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ESPECIALIZACIÓN DOCENTE DE NIVEL SUPERIOR EN ENSEÑANZA DE LA
MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA
Espacio curricular: Enseñanza de la Aritmética
Año: 2016
Horas virtuales: 40
Horas presenciales: 6
Horas totales: 46
Autores: Silvia Etchegaray e Irma Saiz
Responsable de cátedra: Juan José Sosa
Fundamentación
La definición habitual de Aritmética como la rama de la Matemática cuyo objeto de
estudio son los números y las operaciones elementales -suma, resta, multiplicación y
división- aparece como especialmente adaptada a buena parte de la enseñanza de la
Matemática en la escuela primaria. Sin embargo, una cierta ambigüedad se percibe en el
nivel secundario con la introducción, por un lado, del Álgebra y, por otro, de la Teoría de
Números, recortada en la temática Divisibilidad1. Incluso en el nivel superior -institución
donde, justamente, se sitúa la formación de profesores en Matemática- la Aritmética tiene
una presencia bastante desdibujada.
Esta situación justifica que, para poder delimitar las problemáticas didáctico-matemáticas
a abordar en este Módulo, debemos tomar posición respecto a lo que entendemos por
Aritmética (como saber a enseñar) y cuáles son las relaciones que se tejen con otros
dominios matemáticos como el álgebra o el álgebra escolar.
Por ello, en este Módulo nos proponemos realizar un estudio de la Aritmética en tanto
contenido a enseñar en el Nivel Secundario, tratando de recorrer la complejidad de esta
temática, buscando puntos de apoyo para avanzar en los significados de cada objeto que
la conforman y señalando qué aspectos trabajados en la escuela primaria retomamos de
cada uno de ellos.
Cabe destacar que nos basaremos en principios de la denominada Didáctica
Fundamental de
la
Matemática
desarrollados2
por
autores
como
Brousseau
(1986, 2007), Chevallard (1991), Godino (1994, 2010) y otros, los cuales se rebelan
contra el reduccionismo de la concepción pluridisciplinar de la didáctica para enfrentar los
problemas de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Esto implica analizar las
relaciones que cada saber matemático a enseñar pone en juego ante un tipo de
1
Temática que, a su vez, en varios textos escolares solo es desarrollada en el Conjunto de los Números
Naturales, ocultándose la razón matemática de su posible extensión a los Números enteros y las diferencias
de funcionamiento de ciertos objetos en uno u otro conjunto.
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Estos principios han sido expuestos a lo largo de todo el Módulo de Perspectivas para la Enseñanza de la
Matemática.
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MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA
situaciones donde ese saber funciona de un modo determinado, desde una teoría
específica y no desde la conjunción -considerada como suficiente- de otras disciplinas
como Matemática, Pedagogía, Didáctica general, Psicología del aprendizaje, etc.
Por otra parte, nos estaremos refiriendo en todo el Módulo a una concepción del
aprendizaje que podemos sintetizar así: que “conocer” o “saber” -en este caso,
Aritmética- es mucho más que poder repetir las definiciones de divisor, múltiplo, máximo
común divisor o mínimo común múltiplo; o ser capaz de identificar los divisores primos de
un número o las propiedades del resto, o del cociente de una división entera. Aprender
Aritmética exige ser capaz de resolver problemas extra o intra-matemáticos, que permitan
la emergencia de nuevos significados de objetos matemáticos a partir de la red de
relaciones entre los procedimientos utilizados, las definiciones, propiedades, lenguajes
que se ponen en juego en su resolución mediante argumentaciones deductivas y no
deductivas.
Son los problemas los que le otorgan el significado a los objetos. Por ejemplo, es
muy difícil comprender la utilidad de los números naturales si no se los hace funcionar en
cuestiones que involucren el conteo, la comparación y la ordenación de algún tipo de
objetos, así como no se logra dar sentido a los número enteros negativos si no nos
enfrentamos con la necesidad de resolver ecuaciones, cuya solución sea un número
entero negativo.
Las siguientes dos citas seleccionadas de la literatura didáctica ponen en valor lo
anteriormente planteado desde dimensiones diferentes: “El motor de avance en la
construcción de los saberes está constituido por los problemas que se encadenan y se
reproducen…” (Chevallard, 1985) y “Un verdadero problema debe poner en
funcionamiento “nuevos” significados del contenido que se hace funcionar” (Godino,
2009).
En cada una de las clases planificadas ofreceremos elementos para que puedan analizar
o implementar propuestas de enseñanza en diferentes modos de comunicación (videos,
escritos u otros), seleccionar actividades de un libro de texto, etc., y que pongan al
descubierto la complejidad epistémica, cognitiva y semiótica3 de esta parte de la
Matemática.
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Poner al descubierto la trama compleja de conocimientos sobre el propio contenido a enseñar, los
significados personales de los estudiantes sobre el mismo, así como el uso, comprensión y conflictos
de las diferentes maneras de representación del contenido.
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MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA
Propósitos
El módulo:

Propicia la comprensión del sentido de la Aritmética, sus límites y sus relaciones con
otras partes de la Matemática, a partir de la propia producción matemática y la
reflexión pedagógica sobre ella.

Promueve la construcción de un marco referencial didáctico-matemático para la
enseñanza de la Aritmética en la escuela secundaria.

Propone re-visitar la división haciéndola funcionar en los diferentes conjuntos
numéricos: N, Z, D y Q, profundizando su fundamentación y análisis como objeto a
enseñar en la escuela secundaria.
Objetivos:
Que los docentes logren:

Hacer visible que ciertos constructos de la teoría didáctica se tornan funcionales para
explicar y mejorar procesos de enseñanza y de aprendizaje de la Matemática.

Comprender y analizar las propiedades y relaciones que involucran los números
naturales y enteros, y las operaciones elementales en el campo de la divisibilidad en
Z, que suelen pasar desapercibidas cuando la enseñanza se centra únicamente en la
transmisión de algoritmos.

Comparar y analizar diferentes propuestas para la enseñanza de nociones, criterios,
propiedades, técnicas, teoremas referentes al conocimiento aritmético, a fin de
determinar su potencialidad, sus límites o los obstáculos que pueden generar para el
aprendizaje.

Comprometerse con las clases y con los diferentes tipos de actividades a través de su
participación en el espacio colaborativo y el trabajo en el ámbito privado y dispongan
de su experiencia como profesores para compartir y enriquecer las reflexiones.

Desarrollar estrategias grupales que permitan revalorizar los espacios de aprendizaje
comunes y la producción del conocimiento compartido.
Contenidos
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Dentro de los contenidos aritméticos se han seleccionado para trabajar en este Módulo
los siguientes temas: Procesos de algebrización de la aritmética. La división en los
diferentes conjuntos numéricos. Múltiplos, divisores y la relación de divisibilidad - tanto en
el conjunto de los números naturales como en el conjunto de los números enteros – y el
algoritmo de la división entera cuestionando la existencia y unicidad del cociente y resto,
temáticas estas que se constituyen en importantes saberes a enseñar en la escuela
secundaria.
Clase 1. La Aritmética: Procesos de algebrización. Actividad matemática sobre
problemas aritméticos.
La actividad de resolución de problemas y la enseñanza de la Matemática.
Generalización y validación. Conjeturas, teoremas y contraejemplos. Niveles de
algebrización a los que se somete la Aritmética. La emergencia de nuevos conocimientos.
Clase 2. En torno a la división en distintos conjuntos numéricos: la división en N.
El funcionamiento de la división en el conjunto de los números naturales. Estudio
didáctico matemático. Caracterización y sentidos en los naturales.
Procedimientos y
significados. Propiedades. Construcción de un marco didáctico matemático de referencia.
Clase 3. La división en los distintos conjuntos numéricos: la división en Z.
Significados emergentes a partir del estudio didáctico matemático de la división en el
conjunto de los números enteros (Z) . Relaciones entre los elementos de una división.
Clase 4. La división
en los distintos conjuntos numéricos: el caso de D y Q.
Relación y operación en el conjunto de los decimales (D) y en el conjunto de los números
racionales (Q). Significados emergentes a partir del estudio didáctico matemático de la
división en el conjunto de los números decimales y decimales. La división en Q.
Clase 5. Pensar y producir relaciones aritméticas entre/y con los números naturales
y enteros.
Un estudio didáctico-matemático en torno a múltiplos, divisores y la relación de
divisibilidad en relación con las operaciones de suma y producto. Cálculo de restos.
Clase 6. Pensar y producir relaciones aritméticas entre/y con los números naturales
y enteros.
Continuación del estudio didáctico-matemático iniciado en la Clase 5 en torno a otros
objetos aritméticos en el ámbito de la divisibilidad, como máximo común divisor, mínimo
común múltiplo, números primos y Teorema fundamental de la Aritmética.
Bibliografía obligatoria
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MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA
Clase 2

Y.
Chevallard
(2014).
“Los
números
no
muerden”.
Recuperado
en:
http://www.pagina12.com.ar/diario/ciencia/19-245660-2014-05-07.html
Clase 3

Ministerio de Educación de la Nación (2011). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios.
Matemática. Ciclo Básico. Educación Secundaria.

Ministerio de Educación de la Nación (2011). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios.
Matemática. Ciclo Orientado. Educación Secundaria.
Bibliografía complementaria
Clase 1

Sadovsky, Sessa,
Publicado
en
las
Cambriglia (2010). “Procesos colectivos de generalización”.
Memorias
de
la
II
REPEM
(2010).
Recuperado
en:
http://repem.exactas.unlpam.edu.ar/cdrepem10/memorias/comunicaciones/Trabajos%
20Inves/CB%2049.pdf.

Etchegaray, Markiewicz (2006). “Algunos resultados de una investigación acerca del
Razonamiento
plausible
o
conjetural”.
Recuperado
en:
http://repem.exactas.unlpam.edu.ar/cdrepem06/memorias/comunicaciones/Trabinvest
/CTI2.pdf

Brousseau, G. (2007): “Introducción al estudio de la Teoría de las Situaciones
Didácticas”. Buenos Aires. Ed. El Zorzal.

Charnary, R. (1997). “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”. (Santiago
Ruiz, trad.), en Parra, C. & Saiz, I. (comps.) “Didáctica de matemáticas. Aportes y
reflexiones”. (pág. 51-63). Buenos Aires: Paidós Educador.

Chevallard, Y. (1991): “La transposición didáctica”. Grenoble. La Pensée Sauvage.
AIQUE.

Cid, Eva; Godino, J; Batanero, C (2003) “Sistemas Numéricos y su Didáctica para
maestros”. Los autores Departamento de Didáctica de la Matemática Facultad de
Ciencias de la Educación Universidad de Granada 18071 Granada. Recuperado en:
http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Godino, J.D (2009). “Categorías de análisis de los conocimientos del profesor de
matemáticas”. Unión, Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 20, 13-31.
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MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA

Godino, J; Castro, W; Aké L; Wilhelmi,M (2012). “Naturaleza del Razonamiento
Algebraico Elemental”. Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42B, p. 483-511.

Sadovsky, P. (2005): “Enseñar Matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos”.
Buenos Aires. Libros del Zorzal.

Sessa, C (2005). “Iniciación al estudio Didáctico del Álgebra”. Buenos Aires. Libros del
Zorzal.
Clase 2

Saiz, Gorostegui, Vilotta (2011). “Problematizar los conjuntos numéricos para
repensar su enseñanza: entre las expresiones decimales y los números decimales”.
Educación Matemática México. Vol 23 – Nº.
1 pp. 123 a 151. Recuperable en:
http://www.redalyc.org/pdf/405/40521127005.pdf

Becker, Pietrecola y Sánchez (2001). “Aritmética”. Editorial Red Olímpica. Argentina.

Chevallard, Bosch, y Gascón (1997). “El eslabón perdido entre la enseñanza y
el aprendizaje”. Edit. Horsori. Barcelona, España.

Courant y Robbins (1979). “Qué es la Matemática”. Editorial Aguilar (2da impresión)
Madrid, España.

D’Amore, B; Fandiño Pinilla MI (2012). “El número cero. Aspectos históricos,
epistemológicos, filosóficos, conceptuales y didácticos del número más
misterioso”. Magisterio Editoral-Bogotá Colombia.
Clase 3

Chevallard, Y., Bosch, M. & Gascón, J. (1997). “Estudiar matemáticas. El eslabón
perdido entre la enseñanza y el aprendizaje”. Barcelona: ICE/Horsori. (pág. 125)
Clase 5

Etchegaray, S (2001). “Tesis de Maestría. Análisis Epistemológico y Didáctico de
nociones elementales de la teoría de Números”. Universidad Nacional de Río Cuarto.

Gentile; E. (1991). “Aritmética Elemental en la Formación Matemática”. Editorial OMA.
Argentina.
Clase 6

Piaget,J y García R (1982). “Historia y Psicogénesis de la Ciencia”. Editorial Siglo XXI.
México.

Sadovsky,P; Sessa, C (2005). “La Conformación de una ComClase Matemática en un
Proceso de Formación de Maestros: un Ejemplo Privilegiado para Conocer
Complejidades Acerca de la Clase de Matemática”. Revista Yupana. UNL. Santa Fe.
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MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA

Sessa,C (coordinadora) Vorsani,V; Lamela,C; Murúa R (2015). “Hacer matemática 7”.
Edit. Estrada. Bs. As.
Requisitos y criterios de evaluación
La evaluación del Módulo considerará tanto el proceso como el producto final, es decir,
las producciones parciales y el trabajo final, según los siguientes criterios:

Activa participación en los distintos foros de discusión habilitados, con aportes
vinculados estrictamente a las consignas planteadas.

Desarrollo de las actividades propuestas en tiempo y forma.

Presentación de las actividades según el formato requerido en los espacios y
tiempos establecidos.

Vinculación de los aportes personales con los fundamentos teóricos y
metodológicos que sostiene este Módulo.

Adecuación y pertinencia en la sistematización de la producción matemática y
análisis didácticos de actividades, iniciados en las clases.
La aprobación del módulo implica cumplimentar en tiempo y forma el 75% de las
actividades obligatorias durante la cursada y obtener una calificación no inferior a 4
(cuatro) puntos en el trabajo práctico final.
Cada una de las clases propone algún “Quehacer matemático personal”.
Estas
propuestas son necesarias para poder comprender el desarrollo de cada clase. Pueden
desarrollarse en el Portafolio personal de la plataforma o bien en un cuaderno de apuntes
tradicional. No es necesario entregar estas producciones aunque sí es deseable que se
compartan producciones, ideas, inquietudes, dudas o certezas en los foros que las
retoman. Para aprobar el cursado será necesario haber participado de manera
significativa y comprometida en al menos 3 de los foros optativos que retoman
estos quehaceres.
Por último, en cada clase, hallarán una propuesta denominada “Insumo para el Trabajo
Final”.
Estas propuestas deben ser desarrolladas necesariamente en el Portafolio
personal y deben ser compartidas con el/la tutor/a. Se recomienda la realización de estas
actividades en los tiempos pautados a fin de contar con una devolución del tutor que
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asegure la corrección en el abordaje realizado. Una vez aprobado el cursado, será
necesario aprobar el Trabajo Final del módulo.
En las actividades obligatorias semanales se considerarán los siguientes criterios de
evaluación:

Activa participación en los foros propuestos;

Integración de los aportes teóricos semanales;

Pertinencia y adecuación a las pautas y orientaciones fijadas para cada
consigna;

Producción grupal en las actividades propuestas.
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