Download Demostración matemática. Razonamiento que partiendo de unas

Métodos de demostración. Inducción. Ampliación de Matemáticas. 4º ESO. Colegio Calasancio.
Madrid.
Demostración matemática.
Razonamiento que partiendo de unas hipótesis nos permite llegar a unas
conclusiones.
1. Demostración por reducción al absurdo.
Se supone lo contrario de lo que queremos demostrar, y desarrollando llegamos a
un absurdo, lo que nos confirma que el supuesto del que hemos partido es falso y
que lo que queríamos demostrar era cierto.
Ejemplos:
2 es irracional.
a)
p
Suponemos que es racional: 2  sieendo p y q primos entre sí.
q
p2
Elevando al cuadrado: 2  2
Pero los factores de p2 son los mismos que
q
los de p, solo que dobles, y lo mismo sucede con los factores de q2. Es decir,
siguen siendo primos entre sí, y por tanto su cociente no puede ser 2. Es decir,
llegamos a un absurdo que nos dice que la suposición de partida era falsa y que
por lo tanto 2 es irracional.
b) Hay infinitos números primos.
Suponemos que son finitos y expresamos su producto: p=N1·N2·N3···Nn donde
N1=2, N2=3,…, y Nn=último supuesto número primo.
El siguiente número será: X=p+1= N1·N2·N3···Nn+1
Si dividimos este número entre cualquiera de los números primos, el resto sería
1. Luego no es divisible por ninguno de ellos, y por lo tanto este número X es
primo, siendo una unidad mayor al que suponíamos el mayor de los números
primos. Luego no es cierta la hipótesis de partida, y hay infinitos números
primos.
2. Demostración por contraejemplo. Encontramos un caso que muestra que la
hipótesis es falsa.
Ejemplo: “Todos los números pares son múltiplos de 4.”
Fácilmente vemos que 2 es un nº par y no es múltiplo de 4.
Ejercicio:
El cubo de cualquier número es mayor o igual que su cuadrado.
3. Demostración por deducción. La deducción va de lo general a lo particular.
A partir de una serie de pasos llegamos a lo que queremos demostrar.
Ejercicio: el producto de dos números pares es par. Dato: recuerda que un nº es
par si lo podemos expresar como 2x donde x  Z
4. Demostración por inducción. La inducción va de lo particular a lo general.
Consiste en:
Comprobar que se cumple para n=1
Suponer que se cumple para n=k
Demostrar que se cumple para n=k+1
1
Métodos de demostración. Inducción. Ampliación de Matemáticas. 4º ESO. Colegio Calasancio.
Madrid.
Ejemplo: 1  2  3  ...  n 
n=1
n=k
n=k+1
(1  n)·n
2
(1  1)·1 2
 1
2
2
(1  k )·k
1+2+3+…+k=
2
1=
queda comprobado para n=1
suponemos que es cierto para n=k
(1  k  1)·(k  1)
demostramos para n=k+1
2
(1  k )·k
(1  k  1)·(k  1)
 k 1 
2
2
2
(k  k  2k  2) 2k  2  k 2  k

2
2
2
2
k  3k  2 k  3k  2

2
2
1+2+3+…+k+ k+1=
Luego la igualdad inicial es cierta.
Ejercicios:
a) Comprueba por inducción si: 1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2
n 2 (1  n) 2
4
0
1
2
n
n 1
c) Comprueba por inducción si: 2  2  2  ...  2  2  1
1
1
1
1
n 1
d) Comprueba por inducción si:


 ... 

1·2 2 ·3 2 ·4
n ·(n  1) 3n  1
b) Comprueba por inducción si: 13  2 3  33  ...  n 3 
e) Comprueba por inducción: 1  3  5  ...  2n  1  n 2
f)
Comprueba por inducción: 12  2 2  3 2  ...  n 2 
n (n  1) (2n  1)
6
2