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Árboles
Estructura de Datos y Algoritmos
Mtr. Ing. Nancy López
Ejemplos de estructuras
arborescentes
• Arborescente -con forma de árbol
Ejemplos de estructuras
arborescentes
Árboles
• Estructura jerárquica.
• Se usan habitualmente para organizar
información en sistemas de bases de datos.
Director
SubDir1
J´Dpto1
J´Dpto2
SubDir2
J´Dpto3
SubDir3
J´Dpto4
J´Dpto5
Árboles
Definición
• Un árbol es una colección de elementos
llamados nodos, uno de los cuales es
distinguido y llamado raíz junto con una
relación ser padre que impone una estructura
jerárquica en los nodos.
• Un nodo es un árbol= el nodo raíz.
Árboles
Definición
• Un árbol es una estructura de datos, que
puede definirse de forma recursiva como:
– Una estructura vacía o
– Un elemento o clave de información (nodo) más
un número finito de estructuras tipo árbol,
disjuntos, llamados subárboles. Si dicho número
de estructuras es inferior o igual a 2, se tiene un
árbol binario.
Árboles
Definición
• Es un grafo acíclico, conexo y no dirigido.
• Ejemplo de árbol 2-ario o binario.
Árboles - nomenclatura
• Raíz: es aquel elemento que no tiene antecesor;
ejemplo: a.
• Rama: arista entre dos nodos.
• Antecesor: un nodo X es antecesor de un nodo Y si
por alguna de las ramas de X se puede llegar a Y.
• Sucesor: un nodo X es sucesor de un nodo Y si por
alguna de las ramas de Y se puede llegar a X.
• Grado de un nodo: el número de descendientes
directos que tiene. Ejemplo: c tiene grado 2, d tiene
grado 0, a tiene grado 2.
Árboles - nomenclatura
• Hoja: nodo que no tiene descendientes: grado 0.
Ejemplo: d
• Nodo interno: aquel que tiene al menos un
descendiente.
• Nivel: número de ramas que hay que recorrer para
llegar de la raíz a un nodo. Ejemplo: el nivel del nodo
a es 1 (convención), el nivel del nodo e es 3.
• Altura: el nivel más alto del árbol. En el ejemplo de
la figura 1 la altura es 3.
• Anchura: es el mayor valor del número de nodos
que hay en un nivel. En la figura, la anchura es 3.
Árbol Binario de Búsqueda
• Un árbol binario es un árbol vacío o un árbol en el
cual cada nodo tiene ninguno, uno o dos hijos.
• Llamamos a los hijos hijo izquierdo e hijo
derecho.
• La propiedad que hace de un árbol binario un
árbol binario de búsqueda es que para todo nodo
en el árbol los valores de los nodos en el subárbol
izquierdo son menores y los valores de los nodos
en el subárbol derecho son mayores.
Árbol Binario de Búsqueda
Raíz: A.
Rama:
Antecesor: B es antecesor de E.
A
Sucesor: E sucesor de B.
Grado de un nodo: 2
C
B
Hojas: D, E, F, G.
Nodos internos: a, b, c.
Nivel: de A: 1, de B: 2, de D: 3.
Altura: 3.
Anchura: 4.
D
E
F
G
Árbol Binario de Búsqueda
• Los hijos se ordenan de izquierda a derecha.
• Regla de construcción:
– Primero el nodo raíz.
– Si el nuevo elemento es menor, se coloca a la
izquierda; si es mayor, a la derecha.
– Ejemplo: 10-5-12-4-7-3-6-9-8-11-14-13-2-1-1517-18-16
10
5
12
4
3
2
7
6
11
9
14
13
15
8
1
Preorden: 10-5-4-3-2-1-7-6-9-8-12-11-14-13-15-17-16-18
Postorden: 1-2-3-4-6-8-9-7-5-11-13-16-18-17-15-14-12-10
Inorden: 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18
17
16
18
Árbol Binario de Búsqueda
Recorrido
• Preorden
– Visita al padre
– Preorden hijo izquierdo
– Preorden hijo derecho
* Visita es cualquier operación sobre el nodo,
por ejemplo, mostrarNodo.
Árbol Binario de Búsqueda
Recorrido
• Inorden
– Inorden hijo izquierdo
– Visita al padre
– Inorden hijo derecho
* Visita es cualquier operación sobre el nodo,
por ejemplo, mostrarNodo.
Árbol Binario de Búsqueda
Recorrido
• Postorden
– Postorden hijo izquierdo
– Postorden hijo derecho
– Visita al padre
* Visita es cualquier operación sobre el nodo,
por ejemplo, mostrarNodo.
Árbol Binario de Búsqueda
• Definición
typedef struct nodo
{
int valor;
nodo *izq;
nodo *der;
} tipoNodo;
typedef tipoNodo *ABB, *pNodo;
Árbol Binario de Búsqueda
• Crear un nuevo nodo
pNodo crearNodo(int v)
{
pNodo nuevo=new tipoNodo;
nuevo->valor=v;
nuevo->izq=NULL;
nuevo->der=NULL;
return nuevo;
}
Árbol Binario de Búsqueda
• Insertar un nodo
void insertar (ABB &arbol, pNodo v)
{
if (arbol==NULL)
arbol=v;
else
if(v->valor<arbol->valor)
insertar(arbol->izq,v);
else
if(v->valor>arbol->valor)
insertar(arbol->der, v);
}
Árbol Binario de Búsqueda
• Mostrar en preorden
void preOrden(ABB arbol)
{
if (arbol==NULL) return;
cout<<arbol->valor<<" ";
preOrden(arbol->izq);
preOrden(arbol->der);
}
Árbol Binario de Búsqueda
• Recorrido en postorden
void postOrden(ABB arbol)
{
if (arbol==NULL) return;
postOrden(arbol->izq);
postOrden(arbol->der);
cout<<arbol->valor<<" ";
}
Árbol Binario de Búsqueda
• Recorrido en inorden
void inOrden(ABB arbol)
{
if (arbol==NULL) return;
inOrden(arbol->izq);
cout<<arbol->valor<<" ";
inOrden(arbol->der);
}
Borrar un nodo
• Si no está, no se elimina.
• Si el nodo es una hoja, se elimina
directamente.
• Si se toma de un nodo interno o una rama, se
busca el nodo más a la izquierda del subárbol
derecho o el más a la derecha del subárbol
izquierdo y se intercambia con el nodo a
eliminar, luego se elimina el nodo.
Árbol Binario de Búsqueda
•
Borrar un nodo
void borrar(ABB &arbol, int x)
{
if(arbol==NULL) return;
if(x<arbol->valor)
borrar(arbol->izq, x);
else
if(x>arbol->valor)
borrar(arbol->der, x);
else
{
ABB p = arbol;
arbol = unirABB(arbol->izq, arbol->der);
delete p;
}
}
Árbol Binario de Búsqueda
ABB unirABB(ABB izq, ABB der)
{
if(izq==NULL) return der;
if(der==NULL) return izq;
ABB centro = unirABB(izq->der, der->izq);
izq->der = centro;
der->izq = izq;
return der;
}