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Prueba Única
TEMA N° 1.
De las estadísticas de la Primera Etapa del Campeonato Ecuatoriano de Fútbol se
sabe que la razón entre el número de partidos ganados y el número de partidos
perdidos del Barcelona S.C. es 13 ; si se sabe que Barcelona S.C. no empató ningún
5
partido. ¿Cuál es el porcentaje de partidos ganados por el Barcelona S.C. durante esta
etapa?
Resolución
Si la razón de partidos ganados y partidos perdidos es 13 ; el número de partidos
5
ganados sería 13 y el número de partidos perdidos 5, dado que no hubo empates se
cumple:
Número Total de Partidos = 13 + 5 = 18
Porcentaje de Partidos Ganados = (# de partidos ganados) / (# de partidos totales).
Porcentaje de Partidos Ganados = 1318  0,7222...  72,22%
TEMA N° 2.
Cada uno de los cinco números 1, 4, 7, 10 y 13 se
colocan en uno de los cinco cuadrados de la cruz del
diagrama de tal modo que la suma de los tres números
en la fila (disposición horizontal) sea igual a la suma
de los tres números en la columna (disposición
vertical). Determine el mayor valor que puede tener
esta suma.
Resolución
La suma máxima de los cinco números se va a dar,
cuando el número mayor (13) se encuentre en el centro
de la cruz, y en los casilleros restantes sólo se debe
cumplir que las sumas verticales y horizontales sean
iguales, en este caso 11 (4 + 7 = 10 + 1). De ahí que la
suma máxima es 24, tal como muestra un ejemplo la
figura.
TEMA N° 3.
Un jardín rectangular que tiene dimensiones: 20 metros de largo por 10 metros de
ancho, está encerrado por una cerca de madera. Para hacer un jardín más grande, se
usa la misma cerca para encerrar un terreno cuadrado. ¿Cuál es la diferencia en
metros cuadrados entre el área del jardín cuadrado y el área del jardín rectangular?
Resolución
El área del rectángulo será de 200 m2 (20 x 10). El perímetro del rectángulo es igual a
60 m (20+10+20+10).
Como el perímetro del jardín rectangular es igual al perímetro del jardín cuadrado,
también será 60 m. Por lo tanto:
Perímetro del cuadrado = 60 m = 4 veces el lado; entonces lado = 15
El área del cuadrado será 225 m2 (15 x 15).
La diferencia entre las áreas del cuadrado y del rectángulo (jardines) es de 25 m2
TEMA N° 4.
En el trapecio ABCD los lados AD y BC
son paralelos (AD||BC), también se sabe
que los lados AB y CD son iguales
(AB=CD). Determine el perímetro del
trapecio ABCD.
Resolución
Llamemos AE y DF los segmentos perpendiculares a los lados AD y BC tal como
muestra la figura:
En este caso los triángulos ABE y BDF
son rectángulos con catetos 3 y 4; por
consiguiente las hipotenusas AB y DC
tienen un valor de 5.
Por lo tanto el perímetro del trapecio
ABCD, es igual a:
AB + BC + CD + AD = 5 + 12 + 5 + 6 = 28.
TEMA N° 5.
El Club de Matemáticas GAUSS, organizará un torneo de dardos, con el siguiente
blanco: 40-39-24-23-17-16. Todos aquellos que consigan exactamente 100 puntos,
recibirán un premio de $100. Determine una posible combinación de aciertos en el
blanco que le permita ganar el premio.
Resolución
Por ensayo y error se puede llegar a la respuesta:
Con de 6 intentos :
17 – 17 – 17 – 17 – 16 – 16
TEMA N° 6.
Escriba en cada casilla de la pirámide, un número
natural mayor que 1, de modo que:
La casilla superior tenga escrito el 94.500
El número escrito en cada casilla sea igual al
producto de los números escritos en las dos
casillas sobre las que está apoyada.
Ejemplo:
Resolución
Para este problema es interesante
observar como se propagan los
números en la pirámide, que lo
hace tal como lo muestra el gráfico.
La descomposición de 94.500 es
22.33.53.7
De ahí que las posibilidades para a,
b, c, d son:
4–3–5–7 y
4–5–3–7
7–3–5–4 y
7–5–3–4
TEMA N° 7.
En una gira de los profesores de la Academia de Ciencias Exactas APOL a la
República de las Matemáticas, se descubrió que en este país existe un curioso sistema
monetario; tienen allí solamente dos valores de monedas: de 7 centavos y 10 centavos.
¿Cuál es la mayor suma de centavos que no se puede cancelar (o abonar o pagar)
exactamente con tales monedas?
Ejemplo: 13 centavos no se puede pagar exactamente con monedas de 7 y 10; pero 23
centavos tampoco se puede pagar con tales monedas y es una cantidad mayor; se le
pide encontrar la mayor cantidad que no se puede pagar.
Resolución
La resolución implica analizar la cifra en la que terminan por primera vez los
múltiplos de 7, ya que una vez que se consigue por ejemplo un número terminado en 4
(14) se logra adicionando monedas de 10, todos aquellos números mayores terminados
en 4.
Si construimos una tabla que ilustre esta situación, obtenemos:
Múltiplos de 7
Adición de
Cantidades que se
Cantidades con
Monedas de
pueden abonar o
terminación en el
7k
10 centavos
cancelar
mismo dígito que no se
k  
pueden cancelar
n  
7
+ 10n
7, 17, 27, 37, 47, 57,...
--14
+ 10n
14, 24, 34, 44, 54, 64,...
4
21
+ 10n
21, 31, 41, 51, 61, 71,...
1, 11
28
+ 10n
28, 38, 48, 58, 68, 78,...
8, 18
35
+ 10n
35, 45, 55, 65, 75, 85,...
5, 15, 25
42
+ 10n
42, 52, 62, 72, 82, 92,...
2, 12, 22, 32
49
+ 10n
49, 59, 69, 79, 89, 99,...
9, 19, 29, 39
56
+ 10n
56, 66, 76, 86, 96,106,..
6, 16, 26, 36, 46
63
+ 10n
63, 73, 83, 93, 103, ...
3, 13, 23, 33, 43, 53
Donde se observa que el último dígito en aparecer como múltiplo de 7 es el 3, en el 63.
De ahí que la mayor cantidad que no se puede abonar es el 53.
TEMA N° 8.
¿Qué dígitos se han omitido en la siguiente multiplicación?
2
*
*
x
*
*
*
6
1
*
*
4
*
*
0
1
Resolución
2
A
B
x
C
D
*
6
1
*
*
4
*
*
0
1
Después de reemplazar las variables A, B, C y D, por los asteriscos del multiplicando y el
multiplicador, se pueden obtener conclusiones que simplifiquen el camino:
 De la primera fila, 2D  9  D  4
 De la segunda fila, 2C  9  C  4
 De la primera fila, BD termina en 1, así que D no puede ser par; por lo que concluimos que
D será 1 o 3.
De ahí en adelante por ensayo y error, llegamos al resultado:
2
8
7
x
2
3
8
6
1
5
7
4
6
6
0
1
TEMA N° 9.
Para numerar las páginas del nuevo libro de matemáticas, editado por la Academia de
Ciencias Exactas APOL, se utilizaron 852 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Resolución
Se utilizan 9 dígitos para las páginas del 1 al 9
Se utilizan 2 dígitos por cada uno de los 90 números del 10 al 99; es decir 2 x 90 = 180
dígitos. Hasta el 99 se han utilizado 9 + 180 = 189 dígitos.
De los 852 resto los 189 dígitos utilizados, me queda 663.
Como los números posteriores son de tres cifras divido 663 para 3, me da 221 números
más, a partir del 99 (hasta donde había llegado).
Es decir 99 + 221 = 320 páginas.
TEMA N° 10.
Tenemos 12 monedas aparentemente iguales, pero nos informan que una es falsa y
pesa diferente (no se sabe si pesa más o si pesa menos). Necesita identificar la falsa y
para tal efecto dispone de una balanza (tipo romana: de dos platillos), misma que se le
permite utilizar sólo en tres pesadas, determine cómo hacerlo.
Resolución
Primera Pesada
Dividimos las doce monedas en 3 grupos de 4, a partir de ahí hay dos posibilidades al
pesar 2 grupos de 4: se equilibran o no se equilibran.
SE EQUILIBRAN:
Al pesar dos grupos de 4, y equilibrarse tenemos 8 monedas buenas (a las que
llamaremos B) y 4 inciertas (entre las que está la mala) a las que llamaremos
X1X2X3X4.
Pesamos dos buenas y dos inciertas BB y X1X2.
Se equilibran:
La mala es X3 o X4.
No se equilibran: La mala es X1 o X2.
De aquí el camino es sencillo, se pesa una buena con una mala; por ejemplo: X3 y B.
Si se equilibran la mala es la restante: X4.
Si no se equilibran la mala es la que pesamos: X3.
Regresemos desde la primera pesada, al caso donde no se equilibran.
NO SE EQUILIBRAN:
Al pesar dos grupos de 4, y no equilibrarse tenemos 4 monedas buenas (a las que
llamaremos B) y 8 entre las que está la diferente: 4 en el grupo que pesan más, a las
que llamaremos P1P2P3P4 y 4 en el grupo más liviano, a las que llamaremos L1L2L3L4.
La segunda pesada será: P1P2L1 y P3L2B.
Si se equilibran la diferente es P4, L3 o L4.
Aquí pesamos: L3 con L4, si se equilibran la falsa es P4. Si no se equilibran la que pese
menos de L3 o L4 será la falsa.
Si de la segunda pesada: P1P2L1 y P3L2B, no se equilibran entonces puede ser que el
primer grupo pese más o pese menos.
Si pesa más el primer grupo (P1P2L1) es porque la falsa es P1, P2 o L2
Aquí pesamos: P1 con P2, si se equilibran la falsa es L2. Si no se equilibran la que pese
más de P1 o P2 será la falsa.
Si pesa menos el primer grupo (P1P2L1) es porque la falsa es L1 o P3
Aquí pesamos: L1 con una buena B, si se equilibran la falsa es P3. Si no se equilibran la
falsa es L1.