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Capitulo
2
Características eléctricas de las líneas
de transmisión aéreas
Objetivo:
El alumno determinará los parámetros características de las líneas de transmisión
aéreas con auxilio de la computadora.
2 . 1
Introducción
En el campo de los sistemas eléctricos de potencia, una línea de transmisión se
define como el medio de conducción de energía eléctrica, constituida por cables
conductores y cables de guarda que sirven como medio de transporte y blindaje de
protección contra descargas atmosféricas respectivamente y en algunos casos
pueden contar con fibra óptica como medio de comunicación, todos ellos sujetados
mediante herrajes, aislados por cadenas de discos de porcelana, vidrio o materiales
sintéticos instalados en soportes o estructuras de madera o concreto, postes o torres
metálicas los cuales van separados a una cierta distancia llamado claro.
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2 . 2
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Materiales conductores usados en las líneas de transmisión
Los materiales conductores normalmente utilizados son el cobre y el aluminio y
pueden emplearse indistintamente si las distancias entre postes son pequeñas.
Sin embargo, los conductores de cobre desnudos se emplean preferentemente en
líneas aéreas abiertas, donde se requiere gran resistencia a la tensión, para que
soporte sin romperse, los esfuerzos normales a los que se somete una catenaria de
características preestablecidas.
El cobre es el metal más utilizado en la industria eléctrica, debido a que posee
elevada conductividad eléctrica, alta conductividad térmica, resistencia a la corrosión,
gran maleabilidad, gran ductilidad, alta resistencia mecánica, no es magnético y es
fácilmente soldable.
Las especificaciones de la ASTM , establecen tres temples de cobre en la fabricación
de conductores eléctricos, Cobre de temple duro, temple semiduro y temple suave
(recocido).
Los conductores de aluminio son muy usados debido a su alta conductividad por
unidad de peso y se utilizan principalmente en líneas cortas, particularmente donde
existen razones para que el espacio entre soportes sea corto, por ejemplo las líneas
de distribución urbana.
Las especificaciones ASTM establecen cuatro construcciones posibles para
conductores desnudos que se usen en líneas aéreas abiertas, las cuales son:
 Alambre
 Cable concéntrico clase AA ( 7/12 )
 Cable concéntrico clase A ( 7 / 19 )
 Cable concéntrico clase B ( 19 / 37 )
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La diferencia que caracteriza a cada una de las construcciones anteriores es el
número de alambres con que cuenta para un calibre dado, lo que a su vez, define la
flexibilidad del cable.
En la tabla 2.1 se muestran algunas características más importantes de los
conductores de cobre y aluminio:
Aluminio
Cobre duro
Conductividad eléctrica
0.61
0.975
Peso específico
2.71
8.89
Resistencia a la tensión ( New / m2 )
Blando 180 x 106 Duro
Resistencia eléctrica para 1 km de Blando 27.75
Duro
234 x 106
Blando 384 x 106 Duro
430 x 106
28.72
Blando 16.92
17.34
Duro
longitud y 1 mm2 de sección
Peso por km para 1 mm2 de sección ( 8.144
27.07
New )
Relación de áreas para igual resistencia
1.66
1.0
Relación de peso para igual área
1.0
3.3
Relación de peso para igual resistencia
1.0
2.0
Coeficiente de expansión lineal por C
0.0000245
0.000017
Relación de conductividades para igual 1.6
1.0
área
Tabla 2.1
El primer conductor de aluminio tubo gran aceptación debido a que cumplía con las
propiedades, dimensiones, pesos y aplicaciones específicas, sin embargo, se
necesitaba de una mayor relación, resistencia a la tensión / peso. Por lo cual se
observo que cableando alambres de aluminio alrededor de un núcleo de acero
producía mejores resultados y eliminaba las desventajas inherentes a los cables con
grandes diámetros.
El desarrollo del cable mencionados, (ACSR), combina el bajo peso y alta capacidad
de corriente del aluminio, con alta resistencia a la tensión del núcleo de acero.
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Los alambres de aluminio, dispuestos en una o más capas son cableados
concentricamente sobre un núcleo de acero galvanizado, el cual puede ser sólido o
cable concéntrico. La forma trenzada es con la finalidad de prevenir vibraciones y
proporcionar flexibilidad con grandes secciones transversales.
2 . 3
Selección de conductores
Para seleccionar el tipo de conductor en cuanto a material se deben de tomar en
cuenta las características de corrosión galvánica y/o atmosférica en la zona en que
se localizará la línea.
El problema de la corrosión galvánica es el resultado de una combinación de factores
tales como, metales diferentes en contacto, diferencia de potencial entre los metales
y presencia de agua.
La corrosión se presenta debido a los efectos
producidos por el clima combinado con el medio
ambiente de la zona ( marino. industrial y rural ), y
Dependiendo
de
la
zona
de
corrosión
se
recomienda utilizar el tipo de cable según la tabla
Zona de corrosión
Tipo de cable
Fuerte
CW-CU
Media
ACSR/AW
Ligera
ACSR
Tabla 2.2
2.2
Los símbolos que identifican a los diferentes tipos de conductores utilizados en las
líneas de transmisión son los siguientes:
 ACC
Conductor totalmente de aluminio.
 AAAC
Conductor totalmente de aleación de Aluminio.
 ACSR
Conductor de Aluminio con alma de acero.
 ACSR/AW
Conductor de Aluminio con alma de alumonelo.
 ACAR
Conductor de aleación de aluminio reforzado con acero.
 CW
Conductor de cooperweld y cobre
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A continuación damos algunas recomendaciones sobre el uso de conductores.
 El empleo de conductores ACSR permite distancias entre postes mayores,
lográndose ahorro en estructuras, aisladores etc.
 No deben emplearse conductores ACSR en zonas de contaminación fuerte o con
atmósfera salubre próxima al mar, debido a que los efectos de corrosión
electroquímica entre los hilos de acero y de aluminio los destruye rápidamente.
 Se recomienda usar alambres y cables de cobre en líneas de transmisión,
subtransmisión y distribución en zonas de fuerte corrosión.
2 . 4
Aplicaciones de los conductores desnudos
La aplicación de conductores desnudos es muy grande, pero en nuestro caso los
principales usos son:
 Conductores para transmisión aérea
 Conductores para distribución aérea
 Conductores neutros en instalaciones con cables aislados o en líneas abiertas.
 Hilos de guarda.
 Conexión a tierra de equipo eléctrico, apartarrayos o de los hilos de guarda.
De todas las aplicaciones anteriores, las más importantes son las dos primeras.
La siguiente clasificación muestra la aplicación de los conductores desnudos de
acuerdo a su calibre.
Distribución
Cobre
4 - 4/0
Aluminio
4 – 556.5
ACSR
2 –336.4
ACSR
3/0 - 1113
Líneas de transmisión
aéreas
Transmisión
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Características de una línea aérea de transmisión ó distribución
2 . 5
Un sistema de transmisión o distribución debe tener.
 Confiabilidad. Servicio libre de interrupciones.
 Regulación. Proporcionar potencia a voltaje constante.
 Eficiencia. Mantener las pérdidas a valores bajos
 Balanceo. La magnitud de los voltajes y corrientes en cada fase deben ser iguales
y desfasados 120
 Efecto corona. Debe estar controlado en líneas de alta tensión.
 Transferencia. Los campos eléctricos y magnéticos de la línea no deben afectar
la operación de circuitos de comunicación
 Economía. El costo de operación e instalación debe ser reducido.
El conductor que se utilice en un sistema de transmisión o distribución debe ser tal
que ayude a que se cumpla con todos los requisitos anteriores.
El cable de aluminio con alma de acero ( ACSR ) se caracteriza por su alta relación
de resistencia tensión / peso, y es debido a esto, el gran auge que ha tenido este tipo
de conductor, ya que esta cualidad es de gran importancia en el diseño de líneas de
transmisión. La proporción del área transversal de aluminio en relación con la del
acero puede variar bajo un rango considerable, esto significa que el ACSR, puede
ser cableado para soportar diferentes tensiones si se varía el área de acero.
Resistencia eléctrica
2 . 6
El
efecto
más
importante
cuando
un
conductor

transporta energía eléctrica, es el producido por su
resistencia ya que parte de la energía se pierde en
forma de calor de acuerdo a la siguiente expresión,
P  ReI e
2
P = Pérdidas de energía por
Efecto Joule

Re = Resistencia efectiva
[ Ohms ]

Ie = Corriente eficaz
[ Ampers ]
Ecuación 1
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[ Watts ]
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La expresión ( 1 ) determina la conveniencia de utilizar voltajes de transmisión más
elevados para disminuir la magnitud de la corriente y disminuir así las pérdidas por
efecto Joule.
La resistencia efectiva ( cd ) de un conductor se define como la oposición que se
presenta en el conductor al flujo de la corriente continua, y esta es directamente
proporcional a la resistividad del material de que está hecho y a la longitud del
conductor e inversamente proporcional al área de la sección transversal del
conductor, o sea:
R
L
A
[]

R = Resistencia ohmica. (Cd)

 = Resistividad del material del
conductor.[ *mm2 / m ]
Ecuación 2

L = Longitud del conductor.

A = Area de la sección transversal del
conductor.
[m]
[ mm2 ]
La ecuación ( 2 ) solo es valida para conductores macizos. En el caso de
conductores cableados es necesario tomar en cuenta el aumento de longitud de los
hilos por el trenzado, por lo tanto, la fórmula para obtener la resistencia de un cable
es la siguiente:
L
R    1  FC 
A

Fc es el factor de trenzado y se
considera entre 1 y 5 %
Ecuación 3
Si la temperatura del conductor y del medio ambiente fluctúan, la resistencia del
mismo también variará en relación directamente proporcional a la variación de la
temperatura. Normalmente el cálculo de la resistencia eléctrica se realiza a una
temperatura base de 20C. Sin embargo, cuando los conductores transportan
energía eléctrica, la temperatura de los mismos generalmente supera los 20C, por
tal razón, es necesario establecer una relación, la cual nos permitirá obtener la
resistencia eléctrica de un conductor que opere a diferentes temperaturas.
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Como se puede observar en la
figura
2.1,
limites
entre
de
determinados
temperatura,
la
resistencia de los conductores es
una
función
lineal
de
la
temperatura. Si R2 y R1 son las
resistencia a las temperaturas t2 y
t1, por semejanza de triángulos, se
tiene:
R R 2  R 1

t
t2  t1
Figura 2.1
Ecuación 4
Esta ecuación permite encontrar R2 a una temperatura t2 en función de la resistencia
R1, a la temperatura t1, siempre y cuando se conozca el valor del cociente del lado
izquierdo de la expresión ( 4 ).
Este cociente es función de la resistencia R de cada material, y por lo cual depende
de su resistividad y de su forma. Para cierto material dado, la ecuación es más
general si el cociente mencionado se expresa por su relación a un valor inicial de la
resistencia, como por ejemplo R1 a la temperatura t1, esto es,

R
t R 1

 se conoce como coeficiente
de temperatura.
Si la ecuación ( 4 ) se divide por R1,
R
R2  R1


t R 1  t 2  t 1  R 1
Por lo tanto,

R 2  R 1 1   t 2  t 1 

Ecuación 5
A 0°C, la ecuación (5) queda;
R2  R0  1  0 t 2 
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Para determinar el valor de 0 consideremos el caso del calculo de la resistencia a la
temperatura - ta , que es la temperatura a la que teóricamente la resistencia es cero,
por lo tanto,
0 
1
ta
0 
o
1
T
donde αo es el coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura.
De manera similar, también puede calcularse la resistencia a una temperatura
cualquiera t2 en función de la resistencia a una temperatura t1 distinta de cero:

R2  R1 1  1  t2  t1 

Ecuación 6
El valor de 1 puede determinarse de la siguiente forma:
Si R1 y R2 son las resistencias a las temperaturas t1 y t2 respectivamente, se tiene
R1  R0  1   0 t 1 
Ecuación 7
R2  R0  1   0 t 2 
Ecuación 8
Dividiendo la ecuación ( 8 ) entre la ( 7 ) y despejando el valor de R2
R2  R1
1   0 t 2 
1   0 t 1 
Esta expresión deberá ser igual a la ecuación ( 6 ), ósea;
R1
1   0 t 2   R 1   t  t


1   0 t 1  1  1 2 1 
Despejando de la expresión anterior a α1
1 
1
1
 t1
0
o
1 
1
T  t1
Ecuación 9
Sustituyendo la ecuación ( 9 ) en la ecuación ( 6 ), nos queda;
 1

   t2 

R2  R1  0
 1 t 
1
  0

o
 T  t2 
R2  R1 

 T  t1 
Ecuación 10
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Donde R1 y R2 son las resistencias del conductor a las temperaturas t 1 y t2,
respectivamente.
Material
o [1 / C]
T [ C ]
Cobre recocido (blando)
0.00426439
234.5
Cobre estirado en frío (duro)
0.00414078
Aluminio estirado en frío
Acero estirado
r


 20 C  mm2 / m
IACS [ % ]
1
0.01724
100
241.5
1
0.01772
97.3
0.00438404
228.1
1
0.02828
61
0.00479616
208.5
300
0.15
12.3
Tabla 2.3 propiedades para diferentes tipos de materiales
Normalmente, los calibres se designan por su sección en mm 2, sin embargo, en el
sistema AWG, cuando son de tamaño superior al 0000 se clasifican por su sección,
expresada en Circular Mil. Siendo un circular mil el área de un circulo cuyo diámetro
mide una milésima de pulgada, o sea;
1 CM 
0.0012 * 
 0.785398 x 10 6 o 1 CM  0.0005067 mm2 o 1mm2  2000 CM = 2MCM
4
Si la frecuencia de la corriente eléctrica es diferente de cero, se produce un
fenómeno conocido como efecto superficial o efecto piel. Cuando circula una
corriente alterna por un conductor se tiene una densidad de corriente mayor en la
superficie que en el centro, esto es debido a que los enlaces de flujo internos inducen
una fem de mayor valor en el centro que en la superficie. El efecto superficial
equivale a una disminución de la sección del conductor y por lo tanto un aumento de
la resistencia. Esta nueva resistencia se llama resistencia a la ac, la cual se calcula
con la siguiente formula.
Rac  R  1  FS 
Ecuación 11

Fs es el factor de efecto superficial
donde,
FS 
Xs4
192  0.8Xs4
y
X 2s 
8  f  r K s 10
4
R
38

f es la frecuencia del sistema.

r es la permeabilidad relativa del material conductor.

Ks es el factor de forma de efecto superficial y

R es la resistencia del conductor para cd en  / km.
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En las líneas de transmisión aéreas solo utilizaremos alambres y cables desnudos
concéntricos, lo cual significa que el factor de forma es 1
Figura 2.2 Diferentes formas de algunos cables
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Coeficiente de autoinducción ( Inductancia )
2 . 7
Cualquier variación de la corriente que pasa por un conductor produce una variación
en el número de líneas de flujo magnético que atraviesan el circuito, pero cualquier
variación de éste induce una fem en el circuito proporcional a la velocidad de
variación del flujo, siendo la inductancia, la propiedad de un circuito que relaciona la
fem inducida, con la velocidad de variación de la corriente.
Algunas observaciones realizadas por Michael Faraday pueden ser sintetizadas en la
ley de Faraday. Esta ley establece que si un flujo magnético pasa a través de una
espira de una bobina, en ella se induce un voltaje que es directamente proporcional a
la razón de la variación del flujo con respecto al tiempo. Si aplicamos esta ley al caso
de una bobina con una espira, el voltaje inducido es:
e  
d
dt
Ecuación 12
Por otro lado, sabemos que si la corriente es variable, la variación de flujo magnético
es directamente proporcional a la variación de la corriente que la produce, o sea:
d
di
 k
dt
dt
Donde k es un factor que depende de la forma, dimensiones y naturaleza del
circuito., por lo tanto la expresión 12 queda,
e   Nk
di
di
 L
dt
dt
Ecuación 13
Donde Nk = L y es el coeficiente de autoinducción.
igualando las ecuaciones 12 y 13 e integrando nos queda:
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  Li
Pero como i = Im sen t, el flujo expresado en forma fasorial queda como:
  LI
[weber-vueltas]
Ecuación 14
donde  es el número de enlaces de flujo debidos a la circulación de corriente, Por lo
tanto se tiene que el valor de la inductancia (L) es:
L

I
2 . 8
 weber  vueltas 

  henrios
amperio


Ecuación 15
Inductancia en conductores eléctricos
La circulación de una corriente alterna por un conductor genera líneas de campo
magnético concéntricas a él.
Por definición, el numero total de líneas de
inducción que atraviesan una superficie se
denomina flujo magnético a través de la
superficie y se representa por  como se
expresa en la siguiente ecuación.
   B dx
Ecuación 16
Figura 2 Sección transversal de un conductor cilíndrico
Para nuestro caso, consideremos un conductor cilíndrico y rectilíneo de radio r de
una longitud de un metro por el que circula una corriente alterna cuyo valor eficaz es
I, como se muestra en la figura 2
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La figura 2 muestra las líneas de flujo exteriores a los conductores, sin embargo,
debido al efecto piel, dentro de estos, también existe un campo magnético, donde la
variación de las líneas de flujo dentro de los conductores contribuye a la inducción de
una fem, la cual depende de la constante de autoinducciòn o inductancia del circuito.
Por lo tanto, para valorar su efecto sobre el conductor se analizan los enlaces de flujo
interno y los enlaces de flujo externos al conductor en forma separada, como se
aprecia en la figura .2
2.8.1 Inductancia debida a los enlaces de flujo externo.
Para encontrar el valor de la inductancia debida al flujo externo vamos a tomar en
cuenta que cada línea de flujo externa envuelve a toda la corriente,.por lo tanto, la
intensidad de campo en el punto exterior ( Pe ) a una distancia x 1 del centro del
conductor mayor que el radio será:
H1 
I
2  x1
[Amperios-vueltas/m]
con I en amperes y x1 en metros.

Ecuación 17
0 es la permeabilidad del espacio en vacío y vale 4 x 10-7
[Weber/amperio - m] o [Henrios/m].

Y la densidad de flujo es,
4 x 10-7, [Weber/amperio - m] o [Henrios/m]

B1  aH 1
a es la permeabilidad para el material que tiene un valor de
r = a/o = 1
Ecuación 18
Substituyendo la permeabilidad del material en la ecuación 18, se tiene;
B1  4 x 10
2 x10 7 I
B1 
x1
7
2 x10 7 I

2  x1
x1
I
[weber/amperio-m][Amperio-vuelta/m]
[Weber-vuelta/m2]
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Ecuación 19
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Para obtener el flujo consideramos a un área elemental de un ancho dx 1 y de una
longitud de un metro, situada a una distancia x1 del centro del conductor, por lo tanto,
de acuerdo a la ecuación ( 16 ), nos queda,
ext  
2 x 10 7 I
B1 dx1  
dx1
x1
integrando,
ext  2 x 10 7 I


r
1
dx1  2 x 10 7 [ln x1  C ]r  
x1
2.8.2 Inductancia debida a los enlaces de flujo interno.
El valor de la inductancia debido al flujo interno puede calcularse como la relación
entre los enlaces de flujo y la corriente, teniendo en cuenta que cada línea de flujo
interno enlaza tan solo una fracción de la corriente total.
Para encontrar el valor de la inductancia debida al flujo interno vamos a tomar en
cuenta que cada línea de flujo interna envuelve a solo una fracción de la corriente
total. Si suponemos que la corriente esta uniformemente distribuida, la intensidad de
campo a una distancia x2 del conductor se debe únicamente a la fracción de la
corriente total que pasa por dentro del circulo de radio x2 o sea:
 x22
x22
IX 
I 2I
 r2
r
por lo tanto, la intensidad de campo en el punto interior ( P i ) a una distancia x 2 del
centro del conductor menor que el radio será:
x22
I
2
x22 I
I x2
Ix
r
H2 



2  x 2 2  x 2 2  x2 r 2 2  r 2
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H2 
D E
I x2
2  r2
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[Amperios-vuelta/m]
Ecuación 20
Y la densidad de flujo:
B2  a H 2
B2  4  x 10 7
2 x 10 7 I x2
B2 
r2
I x2
2 r 2
[weber-vuelta/m2]
Ecuación 21
Si consideramos un área elemental de un ancho dx2, y de una longitud de un metro,
situada a una distancia X2 del centro del conductor, el flujo que pasa por ella es:
 int   B 2 dx2
 int  
2 x 10 7 I x2
dx2
r2
y como este flujo envuelve únicamente a la fracción de la corriente:
x22
I 2
r
Por lo tanto podemos obtener un flujo equivalente.
x22
eq    int 2 dx2
r
x22
7
2 x10 I x2 2 dx2
r
eq  
2
r
x23
7
eq  2 x10 I  4 dx2
r
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Integrando desde el centro del conductor hasta el borde exterior obtenemos,
I r 3
x2 dx 2
r 4 0
2 x10 7 I 4 r
eq 
x2
0
4r 4
 2 x10 7 I r 4 
eq  
  0
4
4
r


eq  2 x10 7
Reduciendo términos;
eq 
1
x 10 7 I
2
[weber-vuelta]
Ecuación 22
De acuerdo a la ecuación 15,
Leq 
eq
I
Sustituyendo la ecuación del flujo equivalente, nos queda;
1
x10 7 I
Leq  2
I
Leq 
 weber  vuelta 

  weber  vuelta 
m
 H



m
amperio

  amperio m 


 
1
x 10 7
2
[H/m]
Ecuación 23
Esta inductancia es debida únicamente al flujo magnético en su interior.
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2.8.3 Inductancia entre dos puntos externos a un conductor.
Para encontrar la inductancia entre dos puntos externos a un conductor, primero
deduciremos los enlaces de flujo de un conductor “aislado” debidos a la porción de
flujo exterior comprendida entre P1 y P2
En la figura 3, P1 y P2 son
dos puntos externos a las
distancias
D1
y
D2
respectivamente del centro
del conductor
por el que
circula una corriente I.
La intensidad de campo en el elemento dx es:
Hx 
Figura 3 Puntos P1 y P2 exteriores al
conductor
I
2 x
[amperio-vuelta/m]
Por lo tanto, la densidad de flujo es:
 I  2 x107 I
 
Bx  4 x 10 
2

x
x


7
2 x10 7 I
Bx 
x
[weber/m2]
De acuerdo a la ecuación 16, el flujo  en el elemento dx, es:

2 x 10 7 I
dx
x
46
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
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L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
por lo tanto, los enlaces de flujo totales entre los puntos P 1 y P2 se obtienen
integrando desde D1 hasta D2.
12  2 x 10 7 I

D2
D1
1
dx
x
12  2 x 10 7 I ln x
D2
D1
12  2 x 10 7 I [ln D2  ln D1 ]
Aplicando propiedades de los logaritmos:
12  2 x 10 7 I ln
D2
D1
[weber-vuelta/m]
Ecuación 24
Por lo tanto, teniendo en cuenta la ecuación (15), se tiene que la inductancia debida
solamente al flujo comprendido entre P1 y P2 es:
L12 
12
I
2 x 10 7 I ln
L12 
L12  2 x 10 7 ln
D2
D1
I
D2
D1
[H/m]
47
Ecuación 25
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
2.8.4 Inductancia en una línea monofásica ( dos hilos ).
La figura 4 representa una línea monofásica formada por dos conductores separados
una distancia D.
Figura 4 Conductores de radios diferentes y campo magnético debido solamente a la corriente del conductor 1.
Para encontrar la inductancia del conductor 1, debemos de considerar los efectos
producidos por:
a) El flujo interno. ( Ver ecuación 23 )
b) El flujo externo.
48
C A R A C T E R Í S T I C A S
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A E R E A S
De acuerdo a la figura 4 la inductancia del circuito debida a la corriente del conductor
1 se determina por la ecuación (25), sustituyendo D2 por la distancia D entre los
conductores 1 y 2, y D1 por el radio r1 del conductor 1, o sea,
L 1  2 x 107 ln
D
r1
[H/m]
Por lo que la inductancia total del circuito, debida a la corriente del conductor 1 es:
1
D
L 1    2 ln  x 10 7
2
r 1 

Dividiendo ambos miembros entre 2,
 1
2 D

 ln  x10 7
2  2(2) 2 r 1 
L1
1
D
L 1  2 x 10 7   ln 
4
r 1 

Pero como ln e1/4 = 1/4

D
L 1  2 x 10 7  ln e1/ 4  ln 

r 1 

aplicando propiedades de los logaritmos,
49
C A R A C T E R Í S T I C A S
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A E R E A S
D e1/ 4
L 1  2 x 10 ln
r1
7
L 1  2 x 10 7 ln
D
r 1 e 1/ 4
si r1’ = r1e-1/4,
L 1  2 x 10 7 ln
El factor e-1/4
D
r 1'
[H/m]
Ecuación 26
= 0.7788 sirve para ajustar el radio con el objeto de tener en
cuenta el flujo interno. Se aplica únicamente a conductores cilíndricos macizos.
Figura 5 Conductores de radios diferentes y campo magnético debido solamente a la corriente del conductor 2.
50
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D E
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L I N E A S
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A E R E A S
Como se puede observar en la figura 5, Debido a que la corriente en el conductor 2
va en dirección contraria a la del conductor 1, los enlaces de flujo debidos a I 2, tienen
la misma dirección que los producidos por I1, por esta razón.
L 2  2 x 107 ln
D
r 2'
[H/m]
Ecuación 27
y para todo el circuito:
L  L 1  L 2  2 x 10 7 ln
D
D
7

2
x
10
ln
r 1'
r 2'
 D
D
L  2 x 10 7  ln '  ln ' 
 r
r 2 
1

si r1’ = r2’ = r’, entonces:
D

L  2 x 10 7  2 ln ' 
r 

L  4 x 10 7 ln
D
r'
[H/m]
51
Ecuación 28
C A R A C T E R Í S T I C A S
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T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
2.8.5 Enlaces de flujo de un conductor en grupo.
A continuación analizaremos los enlaces de flujo de un conductor en un grupo de
ellos, en el que la suma de corrientes es igual a cero, como se muestra en la figura 6
Figura 6 Vista de una sección transversal de un grupo de n
conductores en la que la suma de sus corrientes es cero.
Los enlaces del flujo del conductor 1 debidos I 1 incluyendo los enlaces de flujo
interno, pero excluyendo todo el flujo mas allá del punto P, se determinan por las
ecuaciones (22) y (24).
I
D1 p  7
 10
1 p 1   1  2 I1 ln
2

r
1 

D1 p
1 p 1  2 x 10 7 I1 ln '
r1
De igual forma los enlaces de flujo del conductor 1 debidos a I1 son:
1 p 2  2 x 10 7 I 2 ln
52
D2 p
D 12
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A E R E A S
Por lo tanto, los enlaces de flujo con el conductor 1, debido a todos los conductores
del grupo es:

Dn  1 p
D1 p
D2 p
D3 p
Dnp
1 p  2 x 10 7  I1 ln '  I 2 ln
 I 3 ln
   I n  1 ln '
 I n ln

r1
D 12
D 13
D 1n  1
D 1n





desarrollando términos logarítmicos y reagrupando:

1
1
1
1
1 
1 p  2 x 10 7  I1 ln '  I 2 ln
 I 3 ln
   I n  1 ln '
 I n ln



r
D
D
D
D
1
12
13
1

n

1

1
n


7
2 x 10 I1 ln D1 p  I 2 ln D2 p  I 3 ln D3 p    I n  1 ln Dn  1 p  I n ln Dnp 
Ecuación 29
Como la suma de corrientes es nula:
I 1 + I 2 + I 3 + ... + I ( n – 1 ) + I n = 0
Despejando In se tiene:
I n = - ( I 1 + I 2 + I 3 + ... + I n – 1 )
substituyendo el valor de In en el término In ln D n p , nos queda:
In ln D np = - I1 ln Dnp - I2 ln Dnp - I3ln Dnp - ... - In-1ln Dnp
substituyendo el valor de In ln Dnp en la ecuación (29), nos queda:

1
1
1
1
1 
1 p  2 x 10 7  I1 ln '  I 2 ln
 I 3 ln
   I n  1 ln '
 I n ln



r
D
D
D
D
1
12
13
1 n  1
1n 

2 x 10 7 I1 ln D1 p  I 2 ln D2 p  I 3 ln D3 p    I n  1 ln Dn  1 p  I n ln Dnp  
2 x 10 7  I1 ln Dnp  I 2 ln Dnp  I 3 ln Dnp    I n  1 ln Dnp 
53
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Reagrupando términos y aplicando las propiedades de los logaritmos:
I1 (ln D1 p  I n ln Dnp )  I1 ln
D1 p
Dnp
por lo tanto:

1
1
1
1 
1 p  2 x 10 7  I1 ln '  I 2 ln
 I 3 ln
   I n ln



r
D
D
D
1
12
13
1n 


Dn  1 p
D1 p
D2 p
D3 p
2 x 10 7  I1 ln
 I 2 ln
 I 3 ln
   I n  1 ln

Dnp
Dnp
Dnp
Dnp





Si el punto P se aleja hasta el infinito, se obtiene el total de enlaces de flujo que
rodean al conductor 1 debido a las corrientes de todos los n conductores, en estas
condiciones se tiene:

1
1
1
1 
1  2 x 10 7  I1 ln '  I 2 ln
 I 3 ln
   I n ln

r1
D 12
D 13
D 1n 

[w-v/m]
54
Ecuación 30
C A R A C T E R Í S T I C A S
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A E R E A S
2.8.6 Inductancia de líneas de conductores compuestos ( cables ).
La figura 7 representa una línea monofásica representada por dos conductores. En
este caso, cada conductor constituye una parte de la línea y se representan como un
indefinido número de conductores agrupados arbitrariamente.
Los conductores trenzados están comprendidos en la denominación general de
conductores compuestos.
El conductor X esta formado por n hilos en paralelo exactamente iguales, cada uno
de los cuales lleva un corriente I / n.
El conductor Y, esta formado por m hilos paralelos, cada uno de los cuales lleva
una corriente - I / m
Figura 7 Línea monofásica formada por dos conductores compuestos.
55
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A E R E A S
Los enlaces de flujo para el hilo a del conductor X es:
I  1
1
1
1 
 a  2 x 10 7   ln  ln
 ln
 ...  ln
Dab
Dac
Dan 
 n  ra'
 2 x 10 7
I  1
1
1
1 
 ln
 ln
 ...  ln

m  Daa'
Dab'
Dac'
Dam 
sabiendo que
1
ln x  ln n x , se pueden reducir los términos logarítmicos como
n
sigue,
1
I
1
 I

 a  2 x 10 7  (ln
)  (ln
)
ra ' DabDac... Dan m
Daa' Dab' Dac'... Dam 
n
 
 a  2 x 10 7  I  ln
 

 a  2 x 10 7 I  ln

n
n
 
1
  I  ln
ra ' DabDac... Dan  
1
 
   ln
ra ' DabDac... Dan  
m

1

Daa' Dab' Dac'... Dam 


m
Daa' Dab' Dac'... Dam 
1
Finalmente,
 a  2 x 10 7
 a  2 x 10
7
1
n
ra ' DabDac... Dan
I ln
1
m
Daa ' Dab' Dac'... Dam
m
I ln
Daa' Dab' Dac'... Dam
n
ra ' DabDac... Dan
56
[ weber – vuelta / m ]
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Considerando la ecuación 15 y sabiendo que I = I /n, nos queda:
m
7
2 x 10 I n ln
La 
La  2 n x 10 7 ln
m
Daa ' Dab' Dac'... Dam
n
ra ' DabDac... Dan
I
Ecuación 31
[H/m]
Ecuación 32
[H/m]
Daa' Dab' Dac'... Dam
n
ra ' DabDac... Dan
Análogamente, la inductancia del hilo b es:
7
L b  2 n x 10 ln
m
Dba' Dbb' Dbc'... D bm
n
Dba rb' Dbc... Dbn
Y como todas las inductancias son diferentes, la inductancia media del conductor
X es:
Lmedia 
La  Lb  Lc  ...  Ln
n
Si todos los hilos en paralelo tienen la misma inductancia, la inductancia del
conductor será 1/n la de un hilo.
En otras palabras, la inductancia de todos los hilos en paralelo con inductancias de
hilos diferente, es 1/n de la inductancia media, por lo tanto:
57
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Lx 
Lmedia
n
Lx 
D E
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A E R E A S
La  Lb  Lc  ...  Ln
n

n
La  Lb  Lc  ...  Ln
n2
Sustituyendo la expresión logarítmica para la inductancia de cada hilo en la ecuación
anterior, aplicando las leyes de los radicales y los logaritmos, tenemos que:
2 n x 10 7
Lx 
[ln
n2
m
Daa' Dab' Dac'... Dam
 ln
n
ra ' DabDac... Dan
...  ln
2 x 10 7
Lx 
ln
n
m
m
m
Dba' Dbb' Dbc'... Dbm
 ...
n
Dba rb ' Dbc... Dbn
Dna' Dnb' Dnc'... Dnm
]
n
DnaDnbDnc... rn '
( Daa ' Dab ' Dac'... Dam) ( Dba' Dbb' Dbc'... Dbm)...( Dna' Dnb' Dnc'... Dnm)
n
( ra '
DabDac... Dan)( Dba rb ' Dbc... Dbn)...( DnaDnbDnc... rn ' )
Finalmente, tenemos:
7
Lx  2 x10 ln
mn
( Daa' Dab' Dac'... Dam) ( Dba' Dbb' Dbc'... Dbm)...( Dna' Dnb' Dnc'... Dnm)
n2
( ra'
DabDac... Dan) ( Dba rb ' Dbc... Dbn)...( DnaDnbDnc... rn ' )
Ecuación 33
La raíz mn-esima del producto de las mn distancias se llama distancia media
geométrica mutua entre el conductor X y el Y, y se representa como DMG
La raíz n2-esima de esta expresión se llama distancia media geométrica propia del
conductor X, llamada también RADIO MEDIO GEOMETRICO y se identifica como
RMG
58
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A E R E A S
La expresión para calcular la inductancia del conductor X se puede escribir en
función de DMG y RMG, como:
Lx  2 x 10 7 ln
DMG
RMG X
Ecuación 34
[H/m]
En otras palabras la expresión subradical del numerador representa los productos de
las distancias de todos los n hilos del conductor X a todos los m hilos del conductor
Y, o sea:
DMG  mn ( Daa' Dab' Dac'...Dam) ( D ba' D bb' D bc'...D bm)...( D na' D nb' D nc'...D nm)
La expresión subradical del denominador puede decirse que es el producto de las
distancias de cada uno de los hilos a si mismo y a los restantes hilos. De esta
manera puede ponerse Daa, Dbb y Dnn substituyendo a ra’, rb’ y rn’
respectivamente.
RMG X  n ( DaaDabDac... Dan) ( DbaDbbDbc... Dbn)...( DnaDnbDnc... Dnn)
2
La inductancia del conductor Y se determina en forma análoga,
L Y  2 x 107 ln
DMG
RMG Y
Ecuación 35
[H/m]
con ,
RMG Y  n ( D a' a' D a' b' D a' c'...D a' m) ( D b' a' D b' b' D b' c'...D b' m) ... ( D ma' D mb' D mc'...D mm )
2
por lo cual la inductancia de la línea será:
L LINEA  L X  L Y
59
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A E R E A S
2.8.7 Inductancia de líneas trifásicas con disposición asimétrica
Las ecuaciones encontradas hasta el momento, pueden adaptarse fácilmente para
calcular la inductancia de las líneas trifásicas. La figura 8 muestra los conductores de
una línea trifásica colocados en forma asimétrica.
Figura 8
Normalmente, las líneas en operación tienen un desbalanceo debido a que los
conductores son colocados en forma asimétrica y por lo tanto las inductancias y
reactancias de cada conductor son diferentes.
Sin embargo, el desbalanceo debido a
este hecho, puede despreciarse
intercambiando la posición de los conductores a intervalos regulares a lo largo de
la línea, de tal forma que cada conductor ocupe la posición de cada uno de los otros
sobre una distancia igual ( transposición ).
60
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A E R E A S
Para encontrar la inductancia media de un conductor, primeramente se calculan los
enlaces de flujo de un conductor en cada posición del ciclo de transposición.
Figura 9
De acuerdo con la figura 9, los enlaces de flujo del conductor “a” en la posición 1, el
conductor “b” en la posición 2 y el conductor “c” en la posición 3 son:

1
1
1 
a1  2 x 107  Ia ln '  Ib ln
 Ic ln

ra
D12
D31 

[weber-vuelta/m]
Los enlaces de flujo del conductor “a” en la posición 2, el conductor “b” en la posición
3 y el conductor “c” en la posición 1 son:
a 2  2 x 10 7 [ Ia ln
1
1
1

I
b ln

I
c ln
]
ra'
D 23
D12
[weber-vuelta/m]
Y los enlaces de flujo del conductor “a” en la posición 3, el conductor “b” en la
posición 1 y el conductor “c” en la posición 2 son:
a 3  2 x 10 7 [ Ia ln
1
1
1
 Ib ln
 Ic ln
]
'
ra
D31
D 23
61
[weber-vuelta/m]
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A E R E A S
Enseguida, el valor promedio de los enlaces de flujo es:
a 
 a1   a 2   a 3
3
Substituyendo los valores de a1, a2 y a3 nos queda:
2 x 107
a 
3


1
1
1
 Ic ln
3 Ia ln '  Ib ln

ra
D12 D23D31
D12 D23D31 

puesto que I a = - ( I b + I c )
2 x 107
a 
3


1
1
3
I
a
ln

I
a
ln


ra'
D12 D23D31 

y por las propiedades de los logaritmos queda:
7
a  2 x 10 Ia ln
3
D12 D 23D31
ra'
[weber-vuelta/m]
De acuerdo a la ecuación 15, la inductancia media por fase es:
La  2 x 10 7 ln
Deq
Ecuación 36
ra'
con
D eq  3 D12 D 23D31
62
[H/m]
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2.8.8 Inductancia en líneas trifásicas con disposición equilátera.
Si en la línea de la figura 8, los conductores están separados una distancia D, de tal
manera que la línea trifásica tenga sus conductores en disposición equilátera, los
enlaces del flujo del conductor “a” son:
a  2 x10 7 [ Ia ln
1
1
1
 Ib ln  Ic ln ]
r'
D
D
[weber -vuelta/m]
puesto que I a = - ( I b + I c )

1
1
a  2 x 107  Ia ln '  Ia ln 
ra
D

y por las propiedades de los logaritmos queda:
a  2 x 10 7 Ia ln
D
ra'
La inductancia de la línea es:
La 
a
Ia
La  Lb  Lc  2 x 10 7 ln
D
ra'
Ecuación 37
[H/m]
En los cables, Ds substituye a ra’ en la ecuación.
Como cada fase tiene solamente un conductor, las ecuaciones anteriores dan la
inductancia por fase de la línea trifásica.
63
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2.8.9 Conductores múltiples.
Cuando las líneas de transmisión operan a tensiones superiores a 230 KV y tienen
solo un conductor por fase se presentan:
 Perdidas por efecto corona.
 Gran interferencia en las comunicaciones.
 Alto gradiente de voltaje.
Para remediar lo anterior se colocan dos o mas conductores por fase, a una distancia
corta en comparación con el distanciamiento entre fases.
La figura 10 muestra algunas distribuciones de conductores agrupados:
Figura 10 Distribución de conductores agrupados
Como es fácil comprender, la corriente de cada conductor del grupo es diferente, a
menos que se haga una transposición.
Dsb se utiliza para indicar el RMG de un conductor agrupado y Ds representa el RMG
de los conductores individuales que forman el grupo.
64
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2.8.10 Líneas trifásicas de circuitos paralelos.
Dos circuitos trifásicos que están igualmente constituidos y están en paralelo tienen
la misma reactancia inductiva. La figura 11 muestra un arreglo típico de una línea
trifásica con dos circuitos paralelos.
Figura 11 Disposición típica de los conductores en línea trifásica de circuitos paralelos
Como es una línea transpuesta, los conductores a y a’ están en paralelo para formar
la fase a. Las fases b y c son similares.
Como, a y a’ toman las posiciones de b y b’ y luego de c y c’, las DMG propias entre
las fases ab, bc y ca son respectivamente:
65
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Dabp  4 D ab D ab' D a ' b D a ' b '
Dbcp  4 D bc D bc' D b ' c D b ' c '
Ecuación 38
D  4 D ca D ca ' D c ' a D c ' a '
p
ca
Por lo que la distancia equivalente es:
Deq  3 Dab p Dbc p Dca p
Ecuación 39
Los RMG, Dsb a-a’, Dsb c-c’ y Dsb d-d’ de lo conductores que ocupan primero las
posiciones a y a’, b y b’ y c y c’ son respectivamente:
Dsb a  a'  Ds da  a'
Ds b b  b'  Ds db  b'
Ecuación 40
Ds c  c'  Ds dc  c'
b
La media geométrica de los conductores con las diferentes posiciones es:
Ds p  ( Ds b a  a' ) ( Ds b b  b' ) ( Ds b c  c' )
66
Ecuación 41
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
2.8.11 Empleo de tablas
La reactancia inductiva de un conductor de una línea monofásica bifilar es:
XL=2fL=2(2.1416)f(0.7411x10-3)log(Deq/Ds)
XL=4.657x10-3f log (Deq/Ds)
[/milla]
Donde Deq es la distancia entre conductores y Ds es el RMG que se puede obtener
de tablas.
Desarrollando el término logarítmico, la ecuación de la reactancia queda como:
XL=4.657x10-3f log 1/Ds + 4.657x10-3f log Ds
[/milla]
El primer término es la reactancia inductiva de un conductor perteneciente a una
línea bifilar con un pie de distancia entre conductores, y depende de la RMG propia
del conductor y de la frecuencia, por este motivo se llama reactancia inductiva a 1 pie
de seperación (Xa). El segundo término es independiente del tipo de conductor y solo
depende de la frecuencia y de la separación, generalmente es llamado factor de
separación de la reactancia inductiva Xd. El factor de separación es cero cuando Dm
es de un pie.
67
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
Capacitancia en conductores eléctricos
2 . 9
Cuando se aplica una diferencia de potencial entre dos conductores de una línea de
transmisión y los cuales están separados por un dieléctrico (aire), estos conductores
adquieren una carga “q” que es proporcional al voltaje aplicado (V) y a una constante
de proporcionalidad ( C ) llamada capacitancia, la cual depende de la naturaleza del
dieléctrico, de las dimensiones de los conductores y de su separación, esto es:
q=CV
De donde se desprende que la capacitancia o capacidad entre conductores es igual
a la carga por unidad de diferencia de potencial entre ellos:
C=q/V
Ecuación 42
Si el voltaje de transmisión es alterno, la carga de los conductores, en cualquier
punto aumenta o disminuye con el valor instantáneo de la tensión entre conductores.
2.9.1 Campo eléctrico en un conductor recto de gran longitud.
La figura 12 muestra las líneas de campo eléctrico que tiene una carga “q” por unidad
de longitud (Coulomb/m), por lo tanto, la intensidad del campo eléctrico a una
distancia “x” del centro del conductor es:
E
D


D
K0
(V/m)
Ecuación 43
Siendo  la constante dieléctrica del material, 0 la constante dieléctrica del vacío y K
la relación entre  y 0, es decir:
K

0
Ecuación 44
68
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
.
Figura 12 Líneas de flujo eléctrico repartidas uniformemente sobre la superficie de un conductor cilíndrico aislado.
Como se sabe, K=1 para el material y 0=8.85x10-12 (f/m). Sustituyendo la densidad
de flujo en la ecuación 43 y considerando que K=1 resulta:
E
q
20 x
(V/m)
Ecuación 45
2.9.2 Diferencia de potencial entre dos puntos debido a una carga.
De acuerdo a la figura 12 y considerando que la expresión del gradiente de potencial
es:
E
dv
dx
Ecuación 46
se tiene:
 dv  Edx 
q
20 x
dx
69
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
Integrando ambos miembros y evaluando límites resulta:
V2
D2
q
V1
D1
2 0 x
  dv  
 (V 2  V 1) 
q
2 0
dx
LnX DD12 
q
2 0
( LnD2  LnD1 )
Es decir:
 (V 2  V 1) 
q
20
Ln
D2
D1
Por tanto:
V1,2 
q
20
Ln
D2
D1
(Volts)
Ecuación 47
2.9.3 Capacitancia de una línea bifilar.
La figura 13 muestra una línea bifilar formada por dos hilos paralelos de igual
sección:
Figura 13 Sección transversal de una línea de hilos paralelos.
70
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
De acuerdo a la figura 13 y utilizando el principio de superposición, la diferencia de
potencial Vab entre los conductores “a” y “b” es:
Vab 
qa
D
qb
r
Ln 
Ln
2
r 2
D
0 0
Debido a qa
Debido a qb
Como qa = - qb podemos escribir:
D
qa
D
D
qa
Vab 
( Ln  Ln ) 
Ln r
r
20
r
r
20
D
qa
D
Vab 
Ln( ) 2
20
r
Aplicando propiedades de los logaritmos tenemos:
Vab 
qa
D
Ln( )
0
r
Volts
Ecuación 48
La capacitancia entre los conductores “a” y “b” de acuerdo a la ecuación 42 es:
Cab 
qa
Vab
Ecuación 49
De 47 y 48 se obtiene:
71
C A R A C T E R Í S T I C A S
Cab 
D E
qa
qa
0
Ln
D
r
L A S

L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
0
ln
D
r
8.85  x 10 12
Cab 
D
Ln
r
(f/m)
Ecuación 50
A veces es necesario conocer la capacidad entre uno de los conductores y un punto
neutro, por lo cual la capacitancia al neutro es:
Cn 
Cn 
qa
qa

qa
D
Va
Ln
20
r
20
D
Ln
r
(f/m)
Ecuación 51
O también:
Cn 
0.0388
D
log
r
(f/milla)
Ecuación 52
La reactancia con respecto al neutro es:
1
106
D
Xcn 

log
2fC 2 (60)(0.0388)
r
D
(ohms-milla)
Xcn  0.06833x106 log
r
1
Xcn  0.06833x106 log  0.06833x106 log D
r
72
Ecuación 53
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
Que puede escribirse en forma:
Xcn  Xa ' Xd '
donde:
Xa’ =Reactancia capacitiva a un pie de separación.
Xd’ =Factor de separación de la reactancia capacitiva.
2.9.4 Capacitancia en líneas trifásicas con disposición equilátera.
De acuerdo a la figura 14, la diferencia de potencial entre los conductores “a” y “b”
b
es:
D
D
c
a
D
Figura 14 Sección transversal de una línea trifásica con disposición equilátera.
Vab 
1
20
(qa Ln
D
r
D
 qb Ln  qc Ln )
r
D
D
Es decir:
Vab 
1
20
(qa Ln
D
r
 qb Ln )
r
D
73
Ecuación 54
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
La diferencia de potencial entre los conductores “a” y “c” es:
Vac 
1
20
(qa Ln
D
D
r
 qb Ln  qc Ln )
r
D
D
Ecuación 55
Sumando miembro a miembro las ecuaciones 54 y 55 se obtiene:
D2
r
Vab  Vac 
(qa Ln 2  (qb  qc ) Ln )
20
r
D
1
Como -qa=qb+qc, entonces:
D2
r
1
D
Vab  Vac 
qa ( Ln 2  Ln ) 
qa Ln( ) 3
20
r
D
20
r
1
Vab  Vac 
3
20
qa Ln
D
r
Ecuación 56
De acuerdo a la figura 15, se tiene que:
Vab  3Van30º  3Van(cos 30º  jSen30º )
Vac  3Van  30º  3Van(cos 30º  jSen30º )
b
a
Van
c
Figura 15 Diagrama vectorial de las tensiones equilibradas de una línea trifásica.
74
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
Como:
Cos30º 
3
 0.866 y Sen30º  0.5
3
Entonces:
Vab  Vac  3Van( 3  j 0)  3Van
Ecuación 57
De las ecuaciones 56 y 57 resulta:
Van 
1
20
qa Ln
D
r
Ecuación 58
La capacitancia con respecto al neutro es:
Cn 
qa

Van
qa
1
20
qa Ln
D
r

20
D
Ln
r
(f/m)
2.9.5 Capacitancia de una línea trifásica con disposición asimétrica.
De acuerdo a la figura 9, estando la fase “a” es la posición 1, “b” en la posición 2 y “c”
en la posición 3 se tiene:
Vab I 
1
20
[q a Ln
D12
r
D23
 qb Ln
 q c Ln
]
r
D12
D31
75
Ecuación 59
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
Si la fase “a” esta en la posición 2, “b” en la posición 3 y “c” en la posición 1, se
obtiene:
Vab II 
1
20
[q a Ln
D31
r
D12
 qb Ln
 q c Ln
]
r
D31
D23
Ecuación 60
Si ahora la fase “a” esta en la posición 3, “b” en la posición 1y “c” en la posición 2, se
tiene:
Vab III 
1
20
[q a Ln
D23
r
D31
 qb Ln
 q c Ln
]
r
D23
D12
Ecuación 61
Suponiendo que la carga por unidad de longitud de cada conductor es igual e todas
las posiciones del circuito de transposición, la tensión media entre los conductores
“a” y “b” es:
Vabmed
Vab I  Vab II  Vab III

3
Ecuación 62
Sustituyendo los valores de las ecuaciones 59, 60 y 61 en la ecuación 62 tenemos:
Vabmed 
D D D31
D12 D23 D31
1 1
r3
[qa Ln 12 23

q
Ln

qcLn
]
b
3 20
D12 D23 D31
D23 D12 D31
r3
3
Vabmed
Deq
1 1
r3

[qa Ln 3  qb Ln
]
3
3 20
r
Deq
Donde:
76
Ecuación 63
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
Deq  3 D12 D23 D31
Vabmed 
1
20
[qa Ln
Deq
r
 qb Ln
r
]
Deq
Ecuación 64
 qc Ln
r
]
Deq
Ecuación 65
En forma similar se puede escribir:
Vacmed 
1
20
[qa Ln
Deq
r
Por lo tanto, de forma similar a la ecuación 57, la suma de las ecuaciones 64 y 65 es:
3Vanmed  Vabmed  Vacmed
3Vanmed
Deq 2
r

[qa Ln 2  (qb  qc ) Ln
]
20
r
Deq
1
Pero como qa+qb+qc=0, la expresión anterior se reduce a:
3Vanmed
Deq 2
r

[qa Ln 2  qa Ln
]
20
r
Deq
1
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
Vanmed 
1 1
Deq 3
qa Ln(
)
3 20
r
77
C A R A C T E R Í S T I C A S
Vanmed 
1
20
D E
L A S
qa Ln
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
Deq
r
A E R E A S
Ecuación 66
Por lo tanto, la capacitancia del neutro es:
Cn 
Cn 
20
Deq
Ln
r
(Faradios/m)
0.0388
Deq
log
r
(f/milla)
Ecuación 67
(32)
2.9.6 Efecto del suelo sobre la capacitancia de las líneas de transmisión.
La presencia del suelo modifica el campo eléctrico de la línea y por lo tanto su
capacidad. El efecto de la tierra se simula suponiendo la presencia de conductores
ficticios, situados debajo de la tierra y a una distancia de ella igual a la del conductor
aéreo sobre la superficie del suelo, los conductores así definidos tienen una carga de
igual valor y de signo opuesto de la del conductor real, llamándose estos “imagen del
conductor”, como se puede observar en la figura 16.
Figura 16 Conductor aéreo que representa el suelo.
78
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
De acuerdo con la figura 17, en la cual se toma en cuenta el efecto del suelo, se
determina la diferencia de potencial Vab de una línea trifásica con disposición
asimétrica con transposición.
qb
2
qa
1
H1
H12 H23
3
H2
qc
H3
H31
H31
-qa
1
H12
H23
3
-qc
2
-qb
Figura 17 Línea trifásica y su imagen.
Estando la fase “a” en la posición 1, “b” en la posición 2, y “c” en la posición 3, se
tiene:
Vab I 
1
20
[qa ( Ln
D12
H
r
H
D
H
 Ln 12 )  qb ( Ln
 Ln 2 )  qc ( Ln 23  Ln 23 )]
r
H1
D12
H12
D31
H13
Si la fase “a” esta en la posición 2, la fase “b” en la posición 3 y “c” en la posición 1,
se obtiene:
79
C A R A C T E R Í S T I C A S
Vab II 
1
20
[qa ( Ln
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
D23
H
r
H
D
H
 Ln 23 )  qb ( Ln
 Ln 3 )  qc ( Ln 31  Ln 13 )]
r
H2
D23
H23
D12
H12
Si ahora la fase “a” esta en la posición 3, “b” en la 1 y “c” en la 2, se tiene:
Vab III 
1
20
[qa ( Ln
D31
H
r
H
D
H
 Ln 31 )  qb ( Ln
 Ln 1 )  qc ( Ln 12  Ln 12 )]
r
H3
D31
H13
D23
H23
Por lo tanto:
Vabmed
Vab I  Vab II  Vab III

3
Vabmed 
1 1
D D D31
H12 H23 H31
[qa ( Ln 12 23

Ln
)...
3 20
r3
H1 H2 H3
HH H
r3
 qb ( Ln
 Ln 1 2 3 )  qc ( Ln1  Ln1)]
D12 D23 D31
H12 H 23 H 31
Vacmed 
1 1
D D D31
H12 H23 H31
[qa ( Ln 12 23

Ln
)...
3 20
r3
H1 H2 H3
HH H
r3
 qb ( Ln1  Ln1)  qc ( Ln
 Ln 1 2 3 )]
D12 D23 D31
H12 H 23 H 31
Puesto que:
3Van  Vabmed  Vacmed
3Van 
Ecuación 68
1 1
D D D31
H12 H23 H31
[qa ( Ln 12 23

Ln
)...
3 20
r3
H1 H2 H3
80
Ecuación 69
C A R A C T E R Í S T I C A S
D E
L A S
L I N E A S
D E
T R A N S M I S I Ó N
A E R E A S
r3
HHH
 qa ( Ln
 Ln 1 2 3 )]
D12 D23 D31
H12 H23 H31
Reduciendo términos:
Deq
1 9
r
3Van 
[qa Ln
]
3 20
3 H12 H 23 H 31
3
Donde:
H1 H 2 H 3
Deq  3 D12 D23 D31
Por lo tanto la capacitancia al neutro es:
Cn 
Cn 
20
2.3
1
3 H12 H23 H31
Deq
(log
 log 3
)
r
H1 H2 H3
0.0388
3 H12 H23 H31
Deq
(log
 log 3
)
r
H1 H2 H3
81
(f/milla)
Ecuación 70