraico-funcional, pueden expresarse mediante un PCA similar al de los problemas de la tercera etapa,
M3, del proceso de modelización algebraica, esto es, mediante un PCA
del tipo:
762
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
PCA(x1« xm, a1,« an ) = 0.
Pero, considerada como organización matemática, OMf(x1,«,xn) contiene y
completa ampliamente a M3 por dos motivos principales. En primer lugar,
porque OMf(x1,«,xn) incluye el trabajo con funciones de varias variables
que no sean «algebraicas» (por ejemplo aquellas definidas mediante la
composición de funciones logarítmicas, exponenciales, circulares, etc.) y,
en segundo lugar, aunque nos restrinjamos dentro de OMf(x1,«,xn) a
problemas definidos mediante funciones «algebraicas». No hay que
olvidar que OMf(x1,«,xn) contiene tareas, técnicas matemáticas y elementos
tecnológico-teóricos que no existen en M3 y, por lo tanto, permite plantear
(y responder) cuestiones matemáticas no abordables con los instrumentos
matemáticos de M3. En términos generales podríamos decir que, mientras
las tareas propias de la modelización algebraica se caracterizan por el
hecho de que los datos son relaciones algebraicas y la incógnita es
también una relación algebraica, las tareas específicas de la modelización funcional se caracterizan por incluir el estudio de la variación
continua de una variable respecto de otra u otras, lo que requiere el uso
de técnicas funcionales y, en particular, de las técnicas y el discurso
tecnológico-teórico que proporciona el cálculo diferencial.
Acabamos de describir una herramienta que debería facilitar y
organizar el diseño y análisis posterior de diferentes propuestas didácticas
integradas para llevar a cabo la génesis didáctica y el desarrollo del
álgebra como instrumento de modelización en la enseñanza secundaria.
Por otra parte, ya hemos realizado algunas experimentaciones situadas en
la primera y segunda etapa del proceso de algebrización con alumnos de
primer ciclo de la ESO y también en el primer y segundo nivel de
modelización algebraico-funcional con alumnos de segundo ciclo de la
ESO y bachillerato. Creemos que el cambio de visión sobre el álgebra
escolar que proponemos será el punto de partida para dar solución a algunos fenómenos didácticos ya mencionados anteriormente y articular
algunas de las organizaciones matemáticas que aparecen (o podrían
aparecer) en Secundaria. Pero deberemos esperar al cuarto congreso de la
TAD para empezar a mostrar algunos resultados en esta línea de
investigación.
763
Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón
Agradecimientos
Trabajo realizado en el marco del proyecto EDU2008/02750EDUC del
Ministerio de Ciencia e Innovación de España.
Referencias
Bolea, P. (2003). El proceso de algebrización de organizaciones matemáticas escolares. Monografía del Seminario Matemático García de Galdeano, 29. Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza.
Bolea, P., Bosch, M. & Gascón, J. (2004). Why is modelling not included
in the teaching of algebra at secondary school? Quaderni di Ricerca in
Didattica, 14, 125-133.
Chevallard, Y. (2005)/DSODFHGHVPDWKpPDWLTXHVYLYDQWHVGDQVO¶pGXcation secondaire : transposition didactique et nouvelle épistémologie
scolaire. En C. Ducourtioux & P.-L. Hennequin (Eds.), La place des
PDWKpPDWLTXHVYLYDQWHVGDQVO¶HQVHLJQHPHQWVHFRQGDLUHPublications
GHO¶$30(3 168 (pp. 239-263). París: APMEP.
Fonseca, C. (2004). Discontinuidades matemáticas y didácticas entre la
Secundaria y la Universidad (Tesis doctoral no publicada). Universidad de Vigo.
García, F. J. (2005). La modelización como herramienta de articulación
de la matemática escolar. De la proporcionalidad a las relaciones
funcionales (Tesis doctoral no publicada). Universidad de Jaén.
Gascón, J. (1993). Desarrollo del conocimiento matemático y análisis
didáctico: Del patrón análisis-síntesis a la génesis del lenguaje algebraico. Recherches en didactique des mathématiques, 13(3), 295-332.
Gascón, J. (1993- 8Q QRXYHDX PRGqOH GH O¶DOJqEUH pOpPHQWDLUH
FRPPHDOWHUQDWLYHjO¶© arithmétique généralisée ». Petit x, 37, 43-63.
Gascón, J. (1999). La naturaleza prealgebraica de la matemática escolar.
Educación matemática. 11(1), 77-88.
Ruiz-Munzón, N. (2006). Ecologia de la modelització algebraico-funcional al Batxillerat (Memoria de investigación, Diploma de Estudios
Avanzados). Universitat Autònoma de Barcelona.
Ruiz-Munzón, N., Bosch, M. & Gascón, J. (2007). Modelización funcional con parámetros en un taller de matemáticas con WIRIS. En
L. Ruiz Higueras, A. Estepa & F. J. García (Eds.), Sociedad, escuela y
764
Un MER del álgebra como instrumento de modelización
matemáticas. Aportaciones de la teoría antropológica de lo didáctico
(pp. 677-702). Jaén: Publicaciones de la Universidad de Jaén.
Ruiz-Munzón, N., Bosch, M. & Gascón, J. (2010). La algebrización de
los programas de cálculo aritmético y la introducción del álgebra en
secundaria. En A. Bronner, M. Larguier, M. Artaud, M. Bosch,
Y. Chevallard, G. Cirade & C. Ladage (Eds.), Diffuser les mathématiques (et leVDXWUHVVDYRLUVFRPPHRXWLOVGHFRQQDLVVDQFHHWG¶DFWLRQ
(pp. 649-669). Montpellier, Francia: IUFM.
765