Download CMV - UAH

Recordatorio de algunas nociones de Fundamentos Físicos I
a) Campo magnético creado por una espira circular (Dipolo magnético)
Dada una espira circular, de radio a, que lleva una corriente I en sentido antihorario, situada
en el plano XY y centrada en el origen de coordenadas, el campo magnético en puntos del eje que
pasa por su centro y es perpendicular al plano de la espira, eje Z viene
dado por


I  a2
m


B 0, 0, z = 0 2 2 3/ 2 k = 0 2 2 3 /2 [a.1]
2  a z 
2  a z 
donde m
 es el momento magnético de la espira. Si ∣z∣≫a
 
 0, 0, z = 0 m
entonces B
[a.2]
2 ∣z∣3
b) Campo magnético creado por un solenoide (bobina recta)
El campo generado por un solenoide recto ideal es uniforme dentro de la bobina y cero en el
B =0 n I u [b.1] donde n es el nº de espiras por unidad de
exterior; el valor en el interior es 
u es un vector unitario con la dirección del eje de la
longitud, I la corriente que circula por él y 
bobina. El caso real difiere algo de el caso ideal y en la figura se muestran las líneas de campo
generadas en el caso ideal (izquierda) y en el caso real (derecha).
c) Ley de Biot y Savart. Potencial magnético vector
Escribíamos, en la asignatura previa, la ley de Biot y Savart en función de las corrientes
soportadas por circuitos filiformes. Vamos a reescribir esta para ponerla en función de la densidad
de corriente general presente en una cierta región del espacio. La ley en el vacío se escribía
  r =
B
0
4

r −r '
∫ I dl∣'×
r −r '∣
3
[c.1] ,
C'
en la que las variables con prima indican donde están situados los elementos de corriente que
generan el campo y las variables sin prima indican los puntos donde queremos determinar el campo.
Los elementos de corriente, en función de la densidad de corriente, se puede escribir como

 dl≡
 dl⋅
 dS
 j r '≡j r ' dV ' que sustituyendo en la expresión anterior podemos
I dl≡ j r '⋅dS
reescribir como
 r =  0
B
4
∫
V '
y teniendo en cuenta
j r '×r −r '
dV '
[c.2]
∣r −r '∣3

 ×A
 × A

 ∇

∇×
A=
∇
1 

 ×j r ' ∇
 1 ×j r '=j r '× r −r ' [c.3]
∇×
j r '= ∇
∣r −r '∣
∣r −r '∣
∣r −r '∣3
La expresión [1] puede reescribirse como
 ×
 r = 0 ∇
B
4
r '
 ×A

 ∫ ∣rj−
dV ' =∇
r '∣
[c.4]
V '
Al campo 
A se le llama potencial vectorial magnético y teniendo en cuenta la expresión
anterior podemos escribir
j r '
 r = 0
A
dV ' [c.5]
4
∣r −r '∣
∫
V ' 
que mantiene la ecuación fundamental sobre el carácter cerrado de las líneas de campo magnético,
 
 ∇×
 
ya que la divergencia de un rotacional es idénticamente cero ∇⋅
B = ∇⋅
A≡0
d) Ecuaciones fundamentales de la magnetostática. Ley de Ampere.
Las ecuaciones básicas de la magnetostática en el vacío se resumían en dos
 
 

 
∇⋅
B =0 y ∇× B=0 j ⇔ ∮ B⋅dl =0 I enc , C las cuales nos informaban, respectivamente,
C
sobre el carácter cerrado de las líneas de campo magnético y que el campo magnético era no
conservativo. La primera de las expresiones tenía carácter general pero la segunda solo era válida
para corrientes estacionarias en el vacío y debía ser modificada en el caso general. Maxwell fue el
que sugirió el término que faltaba para dar validez a la ley.
e) Circuito R – L . Energía magnética asociada a una autoinducción. Energía magnética en
función de los campos.
Dado un circuito R – L conectado a una batería de tensión φ0 la ecuación que gobierna el
sistema para un tiempo t en el cual la corriente en el circuito es i, se escribe, aplicando las reglas de
Kirchoff
di
di
0 L =R i ⇒ 0 −L =R i ⇒  0=R i L
[e.1]
dt
dt
multiplicando por i dt resulta 0 i dt =R i 2 dtL i di [e.2]
La ecuación [e.2] es una ecuación de energías, donde el 1er término del 2º miembro no es
más que la energía disipada por efecto Joule en R en el intervalo de tiempo dt cuando la corriente
cambia de i idi , el primer término representa la energía entregada al circuito por la fuente de
tensión en el mismo intervalo temporal y en consecuencia el segundo término del segundo miembro
será la energía almacenada en la bobina en el campo magnético allí creado; así que la energía
suministrada al circuito por el generador en un intervalo temporal dado se invierte parte en calor
disipado en la resistencia y parte queda almacenado en forma de energía magnética. Así que
1
2
dE mag =L i di=d  L i  , con lo que podemos decir que la energía magnética almacenada en la
2
1
2
bobina cuando circula por ella una corriente i viene dada por E mag = L i [e.3]; a continuación
2
nos planteamos si es posible expresar dicha energía en términos de campos magnéticos. Para ello
vamos a suponer que nuestra bobina tiene N espiras, longitud l, sección transversal S y está
recorrida por la corriente i y nos preguntamos cómo expresar el coeficiente de autoinducción L en
función de las propiedades geométricas dadas.
 N  esp N B S
N2S
[e.4], y sustituyendo en [e.3] resulta
L= =
=
=0
i
i
i
l
E mag =
2
2
E mag B2
1 N2S 2
1 0 N 2
B2
0
i=
i
S
l=
V
⇒
=
[e.5]
2
l
20 l 2
2  0 Bob
V Bob 2 0
En general los campos reales se extienden hasta el infinito por lo que conviene hablar antes
que de energía de densidad de energía magnética, que puede expresarse con carácter general como
 E mag dE mag
B 2 [e.6]
w m=
=
=
V
dV
2 0