Download Estadística

Estadística
ESTADÍSTICA
Sesión No. 11
Nombre: Distribuciones de probabilidad continua. Primera parte.
Contextualización
¿Qué es la función de densidad?
En la penúltima sesión aprenderás a definir y conocer la función de densidad, de
distribución acumulada, media y varianza de la variable aleatoria estándar.
Resolverás problemas que se relacionen con la variable aleatoria normal
estándar, además de conocer la función de densidad, media y varianza de
variables aleatorias relacionadas con la distribución normal.
Conocerás la relación entre la distribución binomial y la normal.
Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/images/standard-normal-distribution.gif
1
ESTADÍSTICA
Introducción al Tema
¿Qué es la distribución de probabilidad normal?
La distribución de probabilidad más usada para describir variables aleatorias
continuas es la normal.
La distribución de probabilidad normal tiene una diversidad de aplicaciones
prácticas, en las que la variable aleatoria puede ser el peso o la estatura de las
personas, puntuaciones de exámenes, resultados de mediciones científicas,
precipitación pluvial u otras cantidades similares.
Fuente: http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_7_archivos/figura1.gif
2
ESTADÍSTICA
Explicación
Distribución normal. Relación entre distribución normal y binomial
¿Conoces algo sobre la distribución normal?
La variable aleatoria normal X representa el comportamiento de muchos
fenómenos naturales, sociales, económicos, industriales, etcétera. Por lo que es
de uso bastante común.
La distribución se origina cuando el número de ensayos en una variable aleatoria
discreta se vuelve grande.
Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distribucion-normal-01.gif
Características de la curva normal:
•
También es llamada Campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal.
•
Es simétrica respecto a su valor central (𝜇)
•
Su punto máximo coincide con la media(𝜇)
3
ESTADÍSTICA
•
Tiene puntos de inflexión situados a ambos lados de la media (𝜇) a una
distancia (±𝑛𝜎) de ella. (n = 1, 2, 3).
•
Su área total bajo la curva es 1 (100%).
•
Esta función no tiene una solución sencilla para calcular valores de
probabilidad, por lo que se requiere de una variable especial llamada
variable normal estándar (Z).
Distribución normal estándar
Si X es una variable normal con E(X) = 𝜇 y V(X) = 𝜎 2 , entonces
𝑧=
𝑥̅ −𝜇
𝜎
, es una variable normal estándar.
La media está dada por: E (Z)=0 y la varianza está dada por: V (Z)=1.
Ejemplo: el tiempo de preparación de una comida casera en particular se
distribuye normalmente con una media de 12 minutos y una desviación estándar
de 5.3. Calcula la probabilidad de que una comida:
a) Demore en ser preparada menos de 10 minutos.
b) Demore en ser preparada entre 10 y 13 minutos.
c) Demore más de 15 minutos.
Solución: 𝜇 = 12, 𝜎 = 5.3
a) x= 10  𝑧 =
10−12
5.3
= −0.38
P (z<-0.38) = P (z>0.38)= 1- P (z<0.38)
=1-0.6480 (dato de la tabla de distribución normal)
P (z<_0.38) =0.352
b) x= 10 y 13
4
ESTADÍSTICA
𝑧=
10 − 12
= −0.38,
5.3
𝑧=
13 − 12
= 0.19
5.3
P (-0.38<Z<0.19) = P (z<0.19) – [1- P (z<0.38)]
= 0.5753 – 0.352 = 0.2233
c) x= 15
𝑧=
15−12
5.3
= 0.57
P (z>0.57)= 1- P (z<0.57)
= 1- 0.7157 = 0.2843
Cálculo de probabilidades binomiales usando la distribución normal
La distribución normal proporciona una aproximación a las probabilidades
binomiales considerando que la media µ=np y la desviación estándar
σ = np(1 − p) . Por lo tanto,
z=
x − np
,
np (1 − p )
n (z, 0,1)
Donde x es el número de éxitos buscados en n intentos.
Ejemplo: La probabilidad de que un alumno sea originario de Cd. Obregón,
Sonora y viva fuera de la casa paterna es de 0.3. Si se encuestan 35 alumnos,
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 6 alumnos sean de Obregón y
vivan fuera de su casa paterna?
Si deseamos b(x=6, n=35, p =0.3) entonces hacemos un ajuste: 6.5<x<7.5 y con
este intervalo de valores de calcula z 1 y z 2 para hacer el cálculo n(z,0,1) como
de costumbre.
Para x= 8, 6.5 < x < 7.5
5
ESTADÍSTICA
z1 =
x1 − np
6.5 − (35)(.3)
−4
=
=
= −1.47
(35)(.3)(.7)
7.35
np (1 − p )
z1 =
x1 − np
−3
7.5 − (35)(.3)
=
=
= −1.10
np (1 − p )
(35)(.3)(.7)
7.35
Entonces tenemos que: P (-1.47<x<-1.10) = P(-1.10)-P(-1.47)
Utilizando la tabla, tenemos que
= 0.1357 - .0708 = 0.0649
6
ESTADÍSTICA
Conclusión
En la sesión aprendimos que la distribución normal es la de mayor uso dentro de
las aplicaciones de probabilidad. Esto es debido a que modela cualquier
fenómeno presente en situaciones de todo tipo y es más fácil asumir como
primer paso de la solución de un problema que los datos presentados tienen una
distribución normal.
En la siguiente sesión veremos otra distribución de probabilidad que se aproxima
a la distribución normal, esta es la distribución t-student.
Fuente: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/estadisticas/ap2/prueba_t07.gif
7
ESTADÍSTICA
Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
•
Legareza, J. (s/f). Distribución normal. Consultado el día 29 de octubre del
2013:
http://brd.unid.edu.mx/distribucion-normal-3/
•
Ejercicios resueltos. Distribución Normal. (s/f). Consultado el día 29 de
octubre del 2013:
http://brd.unid.edu.mx/ejercicios-resueltos-distribucion-normal/
Video relacionado con el tema:
•
Ejercicios Distribución Normal I. (2012). Consultado el día 29 de octubre
de 2013:
http://brd.unid.edu.mx/ejercicios-distribucion-normal-i/
•
Hernández, E. (2012). Distribución normal de probabilidades. Consultado
el 29 de octubre de 2013:
http://brd.unid.edu.mx/distribucion-normal-de-probabilidades/
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
8
ESTADÍSTICA
Actividad de Aprendizaje
Con lo aprendido en esta sesión acerca de Distribución de probabilidad normal,
resuelve el siguiente ejercicio:
De acuerdo con un instituto, las personas duermen un promedio aproximado de
6.8 horas por noche. Siendo que la desviación estándar es de 0.6 horas y que la
distribución de probabilidad es normal.
a. ¿Qué posibilidad existe de que al azar una persona duerma más de 8
horas?
b. ¿En qué estriba que una persona al azar duerma 6 horas o menos?
c. ¿Qué porcentaje de la población duerme entre 7 y 9 horas?
Sube tu trabajo a plataforma.
9
ESTADÍSTICA
Bibliografía
Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.
10