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III Congreso Internacional sobre Métodos Numéricos en Ingeniería y Ciencias Aplicadas
S. Gallegos, I. Herrera , S. Botello, F. Zárate, y G. Ayala (Editores)
© ITESM, Monterrey 2004 CIMNE, Barcelona 2004
DETERMINACIÓN DE ANOMALÍAS DE LA ACTIVIDAD
ELÉCTRICA DEL CEREBRO EN PACIENTES CON TUMORES.
Arturo González Vega1,2, José L.
Marroquín Zaleta1 , Salvador Botello
Rionda1
1 Centro de Investigación en Matemáticas A.C. (CIMAT)
Jalisco S/N, Mineral de Valenciana.
Guanajuato, 36240 Guanajuato, México
Email: gonzart,jlm,mailto:[email protected]
web page: http://www.cimat.mx
2 Instituto de Física de la Universidad de Guanajuato.
Loma del bosque # 103 Col. Lomas del Campestre
León, 37150, Guanajuato, México.
web page: http://www.ifug.ugto.mx/
Félix Calderón Solorio
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSH)
División de Estudios de Postgrado de la Facultad de Ingeniería
Eléctrica.
Edificio “A” Primer Piso, Ciudad Universitaria, Morelia, 58030
Michoacán, México.
Email: [email protected]
web page: http://lsc.fie.umich.mx/
Pedro Valdez Sosa, Eduardo Aubert
Vázquez, Jorge Bosh Bayard.
Antonio Fernández Bouzas, Thalia Harmony
Baillet
Centro de Neurociencias de Cuba
Av. 25 No. 15202 Esq. 158 Playa Cd. Habana, 6880
Cuba.
Email: peter,aubert,[email protected]
web page: http://www.cneuro.edu.cu
Instituto de Neurobiología.
Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) Campus
Juriquilla. Km 15 Carretera Qro-SLP. A.P. 1-1141, 76001
Querétaro, México
Email: fabouzas, [email protected]
web page: http://www.cnb.unam.mx/
Resumen. En el presente trabajo se propone un nuevo procedimiento para el registro de imágenes de
resonancia magnética de cerebros de diferentes individuos los cuales presentan un tumor en el cerebro el cual
origina grandes diferencia anatómicas; este procedimiento se aplica en el corregistro de la imagen de un atlas
anatómico con la imagen del paciente. La técnica propuesta es asistida por un experto, los pasos claves del
procedimiento son la implantación de un tumor sintético en el atlas y una novedosa técnica robusta de registro
de imágenes. Una vez encontrados los campos de deformaciones que transforman las coordenadas del espacio
del atlas anatómico al espacio del paciente éstos se utilizan para el cálculo del estadístico Z de la actividad
eléctrica del paciente, de esta forma se obtiene una herramienta con la cual se puede determinar anomalías en
la actividad eléctrica de este tipo de pacientes.
Palabras clave: Tomografía Eléctrica, Registro de Imágenes no Rígido.
A. Gonzalez et al Detección de Anomalías de la Actividad Eléctrica del Cerebro en Pacientes con Tumores
1
INTRODUCCIÓN
La detección temprana de un tumor en el cerebro es fundamental para mejorar la prospectiva de
recuperación del paciente. Las mejores técnicas, hasta ahora, para el diagnóstico de la existencia de un tumor
en el cerebro son las basadas en imágenes tales como las de resonancia magnética (MRI), la tomografía
computada (CT), etc. Estas técnicas tienen una gran confiabilidad y su resolución espacial es tan buena que
permiten guiar a los médicos en el momento de la cirugía; desgraciadamente tienen un alto costo y en países
con bajos recursos son muy pocos los hospitales que cuentan con la infraestructura suficiente para realizar
dichos estudios. Es por esto que la búsqueda de herramientas de bajo costo que permitan un diagnóstico sobre
la presencia de un tumor resulta de gran importancia.
Los estudios de electroencefalografía cumplen con la característica de utilizar equipos de relativamente bajo
costo además de ser la técnica no invasiva por excelencia. Un primer paso para determinar si el uso de la
electroencefalografía es factible como herramienta para el diagnóstico de tumores es demostrar que la
presencia de un tumor produce anomalías sobre la actividad eléctrica observada con un equipo de
electroencefalografía. En este trabajo proponemos una técnica que permite la comparación de la tomografía
eléctrica de un paciente con un tumor en el cerebro contra una norma de tomografía eléctrica3 obtenida de
pacientes sanos1 que esta referida a las coordenadas del atlas anatómico2.
La prueba estadística propuesta para comparar la actividad eléctrica es utilizar la transformación Z, esta
transformación permite comparar valores individuales de las fuentes de la actividad eléctrica en un paciente
contra una norma. La transformación Z de la tomografía eléctrica del paciente esta definida por:
Zr =
sr − µ r
,
σr
(1)
donde Zr es la transformada Z del punto r, sr es la actividad eléctrica del paciente, µr y σr?es la media y
desviación estándar obtenida del grupo de individuos que conforman la norma, todo medido en el punto r.
La transformación Z provee un parámetro que describe que tan significativa es la diferencia entre la
actividad del paciente contra la norma, considerando que la distribución de esta norma es gaussiana.
Es importante recalcar la necesidad de que en el cálculo de la transformación Z se haga entre puntos
equivalentes anatómicamente hablando. En pacientes sin alteraciones anatómicas importantes lo usual es
aproximar sus coordenadas a las coordenadas de la norma, pero en el caso de pacientes en los que
expresamente hay un cambio anatómico importante no es posible hacer esta aproximación.
De lo anterior surge la necesidad de encontrar la deformación espacial que encuentre la correspondencia
entre la localización de un punto en el individuo y el equivalente en el espacio de la norma. El método
propuesto para encontrar estas correspondencias es el registro entre la imagen del atlas de y la imagen del
paciente. La existencia de un tumor en solo una de las imágenes complica aún más la ya de por sí difícil tarea
de registrar imágenes que provienen de individuos distintos, lo cual provoca que las técnicas de registro
convencionales no den resultados satisfactorios. El procedimiento propuesto es una técnica semiautomática de
varios pasos asistida por un experto.
2
2.1
METODOLOGÍA
Cálculo del campo de deformaciones.
La manera en que se encuentra este campo de deformaciones es mediante el registro de la imagen de
resonancia magnética del paciente y la imagen de resonancia magnética T1’w con 0% de ruido, 0% de in
homogeneidad (RF) y dimensiones de voxel de 1mm x 1mm x 1mm del atlas anatómico de Montreal obtenida
del simulador “BrainWeb”del Instituto Neurológico de Montreal4,9, la cual esta en el mismo espacio que la
norma de la actividad eléctrica. El procedimiento consiste de los siguientes pasos:
A. Gonzalez et al Detección de Anomalías de la Actividad Eléctrica del Cerebro en Pacientes con Tumores
2.1.1
Segmentación asistida por un experto.
Esta primera fase es la única asistida por un experto; el trabajo del experto consiste en la determinación, en
ciertos cortes, de las regiones pertenecientes a cerebro, tumor y edema; para lograrlo cuenta con una
herramienta interactiva con la cual es posible marcar puntos en el contorno y un punto interior de la región
que se esté clasificando.
Figura 1 – Ventana del programa iMagic, herramienta de trabajo utilizada por el experto para la segmentación, la línea roja es el polígono
que une a los puntos marcados por el experto.
2.1.2
Interpolación de la imagen del paciente.
Dado que en pacientes que tienen tumores en la cabeza es posible que presenten movimientos
involuntarios, algunas veces es difícil conseguir imágenes de alta resolución. Cuando esta situación ocurre es
necesario realizar una interpolación con el fin de obtener una imagen con la misma resolución que la del atlas
(voxeles de 1mm x 1mm x 1mm). La restauración de la imagen se logra mediante una interpolación por BSplines de 3er orden5, en la figura 2 se muestra un ejemplo de la reconstrucción realizada.
Figura 2 – A la derecha la imagen original del primer paciente, a la izquierda la imagen interpolada (ambas imágenes pertenecen al
corte 193 en vista sagital).
La segmentación que el experto realizó fue hecha sobre la imagen original, así pues, en las zonas de la
imagen reconstruidas no se cuenta con una segmentación. Para conseguir la segmentación en estas zonas se
realiza una interpolación basada en establecer la probabilidad de pertenencia de un voxel a cada tipo de tejido
utilizando un modelo de campos de medidas de Gauss Markov (GMMF por sus siglas en inglés)6. La
clasificación es obtenida minimizando:
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U ( p ) = ∑ p (r ) − ν (r ) + λ ∑ p (r ) − p (s ) ,
2
r∈L
2
(2)
r ,s
donde la verosimilitud ν(r) tiene el valor de uno cuando el experto etiquetó al voxel r como perteneciente a la
clase (tumor, cerebro o edema), cero cuando fue etiquetado como no perteneciente y 0.5 cuando el voxel no
fue clasificado por el experto, en la imagen de la izquierda de la figura 3 se muestra un corte de la imagen de
verosimilitud; p(r) son las probabilidades a posteriori. L es la totalidad de la imagen, λ es un parámetro de
regularización y <r,s> son los cliques que determinan el sistema de vecindades. La función de energía U(p) se
minimiza respecto al campo p(r) mediante la técnica de Gauss-Seidel. Una vez obtenido las probabilidades a
posteriori (p(r)) se clasifica al voxel como perteneciente a la clase cuando p(r) >0.5, la imagen de la derecha de
la figura 3 muestra el resultado final de la operación de interpolación de la segmentación. Note que un voxel
dado puede pertenecer a más de una clase.
Figura 3 – A la derecha, corte en vista sagital de la imagen de verosimilitud, en blanco ν(r)=1, en negro ν(r)=0 y en gris ν(r)=0.5. A la
izquierda, resultado final de la interpolación de la segmentación para el mismo corte de la imagen de la izquierda
2.1.3
Registro de imágenes.
La alineación entre dos imágenes de la misma modalidad (en este caso dos imágenes resonancia magnética
T1’w) se define como el encontrar la función T(r) que satisfaga la siguiente ecuación:
I s (T (r )) = I t (r ) + N(r ),
(3)
donde Is(T(r)) representa la imagen obtenida al aplicar la transformación T(r) sobre la imagen Is, It es la imagen
a la que se desea llegar, N(r) es el ruido que se presenta en la toma de las imágenes.
El encontrar la transformación T(r) es un problema altamente no lineal el cual, como todos estos problemas,
presenta una gran sensibilidad al punto de arranque debido a la presencia de mínimos locales. La presencia de
un objeto que no aparece en ambas imágenes (el tumor) complica aún más el algoritmo; es por esto que en esta
fase del algoritmo se propone un registro por etapas, cada etapa previa al registro no paramétrico (etapa final)
tiene como objetivo mejorar el punto de arranque para la siguiente etapa.
2.1.3.1 Registro Afín.
El primer paso es conseguir que la orientación y el tamaño de la cabeza del atlas se semejen a la del
individuo. Para esto se modela la transformación T(r) de (3) con un modelo clásico afín, el cual en 3D está
determinado por 12 parámetros (θ).
Para la obtención de estos parámetros se utiliza una función de energía basada en la suma de las diferencias
de intensidades al cuadrado (SSD) la cual se minimiza respecto a θ utilizando el algoritmo de Gauss-Newton.
Para mejorar tanto la calidad de los resultados como el tiempo de convergencia se utiliza técnicas de
multiescala7.
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Con el fin de evitar la dificultad que genera la presencia de un objeto (el tumor) en solo una de las imágenes,
el registro afín se lleva a cabo excluyendo la información proveniente tanto del cerebro como del tumor
(segmentados en los pasos 2.1.1 y 2.1.2) tanto en la imagen del individuo (ver figura 4, imagen derecha) como
en la del atlas (ver figura 4, imagen izquierda). De esta manera el registro es guiado solo por el tejido que se
encuentra fuera de la cavidad craneana (información suficiente para lograr la orientación y semejanza en
tamaño).
Figura 4 – De derecha a izquierda: Atlas original del INM excluyendo tejido cerebral, resultado de la transformación afín del atlas,
imagen del primer paciente excluyendo tejido cerebral (todas las imágenes pertenecen al corte 66 en vista sagital).
2.1.3.2 Implantación de un tumor sintético en el atlas.
El procedimiento de implantación y simulación de los efectos del tumor en el cerebro esta basado en un
modelo muy simple. Se asume que el crecimiento del tumor es isótropo dentro de un volumen confinado y
relleno de un material también isótropo (el cerebro). Bajo estas suposiciones el campo de deformaciones que
provoca el tumor será un campo radial que apunta en dirección contraria al punto de nacimiento del tumor.
Cráneo
Centroide
Tejido
Cerebral
Tumor
Figura 5 – Esquema del modelo de implantación del tumor en el atlas (corte axial del volumen completo).
Dado que no se tiene ninguna información sobre la dinámica del crecimiento del tumor se considera al
centroide de éste como el punto de nacimiento. La dirección de dicho campo en un voxel en particular es
aquella que apunta del centroide hacia el voxel. La magnitud del campo en un voxel perteneciente al tumor
(zona anaranjada en la figura 5) es la distancia de éste al centroide. Para determinar la magnitud del campo
fuera del tumor pero dentro del cerebro (zona gris en la figura 5) se utilizó un modelo de membrana que debe
cumplir con las siguientes condiciones en la frontera: la magnitud de la deformación al rededor del cráneo debe
ser cero, esta condición se basa en el hecho de que el tumor no deforma el cráneo del espécimen; el campo de
intensidades debe ser suave, esto se debe a la suposición de que el cerebro es un material isótropo; y la tercera
restricción es que la deformación dentro del tumor se conoce ya y no debe ser modificada. Basado lo anterior
se llega a una función de energía que caracteriza a la membrana:
A. Gonzalez et al Detección de Anomalías de la Actividad Eléctrica del Cerebro en Pacientes con Tumores
U (m ) =
∑ (m(r ) − m(s)) ,
2
(4)
r ,s : r∈T
donde m(r) es el valor de la magnitud de la deformación en el punto r, T es el conjunto de voxeles que
pertenecen al cerebro pero no al tumor. Las condiciones en la frontera están determinadas en T y se imponen
desde el principio. Nótese que r está limitado al espacio T pero s no lo está; de esta manera las condiciones en
la frontera influyen en la obtención de la membrana. El sistema de vecindades utilizado es de primer orden,
conformado por cliques de 2 voxeles. La función de energía se minimizó utilizando un sistema de
optimización por gradiente conjugado.
La simpleza del modelo utilizado no representa una limitación muy grande porque lo que se pretende con
este paso es dar un punto de arranque a un registro no paramétrico. Los resultados de la implantación se
observan en la figura 6.
Figura 6 – De izquierda a derecha: resultado de la transformación afín del atlas, imagen del primer paciente, resultado de la
implantación del tumor sintético sobre el atlas (todas las imágenes pertenecen al corte 50 con vista axial de cada volumen).
Una vez aplicado el procedimiento anterior a la imagen del atlas, se elimina el tumor y tejido no cerebral,
tanto en esta imagen como en la del espécimen dejando en su lugar voxeles con intensidad cero; de esta
manera se cuenta ya con dos imágenes las cuales tienen los mismos objetos.
2.1.3.3 Registro no-paramétrico .
A continuación se describirá el método utilizado para la determinación de los campos de deformaciones
con los que se afinarán los resultados del registro entre la imagen del atlas y la imagen del espécimen. Note que
todos los efectos no-lineales y deformaciones sumamente complicadas debidos al crecimiento del tumor
pueden ser simulados mediante este paso de registro no-paramétrico.
En esta etapa se propone un método novedoso que permite encontrar un vector de desplazamiento para
cada voxel de la imagen. La idea del método se fundamenta en la minimización respecto al campo de
deformaciones de una función de energía basada en la suma de diferencias de intensidades al cuadrado (SSD
por sus siglas en inglés), a la cual se le agregan términos para disminuir la sensibilidad al ruido.
U SSD − ARC (T(r ), l (r )) = ∑ (I s (r + T(r )) − I t (r ) - l(r ) ∇I s (r + T(r )) )
2
(5)
r
+
λµ
2
∇T(r ) + µ ∑ l 2 (r ).
∑
4 r
r
La función de energía propuesta en (5) tiene como analogía física el cálculo de la función de energía
potencial almacenada en un conjunto de resortes donde la distancia de enlongamiento del resorte es la
diferencia de intensidades entre la imagen destino y la imagen origen desplazada; la longitud de reposo del
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resorte es proporcional a la magnitud del gradiente de la imagen origen desplazada, a este tipo de resortes de
les llama de condición adaptiva de reposo (ARC por sus siglas en inglés). Idea basada en el artículo de la ref.8.
El segundo término de la ecuación (5) produce un efecto de suavidad en el campo de deformaciones y el
tercer término limita el crecimiento de las constantes de proporcionalidad de la distancia de reposo.
Las soluciones encontradas mediante la minimización de la función de energía (5) tienen la propiedad de ser
menos sensibles al ruido y a datos erróneos que aquellas encontradas con técnicas clásicas de SSD; la razón es
que en zonas de la imagen afectadas por ruido la magnitud del gradiente crece y el término correspondiente al
error en la intensidad (primer término en (5)) puede ser controlado incrementando el valor de la variable
auxiliar l(r), la cual determina la longitud de equilibrio. Por estas mismas razones puede obtenerse un campo de
deformaciones suave aún cuando las estructuras detalladas en las imágenes del atlas y del paciente difieran, ya
que la influencia de zonas de gradientes altos, asociados a zonas de rasgos, que provocan grandes errores en las
intensidades también pueden ser controladas por las l’s.
Si la función de energía (10) se minimiza respecto a li se obtiene la siguiente formula cerrada:
l (r ) =
(I s (r + T(r )) − I t (r )) ∇I s (r + T(r ))
.
2
µ + ∇I s (r + T(r ))
(6)
La minimización respecto al campo vectorial T(r) da como resultado un sistema de ecuaciones el cual puede
resolverse mediante la iteración de Richardson obteniéndose el siguiente esquema iterativo:
T (k +1) (r ) = T (k ) (r )
( (
)
) ( (
−
1 I s r + T (k ) (r ) − I t (r )
∇ I s r + T (k ) (r ) − I t (r )
2
k
(
)
λ µ + ∇I r + T (r )
s
+
1 I s r + T (r ) − I t (r )
∇I s r + T (k ) (r ) ,
2
λ µ + ∇I r + T (k ) (r )
s
( (
(
(k )
(
)
)
)
2
)
)
(
)
(7)
)
donde T (r ) es el promedio de T en las vecindades. Al nuevo método se le conoce como SSD-ARC.
La figura 7 muestra el refinamiento de resultados obtenido en el paso de registro no-paramétrico.
Figura 7 – De izquierda a derecha: altas con el tumor sintético implantado, resultado del registro no-paramétrico sobre la imagen de
la izquierda, imagen del primer paciente (todas las imágenes pertenecen al corte 70 con vista coronal de cada volumen).
Una vez obtenido el campo de deformaciones no paramétrico se realiza la composición de cada una de las
deformaciones descritas anteriormente para así obtener un campo que lleve la imagen del atlas a la imagen del
paciente.
A. Gonzalez et al Detección de Anomalías de la Actividad Eléctrica del Cerebro en Pacientes con Tumores
2.2
Comparación de la tomografía eléctrica del paciente contra la norma.
Obtenido ya el campo de deformaciones que permite la comparación de puntos anatómicamente
equivalentes, se calcula el estadístico Z para cada punto r donde se tiene el calculo de la actividad eléctrica en el
paciente, se busca µ r y σ r de la norma del punto anatómicamente equivalente (T(r))en el atlas.
3
RESULTADOS.
Las figuras 8 a 11 muestran diferentes cortes de dos pacientes distintos. La primera imagen del conjunto es
la del atlas transformado afinmente, la imagen central es la resonancia magnética del paciente y la tercer imagen
es el resultado final de la transformación. Las figuras 8 y 9 corresponden a un caso donde la imagen de
resonancia magnética tiene baja resolución espacial (1mm x 1mm x 5 mm) y las figuras 10 y 11 muestran un
caso donde la resolución espacial es grande (1mm x 1mm x 1 mm).
Figura 8 – Imágenes del primer paciente. De izquierda a derecha: atlas trasformado afinmente, Imagen del paciente, resultado final.
(Las tres imágenes pertenecen al corte 100 de los volúmenes).
Figura 9 – Imágenes del primer paciente. De izquierda a derecha: atlas trasformado afinmente, Imagen del paciente, resultado final.
(Las tres imágenes pertenecen al corte 78 de los volúmenes).
Es importante subrayar que el efecto de masa ocasionado por el tumor en ambas imágenes es de
magnitudes diferentes, en el primer caso el efecto es mayor (obsérvese la deformación de la línea
interhermisferica) y no obstante la deformación en ambos casos es correctamente modelada.
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Figura 10 – Imágenes del segundo paciente. De izquierda a derecha: atlas trasformado afinmente, Imagen del paciente, resultado final.
(Las tres imágenes pertenecen al corte 95 de los volúmenes).
Figura 11 – Imágenes del segundo paciente. De izquierda a derecha: atlas trasformado afinmente, Imagen del paciente, resultado final.
(Las tres imágenes pertenecen al corte 105 de los volúmenes).
El campo de deformación obtenido fue utilizado para transformar la norma de la actividad eléctrica y así
calcular el estadístico Z. Los resultados se muestran en las figuras 12 y 13, ambas imágenes fueron calculadas
en la banda Delta (2.73 hz.); son fácilmente observables las anomalías en los dos casos. En ambas imágenes se
observan zonas donde la actividad eléctrica es anómala
Figura 12 – Estadístico Z para el corte 100 y 78 del primer paciente. Frec=2.73 hz. (Banda Delta). La escala de colores va
de –13.69 a11.93.
A. Gonzalez et al Detección de Anomalías de la Actividad Eléctrica del Cerebro en Pacientes con Tumores
Figura 13 – Estadístico Z para el corte 95 y 105 del segundo paciente. Frec = 2.73 Hz. (Banda Delta). La escala de colores va de -12.85
a 9.25
4
CONCLUSIONES.
En este trabajo se propone un procedimiento asistido por un experto para registrar imágenes de cerebros
que provienen de distintos pacientes aún cuando existan cambios anatómicos muy importantes debido a la
presencia de un tumor.
El procedimiento esta dividido en distintos pasos, el primer paso clave es la implantación de un tumor
sintético y la simulación del efecto de masa mediante un simple modelo de membrana con ciertas restricciones
físicas y anatómicas. El segundo paso clave es la utilización de una novedosa técnica de registro noparamétrico la cual es robusta al ruido, lo cual permite conseguir una alta calidad en el registro no paramétrico.
El procedimiento se aplicó a dos casos distintos donde la resolución espacial y el efecto de masa debido al
tumor son diferentes y en ambos casos se obtuvieron resultados satisfactorios.
La transformación obtenida fue utilizada para el cálculo del estadístico Z, el cual cuantifica la desviación
respecto a la actividad eléctrica de la norma para pacientes sanos, con lo cual pudo determinarse la presencia de
anomalías en la actividad eléctrica del cerebro de pacientes con tumores.
5
REFERENCIAS.
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vol. 1131. Springer-Verlag, 1996. 135-140.
[10] Félix Calderón Solorio, Registro y Segmentación de Imágenes, Tesis de Doctorado en Ciencias con
Especialidad en Computación CIMAT 2001.
AGRADECIMIENTOS
Arturo Gonzalez agradece la beca otorgada por CONACyT para cursar los estudios de maestría. José Luis
Marroquín y Salvador Botello agradecen el apoyo otorgado por CONACyT mediante el proyecto No. 34575A.