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Los números reales
1.1. Los números reales
Números reales: ⺢
Racionales: ⺡
El conjunto de los números reales está formado por los números racionales
y los irracionales. Se representa por la letra ⺢
1/2
° Enteros ° Naturales ⺞: 0, 1, 2, 3, …
°
§ Racionales § ⺪ ¢ Negativos: … – 3, – 2, – 1
£
§
¢
Reales §
⺡
§ Fraccionarios: – 3 , – 1 , 2 , 7 , …
⺢ ¢
§
£
4 3 6
2
§
3
§ Irracionales: π, e, f, √2 , √5 , …
£
)
– 54
– 7/3
– 23/47
Irracionales
√2
√3
3
√5
3
7,12345678…
f
√7
π
a) Para que escriba directamente las fracciones impropias:
MODE (DISP) 1
(d/c) 2
b) Para que utilice la coma
como notación decimal:
MODE (DISP) 1 䉴
(Comma) 2
Æ
1.2. Factorial de un número
El factorial de un número natural es el producto de dicho número por todos
los números naturales menores que él hasta el uno. Se representa por n!
n! = n · (n – 1) · (n – 2) ··· 3 · 2 · 1
Ejemplo
0! = 1
– 1/3
Configura
la calculadora
( 1 ab/c 6 + 3 ab/c 4 ) Ô 3 ab/c 2 = 11 – 18
Calcula el factorial de 5: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
37
–7
e
1 + 3 : 3 = 2 + 9 · 2 = 11 · 2 = 22 = 11
6 4 2
12
3 12 3 36 18
Casos particulares:
5
4/13
Operaciones con fracciones
– 3/7
–3
Naturales: ⺞
1
2
0
1/7
Los números racionales son los números enteros, los decimales exactos y periódicos. Los números irracionales son números decimales no exactos, ni periódicos.
(
–2
–1
4/5
– 2/3
Enteros: ⺪
5 x! =
120
Aconsejamos la calculadora
Casio fx-82MS
1! = 1
1.3. Número combinatorio
()
()
m
m
m!
El número combinatorio — se lee m sobre p, y se define por la fórmula: — = —————
p
p
p!(m – p)!
En la práctica, un número combinatorio se calcula de la siguiente manera:
a) En el numerador se multiplican p factores, empezando en m y disminuyendo de uno en uno.
b) En el denominador se calcula el factorial de p
Ejemplo
()
8 = 8 · 7 · 6 = 56
3
3·2·1
8
8 nCr 3 = 56
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO
© Grupo Editorial Bruño, SL. Ampliación de Matemáticas de 4º ESO. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez
Propiedades de los números combinatorios
()(
m
m
a) — = ———
p
m–p
)
()(
)(
m
m–1
m–1
b) — = ——— + ———
p
p
p–1
)
1.4. Sucesiones de números reales
Una sucesión de números reales es un conjunto de números reales ordenado. El término general de una sucesión se representa por an
Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor que el anterior.
Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor que el anterior.
Una sucesión es monótona cuando es creciente o decreciente.
Una sucesión está acotada superiormente cuando existe un número real K que es mayor o igual que todos sus
términos.
Una sucesión está acotada inferiormente cuando existe un número real k que es menor o igual que todos sus
términos.
Ejemplo
Calcula los 10 primeros términos de la sucesión an = 2n + 3. ¿Es creciente o decreciente?
5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23
Es creciente.
Límite de una sucesión
El límite de una sucesión es el valor al que se aproxima la sucesión cuando n toma valores muy grandes. Se
representa por lím an y se lee “límite de a sub n cuando n tiende a más infinito”. El límite puede ser un
@
n 8 +@
número real, o bien más o menos infinito.
Ejemplo
Mediante la calculadora halla los términos de lugar 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = 3n – 1 . A la vista del
n+2
resultado obtenido halla intuitivamente lím 3n – 1
n 8 +@ n + 2
a10 = 2,41667; a100 = 2,93137; a1 000 = 2,99301. A la vista de los resultados obtenidos, el límite pedido es 3
1.5. El número e
El número e viene definido por el siguiente límite. Es un número irracional.
1 n
e = lím 1 + — = 2,71828182…
n 8 +@
n
( )
( )
La sucesión an = 1 + 1
n
Ejemplo
n
es monótona creciente y está acotada superiormente por 3; por tanto, tiene límite.
( )
Mediante la calculadora halla el término de lugar 1 000 000 de la sucesión an = 1 + 1
n
a1 000 000 = 2,718280469; vemos que tiene 6 dígitos exactos.
1. LOS NÚMEROS REALES
n
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© Grupo Editorial Bruño, SL. Ampliación de Matemáticas de 4º ESO. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez
1. LOS NÚMEROS REALES
Paso a paso
1
Calcula:
3
(
)
1 + 3 : 3
6 4 2
Solución:
a) Elige
b) Para escribir cada línea de comentario, elige
Comentar (Ctrl + T). Escribe en un
solo bloque el número y el título del tema, el
nombre de los dos alumnos y Paso a paso.
Para pasar de una línea a la siguiente, sin
cambiar de bloque, pulsa [Intro]
4
2
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del
siguiente número y clasifícalo como periódico:
24
11
Solución:
a) Escribe: precisión(15)
b) En la fracción, después del 24 va un punto
para que dé el resultado como decimal.
()
Calcula 8
3
Solución:
En
5
c) Haz clic en
Calcular para crear nuevo
bloque.
d) Elige
Comentar y escribe: Ejercicio 1
e) Pulsa [Intro] para cambiar de línea dentro
del mismo bloque.
f ) Para elegir un tamaño de paréntesis que se
ajuste a su contenido, en
elige
Paréntesis, y para escribir la fracción,
elige
Fracción
g) Haz clic en
Calcular
Calcula el factorial de 5
Solución:
elige
Halla los 10 primeros términos de la sucesión:
an = 2n + 3
¿Qué es: creciente o decreciente?
Solución:
Escribe la función aplicar_función,
Apunta a está en
6
Mediante Wiris halla los términos de lugar 10,
100 y 1 000 de la sucesión an = 3n – 1 . A la
n+2
vista del resultado obtenido, halla intuitivamente
lím 3n – 1
n 8 +@ n + 2
Solución:
Después de la sucesión escribe la lista [10, 100,
1 000]
7
Calcula el siguiente límite:
( )
1+ 1
n 8 +@
n
¿Qué número se obtiene?
lím
Solución:
En
elige
to positivo está en
10
Combinaciones
n
Límite. El
Infini-
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO
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Linux/Windows
Plantea el siguiente problemas y resuélvelo con ayuda
de Wiris:
9
8
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del
número e y clasifícalo como racional o irracional:
Solución:
En
elige
Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente
igualdad:
12 = 12
x–2
x+2
( )( )
Solución:
Planteamiento: x + 2 = 12 – (x – 2)
En
elige
escribe la ecuación.
Número decimal e
10
y
Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.
Así funciona
Menú edición
Comentar (Ctrl+T)
Menú análisis
Límite
Menú combinatoria
Combinaciones
Menú operaciones
Paréntesis
Fracción
Menú símbolos
Apunta a
Infinito positivo
Número e
Número decimal PI
Número decimal e
Número PI
Notación decimal en Wiris
Wiris utiliza como notación decimal el punto (.), en vez de la coma (,). En Wiris, para obtener un resultado
con decimales, es suficiente con añadir a uno de los números de la operación un punto de decimal al final.
Wiris utiliza la función precisión(n) para indicar el número de cifras significativas con las que deseamos
trabajar. El mayor valor que puede tomar n es 15. Esta función solo tiene efecto dentro del bloque en la que
está definida. Devuelve el número de cifras significativas que había anteriormente; por defecto son 5
El número π y el número e
En
se elige
Número decimal PI si se quiere la expresión decimal o
Número PI si no se
quiere la expresión decimal. De la misma forma, se elige
Número decimal e, o bien
Número e
Términos de una sucesión
Se emplea la función aplicar_función, que calcula los términos de una sucesión dada por una fórmula.
1. LOS NÚMEROS REALES
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Linux/Windows
Practica con Wiris
2 7 3 5
· – : =
3 4 8 4
( )
4 9 5
–
·
=
3 4 6
11
Calcula:
13
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:
12
Calcula:
67
=
12
14
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:
284
=
3
15
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del número áureo o de oro y clasifícalo como racional o
irracional:
Ä
1 + √5
=
3
16
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional o irracional: π =
17
Calcula: 6! =
18
Calcula: 8! =
19
Calcula:
()
20
Calcula:
21
Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = n2 + 3. ¿Es creciente o decreciente?
22
Halla los 10 primeros términos de la sucesión an =
23
Halla
7
=
5
6n – 3
=
n 8 +@ 2n + 5
lím
24
()
12
=
6
(–n)n
. ¿Es creciente o decreciente?
n
Halla
n2
=
n 8 +@ n + 1
lím
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:
25
Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad:
( )( )
9
9
=
x–5
x–2
Planteamiento:
26
12
Solución: x =
Resuelve la ecuación x2 – x – 1 = 0. La solución positiva ¿qué número real es?
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Ejercicios y problemas
Practica con bolígrafo y papel
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Calcula:
2 7 3 5
· – : =
3 4 8 4
12
Calcula:
4 9 5
–
·
=
3 4 6
13
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:
( )
67
=
12
14
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:
284
=
3
15
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del número áureo o de oro y clasifícalo como racional o
irracional:
Ä
1 + √5
=
3
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Ejercicios y problemas
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Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional o irracional:
π=
14
17
Calcula: 6! =
18
Calcula: 8! =
19
Calcula:
()
20
Calcula:
()
21
Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = n2 + 3. ¿Es creciente o decreciente?
22
Halla los 10 primeros términos de la sucesión an =
7
=
5
12
=
6
(–n)n
. ¿Es creciente o decreciente?
n
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23
6n – 3
Halla los términos 10, 100 y 1 000 de la sucesión an =
. A la vista de los resultados obteni2n
+5
dos, halla el siguiente límite:
a10 =
a100 =
a1 000 =
6n – 3
=
n 8 +@ 2n + 5
lím
24
n2
Halla los términos 10, 100 y 1 000 de la sucesión an =
. A la vista de los resultados obtenin+1
dos, halla el siguiente límite:
a10 =
a100 =
a1 000 =
n2
=
n 8 +@ n + 1
lím
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:
25
Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad:
( )( )
9
9
=
x–5
x–2
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Resuelve la ecuación x2 – x – 1 = 0. La solución positiva ¿qué número real es?
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