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BACHILLERATO
Bloque I. Aritmética y álgebra
Matemáticas I
Autoevaluación
Página 100
1 Explica si es verdadera o falsa cada una de estas frases:
a) Todo número decimal se puede expresar como fracción.
b) La suma de dos números irracionales es irracional.
c) Hay números irracionales que no son reales.
d) El producto de dos números irracionales puede ser un número racional.
a) Falsa. Los números decimales no periódicos no se pueden poner como fracción.
b) Falsa: π + (–π) = 0 ∈
c) Falsa. Lo snúmeros reales contienen a los números racionales y también a los irracionales.
d) Verdadera:
2· 2=2 ∈
⊂
2 Dados los intervalos A = [1, 6) y B = (–2, 5], expresa como intervalo A ∪ B y A ∩ B.
A ∪ B = (–2, 6); A ∩ B = [1, 5]
3 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) a 3 – 2a 4 a 2 + 3a 6 a 3 – 8 a 12
b) ( 2 + 3)(
)( 6 – 1)
98 – 18
· 30 3
96
4 2
2
–
d) 5 +
6
6+3 2
3
c)
a) a a – 2a a + 3a a – a a = a a
b)
7 2–3 2
4 2
30 6
· 30 3 =
· 30 3 =
= 30
4 6
4 6
6
c) 12 – 2 + 18
18 – 3 = 2 3 – 2 + 3 2 – 3 = 3 + 2 2
2 ( 6 – 3 2)
4 2 3 5 6 2 6–6 2 4 6
–
=
–
–
=
d) 5 +
3
6
12
3
6 ( 6) 2 – (3 2) 2
=
5 6
6 – 3 2 4 6 5 6 – 6+3 2 – 8 6 3 2 – 4 6
–
–
=
=
6
6
3
6
6
4 Expresa el resultado de la siguiente operación con tres cifras significativas y da una cota del error
absoluto y otra del error relativo cometido:
(5 · 10–18)(3,52 · 1015) : (–2,18 · 10–7)2
3,70 · 1011
|Error absoluto| < 0,005 · 1011 = 5 · 108
|Error relativo| <
5 · 10 8 = 1, 35 · 10 –3
3, 70 · 10 11
1
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5 Si log k = –1,3 calcula el valor de estas expresiones:
a) log k 3
b) log 1
k
c) log
k
100
a) lo
logg k 3 = 3 llog
og k = 3 (–1, 3) = –3, 9
b) lo
logg 1 = llog
og 1 – log
log k = 0 – (–1, 3) = 1, 3
k
c) lo
logg k = llog
og k – log
log 100 = –1, 3 – 2 = –3, 3
100
6 Calcula x aplicando la definición de logaritmo:
a) log2 x = –1
b) ln 3 = – 1
x
2
2
a) lo
logg 2 x = –1 8 2 –1 = x 8 x = c 1 m = 1
2
4
b) ln 3 = – 1 8 e –1/2 = 3 8 1 = 3 8 x = 3 e
x
2
x
e x
7 Escribe los valores que puede tomar x para que sean válidas las siguientes expresiones:
a) | x 2 – 3 | = 1
b) | 5 – x | < 2
x =2
x = –2
x2 – 3 =1 8 x2 = 4
a) |xx 2 – 3| = 1
x= 2
x=– 2
x 2 – 3 = –1 8 x 2 = 2
Soluciones: x1 = 2; x2 = –2; x3 = 2; x4 = – 2
b) |5 – x | = 2
5– x =2 8 x =3
5 – x = –2 8 x = 7
Soluciones: x1 = 3; x2 = 7
8
2
8 Escribe el cuarto término del desarrollo de e x – 3 o .
2 x
8
2
El cuarto término del desarrollo de e x – 3 o es:
2 x
5
3
3
8
2
10
f p e x o c –3 m = 8! x (–3) = 56x 7 c –27 m = – 189 x 7
x
5! 3! 2 5 x 3
32
4
3 2
2
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9 Calcula el término general de cada una de estas sucesiones; halla después la suma de los 20 primeros términos y, si es posible, calcula la suma de sus infinitos términos:
a) 13 , 2, 3 , – 1 , – 7 …
2
4
4
4
b) 8, 18, 32, 50, 72…
c) 512, 16, 128
8, 8, 32 …
d) 18, – 6, 2, – 2 , 2 …
3 9
a) Progresión aritmética de diferencia d = – 5 .
4
a n = 13 + (n – 1) c– 5 m
4
4
a 20 = 13 + (19) c– 5 m = – 41
2
4
4
13 + c– 41 m
2
4
S 20 =
· 20 = – 345
2
2
b) No es progresión.
b n = 2 ( n + 1) 2
Usamos la fórmula de la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales.
Para la suma que nos piden, tenemos que sumar desde 22 hasta (n + 1)2. Para eso, sumamos los
cuadrados de los n + 1 primeros números naturales y le restamos 12.
S 20 = 2 e
(20 + 1)·(
) ·(20 + 2)·(
)· (2 · 21 + 1)
– 1o
6
S 20 = 2 c 21 · 22 · 43 – 1m = 6 620
6
c) Progresión geométrica de razón r = 2.
c n = 512 ( 2) n – 1 = 2 9 ( 2) n – 1 = 2 n + 8
c 1 = 512
c 20 = 2 28
S 20 =
2 28 · 2 – 512
2 29 – 2 9 16 384 2 – 16 2
=
=
= 16 368 2 + 32 736
2–1
2 –1
2 –1
d) Progresión geométrica de razón r = – 1 .
3
n –1
d n = 18 c– 1 m
3
19
2
d 20 = 18 c– 1 m = –
3
129 140 163
S 20 =
S@ =
–
2
· – 1 – 18
3
129 140 163
= 1 743 392 200
129 140 163
– 1 –1
3
18 = 27
2
1+ 1
3
3
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10 Calcula la suma de los doce primeros términos de una progresión aritmética con a3 = 24 y
a2 + a11 = 41.
Expresamos las condiciones mediante un sistema de ecuaciones para calcular el término general de la
sucesión:
Z
Z
]]a 3 = a 2 + d
]]24 = a 2 + d
[a 11 = a 3 + 8d 8 [a 11 = 24 + 8d 8 [d = –1, a 2 = 2255, a 11 = 16]
]a + a = 41
]a + a = 41
2
11
2
11
\
\
a 1 = 26
a n = 26 + (n – 1) (–1) = 27 – n
S 12 =
a 1 + a 12
· 12
2
a 12 = 27 – 12 = 15
S 12 = 26 + 15 · 12 = 246
2
11 Si al comienzo de cada año ingresamos 500
mos al final del quinto año?
1.er año
2.º año
3.er año
en un banco al 4 % anual, ¿cuánto dinero tendre-
4.º año
5.º año
500 · 1,045
500
500 · 1,044
500
500 · 1,043
500
500 · 1,042
500
500
500 · 1,04
Capital
El capital disponible al final del 5.º año es la suma de los 5 primeros términos de una progresión
geométrica con a1 = 500 · 1,04 y razón r = 1,04:
S=
a 5 r – a 1 500 · 1, 04
04 5 · 1, 04 – 500 · 1, 04
=
= 2 816, 49 €
r –1
1, 04 – 1
12 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos avanzados e indica su
límite:
an = 32
n
dn = 4n – 5
2n + 1
2
cn = n + 1
n
(–1)n · 2n 3
fn =
4n 3 + 3n 2
bn = 5 – 1
n
2
en = 3n – 22n
4 – 2n
a n = 32 ; a 100 = 0, 0003; a 1 000 = 0, 000003
n
lím 32 = 0
n
b n = 5 – 1 ; b 100 = 4, 99; b 1 000 = 4, 999
n
l ím 5 – 1 = 5
n
2
c n = n + 1 ; c 100 = 100, 01; c 1 000 = 1 000, 01
n
2
lím n + 1 = +@
n
d n = 4n – 5 ; d 100 = 1, 965; d 1 000 = 1, 997
2n + 1
lím 4n – 5 = 2
2n + 1
2
e n = 3n – 22n ; e 1 000 = –1, 499
4 – 2n
2
lím 3n – 22n = – 3
2
4 – 2n
4
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(–1) n · 2n 3
; f1 000 = 0, 49963; f1 001 = –0, 49963
4n 3 + 3n 2
Los términos pares se acercan a 1 y los impares a – 1 , luego no tiene límite.
2
2
fn =
13 Simplifica la expresión del término general de la siguiente sucesión e indica su límite:
an = 12 + 22 + 32 + … + n2
n
n
n
n
2
Suma de 1, 2, 3, …, n es S n = 1 + n · n = n + n
2
2
n + n2
2
2
a n = 22 = n + n2 8 lím n + n2 = 1
2
n
2n
2n
14 Simplifica:
2
a) x +23x + 2
x –1
b)
x 5 + 2x 4 + 2x 3 + x 2
x 5 + 3x 4 + 4
4xx 3 + 3x 2 + x
2
(x + 2) (x + 1) x + 2
a) x +23x + 2 =
=
(
x + 1) (x – 1) x – 1
x –1
b)
2
2
x 5 + 2x 4 + 2x 3 + x 2 = x (x + 1) (x + x + 1) = x
2
x 5 + 3x 4 + 4x 3 + 3x 2 + x x (x + x + 1) (x + 1) 2 x + 1
15 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) ((xx + 4)2 – 7 = (2xx + 3)2 + 2x
b) 8x 6 – 7
7x 3 – 1 = 0
c) 3 – 2x + 1 – x = 5
d) 3x 5 – 4
4x 4 – 5x 3 + 2x 2 = 0
a) x 2 + 16 + 8x – 7 = 4x 2 + 9 + 12x + 2x
3x 2 + 6x = 0 8 3x (x + 2) = 0
x =0
x = –2
Soluciones: x1 = 0, x2 = –2
b) 8x 6 – 7x 3 – 1 = 0.
0 Hacemos el cambio de variable x 3 = y.
y =1
7 ± 49 + 332 7 ± 9
8y 2 – 7y – 1 = 0 8 y =
=
=
y = –1/8
16
16
y=1 8 x=1
y=– 1 8 x=– 1
8
2
Soluciones: x1 = 1, x2 = – 1
2
c) 3 – 2x + 1 – x = 5 8 3 – 2x = 5 – 1 – x 8
8 3 – 2x = (5 – 1 – x ) 2 8 3 – 2x = 26 – 10 1 – x – x 8
8 10 1 – x = x + 2233 8 100 (1 – x) = (x + 23) 2 8
8 100 – 100xx = x 2 + 46xx + 529 8 x 2 + 146xx + 429 = 0 8 x = –3; x = –143 no válida
Solución: x = –3
d) 3xx 5 – 4xx 4 – 5xx 3 + 2xx 2 = x 2(3xx 3 – 4xx 2 – 5xx + 2) =
–1
= x 2(xx + 1)(x – 2)(3x – 1)
Soluciones: x1 = 0; x2 = –1; x3 = 2; x4 = 1
3
2
5
3 –4
–3
3 –7
6
3 –1
–5
7
2
–2
0
2
–2
0
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16 Resuelve los siguientes sistemas:
a) *
a)
b) )
x + y =3
xy + x = 0
x +1> 3
2x – 1 ≤ 9
x + y =3 8 y =3 – x
4
xy + x = 0 8 x (3 – x) + x = 0 8 3x – x 2 + x = 0
–xx 2 + 4x = 0
x1 = 0 8 y1 = 3
x 2 = 4 8 y 2 = –1
Soluciones: (0, 3) y (4, –1)
b)
x +1> 3 8 x > 2
4
2x – 1 ≤ 9 8 2x ≤ 10 8 x ≤ 15
2
5
Soluciones: x ∈ (2, 5]
2
2
17 Opera y simplifica: e x – 4 : x 3+ 2x o – ((x 2 – 3x)
x
x)
x +1 x – x
2
2
( x 2 – 4) ( x 3 – x )
e x – 4 : x 3+ 2x o – ((xx 2 – 3xx)) =
– (x 2 – 3x) =
2
x +1 x – x
(x + 1) (x + 2x)
=
(x + 2) (x – 2) x (x + 1) (x – 1)
– (x 2 – 3x) = (x – 2) (x – 1) – (x
(x 2 – 3xx)) = x 2 – 3x + 2 – x 2 + 3x = 2
(x + 1) x (x + 2)
18 Resuelve:
7 – x + x =1
x 2 + 4x + 4 x + 2
1 = 3+ x
b)
2x + 6
5 – 11x
a)
c) 3x
2
–2
= 1/3
d) 42xx – 2 · 4 x + 1 + 16 = 0
e) log (x
(x + 1) = 1 + log x
f ) ln x + 1 = ln x
a)
7 – x + x = 1 8 7 – x + x (x + 2) = 1 8
(x + 2) 2 x + 2
(x + 2) 2
8 7 – x + x 2 + 2x = x 2 + 4x + 4 8 3x – 3 = 0 8 x = 1
Solución: x = 1
b)
1 = 3 + x 8 5 – 11
11x = (3 + x) 2x + 6 8 ( 5 – 11x ) 2 = ((3 + xx)) 2x + 6) 2 8
2x + 6
5 – 11x
8 5 – 1111x = (x 2 + 6x + 9) (2x + 6) 8
8 2x 3 + 18x 2 + 54x + 11x + 49 = 0 8
8 (x + 1) (2x 2 + 16x + 49) = 0
Solución: x = –1
= 1 = 3 –1 8 x 2 – 2 = –1 8 x 2 = 1
3
Soluciones: x1 = 1, x2 = –1
c) 3 x
2–2
x =1
x = –1
6
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d) (4 x ) 2 – 2 · 4 x · 4 + 16 = 0
8 ( t – 4) 2 = 0 8 t = 4
cambio
4x = t
8 4x = 4
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t 2 – 8t + 16 = 0 8
8 x =1
Solución: x = 1
e) lo
logg (x + 1) – llog
og x = 1 8 log x + 1 = 1 8 x + 1 = 10 8
x
x
8 x + 1 = 10x 8 9x = 1 8 x = 1
9
1
Solución: x =
9
f ) ln x + 1 = ln x 8 ln x + ln e = ln x 8 ln e x = ln x 8
8 e x = x 8 e 2 x = x 2 8 x (e 2 – x) = 0 8 x = 0 no válida; x = e 2
Solución: x = e 2
19 Resuelve los siguientes sistemas:
a) *
b) *
x – 4y = 5
logg (x + 1) = 1 + llog
lo
og y
2 x – 3 y – 1 = –5
2 2x – 3 y = –11
x – y + 3z = 7
d) * 2x + 3yy – z = 5
– 4xx – 11y + 9z = 0
x + 2yy + z = 1
c) *–2x + y – z = –5
3x – y + 3z = 10
x – 4y = 5
a) x – 4y = 5
x – 4y = 5
4 8 x +1
48
8
4
logg (x + 1) – llog
lo
og y = 1
x + 1 = 10y
= 10
y
8
–x + 4y = –5
4 8 – 6y = – 6 8 y = 1
x – 10y = –1
–x + 4y = –5 8 –x + 4 = –5 8 x = 9
Solución: x = 9, y = 1
2 x – 3 y – 1 = –5
b) * 2x
2 – 3 y = –1
Hacemos el siguiente cambio de variable: 2x = t ; 3y = z
z = 15 + 3t
t – z = –5
2 11 8 t = 4, t = –1 no válida
3
8 *
2 + 11 8 15 + 3t = t + 11
z
=
t
2
t – z = –11
*
t = 4 8 z = 15 + 3t = 27
Solución: x = 2, y = 3
_
x + 2y + z = 1 b (1.ª)
b
c) –2x + y – z = –5` (2.ª) – 2 · (1.ª)
3x – y + 3z = 10 b (3.ª) – 3 · (1.ª)
a
Solución: x = 1, y = –1, z = 2
_
x – y + 3z = 7b (1.ª)
b
d) 2x + 3y – z = 5` (2.ª) – 2 · (1.ª)
– 4x – 11y + 9z = 0b (3.ª) + 4 · (1.ª)
a
_
x + 2y + z = 1 b x = 1
b
5y + z = –3` y = –1
–7y
=7 b z =2
a
_
x – y + 3z = 7 b
b
5y – 7z = –9`
–15yy + 21z = 28b
a
La última ecuación es imposible, luego no tiene solución.
7
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 3 · (2.ª)
_
x – y + 3z = 7 b
b
5y – 7z = –9`
0 =1 b
a
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20 Resuelve:
a) x 3 – 2x 2 – x + 2 ≤ 0
2
b) x2 + 6 ≥ 0
x –4
a) x 3 – 2x 2 – x + 2 ≤ 0 8 (x – 1) (x – 2) (x + 1) ≤ 0
(x – 1)
(x
(x – 2)
(x
(x + 1)
(x
(x – 1)(
(x
1)(xx – 2)(
2)(xx + 1)
(–@, –1)
–
–
–
–
(–1, 1)
–
–
+
+
(1, 2)
+
–
+
–
(2, +@)
+
+
+
+
Solución: (– @, –1) ∪ [1, 2]
2
b) x2 + 6 ≥ 0 El numerador nunca vale cero.
x –4
x2 + 6
x2 – 4
(–@, –2)
+
+
(–2, 2)
+
–
(2, +@)
+
+
x2 + 6
x2 – 4
+
–
+
Solución: (– @, –2) ∪ (2, +@) Los intervalos son abiertos porque el denominador no puede ser 0.
21 Una pastelería vendió 27 tartas. El número de las de chocolate duplicó al de tartas de nata y entre
ambas excedieron en 3 a las ventas de tartas de queso. ¿Cuántas se vendieron de cada tipo?
x = n.º de tartas de chocolate
y = n.º de tartas de nata
z = n.º de tartas de queso
Expresamos las condiciones mediante las siguientes ecuaciones:
Z
]]x + y + z = 27
8 x = 10, y = 5, z = 12
[x = 2y
]x + y = z + 3
\
Vendió 10 tartas de chocolate, 5 tartas de nata y 12 tartas de queso.
8