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Guı́a de ejercicios No 1 curso Óptica
Departamento de Fı́sica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile
Profesor: Rodrigo Vicencio
Ayudantes: Luis Morales y Julio Urrutia
27 de Marzo de 2013
1. Ley de reflexión. Dos espejos planos tienen sus superficies reflectantes una frente a otra, con el borde de uno
de los espejos en contacto con el otro, de manera que el
ángulo entre ellos es α (ver figura). Si un objeto se sitúa
entre los espejos se forman varias imágenes. ¿Cuántas
imágenes se forman si α = 30◦ ? Generalice para un
con “n” un número entero.
ángulo α = 360
n
2. Ley de Snell. Un cilindro transparente de radio R = 2
m tiene una superficie plateada sobre su mitad derecha
como lo muestra la figura. Un rayo de luz viaja en el
aire e incide en el lado izquierdo del cilindro. El rayo de
luz incidente y de salida son paralelos siendo d = 2 m.
Determine el ı́ndice de refracción del material.
3. Ley de Snell. Un haz de luz incide desde el vacı́o en la superficie 1
de un prisma triangular y en la superficie 2, se refleja totalmente
como muestra la figura. Determine el ángulo de incidencia.
4. Cilindro de vidrio (P). Un cilindro de vidrio puede ser utilizado para múltiples operaciones de control lumı́nico. Por ejemplo, podemos usar este dispositivo como una
lente enfocadora. También, escogiendo correctamente los ángulos de incidencia, podemos determinar con precisión la dirección de salida de un rayo de luz monocromático.
“Enfoquémosnos” en esta última operación lumı́nica.
Sea: naire = 1, nagua = 1.33, nvidrio = 1.7 y R = 2 cm.
a) Considere la figura 1(a) en donde el tercer rayo refractado sale exactamente opuesto
al incidente. Encuentre una expresión para el ángulo α en términos de los ı́ndices
de refracción. Calcule el valor en grados del ángulo α con los datos entregados.
b) Queremos ahora que la luz salga formando un ángulo de 90 grados con respecto al
ángulo incidente [ver figura 1(b)]. Encuentre una expresión para el ángulo α, en
términos de los ı́ndices de refracción, en el que sucede ésto. Calcule el valor en
grados del ángulo α con los datos entregados.
1
(a)
(b)
ncilindro
naire
ncilindro
R
R
β
naire
α
β
naire
naire
α
(c)
(d)
ncilindro
ncilindro
R
R
β
naire
nagua
nagua
naire
β
α
α
Figura 1: Corte transversal de un cilindro de vidrio de radio R. Un haz de luz incide en él en
un ángulo α. (a) Salida opuesta. (b) Salida perpendicular. (c) Reflexión total interna. (d) 4
puntos.
c) Buscamos lograr que una vez que entra la luz al cilindro no salga nunca mas: confinamiento total [ver figura 1(c)]. Determine si es o no posible lograr esto con este
dispositivo.
d) Sumerjamos el cilindro en agua. ¿Para qué ángulo de incidencia α la luz se refractará/reflejará en sólo cuatro puntos [ver figura 1(d)]? Calcule el valor en grados del
ángulo α con los datos entregados.
5. Combinación de espejos. Una cavidad óptica - elemento básico para construir un láser puede ser hecha utilizando un espejo plano y uno esférico como se muestra en la figura 2.
a) Si ponemos un peón de ajedrez entre los dos espejos tal que s1 = 5 m, s2 = 20 m,
R = 10 m, y h1 = 5 cm, encuentre las imágenes del peón debidas a ambos espejos.
¿Son ellas reales? ¿Están invertidas? ¿Cuál es su tamaño?
b) Utilize estas dos imágenes como dos nuevos objetos para ası́ generar dos nuevas
imágenes. Si sigue haciendo esto muchas veces entenderá el porqué se ven infinitas
imágenes cuando se ponen dos espejos uno frente al otro.
2
Espejo 1
Espejo 2
h1
Eje óptico
O
C
s1
R
s2
Figura 2:
6. Espejos esféricos. Un rectángulo de 10 cm × 20 cm se
coloca de manera que su borde derecho está a 40 cm a la
izquierda de un espejo esférico cóncavo, como muestra
la figura. El radio de curvatura del espejo es 20 cm.
a) Dibuje la imagen formada por el espejo
b) ¿Cuál es el área de la imagen?
7. Lentes delgadas. Una lente bi-convexa delgada de ı́ndice de refracción 1,5 tiene una distancia focal conocida de 50 cm en el aire. Cuando se sumerge en un lı́quido transparente
la distancia focal resulta ser de 250 cm. Determine el ı́ndice de refracción del lı́quido.
8. Imagen debida a una lente (P). Buscamos en este problema entender cómo son las
imágenes generadas por una lente positiva de radios |R1| = 10 cm, |R2| = 40 cm e
ı́ndice de refracción nlente = 2. Como vimos en clases, la imagen formada dependerá de
la ubicación del objeto con respecto al foco de la lente. Considere el montaje presentado
en la figura 3.
ho
eje óptico
fl
fl
-ho
R1
R2
Figura 3: Montaje propuesto.
3
El objeto corresponde a un bastón inclinado en 45 grados cuyos extremos derecho e
izquierdo están a una altura h0 y −h0 respectivamente, desde el eje óptico. La distancia
focal de la lente coincide exactamente con el centro de simetrı́a de este bastón. Cı́rculos
y triángulos (negros y blancos) nos permitirán dibujar con mayor facilidad la imagen
generada por este sistema. Cada cuadrado pequeño equivale a un centı́metro en el eje
horizontal y vertical.
a) ¿Cuánto vale el foco de esta lente?
b) Encuentre la imagen aproximada del bastón trazando rayos reales y rayos virtuales.
Para ésto, encuentre las imágenes de los dos cı́rculos y los dos triángulos tratándolos
como objetos puntuales. Identifique en el dibujo si las imágenes encontradas son
reales o virtuales. Incluya un bosquejo de la imagen que usted verı́a mirando de
arriba hacia abajo (utilice los dos “ojos” como ayuda).
c) Utilizando la ecuación de la lente delgada, verifique que los puntos imagen encontrados en (b) sean correctos. Chequée la magnificación y altura de cada punto.
d) Encuentre una expresión para la función h = h(S), donde S corresponde a la distancia objeto. Demuestre que la altura de la imagen será la misma para todo el
objeto, independiente de la posición S. Es decir, h0 (S) = constante.
9. Combinación de lentes. Una lente bicóncava de distancia focal −60 mm es puesta en
frente de una lente plano-convexa de radio 60 mm e ı́ndice de refracción 1,5 (ver figura
4). Encuentre la distancia focal efectiva y determine la imagen que resultará de una
hormiga de 3 mm de alto sobre el eje óptico localizada frente al dispositivo.
Figura 4:
10. Combinación de lentes. Galileo ideó un telescopio simple terrestre que producı́a una
imagen vertical. Este consta de una lente objetivo convergente y una ocular divergente
en los extremos opuestos del tubo del telescopio. Para objetos lejanos la longitud del
tubo es la distancia focal del ocular.
a) ¿El usuario del telescopio ve una imagen virtual o real?
b) ¿Dónde se ubica la imagen final?
c) Si el telescopio está construido con un tubo de 10 cm de largo y un aumento de 3x
¿cuáles son las longitudes focales del objetivo y del ocular?
4
11. Combinación de lentes. El problema que veremos a continuación constituye el esquema
básico para construir un microscopio. Considere la figura 5 en donde s1 = 5 cm, f1 = 3
cm y f2 = 5 cm:
Objetivo
O
f2
s1
f1
f1
f2
Ocular
L
Figura 5:
a) Si la distancia entre el objetivo y el ocular es L = 15 cm, ¿dónde se formará la
imagen? ¿Cuán grande/pequeña será?¿Será real o imaginaria?
b) Si la distancia entre el objetivo y el ocular es L = 11 cm, ¿dónde se formará la
imagen? ¿Cuán grande/pequeña será?¿Será real o imaginaria?
12. Combinación de una lente convergente y un espejo cóncavo (P). Una lente positiva es
puesta junto a un espejo cóncavo de radio R como se muestra en la figura 6. El foco
de la lente es idéntico al del espejo: fl = fe ≡ f . La distancia entre ambos dispositivos
ópticos corresponde exactamente a la distancia focal, es decir, el espejo está ubicado en
el foco derecho de la lente y la lente está ubicada en el foco del espejo.
R
h1
eje óptico
s1
fl
fe
Figura 6: Montaje propuesto.
5
fl
a) Un objeto de altura h1 se ubica a una distancia S1 = 3f a la izquierda de la lente. Encuentre las tres imágenes generadas en este sistema óptico trazando rayos
reales y rayos virtuales. Para facilitar la tarea, dibuje primero los tres rayos reales
conocidos (paralelo al eje, desde el foco, y el que pasa por el vértice) y, a continuación, trace todas las extensiones virtuales de éstos. Recuerde que los rayos
virtuales corresponden a la extensión de los rayos reales que han sido curvados
y/o desviados.
b) Mediante la ecuación de la lente delgada y una correcta interpretación de objetos e
imágenes, verifique que las imágenes encontradas en (a) sean correctas. Es decir,
que estén ubicadas en la misma posición que el dibujo y tengan la misma magnificación. Recuerde la derivación de la ecuación de la lente hecha en clases y también
el tratamiento de objetos e imágenes cuando combinamos dos lentes positivas.
13. Prisma de cristal (P). Un trozo de cristal de ı́ndice de refracción n2 (ver figura 7)
es sumergido en agua y luego esa agua es congelada. El agua congelada (hielo) tiene
un ı́ndice de refracción n1 . Desde la izquierda se hace incidir luz roja (λ = 700 nm)
con polarización paralela al plano de incidencia, tal como se indica en la figura. Un
porcentaje de la luz penetra el cristal experimentando en su interior dos reflexiones
totales internas en las caras paralelas al eje óptico. Finalmente, la luz sale del cristal
por la cara derecha de éste, en la condición de Brewster (toda la luz es transmitida).
E
HIELO
CRISTAL
EJE
OPTICO
n1
n2
a
b
n1
HIELO
Figura 7: Prisma de cristal sumergido en hielo.
a) Encontrar una expresión matemática para el ángulo b, el ángulo de incidencia θi y
el ángulo de salida θf en términos del ángulo a y los ı́ndices de refracción n1 y n2 .
b) Si n1 = 1,3 y n2 = 2, y considerando que a = b/2, determine los valores en grados
para los ángulos b, θi , θf y θc , donde θc corresponde al ángulo crı́tico de la reflección
total interna.
14. Divisor de haces (P). Un divisor de haces (DH) divide a un haz de luz en dos y puede
ser construido utilizando dos prismas separados por un material de ı́ndice de refracción
diferente. Este dispositivo es ampliamente utilizado en laboratorios de óptica actuales
y, entre otros usos, permite medir la potencia aplicada sobre un experimento en forma
indirecta, midiendo la potencia del segundo haz. Considere el montaje presentado en la
Figura 8. Dos prismas de ı́ndice de refracción n1 son separados por un trozo de cristal de
6
ı́ndice n2 . Todo el sistema está rodeado por un medio con ı́ndice n0 . Desde la izquierda
se hace incidir un haz de luz amarilla (580 nm) paralelo a la base del primer prisma.
π/4
n1
n2
n0
π/4
E
X
n1
Figura 8: Divisor de haces.
a) Dibuje la trayectoria del haz en este sistema óptico. Para ello considere sólo una
reflexión (la más importante) cuando el haz incide sobre el cristal de ı́ndice n2
proveniente del prisma n1 . Ayuda: se espera que del sistema óptico salgan dos
haces en un ángulo de 90 grados entre ellos.
15. Espejos cilı́ndricos (P). Investiguemos cómo será la imagen de un cı́lindro puesto en
frente de un espejo cilı́ndrico de radio variable (ver figura 9-izquierda). En la parte más
alta del espejo el radio es R1 y la distancia al objeto es Xo. A nivel del suelo el radio
del espejo es R2 (ver figura 9-derecha). El radio aumenta linealmente a medida que nos
acercamos al piso, por lo que R1 < R2.
h
r
R1
h
R2
Xo
Figura 9: Izquierda: vista frontal del espejo cilı́ndrico. Derecha: vista desde arriba.
a) Encuentre una expresión para la distancia-objeto dependiente del radio: s = s(R).
b) Utilizando el resultado obtenido en (a) encuentre la distancia-imagen dependiendo
del valor del radio: s0 = s0 (R).
7
c) Utilizando el resultado obtenido en (a) y (b) encuentre la magnificación dependiendo
del valor del radio: m = m(R).
d) Sea Xo = R1 = 1 m, R2 = 1.5 m, h = 2 m y r = 20 cm. Construya la imagen que
el cilindro “verı́a” en el espejo (considere al objeto como un rectángulo).
e) Encuentre el ángulo con que se forma la imagen respecto a la vertical y compárelo
con el ángulo de inclinación del espejo.
16. Espejos cilı́ndricos (P). Averigüemos cómo serı́a la imagen de un objeto rectangular
puesto en frente de un espejo cilı́ndrico cóncavo de radio variable (ver figura 10). En la
parte más alta del espejo el radio es R1 y en la parte más baja el radio es R2 . El radio
de curvatura del espejo aumenta linealmente a medida que nos acercamos al piso por lo
que |R2 | > |R1 |. La distancia-objeto en la parte más alta corresponde a x0 y la altura
del objeto es la misma que la del espejo.
espejo
espejo
objeto
xo
R1
objeto
R2
Figura 10: Izquierda: vista frontal. Centro: vista lateral. Derecha: vista desde arriba.
a) Encuentre una expresión para la distancia-objeto, la distancia-imagen y la magnificación en términos del radio de curvatura R: S = S(R), S 0 = S 0 (R) y m = m(R),
respectivamente.
b) Si |R1| = 50 cm y |R2| = 150 cm, dibuje una imagen aproximada del rectángulo en
el espejo en los siguientes casos: (i) x0 = 22,5 cm y (ii) x0 = |R2 |. En ambos casos,
determine si la imagen es real o virtual.
17. Espejos esféricos. Al Director de su colegio le encantan las ilusiones ópticas y desearı́a
construir un juego tipo-LEGO que pudiera ser utilizado por los alumnos para deformar
sus figuras. Es decir, para un niño de 1,5 mts de alto, podrá ordenar de diferente manera
5 bloques cada uno de 30 cms. Cada bloque tiene un espejo cóncavo o convexo, según
la necesidad (ver figura 11). Debe asumir que los niños se pondrán a 60 cms desde el
vértice de cada espejo (la pila de espejos estará alineada con respecto a este mismo
parámetro).
8
4x
-1/2x
1/6x
Espejo convexo
3x
1/5x
Espejo cóncavo
Figura 11: Juegos ópticos tipo LEGO.
a) Determine los espejos necesarios (R1 , R2 , R3 , R4 y R5 , enumerados desde arriba)
para que la imagen del niño se deforme como se indica en la figura.
b) Llevar su idea a la práctica.
18. Lentes compuestas: Acrómata (P). Una lente acromática consiste de dos lentes pegadas,
comúnmente una lente positiva de bajo ı́ndice de refracción y una lente negativa de alto
ı́ndice de refracción. Lentes acrómatas son por lejos superiores a lentes individuales cuando las imágenes son multicoloridas. Las dos lentes que componen una lente acromática
(literalmente, “una lente sin color”) son puestas juntas para corregir la separación focal
de colores propias del vidrio (vea figura 12).
R1
R2
R3
Luz blanca
Luz blanca
foco
luz
azul
foco
luz
roja
foco
común
n1
n2
Lente positiva
Lente acrómata
Figura 12: Comparación lentes.
Considere los siguientes ı́ndices de refracción para luz roja y azul de los dos tipos de
vidrio que componen este tipo de lentes: n1(rojo) = 1.4, n1(azul) = 1.45, n2(rojo) =
1.7, y n2(azul) = 1.775. Las lentes están rodeadas por aire (naire = 1).
a) Considere el foco efectivo para lentes muy cercanas. Si R1 = 4 cm y R3 = ∞ ¿cuál
es el valor de R2 tal que la luz roja y la azul son enfocadas en el mismo punto?
9
b) Encuentre las distancias focales para la luz roja y la azul de la lente convergente
(n1) y la plano-cóncava (n2) por separado.
19. Lentes compuestas (P). Un fabricante de cámaras fotográficas está explorando nuevos
diseños para lentes compuestas variando los parámetros fı́sicos del sistema, es decir,
los radios de curvatura de las lentes y los ı́ndices de refracción de éstas. Finalmente el
fabricante logra construir un sistema compuesto de tres lentes delgadas pegadas (no hay
distancia entre lentes) como lo muestra la figura 22.
R1
R4
R2
O
R3
fe
fe
n1
n3
n2
Figura 13: Sistema de lentes compuestas.
a) Si n1 = n3 y |R2 | = |R3 |, encuentre el inverso del foco efectivo (fe−1 ) para este
sistema de lentes (simplifique la expresión matemática tanto como pueda).
b) Si |R1 | = 150 cm, |R2 | = 50 cm, n1 = 4/3 (agua) y n2 = 3/2 (obsidiana), encuentre el valor del foco efectivo en términos del último radio de curvatura, es
decir fe = fe (R4 ). Dibuje aproximadamente esta función verificando los lı́mites
|R4 | → 0, ∞. Determine además, para qué valor de |R4 | el foco efectivo se indefine.
¿Para qué valor de |R4 | el foco efectivo será igual a −fe (|R4 | → ∞)?
c) Se define la dispersión óptica (δn) de un material como la diferencia entre el ı́ndice
de refracción de la luz azul (na ) con el ı́ndice para la luz roja (nr ): δn ≡ na − nr .
El fabricante quiere que este sistema de lentes funcione como una lente acrómata,
es decir que el foco efectivo para la luz azul sea el mismo que para la luz roja:
fea = fer . Para los valores de los radios |R1 |, |R2 | y |R4 | = |R1 |/4 de la parte (b),
determine cuánto debe vale la razón entre la dispersión del material central con
respecto a la dispersión del material utilizado en los costados: δn2 /δn1 .
20. Sistema de imágenes (P). Don Juan tiene una máquina pulidora con la cual puede
obtener la curvatura deseada para fabricar lentes. Sin embargo, su máquina tiene un
mal desempeño cuando los radios de curvatura son pequeños, razón por la cual no
puede fabricar lentes de longitud focal corta. Una forma de generar focos pequeños es
utilizando combinaciones de lentes, mientrás mayor el número de lentes menor será el
foco efectivo.
a) Considere la combinación de N lentes convergentes en donde cada lente tiene el radio
de curvatura derecho igual al izquierdo. Encuentre el foco efectivo del sistema (fe )
si todas las lentes tienen igual radio de curvatura (Ri = R) y, todas están hechas
del mismo material (ni = n0 ). Evalúe numéricamente el resultado para R = 4 cm
y los ı́ndices: n0 = 6/5, 4/3, cuando N = 1 y 10.
10
espejo
b) Considere ahora el sistema óptico de la Figura 14. La lente L corresponde a la lente
efectiva de la parte (a) y, a la izquierda, a una distancia d = 2fe , se coloca un
espejo esférico de radio r = 3fe . Una pulga es colocada a una distancia fe /2 a la
izquierda de L. Encuentre y dibuje la imagen final del sistema comenzando primero
por la imagen formada por L. Luego utilice esa imagen como objeto para el espejo
esférico. Determine si las imágenes son reales o virtuales, derechas o invertidas, y
agrandadas o disminuidas. Determine además la magnifición total de éste sistema
óptico. (NO EVALUE fe !)
c) Repita la parte (b) para d = 12fe /5. Si realiza bien los cálculos, podrá entender las
amplias posibilidades de este sistema óptico como proyector con un sintonizado
fino dado por la lente compuesta y una amplificación gruesa dada por el espejo
esférico.
r
L
fe
fe/2
fe
d
Figura 14: Sistema óptico de imágenes.
21. Arcoiris. En este problema, buscamos aprender cómo se produce un arcoiris. En el siglo
XIV, Teodórico de Freiberg explicó el arcoiris como consecuencia de la refracción y
reflexión interna dentro de gotas individuales de lluvia. En esa época todavı́a no se
conocı́a la Ley de Snell, ası́ que ustedes tendrán una enorme ventaja para explicar
correctamente este fenómeno. La idea de este problema consiste en estudiar cómo se
refracta, refleja y vuelve a refractar un rayo de luz “blanca” que incide sobre una gota
de agua y cómo, debido a esto, se separan los colores dando lugar a un arcoiris.
Un rayo de luz solar (luz blanca) incide sobre una gota esférica de agua formando un
ángulo de incidencia α con respecto a la superficie (ver figura 15). Debido a la dispersión
11
cromática del agua, la luz roja y la luz azul se separarán al refractarse. El ı́ndice de
refracción del aire es 1 y el del agua dependerá de la longitud de onda (color).
a) Dibuje la trayectoria de dos rayos - uno de luz roja y uno de luz azul - al refractar
desde el aire al interior de la gota, luego reflejarse al interior de ésta y, por último,
azul
refractar desde el agua al aire. Considere para ésto que nrojo
agua < nagua .
b) Determine el ángulo de salida (θS ) de la luz (roja o azul) con respecto a la superficie
terrestre (linea paralela al rayo incidente). Exprese su resultado en términos del
ángulo de incidencia α y del ı́ndice de refracción nagua .
c) Utilize la expresión encontrada en
q(b) y demuestre que θS es un máximo con respecto
al ángulo α cuando: cos αm =
(n2agua − 1)/3.
azul
d) Sean nrojo
agua = 1,33 y nagua = 1,35. Encuentre los ángulos αm y θS máximo para ambos
colores. Con este cálculo entenderá porqué para ver un arcoiris hay que estar a una
distancia mı́nima y porqué no es posible verlo bajo la lluvia!
α
Figura 15: Luz blanca incidiendo en una gota de agua esférica.
22. Interfases esféricas. Un trozo de cristal genera múltiples imágenes dependiendo de los
radios de curvatura que tenga. Un artesano pule el cristal de forma tal que el radio de
curvatura izquierdo es |R1 | = 4cm y el del derecho es |R2 | = 6cm (ver figura 16). Los
ı́ndices de refracción exteriores son iguales, es decir n1 = n3 = 1 y n2 = 2 (cristal puro).
Cada cuadrado en la figura 16 corresponde a 1cm.
a) Determine los cuatro focos de este cristal y ubı́quelos en la figura.
b) El objeto O1 , de altura h1 = 4cm, se ubica a 8cm a la izquierda del cristal ¿dónde se
formará I1 ? ¿será real o virtual? ¿más grande o más pequeña que el objeto? Para
resolver estas preguntas trace primero un par de rayos conocidos y encuentre una
primera imagen. Luego, utilice la fórmula respectiva para validar su dibujo.
c) Conside ahora I1 como un objeto (O2 ) para la siguiente interfase esférica (R2 ).
¿Dónde se formará la segunda imagen? ¿será real o virtual? ¿más grande o más pequeña que el objeto inicial (O1 )? Para resolver estas preguntas trace primero rayos
conocidos y encuentre, dibujando, la imagen final de este sistema óptico. Luego,
utilice la fórmula respectiva para validar su dibujo.
12
n1
n2
n3
R1
R2
h1
O1
c1
c2
Cristal
Figura 16: Cristal con interfases esféricas rodeados de los medios n1 y n3 .
23. Combinación de espejos y lente. Buscamos estudiar el proceso de formación de imágenes
cuando se combinan distintos componentes ópticos; en particular, dos espejos planos y
una lente convergente (vea figura 17). Al igual que como nos sucede cuando subimos a
un ascensor, se formarán tantas imágenes como veces sigamos los rayos en su camino a
través de esta cavidad óptica. Un objeto de altura h = 5 cm se localiza a 20 cm hacia
la derecha de la lente, todo rodeado de aire.
O
Figura 17: Dos espejos enfrentados con una lente entremedio.
a) Si la lente es plano-convexa tal que fL = 10 cm y n = 3/2 ¿cuánto valen sus radios?
b) Trace rayos hacia la derecha del objeto y encuentre las CINCO imágenes que se
forman antes que los rayos escapen de la cavidad.
c) Trace rayos hacia la izquierda del objeto y encuentre las CUATRO imágenes que
se forman antes que los rayos escapen de la cavidad.
d) Corrobore sus hallazgos (posición, tipo y tamaño de las imágenes) con la ecuaciones
respectivas.
13
24. Combinación de una lente divergente y un espejo cóncavo. Una lente negativa es puesta
a la izquierda de un espejo cóncavo de radio |R| = 12cm como se muestra en la fig. 18.
El foco de la lente es idéntico en magnitud al del espejo: |fl | = |fe |; la distancia entre
ambos dispositivos ópticos es de 6cm. Cada cuadrado en la figura corresponde a 1cm.
R
h1
O1
s1
Figura 18: Montaje propuesto.
a) Un objeto de altura h1 = 2cm se ubica 12cm a la izquierda de la lente. Encuentre las
tres imágenes generadas en este sistema óptico trazando rayos reales y virtuales.
Para facilitar la tarea, dibuje primero los tres rayos reales conocidos (paralelo al eje,
hacia el foco posterior, y el que pasa por el vértice) y, a continuación, trace todas
las extensiones virtuales de éstos. Recuerde que los rayos virtuales corresponden a
la extensión de los rayos reales que han sido curvados y/o desviados. Recuerde
además, que las lentes negativas tienen un comportamiento diferente a las positivas.
b) Mediante la ecuación de la lente delgada y una correcta interpretación de los objetos
e imágenes de este problema, verifique que las imágenes encontradas en (a) sean
correctas. Es decir, que estén ubicadas en la misma posición que el dibujo y tengan
la misma magnificación. Recuerde el tratamiento de objetos e imágenes cuando
derivamos la ecuación de la lente en clases.
25. Óptica Geométrica. Queremos recorrer el camino que sigue un rayo de luz a través de
distintos elementos ópticos para ası́ estudiar las leyes fundamentales de la óptica, la ley
de reflexión y la de refracción. En la figura 19 se muestra el sistema óptico por el que
la luz viaja. Primero un rayo de luz roja inside, desde el infinito, en una lente negativa
de foco fl = −4 cm; luego enfrenta dos espejos planos; a continuación ingresa a una
semi-esfera de vidrio con ı́ndice de refracción n1 > 2; después de eso, ingresa en un
prisma triangular de ángulo 45◦ e ı́ndice de refracción n2 = 2 por la cara en contacto
con la semiesfera. Finalmente sale del sistema en dirección opuesta a la inicial en
la cara de salida. Cada cuadrado en el dibujo equivale a 1 cm y debe considerarlo para
el cálculo de los ángulos del problema. Todos los componentes están rodeados de aire
(naire = 1).
a) Dibuje el recorrido del haz a través de este sistema óptico. Cuando la luz refracte,
haga un trazado aproximado del camino que recorrerı́a el haz de luz.
b) ¿Cuánto vale n1 para que el rayo salga en dirección opuesta a la inicial?
14
Aire
Luz incidente
Aire
Aire
n1
C
π/4
n2
Aire
Cara salida
Figura 19: Montaje propuesto.
26. Interfases esféricas. Un trozo de cristal genera múltiples imágenes dependiendo de los
radios de curvatura que tenga. Don Pablo pule el cristal de forma tal que el radio de
curvatura izquierdo es |Ri | = 6 cm y el del derecho es |Rd | = 4 cm. Los ı́ndices de
refracción exteriores son iguales, es decir n1 = n3 = 1. n2 = 2 (rubı́). El cristal puro
refleja alrededor de un 50 % de la luz cuando la luz va desde el cristal hacia el aire, por
lo que este sistema generará imágenes por reflexión y también por refracción. Un objeto
O, de altura h = 2 cm, se ubica a 8 cm a la derecha de la superficie izquierda y a 7 cm
de la superficie derecha del cristal. Cada cuadrado en la figura 20 corresponde a 1cm.
a) Determine los cuatro focos de refracción y los dos de reflexión de este cristal y
ubı́quelos en la figura.
b) ¿Dónde se formarán las dos imágenes debidas a la refracción de la luz? ¿serán
reales o virtuales? ¿más grandes o más pequeñas que el objeto? Para resolver estas
preguntas trace primero un par de rayos conocidos hacia la izquierda y hacia la
derecha del objeto y encuentre las imágenes. Luego, utilice la fórmula respectiva
para validar su dibujo.
c) ¿Dónde se formarán las dos imágenes debidas a la reflexión de la luz? ¿serán reales o
virtuales? ¿más grandes o más pequeñas que el objeto? Para resolver estas preguntas trace primero un par de rayos conocidos hacia la izquierda y hacia la derecha del
objeto y encuentre las imágenes. Luego, utilice la fórmula respectiva para validar
su dibujo.
15
Ri
Rd
n1
n3
C1
C2
O
Eje
óptico
n2
Figura 20: Cristal con interfases esféricas rodeados de los medios n1 y n3 .
27. Burbuja de aire (P). Para estudiar la generación de imágenes debida a interfases esféricas
proponemos el siguiente problema ilustrado en la figura 21. A veces podemos encontrar
artesanı́a de vidrio con burbujas en su interior; buscamos estudiar - aproximadamente
- cuál serı́a el efecto visual de estas burbujas. n0 = 1, n1 = 4/3, R = 5 cm y S1 = 5 cm.
n0
n1
n0
n1
O
C
S1
n0
Figura 21: Bloque de vidrio con búrbujas.
a) Calcule los focos asociados a este problema y ubı́quelos en la figura.
b) Utilizando la fórmula de imágenes resuelva el problema completo. Es decir, encuentre las CUATRO imágenes formadas, incluyendo su magnificación con respecto al
objeto original.
c) Dibuje dos rayos que coincidan con lo calculado en la parte (b). Ponga atención con
la geometrı́a del problema para dibujar correctamente sus rayos.
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28. Combinación de lentes. En este problema buscamos demostrar que cuando tenemos
lentes delgadas pegadas el foco equivalente del sistema corresponde a la ecuación (6)
del formulario. El diagrama para resolver esta pregunta es presentado en la figura 22.
R2
R1
O
C2
R3
C1
n0
C3
n0
n1
n2
e1
e2
Figura 22: Combinación de lentes.
a) Dibuje la trayectoria de dos rayos de luz cuando n0 < n2 < n1 . Recuerde dibujar
además las extensiones virtuales de los rayos curvados al igual que las extensiones de
los rayos obstruidos. Como no se dan valores numéricos, aproxime la trayectoria de
los rayos tratando de generar imágenes (intersecciones) dentro del dibujo. Describa
las imágenes y nuevos objetos encontrados.
b) Utilizando la fórmula de imágenes, demuestre que la suma de los inversos de los focos
de cada lente por separado, corresponde al foco efectivo del sistema. Considere a
las lentes como delgadas, es decir en sus cálculos considere e1 , e2 → 0.
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FÓRMULAS
Ley de Snell :
ni sin θi = nt sin θt
(1)
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x
(2)
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin y sin x
(3)
1
1
1
+ 0 =
s s
f
(4)
Trigonometrı́a:
Ecuación de lente delgada:
Distancia focal de espejos esféricos:
f =−
R
2
(5)
Formación de imágenes en una superficie refractante esférica:
ni nt
nt − ni
+ 0 =
s
s
R
Ecuación del fabricante de lentes (lente rodeada de aire):
1
1
1
= (n − 1)
−
f
R1 R2
(6)
(7)
Distancia focal efectiva para un sistema de lentes delgadas pegadas:
1
1
1
=
+
+ ···
f
f1 f2
Magnificación:
m=
s0
h0
→ mlentes = mespejos = −
h
s
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(8)
(9)