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 1 ACTIVIDAD
LA ESPIRAL LOGARÍTMICA. UNA APLICACIÓN.
 DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD En esta actividad estudiamos la definición y las propiedades básicas de un tipo de curvas planas llamadas espirales logarítmicas. Además, proponemos una aplicación de estas curvas relacionada con la astronomía, más concretamente, el diseño de una trayectoria espiral que siguiera una nave para llegar a Marte.  CONTENIDOS TEÓRICOS BÁSICOS UN POCO DE HISTORIA El origen del estudio de esta espiral tiene que ver con la navegación. A lo largo de los siglos XVI y XVII miles de barcos surcan los océanos. Los navegantes sabían que sobre la superficie terrestre la distancia más corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo. Pero para seguir un rumbo que encaje con este arco es necesario realizar continuos cambios de rumbo. Por ello sustituían este rumbo óptimo por otro en el ángulo que formaba la trayectoria del barco con todos los meridianos que atravesaba se mantenía constante. El rumbo se mantenía constante. Los rumbos de este tipo dibujan en la esfera terrestre una curva llamada loxodrómica. Pero los navegantes no trabajaban sobre una esfera, sus mapas eran planos, proyecciones de la esfera. Pues bien, la proyección de la esfera sobre un plano convierte a la loxodrómica en una... espiral equiangular. Matemáticamente, incluyéndola en la categoría de curvas mecánicas, es decir aquellas cuya ecuación no es un polinomio, fue descrita por primera vez por Descartes, que en 1638 comunicó a Mersenne sus investigaciones sobre esta curva. Estaba buscando una curva creciente con una propiedad similar a la de la circunferencia, que la tangente en cada punto corte la radio vector siempre con el mismo ángulo. De ahí el nombre de equiangular. Descartes también demostró que esta condición es equivalente al hecho de que los ángulos alrededor del polo son proporcionales al logaritmo del radio vector. De ahí su segundo nombre: espiral logarítmica. Aunque este nombre se lo debemos a Jacob Bernouilli, que la estudio en profundidad quedando cautivado por esta espiral hasta el punto de dejar escrito en su testamento que en su lápida debería figurar una espiral logarítmica con la inscripción "Eadem mutata resurgo" -­‐ Resurjo cambiada pero igual -­‐. La separación de las espiras aumenta al crecer el ángulo, es decir, el radio vector crece de forma exponencial respecto del ángulo de giro. Por eso recibe un tercer nombre, espiral geométrica. Las espirales logarítmicas se encuentran frecuentemente en la naturaleza. Podemos ver los siguientes ejemplos: -­‐ Los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. De hecho, nuestra propia galaxia, la Vía Láctea, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados. -­‐ Si observamos imágenes de los brazos de los ciclones tropicales, así como los huracanes y grandes tormentas, también forman espirales logarítmicas. -­‐ En biología son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica. Por ejemplo, las telas de araña y las conchas de molusco. DEFINICIÓN DE ESPIRAL LOGARÍTMICA La ecuación de la espiral logarítmica, en coordenadas polares, es r = roe b"# , donde ro es el radio inicial, b es un parámetro y θ es el ángulo (en radianes). De la propia definición podemos despejar θ de la forma 1 %r(
! r
= e b"# $# = log' * ro
b & ro )
por lo que podemos afirmar que el ángulo es proporcional al logaritmo del radio. !
La espiral logarítmica. Una aplicación.
2  USO DE GEOGEBRA HERRAMIENTAS Y COMANDOS / CONSTRUCCIÓN PASO A PASO / EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN / PROPUESTAS DE CONSTRUCCIÓN Herramientas que se utilizan: NUEVO PUNTO CIRCUNFERENCIA DADOS SU CENTRO Y RADIO SEGMENTO ENTRE DOS PUNTOS INTERSECCIÓN DE DOS OBJETOS ÁNGULO DESLIZADOR DISTANCIA O LONGITUD LA ESPIRAL LOGARÍTMICA Ya hemos comentado que la ecuación de la espiral logarítmica es r = roe b"# por lo que tenemos dos parámetros: ro el radio inicial y b. Teniendo en cuenta que θ es el ángulo, podemos definir los siguientes deslizadores para realizar una representación gráfica con GeoGebra de esta ecuación: !
Deslizador 1: θ, el ángulo, que definimos en un rango de 0 a 2π radianes. Deslizador 2: ro, la distancia del punto inicial al origen de coordenadas, cuyo rango podemos establecer entre 1 y 3, por ejemplo. Deslizador 3: b, el parámetro, que definimos entre 0 y 1. Ahora representamos la ecuación en polares de la forma habitual; definimos el valor de r en la ventana de edición, como r = r0 e^(b θ) y dibujamos el punto (r; θ) en coordenadas polares. En Propiedades del Objeto debemos marcar la casilla que activa el rastro del mismo. La espiral logarítmica. Una aplicación.
3 En el dibujo anterior observamos diversas espirales logarítmicas para el valor concreto de b = 0.2. Más concretamente hemos representado las espirales de radio 1, 2 y 3, respectivamente. Modificando los valores, tanto de b como de ro se van dibujando diversas espirales. Se observa la diferencia en la forma de las espirales al modificar b. Si queremos dibujar una elipse que de varias vueltas atravesando varias veces el eje OX, podemos establecer un nuevo deslizador que va a sustituir al deslizador θ. Por lo tanto ahora sustituimos el deslizador ángulo por este otro: Deslizador: t, el tiempo, que hacemos variar entre 0 y 36, por ejemplo. Sólo tenemos que escribir θ en función del tiempo, lo que podemos hacer estableciendo, a modo de ejemplo nuevamente, como θ = 0.5 * t. De esta forma podemos dibujar espirales mucho más completas, como la que vemos en la figura siguiente: Así pues, el protocolo de la construcción que hemos realizado hasta ahora es el siguiente: La espiral logarítmica. Una aplicación.
4 PROPIEDAD DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA La espiral logarítmica posee una propiedad geométrica fundamental y que la diferencia de otros tipos de espirales, como por ejemplo la espiral de Arquímedes, la espiral de Fermat, la espiral hiperbólica, etc. Esta propiedad puede enunciarse como: “El radio vector r y la tangente a la espiral forman un ángulo ψ que se mantiene constante”. Una vez enunciada esta propiedad fundamental de la espiral logarítmica, vamos a estudiar la relación existente entre los vectores r y v. Para ello, observamos el siguiente dibujo Utilizando la definición de producto escalar de dos vectores, podemos determinar el ángulo ψ entre los vectores v y r. cos" =
v# r
b
=
v# r
b 2 +1
luego b = cot " Notemos que cuando b  0, entonces ! ψ  π/2 y r  r0, y vemos que la espiral se convierte en una circunferencia de radio r0. De esta manera podemos escribir la ecuación de la espiral logarítmica como !
r = roe" cot # , donde ψ representa el ángulo entre vectores v y r. APLICACIÓN: UN VIAJE DE LA TIERRA A M
!ARTE SIGUIENDO UNA TRAYECTORIA DE ESPIRAL LOGARÍTMICA Cuando nos planteamos enviar una nave espacial de la Tierra a Marte, la trayectoria de dicha nave en su viaje interplanetario admite diversas opciones. La más eficiente, desde el punto de vista de consumos y requerimientos energéticos es una trayectoria de transferencia elíptica de Hohmann, en la que la nave pasa de una órbita circular de baja altura a una órbita circular de mayor altura. El motor de la nave le proporciona dos impulsos de pequeña duración; el primero, para colocarla en órbita de transferencia y el segundo para situarla en la órbita circular de destino. La espiral logarítmica. Una aplicación.
5 En esta aplicación vamos a describir una órbita de transferencia en forma de espiral logarítmica, uniendo dos órbitas circulares de distinto radio. Para que la nave siga esta trayectoria solamente es necesario un motor que proporcione una aceleración relativamente pequeña a lo largo del viaje y que va disminuyendo a medida que la nave se aleja del centro de fuerzas. A modo de ejemplo, en esta aplicación vamos a describir el viaje de una nave espacial desde las proximidades de la Tierra (aunque fuera de su esfera de influencia) hasta las proximidades del planeta rojo. Supondremos que el motor de la nave espacial de masa m proporciona una fuerza de empuje F que tiene la misma dirección que la velocidad de la nave, es decir, tangente a su trayectoria. En estas condiciones, podemos decir que las fuerzas que actúan sobre la nave espacial son: 

La fuerza de empuje F de los motores. La fuerza de atracción del Sol, que viene dada por la expresión F =G
Mm
. r2
Es importante recalcar que suponemos que la nave está fuera de la esfera de influencia de la Tierra y de Marte, tanto en la salida como en la llegada, es decir, no tenemos en cuenta el efecto de la atracción gravitatoria de los planetas sobre el movimiento de la nave cuando esta se encuentra muy próxima a los mismos. Sabemos que la ecuación que sigue la nave es una espiral logarítmica de la forma r = roe" cot # . Podemos escribir las ecuaciones paramétricas, en función del tiempo t, de la trayectoria, que son 2/3
"
%
3
r = $ r03/2 +
GM cos ! ! t '
#
&
2
2 tan " " 3
GM %
!=
ln $$1+ cos "
t'
3
r03 '&
# 2
!
También podemos establecer el valor del módulo de la velocidad de la nave espacial en coordenadas polares, que es v=
GM
r
que es igual a la velocidad de una nave espacial que describa una órbita circular de radio r. Igualmente se puede deducir la ecuación que nos proporciona el tiempo de viaje T a un planeta que dista una distancia r del Sol, que es T=
2 ( r 3/2 ! r03/2 )
3 GM cos !
.
( 1) Otra de las expresiones que nos van a ser muy útiles a la hora de planificar el viaje de la nave es el de la posición angular θ de la nave espacial en función del tiempot, que es !=
2 tan " ! 3
GM $
ln ##1+ cos "
t & . 3
r03 &%
" 2
Si en la expresión anterior, sustituimos t por T obtenemos el desplazamiento angular que realiza la nave en el transcurso de todo su viaje, cuyo período es T. Así, si t = T, !r$
! f = ln # & tan " . " r0 %
( 2) Cálculo de la trayectoria de la Tierra a Marte A partir de las expresiones anteriores ya podemos disear numéricamente una ecuación que represente la trayectoria de una nave que visje de la Tierra a Marte siguiendo una espiral logarítmica del tipo estudiado anteriormente. Algunos datos necesarios para efectuar los cálculos son los siguientes: 11  El radio de la órbita terrestre es r0 = 1.0 UA = 1.496 ·∙ 10 m. La espiral logarítmica. Una aplicación.
6 11
 Marte describe una órbita en torno al Sol de r = 1.524 UA = 2.280 ·∙ 10 m. 30
 La masa del Sol es M = 1.98 ·∙ 10 kg. -­‐11
2
2
 La constante G = 6.67·∙ 10 Mm /kg Aplicando ahora la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, podemos calcular la velocidad orbital angular de Marte en su órbita alrededor del sol. G
Mm
= mwM2 rM . 2
rM
Despejando wM de esta ecuación, llegamos a que -­‐7
wM = 1.055·∙10 rad/seg = 0.522°/día. Si multiplicamos esta cantidad por el radio de Marte, obtendríamos la velocidad orbital del planeta en su movimiento circular alrededor del sol (v = w ·∙ r). Podríamos realizar un cálculo análogo para obtener la velocidad angular de la Tierra en torno al Sol. Vamos a establecer como supuesto inicial el tiempo de duración del viaje de la nave de la Tierra a Marte, es decir, fijamos T y realizamos los cálculos de la trayectoria. Supongamos que pretendemos realizar un viaje que le lleve 3 años a la nave llegar al planeta, es decir, T=3 años = 1080 días. La ecuación (1) nos relaciona el período total del viaje con el ángulo ψ por lo que si conocemos T podemos calcular el ángulo que forman los vectores v y r (además sabemos que es constante a lo largo de toda la trayectoria por las características de la curva). Así, despejando el ángulo llegamos a que ψ = 88.2°. A partir del ángulo, podemos obtener, mediante la ecuación (2), el desplazamiento angular total de la nave espacial a lo largo de los tres años que debe durar su viaje. Así, θf = 13.3 rad = 761°. Cálculo de la posición inicial de los planetas. Supongamos que en el instante t=0, la posición inicial del planeta Marte es ϕ0M. Entonces, su posición cuando llega la nave espacial a las proximidades de su órbita circular, al cabo de un tiempo total T es ! M = ! 0 M + wM T . La nave espacial parte de la Tierra en el instante t=0, cuando su posición es ϕ0T. Sabemos que para llegar a la posición orbital de Marte, la nave se desplaza un ángulo total de θf. Su posición angular final será ! 0T + " f . Para que la posición de la nave espacial y la de Marte coincidan se tiene que cumplir la siguiente igualdad: ! 0T + " f = ! 0 M + wM T , de cuya expresión podemos obtener ϕ0T -­‐ ϕ0M. Ahora bien, ϕ0T -­‐ ϕ0M representa la diferencia entre las posiciones angulares de la Tierra y de Marte en el momento del lanzamiento de la nave espacial. De esta manera, podemos calcular ! 0T ! ! 0 M = wM T ! " f " ! 0T ! ! 0 M = 0.522 #1080 ! 761 = !196.6 0 En consecuencia hemos establecido de una manera sencilla la configuración geométrica que deben tener la Tierra y Marte para que la órbita espiral lleve a la nave desde la Tierra al encuentro con Marte en el momento correcto. Marte debe estar adelantado respecto de la Tierra un ángulo de 196 grados en el momento del lanzamiento, siguiendo una trayectoria dada por la ecuación 0
r = 1·e! cot88.2 . La órbita con GeoGebra. Para realizar la construcción de la órbita con GeoGebra debemos dibujar, en primer lugar, las órbitas de la Tierra y Marte, considerando que se trata de órbitas circulares y cuyos radios son ,respectivamente, 1.0 UA y 1.52 UA. En cuanto a la escala de tiempo que vamos a considerar es la siguiente: consideramos que para t=6, se describe un desplazamiento angular de π radianes, o lo que es lo mismo, prácticamente medio ao del período orbital terrestre. En consecuencia, como el viaje de la nave tiene un período de tres años, nuestra variable tiempo se moverá en un intervalo comprendido entre t= 0 y t = 36, correspondiente a dicha escala. La espiral logarítmica. Una aplicación.
7 Posteriormente debemos dibujar la trayectoria de la nave, cuya ecuación, en coordenadas polares se corresponde con la ecuación de una espiral logarítmica. Dicha ecuación es 0
r = 1·e! cot88.2 = e 0.0314! . Además concocemos las posiciones iniciales de los planetas, Marte 196 grados por delante de la Tierra por lo que cuando describamos la órbita de Marte tendremos que tener en cuenta que a su posición inicial habrá que sumarle 196.6°=3.43 radianes. Por último, tendremos que sincronizar el valor del ángulo θ de la ecuación con la escala de tiempo que tomamos. Como nuestro viaje termina cuando t = 36 y sabiendo que el desplazamiento angular total de la nave es de 761°, entonces podemos establecer la sincronización entre ambas variables mediante la siguiente relación: 13.6 rad / 36 = 0.377, por lo que establecemos θ = 0.377 * t. En consecuencia, teniendo en cuenta todas estas consideraciones establemos el siguiente protocolo de construcción: Los pasos que seguimos en el protocolo son los siguientes: 1. Definimos t como un deslizador cuyo rango es [0,36]. 2. Definimos el radio de la órbita terrestre. 3. Definimos el centro del sistema (el sol). 4. Definimos la órbita terrestre en forma paramétrica. Multiplicamos por 0.52 porque se describen 3.14 radianes en un intervalo de t=6, por lo que el factor es 3.14/6 = 0.52. 5. Dibujamos la órbita de Marte, teniendo en cuenta su configuración geométrica en el momento del lanzamiento. 6-­‐7. Se dibujan las circunferencias representando las órbitas terrestre y de Marte. 8-­‐9. Dibujamos los vectores de posición. 10. Marcamos el ángulo existente entre los planetas. 11. Introducimos b. 12. Introducimos θ. 13. Escribimos la ecuación de la espiral logarítmica. 14. Dibujamos el punto que representa la nave en su trayectoria. Una vez desarrollados estos pasos, cuando deslizamos el valor de t, se describe la órbita de transferencia entre ambos planetas. Algunas imágenes de la simulación se muestran a continuación. La espiral logarítmica. Una aplicación.
8 La espiral logarítmica. Una aplicación.
9  COMENTARIOS Y REFLEXIONES  INVESTIGACIONES La espiral logarítmica. Una aplicación.