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Filosofía
Unidad
¿Cómo Pensar II?
LÓGICA PROPOSICIONAL
LOS PINGUINOS SON EN BLANCO Y NEGRO.
ALGUNOS PROGRAMAS DE TELEVISIÓN VIEJOS SON EN BLANCO Y NEGRO. POR LO
TANTO, ALGUNIOS PINGUINOS SON PROGRAMAS DE TELEVISIÓN VIEJOS.
LÓGICA: OTRA COSA EN LA QUE LOS
PINGUINOS NO SON MUY BUENOS...
p
V
F
V
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Gerardo Suárez Silva
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W
F
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V
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q
V
V
F
F
Filosofía
Otra unidad de lógica…?
Clasificación de
Lógica
C
omo dijimos, la lógica es una ciencia formal que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. El objeto de estudio de la lógica es la inferencia. La inferencia
es el proceso por el cual se derivan conclusiones a partir de premisas. La lógica investiga los principios por los cuales algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una inferencia es acepTexto 1
table, lo es por su estructura lógica, y no por el contenido específico del argumento o el lenguaje
utilizado. Por esta razón la lógica se considera una ciencia formal, como la matemática, en vez de
una ciencia empírica.
La lógica tradicionalmente se consideró una rama de la filosofía. Pero desde finales del siglo XIX, su formalización simbólica ha demostrado una íntima relación con las matemáticas, y dio lugar a la lógica matemática. En el siglo XX la lógica ha
pasado a ser principalmente la lógica simbólica, un cálculo definido por símbolos y reglas de inferencia, lo que ha permitido su
aplicación a la informática. Hasta el siglo XIX, la lógica aristotélica y estoica mantuvo siempre una relación con los argumentos
formulados en lenguaje natural. Hoy esa relación se trata bajo un punto de vista completamente diferente. La formalización
estricta ha mostrado las limitaciones de la lógica tradicional o aristotélica, que hoy se interpreta como una parte pequeña de
la lógica de clases.
Podemos clasificar los tipos de lógica desde dos puntos de vista, la lógica clásica y la moderna. Sin embargo dicha clasificación sólo sirve para efectos históricos, de ahí que mejor proponemos dividir, los distintos tipos de lógica, respecto a los objetos que trata.
La Lógica Formal es conocida también como lógica clásica o aristotélica, Se imputa al filosofo ARISTOTELES ser el creador de la misma, aunque ya existían antecedentes en PARMENIDES y ZELEO. Así mismo
con el paso del tiempo, con la evolución de algunas corrientes matemáticas, específicamente las aportaciones realizadas por los matemáticos EULER y BOOLE, a la álgebra, se
da inicio a la Lógica Moderna, Matemática, Simbólica o Logística.
La lógica es un elemento de mediación inevitaDe esta lógica moderna, se desprende la semiótica, lógica deóntica, modal, de
ble entre el hombre y la computadora y muchos
clases, cuantificacional y proposicional.
de los conceptos fundamentales en ciencia de
La Semiótica es la lógica de los símbolos y se divide en tres partes: sintaxis, sela computación fueron descubiertos y desarrollados por los lógicos, por lo menos, un decenio
mántica y pragmática. La primera trata de las relaciones de los símbolos entre si, presantes de la aparición de las primeras máquinas
cindiendo de su contenido. La segunda trata de las relaciones entre el símbolo y lo que
digitales.
significa. La tercera trata de las relaciones entre el símbolo y el sujeto que lo utiliza.
En la actualidad, la complejidad y el avance en
la Informática, ha estrechado los vínculos entre
La lógica deóntica se formaliza a través de conceptos relacionados con el deber.
ambas ciencias. John Mc Carthy en 1936 afirEste tipo de lógica se utiliza en el Derecho, infiriéndose del mismo, la denominada lógimaba: “Es razonable esperar que la relación enca de las normas.
tre la ciencia de la computación y la lógica va a
ser tan fecunda en el próximo siglo como lo fue
La lógica modal lo hace en los conceptos de necesidad y posibilidad.
entre el análisis y la física en el siglo pasado”.
La lógica de clases relaciona conceptos con propiedades (sujeto y predicado),
Observemos que paralelamente a la sofisticaestudia además las implicaciones de unas clases con otras, las cuales suelen ser repreción de la microelectrónica, que viene permitiendo la construcción de máquinas cada vez
sentados gráficamente mediante círculos (mejor conocidos como diagramas de Venn)
más veloces y más económicas, con mayor caempleando la denominada “álgebra booleana”.
pacidad de almacenamiento en menor volumen,
La lógica cuantificacional que estudia de manera más detallada los predicados a
se han desarrollado y están aún
en pleno desarrollo técnicas formales para una
través del uso de cuantificadores que expresan cantidad
especificación rigurosa, tanto de las estructuras
La lógica proposicional analiza los razonamientos formalmente válidos partiende datos destinadas a ser procesadas en mádo de proposiciones y conectivas proposicionales (operadores lógicos).
quinas, como de la acción de los programas sobre estas estructuras.
Esta lógica simbólica, de la que nos estamos refiriendo, emplea un lenguaje artiLas especificaciones formales de la lógica son
ficial en la que simboliza las proposiciones generalmente con las letras p, q, r, s, t utilinecesarias para reducir lo aleatorio y empírico
zando de operadores lógicos, también llamados conectores, functores, juntores, para
que acompañan la construcción y verificación
de un programa de computadora.
poder construir formulas operando sobre las variables proposicionales y las proposicioLa lógica formal permite captar los criterios cunes complejas.
ya función no pierde de vista la no ambigüedad,
Finalmente existe otro tipo de lógica que es la dialéctica, aunque ésta no la pola consistencia interna, la calculabilidad efectiva. En definitiva, la lógica es el campo de las
demos considerar como integrante de la lógica moderna, toda vez que la misma no tieespecificaciones formales no arbitrarias logranne un contenido formal, sino ideológico; ni es “pasiva” como la lógica formal, sino que
do la completitud.
es activa, al obtener principios racionales a través de la interpretación de la historia,
La compresión del cálculo proposicional es indispensable para captar el manejo de una exutilizando como su estructura en su discurso, la tesis, seguida de la antítesis y su respresión lógica en la computadora. El álgebra
pectiva conclusión denominada síntesis; teniendo sus antecedentes desde los griegos
Booleana, y su expresión en el cálculo proposicon SOCRATES y PLATÓN quienes la concibieron como una técnica de discusión y de obcional, interesan tanto a aquellos que se dedican a la investigación operacional (esquemas
tención de conclusiones, siendo la misma también estudiada y empleada por algunos
de programas) como a quienes están interesafilósofos como KANT, HEGEL, MARX, entre otros más.
Lógica y computación
dos por la complejidad algebraica de un lenguaje formal, propio de los lenguajes informáticos.
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Filosofía
LA LÓGICA PROPOCISIONAL
La Lógica
proposicional se ocupa del cálculo de proposiciones o enunciados (o sea, las operaciones entre ellos), sin tener en
cuenta la estructura interna de las mismas.
Esto quiere decir que en este capítulo de la lógica vamos a trabajar solamente con los enunciados, o sea con la
2a operación.
¿Te acordás cuál era la propiedad de esta estructura lógica? ("Los enunciados son estructuras lógicas de diverso grado de complejidad. .. que tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos")
Otra característica de la lógica proposicional es que trabaja exclusivamente con formas: las proposiciones se
abstraen o simbolizan mediante las letras proposicionales, tales como: p, q, r, s, etc. Esto quiere decir que, por ejemplo "p", puede simbolizar tanto "Todo hombre es mortal", como también "Ese perro es malo", como "Juan es bohemio", etc. Ya no nos interesa tanto el contenido de la proposición, pero sí su forma.
Lenguaje formal de la lógica de enunciados.
Siempre se ha dado por descontado que algún grado de formalización, en el estudio de lógica, es inevitable.
La introducción de letras minúsculas, p, q, r, . . . para representar enunciados facilita el análisis de la corrección de los argumentos:
Ejemplos
Sócrates es un hombre
Sócrates es mortal
Donde “Sócrates es un hombre” está simbolizado por la letra “p”; y “Sócrates es
mortal”, por la letra “q”
p
q
Si Sócrates es un hombre entonces Sócrates es mortal;
Sócrates es un hombre;
Sócrates es mortal.
Si p entonces q
p
q
Cuando
simbolizamos un enunciado compuesto, de la manera que lo hemos hecho en el ejemplo 2, lo que queda es un armazón lógico o matriz que denominamos “forma enunciativa”. Estudiaremos formas enunciativas más bien que
enunciados particulares.
Los elementos y reglas necesarios para determinar un lenguaje formal, que forman parte de la Sintaxis de la
Lógica, son:
 Un alfabeto de símbolos primitivos.
 Unas reglas de formación para combinar esos símbolos.
Una vez finalizada la formalización se asocian a las fórmulas obtenidas valores de verdad que les dan significado.
Dentro de los símbolos primitivos, encontramos
¬
~ es la negación.
las variables de enunciado (letras enunciativas, o
también letras proposicionales): p, q, r, . . . que desig. Es la conjunción

nan enunciados simples arbitrarios no especificados.
v es la disyunción inclusiva lógica.
variables proposicionales: p, q, r, . . .
fórmulas proposicionales constituidas por variables
w es la disyunción exclusiva lógica.
v
proposicionales y conectivos:
Paréntesis, corchetes, llaves: ( ) * + , - Se los de→
 es la implicación o condicional lógica.
nomina conectivos de agrupación.
 es la doble implicación o bicondicional lógica 

Es la falsedad conexa
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Filosofía
CLASIFICACIÓN DE
LAS PROPOSICIONES
Proposiciones Simples o atómicas
Las simples o atómicas son aquellas proposiciones que no admiten dentro de sí, más
que una sola proposición, así por ejemplo: "Charly García es músico", "Sócrates fue un
filósofo", etc. Aquí las vamos a simbolizar con una sola letra, por ejemplo "q"
En las simples, es muy fácil saber el valor de verdad: En ambos ejemplos es verdadero.
Texto 2
En general, las proposiciones simples son aquellas de las que no se pueden extraer
otros enunciados, es decir, contienen un único enunciado.
Otros ejemplos:
“El tren llegó puntual" “Estaba esperándole"
“El examen era difícil" “Él había estudiado"
“Llegó tarde" “Se encontró con su amigo"
“Hay examen" “Le gusta lo que ve en clase"
"Juan estudia" “La peli resultó tan buena como decían
Proposiciones Compuestos o moleculares
Las proposiciones compuestas o moleculares son proposiciones que admiten dentro de sí, dos o
más proposiciones unidas por nexos lingüísticos que se llaman conectivas extensionales. "París es la
capital de Francia y Madrid es la capital de España". vemos claramente que en este caso se trata de
dos proposiciones simples, unidas por un nexo 'Y'. Se simbolizará: p . q, siendo:
"p" = "París es la capital de Francia"
"q" = "Madrid es la capital de España"
"." (un punto) = el nexo o conectiva extensional que simboliza la
"y" (conjunción)
Otros ejemplos:
“El tren llegó puntual y no estaba esperándole"
“El examen era difícil o él no había estudiado"
“No se encontró con su amigo porque llegó tarde"
NOTA: Es recomendable utilizar
minúsculas para evitar confusiones
con las mayúsculas que se utilizan
en la teoría de conjuntos, y las
primeras letras (a,b,c, etc) que se
utilizan en geometría y trigonometría para vértices, por lo mismo no
es recomendable utilizar esta notación para nombrar las proposiciones, pero tampoco está prohibida
en algunos libros se manejan letras
mayúsculas.
“La película no resultó tan buena como decían"
“Juan estudia si hay examen o le gusta lo que se ve en clase"
En el ejemplo, "París es la capital de Francia y Madrid es la capital de España". es claro que ambas proposiciones simples son verdaderas, y por lo tanto el valor de la proposición toda (compuesta)
lo será también.
El problema se plantea cuando alguna de las dos no sea verdadera. Por ejemplo: "París es la capital de Francia y Barcelona es la capital de España". Para estos casos existe una regla lógica que nos
indica cuál será el valor de verdad de la proposición compuesta. En el ejemplo visto, estamos usando
la conjunción, y su regla dice que el valor de verdad de la proposición compuesta será verdadero, solo
cuando cada una de las proposiciones simples que la compongan sean verdaderas. Por ello: "París es
la capital de Francia" es verdadera, pero "Barcelona es la capital de España "es falso. por lo tanto
"París es la capital de Francia y Barcelona es la capital de España" es falsa
Existen, también otras conectivas. Las más importantes de ellas, y sus reglas lógicas, las encontrás en el cuadro de la página siguiente.
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ENUNCIADOS NEXO O
COMPLEJOS CONECTIVA
FORMA
NEGACIÓN
~p
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
INCLUSIVA
~
TABLA DE VERDAD
~p

V
F
F
V
.
p.q
p . q
V
V
F
V
V
F
F
F
v
pvq
p v q
V
V
F
V
V
F
F
F
DISYUNCIÓN
EXCLUSIVA
w pwq
CONDICIONAL
 pq
BICONDICIONAL

p
FALSEDAD
CONEXA

p q

q
p w
V
F
V
F
p
V
F
V
F
q
V
V
F
F
q
V
V
F
F

q
V
V
F
F
q
V
V
F
F
p
V
F
V
F
p
V
F
V
F







V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
FORMULACIÓN
NEXOS MÁS
COMUNES
EJEMPLO
Cuando el
enunciado sea
verdadero, su
negación será
falsa, y viceversa
“No…”
“no es cierto que…”
“es falso que…”
“no es verdad
que…”
No es cierto
que soy estudiante
Sólo será verdadera cuando
ambos enunciados sean
verdaderos
“… y …”
“… mas …”
“… pero …”
“… , …”
Juan canta y
María baila
Sólo será falso
cuando ambos
enunciados
sean falsos
“… o …”
“… u …”
“… y/o …”
“… o bien …”
Podrán concurrir a la
fiesta solos y/
o acompañados de sus
padres
Estoy vivo o
Sólo será ver- “… o …”
estoy muerto.
dadera cuando “… u …”
ambos enun- “… o bien …”
ciados tengan
distinto valor
de verdad
Será falsa, solo cuando el
antecedente
sea verdadero
y el consecuente falso
"Si ... entonces ... "
"Si ... por lo
tanto …”
"Si ... , ... "
Si estudio,
entonces
apruebo
“… entonces…”
Será verdade- "... si, y solo
ra cuando am- si ..."
bos enunciados tengan el
mismo valor
de verdad
Ingreso a la
facultad si y
sólo si apruebo el CBC
Será verdade- “Ni … ni …”
ra, solo
cuando ambos
enunciados
sean falsos
Ni llueve, ni
hace frío
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Veamos cada una en detalle:
Una proposición Disyuntiva, es aquella que está
formada por proposiciones atómicas o moleculares, digamos p y q, con el conectivo lógico “o”. Se simboliza así:
“v”, se escribe: p v q y se lee: “p o q”
Existen dos operadores de disyunción: La disyunción exclusiva o excluyente y la disyunción inclusiva o
incluyente.
DISYUNCIÓN INCLUSIVA: Sólo será falso cuando
ambos enunciados sean falsos.
La disyunción inclusiva sería algo intermedio entre la
conjunción y la disyunción exclusiva, ya que pueden darse ambas opciones, o una de ellas. Lo que no puede pasar es que no se dé ninguna de las dos
Ejemplos: Los nervios eferentes son motores o asociativos.
(debe leerse como los nervios eferentes son motores o los
nervios eferentes asociativos)
O bien Cervantes escribió el Quijote, o bien Julio
César fue un emperador romano”.
Son dos o más proposiciones de las cuales puedo elegir una o
más de una, se caracteriza por permitir que las proposiciones
que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también Incluyente.
Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Para
que te deje ir a bailar el fin de semana debes cumplir una de
estas dos condiciones: Traer 10 en tu examen de esta semana
o lavarme el coche todos los días desde el lunes hasta el viernes”
El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en
las siguientes proposiciones:

p = “Juan saca 10 en su examen semanal”.

q= “Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes”.

p v q = “Juan saca 10 en su examen semanal o lava el
coche de su papá de lunes a viernes”.
Debemos fijarnos que su papá le pidió cumplir con p o cumplir
con q, significa que Juan puede cumplir con una sola de estas
tareas para poder ir al boliche. Las posibles situaciones en las
que Juan se podría caer para ir al boliche son:
Con esto podemos ver que para que Juan no vaya al antro,
tanto p como q deben ser falsas. La disyunción inclusiva entre
dos proposiciones es falsa solo si ambas proposiciones son
falsas.
Situaciones
Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche todos
los días.
Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero pudo lavar el
coche todos los días.
Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no lavó el coche todos los días.
Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco lavó el
coche todos los días.
p q pvq
V V
V
F V
V
V F
V
F F
F
Juan no irá a bailar cuando no haga ninguna de las dos cosas.
Por lo tanto, sólo será falso cuando ambos enunciados sean
falsos.
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Sólo será verdadera cuando ambos enunciados tengan distinto valor de verdad.
Aquí se plantea claramente una situación donde solamente
una de las dos opciones puede darse en forma excluyente
Ejemplos: O tomo un medicamento sin consultar o voy
al médico a que me recete uno
Todo o nada
Un número natural es par o impar (debe leerse
Un número natural es par o un número natural impar)
Son dos o mas proposiciones de las cuales puedo elegir solo
una, no permite que las proposiciones que contiene sean todas
verdaderas, así que se le llama también excluyente.
Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Para
poder seguir estudiando debes tomar la decisión de inscribirte
en Ingeniería en sistemas o en Ingeniería mecánica, pero no en
ambas”
El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en
dos proposiciones:

p = “Juan se inscribe en Ingeniería en sistemas”.

q = “Juan se inscribe en Ingeniería mecánica”.

p w q = “Juan se inscribe en Ingeniería en sistemas o se
inscribe en Ingeniería mecánica”.
En este caso Juan tiene ambas opciones y puede cumplir solo
con una de ellas:
Situaciones
Juan se inscribe en Ingeniería en sistemas y en Ingeniería mecánica
Juan sólo se inscribe en Ingeniería mecánica
Juan sólo se inscribe en Ingeniería en sistemas. .
Juan no se inscribe en ninguna de las dos carreras
p q p wq
V V
F
F V
V F
F F
V
V
F
Las posibilidades de que Juan siga estudiando se reducen a
pesar de tener dos opciones. Porque o estudia una o estudia
otra. De esto se desprende que sólo será verdadera cuando
ambos enunciados tengan distinto valor de verdad.
NEGACIÓN: Cuando el enunciado sea verdadero, su
negación será falsa, y viceversa
Si bien, en realidad es un enunciado sólo más un
nexo, se lo considera complejo por su estructura.
Ejemplos: No quiero hacer la tarea
No es cierto que hay que estudiar
No es verdad que hoy es martes
Es falso que hay vida en Marte.
Es imposible que el átomo sea una molécula.
Venezuela no limita con Perú (debe entenderse como “No es verdad que Venezuela limite con Perú”)
Una proposición de este tipo, puede estar formada por una
proposición atómica o molecular a diferencia de los otros conectivos que afectan a mas de una, digamos p, con el conectivo Lógico “No”.
Juan no va al boliche: En este caso, si “Juan va al boliche” es
verdadero, ”Juan no va al boliche” es falso. Y si “Juan va al
boliche” es falso, ”Juan no va al boliche” es verdadero.
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Filosofía
CONJUNCIÓN: Sólo será verdadera cuando ambos
enunciados sean verdaderos
Ejemplos:
2+ 2 es igual a 4, y 3 + 3 es igual a 6
Marte tiene satélites y Júpiter también (más específicamente debe entenderse como "Marte tiene
satélites y Júpiter tiene satélites", aunque en el
lenguaje hablado o escrito se abrevie para no ser
reiterativos)
Brasil está en Latinoamérica, más su idioma es el
Portugués. (En este caso, el “más” funciona como “y; "sería Brasil está en Latinoamérica, y su
idioma es el Portugués”)
Juan no juega al futbol, pero tiene voluntad.
Hoy hará frio, también se esperan algunas lluvias.
Podrán realizar la excursión, además conocerán
hermosos lugares
Manuel e Ismael son universitarios.
Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Para
que te deje ir al boliche el fin de semana debes traer 10 en tu
examen de esta semana y lavarme el coche todos los días desde el lunes hasta el viernes”
Juan se encuentra ante las mismas dos situaciones anteriores,
que reflejaremos en dos proposiciones:
p = “Juan saca 10 en su examen semanal”.
q = “Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes”.
Pero en este caso Juan debe cumplir con ambas proposiciones
para poder ir al boliche, ya que su papá utilizó la conjunción
“y”:
Situaciones
Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche
todos los días.
Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero pudo
lavar el coche todos los días.
Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no lavó el
coche todos los días.
Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco
lavó el coche todos los días.
p q
V V
p.q
V
F V
F
V F
F
F F
F
El padre de Juan fue claro. Sólo accedería a su pedido si cumplía con las dos condiciones. Las posibilidades de ir al boliche
se reducen a solo una: Sólo será verdadera cuando ambos
enunciados sean verdaderos.
CONDICIONAL: Será falsa, solo cuando el antecedente
sea verdadero y el consecuente falso
La proposición condicional está compuesta por un antecedente y un consecuente. En ella se establece una relación de necesidad entre el antecedente y el consecuente, de tipo causa
efecto. (y no al revés)
De hecho, la regla que rige esta proposición compleja, no afirma la veracidad de los hechos, sino que si se da el antecedente, necesariamente debe darse el consecuente. Dicho de otra
manera, el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente. Ejemplos:
Si es herbívoro, entonces se alimenta de plantas (en
este caso no estoy afirmando que efectivamente el ser vivo en cuestión sea herbívoro, sino
que si lo fuese, necesariamente se alimenta con
plantas)
Si un metal se calienta, se dilata.
Tienes buena alimentación entonces tienes buena
salud.
Evitarás enfermedades infantiles si vacunas a tu hijo
(en este caso el condicional se llama Inverso o replicativo: la operación de implicación está desordenada. Es decir primero está el consecuente y luego el
antecedente. Debe entenderse como: “Si vacunas a
tu hijo, entonces evitarás enfermedades infantiles”)
Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Si te
sacás un 10 en el examen de esta semana, entonces te dejo ir
al boliche”
p = “Juan saca 10 en su examen semanal”.
q = “el padre lo deja ir al boliche”.
Lo que se afirma en este enunciado es que es condición necesaria que se saque 10 para ir al boliche. Veamos las opciones
Pueden acontecer todas las situaciones en la semana de Juan,
Situaciones
Juan pudo sacar 10 en su examen y el padre lo dejó
ir al boliche
Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero el padre
lo dejó ir al boliche
Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero lavó el
coche todos los días.
Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco
lavó el coche todos los días.
p q pq
V V
V
F V
V
V F
F
F F
V
pero lo único que no puede pasar es que si se saca un 10 el
padre no lo deje ir a bailar, porque esto es lo que se afirmaba
en la relación de necesidad que establece el condicional. Por
lo tanto sólo será falso cuando el antecedente sea verdadero
y el consecuente falso
BICONDICIONAL: Será verdadera cuando ambos enunciados tengan el mismo valor de verdad
Es un condicional “de ida y vuelta”, quiere decir que si se
da uno, se da el otro y viceversa; a diferencia del condicional, donde el antecedente es condición necesaria para el consecuente pero no al revés.
Ejemplos: Un número es divisible por dos, si y sólo si
es un número par.
Luis viajará al extranjero, si y sólo si o obtiene su visa
Es fundamentalista si y sólo si es talibán
FALSEDAD CONEXA: Será verdadera, solo cuando ambos enunciados sean falsos.
La falsedad conexa puede entenderse también como la conjunción de dos negaciones. Por ello para ser verdadera, tienen
que ser falsas ambas.
Ejemplos:
Ni lerdo, ni perezoso (significa que no es lerdo y
no es perezoso)
Ni está enojado, ni presentará una queja
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ACTIVIDAD
1)
Analizar las siguientes expresiones lingüísticas e indique si son o no proposiciones:
 La constitución política México fue declarada y promulgada por la asamblea constituyente en 1917
 ¿Quién es el pez gordo del narcotráfico?
 Sea bienvenido
 ¡Por fin llegó la primavera!
 Los números racionales son inteligentes.
 Que tengan ustedes un buen viaje.
 Solo se que no se nada.
 Juan es bondadoso.
 No digas mentiras.
 Quizá existan miles de millones de universos.
 Los organismos superiores tienen pulmones porque
necesitan respirar.
 Los planetas del sistema solar a excepción de Plutón ocupan el mismo plano con respecto al sol.
 El número 5 sonrió.
 Los electrones son partículas que se encuentran
alrededor del núcleo del átomo
2)
Señalar cuáles de las siguientes proposiciones son simples y cuáles son complejos:
 Construyeron un dique para controlar las bruscas
crecidas de primavera
 Comprendo tus puntos de vista pero no los comparto.
 O me ayudas con este trabajo, o tendré que llamar
a otra persona
 En los días feriados el centro de la ciudad permanece desierto
 Si Carlos logra convencer a Jorge, lo consideraré un
gran orador
 No se han producido epidemias de viruela en los
últimos 10 años
 El río que cruza la llanura, provee de agua a todas
las granjas linderas.
 Este niño lee perfectamente más no escribe en absoluto.
 Ni estás quieto, ni te quedás callado.
 Sale el sol, si y sólo si se despejan las nubes.
3)
Determinar en ejercicio anterior, de las
complejas, de que tipo son
4)
Determinar que tipo de enunciado complejo es, subrayando o resaltando el nexo:
 En el invierno hace frio y en algunos lugares cae
nieve.
 México está en crisis económica si y solo si se devalúa la moneda.
 No es difícil desarrollar un software
 Mi tía es enfermera y mi mamá es ama de casa.
 O eres médico o eres enfermera.
 Jamás he visto al vecino.
 Es carnívoro si se alimenta de otros animales.
 O el tejido epitelial es avascular o el tejido conjuntivo es avascular.
 Silvia es inteligente, sin embargo es floja
 La epidermis es tejido epitelial o la dermis es tejido
conjuntivo.
 Si apruebo el examen de admisión, entonces y sólo
entonces ingresaré a la universidad.
 Herófilo de Calcedonia es el Padre de la Anatomía y
Erasístrato de Chios es el Padre de la fisiología.
 Nunca he oído esa música.
 Los dientes heterodonto son de 4 clases o los dientes difiodonto son de dos clases.
 El Esfenoides es un hueso plano o el Fémur es un
hueso largo.
 El síndrome de Turner es causado en el sexo femenino o el Síndrome de Klinefelter es causado en el
sexo masculino.
 El Albinismo se da en ausencia de pigmento en la
piel, ojos, cabello o la Galactosemia se da por acumulación de galactosa en el hígado.
 El Daltonismo no permite la percepción normal del
color rojo y verde o la Hemofilia es la tendencia a
sangrar abundantemente con la menor herida.
 El genotipo es la constitución genética de un organismo o el fenotipo es la expresión del genotipo en
un organismo.
 El aracnoides es una capa avascular delgada o la
piamadre es altamente vascularizada.
 El número dos es par, pero el número tres es impar.
 Si es joven, entonces es rebelde.
 El número cuatro es par puesto que es divisible por
dos
 Es fundamentalista si y sólo si es talibán.
 Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva.
 Es imposible que el átomo sea molécula.
 Es falso que el juez sea fiscal.
5)
Dados los siguientes enunciados complejos, transcribir su forma lógica correcta,
por ejemplo:
 La Neuritis es la inflamación de uno o varios nervios: .”La Neuritis es la inflamación de un nervio o
la neuritis en la inflamación de varios nervios”
 La hormona es producto de la secreción de ciertos
órganos del cuerpo de animales y plantas.
 Los órganos homólogos tienen el mismo origen
embriológico, la misma estructura interna, pero
cuya forma y función son distintas.
 La enterocolitis es la inflamación del intestino delgado, del ciego y del colon
 Los órganos homólogos tienen estructura diferente
y distinto origen embriológico, pero realizan la misma función.
 O el encéfalo o la médula espinal está contenido en
la cavidad craneal.
 La materia ni se crea ni se destruye.
 Pedro es tío o es sobrino.
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7
Filosofía
Simbolización
Una forma enunciativa es una expresión, en la
que intervienen variables de enunciado y conectivas,
que pude formarse utilizando las siguientes reglas:
A veces un enunciado complejo puede estar
formado por más de dos enunciados simples y a veces
puede combinar varias conectivas.
Por ejemplo:
La enterocolitis es la inflamación del intestino
delgado, del ciego y del colon
Debe entenderse como:
“La enterocolitis es la inflamación del intestino
delgado, la enterocolitis es la inflamación del ciego y
la enterocolitis es la inflamación del colon”
En este caso hay tres enunciados complejos unidos por el mismo nexo, la conjunción. Por tanto debe
simbolizarse con tres letras distintas:
p = “La enterocolitis es la inflamación del intestino delgado”
q = “la enterocolitis es la inflamación del ciego”
r = “La enterocolitis es la inflamación del colon”
El nexo se coloca entre los enunciados:
p.q.r
Otro ejemplo:
Se terminarán los problemas de sequía si llueve
Nos encontramos frente a u condicional de tipo
inverso o replicativo, donde:
p = “se terminarán los problemas de sequía”
q = “llueve ”
Debido a que el antecedente es que y el consecuente es p, la correcta formulación sería:
q p
Otro ejemplo:
Si no apruebo el CBC, entonces no podré ingresar a la carrera.
Siempre se deben tomar para simbolizar los
enunciados en forma afirmativa:
p = “apruebo el CBC”
q = “podré ingresar a la carrera”
Aquí, además de un condicional, tenemos dos
negaciones, es decir el antecedente y el consecuente
están negados, por lo tanto, la simbolización correcta
sería:
La negación siempre va “pegada” a la proposición.
Pero cuando las operaciones que se combinan
son otras distintas que la negación, será necesario
agregar paréntesis, llaves, corchetes, etc.
Si me quedo dormido y no suena el despertador,
llegaré tarde a clases.
p = “me quedo dormido ”
q = “suena el despertador”
r = “llegaré tarde a clases”
Para que llegue tarde a clases, deben darse ambas situaciones: que me quede dormido y que n suene
el despertador, por ello, el antecedente es complejo a
la vez, es una conjunción y debe ir entre paréntesis
~p  ~q
Jerarquía de simbolización:
La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción,
las disyunciones, condicional, bicondicional y son asociadas
por la izquierda. De esta manera sin nos encontramos ante
la siguiente proposición:
p  q . ~r
El correcto para resolverlo sería para este caso:
1. Primero negamos r
( ~r )
2. Luego resolvemos la conjunción
(q . ~r)
3. Por último resolvemos el condicional 
Pero tiene mayor jerarquía los signos de agrupación, de esta
manera, si nos encontramos con la proposición:
(p q) . ~r
1. Primero resolvemos la implicación
(p q)
2. Luego hacemos la negación de r
( ~r )
3. Por último la conjunción.
Con el resultado de (p q)
y el resultado de ~r
Formulas bien formadas (wff):
A la combinación de proposiciones y conectivos se la denomina fórmula bien formada (well-formed formula, wff). Una
fórmula bien formada puede ser una proposición simple o
compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado.

[ ~p . ( p v q ) ]  q ; [ p. (~p v ~ q ) ]  q

[ ( ~p v q ) . ( p . r ) ]  ( q v r )
No todas las formulas son bien formadas, si a una formula
no se le puede dar un valor se dice que no es un formula
bien formada.
(p. ~q )  r
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Filosofía
LAS TABLAS DE VERDAD
Se denomina así a la procedimiento a a través del cual es posible determinar el valor de verdad de una proposición, ya sea ésta atómica o molecular.
De esta manera hacemos una valoración de las variables enunciativas y las formas enunciativas binarias.
Usando las tablas de verdad de las conectivas podemos construir la valoración de cualquier forma enunciativa, determinando el valor de verdad de la misma a partir del valor de verdad de sus componentes atómicos.
La construcción de una tabla de verdad responde a la siguiente fórmula:
2n = x
2 = indica la cantidad de valores de verdad con los que trabajamos: (verdadero - falso)
n = se reemplaza por al cantidad de proposiciones simples con las que se opera
X = indica la cantidad de renglones que tendrá esa tabla, ya que expresa el número de todas las
posibles combinaciones o filas, entre los valores de verdad, de las proposiciones que intervienen en la operación
El procedimiento es el siguiente
1) Se simbolizan las proposiciones dadas. Por ejemplo "París es la capital de Francia y Madrid es la
capital de España", se simboliza: p . q
2) Aplicamos la fórmula
22 = 4
Esta tabla de verdad tendrá cuatro renglones
3) En la primer columna (en nuestro ejemplo: "p")
se atribuyen en cada renglón, los valores de verdad en forma alternada de uno en uno, hasta
completar la cantidad de renglones que tenga la
tabla (en un nuestro ejemplo:
p
V
F
V
F
4) Nuestro ejemplo queda de la siguiente ma- p . q
nera:
V V
F
V
F
V
F
F
5) En la segunda columna (en nuestro ejemplo:
"q") se atribuyen en cada renglón, los valores de
verdad en forma alternada de dos en dos, hasta
completar la cantidad de renglones que tenga la
tabla
6) Se procede a resolver la tabla
de verdad, aplicando la regla lógica correspondiente a esa conectiva. El resultado se coloca debajo
de la conectiva y se recuadra.
p
V
F
V
F
.
V
F
F
F
q
V
V
f
F
q
V
V
F
F
7) Si la tabla de verdad tuviese tres proposiciones, por ejemplo p . q . r ( en ese caso la fórmula daría 8 renglones)
los valores de verdad de la tercer proposición r se alternarían de a cuatro. Si tuviera cuatro, se alternarían de a 16,
y así sucesivamente
8) En una forma proposicional compuesta, cada letra que se repita, le corresponderá la misma columna de valores
de verdad que la primera
.
q
.
r
Juan canta, baila p
Otros ejemplos:
y actúa.
No es cierto que el juez
~ p
sea fiscal
Tenemos una sola pro- F V
V F
posición:
p = “El juez es fiscal”
Y una sola conectiva,
21 = 2
la negación
Pedro es tío o p
es sobrino.
V
22 = 4
F
V
F
v
V
V
V
F
q
V
V
F
F
V
F
23 = 8
V
En este caso re- F
solveremos pri- V
mero p . q y lue- F
go el resultado
V
de éstos con r.
F
F i ch a s y T e xt o s
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F
V
V
V
F
V
V
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F
V
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V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
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Filosofía
TABLAS DE VERDAD CON DISTINTAS CONECTIVAS
"Si baja la presión atmosférica y sopla viento sur, entonces es probable que lloverá"
En este ejemplo tenemos dos tipos de conectivas: conjunción y condicional. Lo podríamos simbolizar así:
( p. q )  r
Es estos casos complejos, se resuelven primero las conectivas de menor alcance, es decir las conectivas que
relacionan el menor número de letras, luego la de mayor alcance siguiente, y así sucesivamente hasta llegar a la
conectiva principal, la cual proporcionará el resultado final de la operación realizada (el resultado final se colocará debajo de esta y se recuadrará para distinguirlo de otras columnas)
(p
V
F
V
F
V
F
V
F
.
V
F
F
F
V
F
F
F
q)
V
V
F
F
V
V
F
F

V
V
V
V
F
V
V
V
r
V
V
V
V
F
F
F
F
En la medida que se vaya resolviendo
una columna, se va tachando y uniendo
para que quede claro cuál fue la operación. Estas uniones se van escalando
también de menor a mayor para distinguir el orden en que fuimos resolviendo.
En el caso de haber una negación, se resuelve siempre primero la negación y luego las otras conectivas. Por
ejemplo:
“Pienso y elijo una carera, o no podré anotarme en la facultad”
(p
V
F
V
F
V
F
V
F
.
V
F
F
F
V
F
F
F
q)
V
V
F
F
V
V
F
F
w
V
F
F
F
F
V
V
V
~ r
F
F
F
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V
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Filosofía
Tautología, Contradicción y Contingencia:
A partir del resultado de las tablas de verdad es posible clasificar las formas proposicionales en tres tipos

Las Tautologías son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado valores
siempre verdaderos. Son formas proposicionales lógicamente verdaderas. Las tautologías interesan a la
lógica especialmente porque son un tipo de leyes lógicas. Las leyes de la lógica proposicional son todas
tautologías, son formas proposicionales, cuyos casos de sustitución son siempre verdaderos (solo tienen una interpretación verdadera)

Las Contradicciones son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado valores siempre falsos. Son formas proposicionales falsas por su forma lógica, al interpretar las letras proposicionales que la forman se obtienen siempre una proposición falsa.

Las Contingencias son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado valores en parte verdaderos y en parte falsos. Son formas proposicionales lógicamente indeterminadas, es
decir, son verdaderas o falsas por razones fácticas y no por su forma lógica.
Equivalencia:
Dos proposiciones son equivalentes cuando sus tablas de verdad arrojan idéntico resultado
1)
ACTIVIDAD

2)
Demostrar las proposiciones de cada caso y sus posibles valores en una tabla de verdad y determine que tipo de proposición es (conjunción, disyunción exclusiva, disyunción inclusiva,
negación, condicional, bicondicional, o falsedad conexa):
En un restaurante se regala un postre después de cada comida, pero solo se puede elegir uno entre estos dos: “Flan napolitano o gelatina mosaico”.

Una tienda se tiene la siguiente promoción: “En la compra de mas de $2000.00 pesos en artículos deportivos se le hace el 50% de descuento sobre la compra”.

Para ser merecedor de una beca un alumno debe contar con un promedio superior a 9.0 o demostrar
que los ingresos de sus padres son inferiores a $1500.00 mensuales.

Para poder ingresar el ejercito un aspirante no debe tener tatuajes y ni padecer ninguna enfermedad
contagiosa.
De la siguiente afirmación “Andrés es padre de Bernardo y éste es padre de Cecilia ” se obtienen las si-
guientes proposiciones:
p : Andrés es descendiente de Bernardo , es VERDADERO
q : Bernardo es descendiente de Andrés , es FALSO
r : Cecilia es descendiente de Bernardo , es FALSO
s : Cecilia es descendiente de Andrés , es VERDADERO
Asignar los valores a las siguientes formulas de las tablas de verdad y explicar porque:
Proposición
Valores
Resultado
~p
~q
p.q
~p . ( q v ~r )
pw(qs )
pq
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Filosofía
3)
Formalizar la siguiente proposición:
“Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si estos hechos son inofensivos y
respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no habría ningún problema. Pero si los hechos son bárbaros o
no respetuosos con los seres vivientes o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo.”
p: justificar hechos por su tradición
q: ser inofensivo.
r: ser respetuoso con los seres vivos.
s: ser respetuoso con el medio ambiente.
t: tener problemas.
~q: ser bárbaro. (= no ser inofensivo)
u: ser digno de nuestro tiempo.
4)
Formaliza las siguientes proposiciones y confecciona su tabla de verdad:
 Estás seguro y lo que dices es cierto o eres un mentiroso
 2+2=4, si y solo si 4-2=2; y 2+3=5 si y solo si 5-3=2
 Iré al centro el día de paro, si circulan los colectivos y el subte
 Fuimos al museo, pero ni encontramos las obras que buscábamos, ni nos dijeron dónde halladas
 Si llegamos tarde, no conseguiremos pasajes y no nos harán la reserva para el día siguiente
 Entregamos el proyecto mañana, o no lo entregamos y quedaremos fuera del concurso
 Si para la tormenta el avión llegará esta noche o mañana a la madrugada
5)
Verificar si las siguientes proposiciones son equivalentes
6)
Simbolizar y realizar tabla de verdad
 (pq).(qp)
 (p w q)
 p  q









7)
Madrid no es la capital de España
O Madrid es la capital de España, o Barcelona está en Inglaterra .
Mozart fue músico o Barcelona no está en Inglaterra
No es cierto que: Mozart fue músico y Barcelona está en Inglaterra
Madrid es la Capital de España o no lo es
Maradona es drogadicto o no lo es, y la prensa tendrá que arrepentirse de todo lo que dijo.
Si estudio y apruebo todas las materias en diciembre, entonces me podré ir de vacaciones tranquilo.
Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre
Determinar el valor de verdad, sabiendo que p y q son verdaderas, y que r y s son falsas





8)
pq
(p v q).~(p .q)
~p . ~q
(p. q) v ~ r
p v (q. r)
~ p . ~ ( q. r)
(p. s) v ~ r
( p . q) v (r. s )
Construye las tablas de verdad e indica si se trata de tautologías, contradicciones o contingencias.






~pvq
(p.q)p
p  ~p
( p  ~q) . ( p v ~q )
( p  ~q ) v ( p v ~q )
( ~p v q )   p  q )
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Filosofía
SIMBOLIZACIÓN DE ARGUMENTACIONES
Recordamos que la argumentación es el modo de expresión e la tercera operación lógica que es
“razonar”.
Razonar es la operación que obtenemos combinando enunciados.
Las argumentaciones no son verdearas o falsas, sino válidas o inválidas.
Si bien en esta lógica “hace foco” en la segunda operación, en las proposiciones, y por eso se llama proposicional, podemos también simbolizar desde este lenguaje las argumentaciones:
Lo primero que tenemos que hacer es identificar cuantos enunciados tiene esta argumentación, y cuáles hacen de
premisa y cuál de conclusión.
Las premisas pueden estar separadas unas de otras por un punto seguido o por una coma o por un punto y coma.
La conclusión también puede estar separada de la misma manera, pero generalmente va precedida por “Por lo tanto”, “de esto se concluye”, “de esto se sigue” y además de al raya que separa premisa y conclusión, se puede agregar el signo 
Veamos un ejemplo
Me amas o me odias, yo sé que no me odias; por lo tanto, me amas.
1ª premisa = Me amas o me odias
2ª premisa = yo sé que no me odias
Conclusión = me amas
Procedemos a simbolizar: Aquí solo hay 2 enunciados.
p= me amas
q = me odias
Como conectivas hayamos la disyunción exclusiva y la negación.
Ahora sí simbolizamos de la siguiente manera
p w q
~q
p
Otros ejemplos:
“Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de las seis. Luego, tanto si
viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las seis”
p  q
r  q
(p.r) q
“Si Rosa se somete a la operación de los ojos, entonces ya no tendrá que usar lentes y le
cambiará la cara. Rosa usa lentes y además no le cambió la cara, por lo tanto, Rosa no se sometió a la
operación de los ojos”
p  ( ~q . r )
q  ~r
 ~p
Dijimos que las argumentaciones son válidas o inválidas. Pero cómo hallar la validez de una forma de
razonamiento en la lógica proposicional?
Veremos dos métodos: el método del condicional asociado, el método de la demostración y la prueba formal de invalidez.
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Filosofía
MÉTODO DEL CONDICIONAL ASOCIADO:
Dado un razonamiento o argumentación, debemos forzarlo a transformarse en una proposición (no se olviden que en este
tipo de lógica trabajamos solo con la 2a operación). Para ello lo convertimos en una forma proposicional compuesta llamada Condicional Asociado con dos características: unimos las premisas con una conjunción y todo esto hace de antecedente de la conclusión, que es el consecuente.
Básicamente consiste en transformar esa forma de razonamiento en un "gran condicional", es decir, en la forma de una
proposición condicional.
¿por qué? Porque cuando vimos las Tablas de Verdad, en el caso especial del Condicional, vimos que el único caso en que
esta conectiva nos da un valor de verdad Falso, es cuando tenemos antecedente verdadero y consecuente falso; todos los
demás casos dan valores de verdad verdaderos. Así, si nosotros pasamos la forma de un razonamiento a la forma de un
condicional, nos quedará que las premisas formarán el antecedente y que la conclusión será el consecuente.
Antecedente
Premisas del razonamiento


Consecuente
Conclusión del razonamiento
De esta manera, si aplicando las Tablas de Verdad y el resultado es una TAUTOLOGÍA, es decir que en todos los casos nos
dan valores de verdad verdaderos, entonces decimos que esa forma es válida
Si el resultado final fuese contradicción o contingencia, la forma del razonamiento es inválida, ya que en cualquiera de los
dos casos, se pone de manifiesto que en el razonamiento en cuestión es posible que se de combinación de premisas verdaderas y conclusión falsa, lo cual, de acuerdo a lo que vimos de la definición de validez, hace que la forma sea inválida.
El método del condicional asociado es un procedimiento mecánico fácil de usar cuando el razonamiento
cuenta con pocas premisa s y pocas preposiciones. Para resolver razonamientos con mucha cantidad de premisas, es necesario utilizar el método de la demostración.
Veamos un ejemplo:
Si yo dedico una parte de todos los días al estudio y presto atención a las estrategias de aprendizaje sugeridas
por los profesores, aprobaré las asignaturas del cuatrimestre. En verdad yo he prestado especial atención a las
estrategias de estudio que me recomendaron y además todos los días dedico una cierta cantidad de horas a estudiar las materias. De esto se sigue que yo voy a aprobar las materias del cuatrimestre.
p = dedico una parte de todos los días al estudio
q = presto atención a las estrategias de aprendizaje sugeridas por los profesores
r = aprobaré las asignaturas del cuatrimestre
La simbolización correcta sería:
(p  q)  r
qp
r
Al aplicar método del condicional asociado queda:
{ [(p  q)  r ] . ( q  p ) } 
1ª premisa
2ª premisa
r
Resolvemos:
conclusión
Es una TAUTOLOGÍA:
Es una FORMA VÁLIDA
{ [( p  q )  r ] . ( q . p ) }  r
V V V
V V
V
V V V
V V
F F V
V V
F
V F
F
V V
V F F
V V
V
F F V
V V
F F F
V V
F
F F
F
V V
V V V
F F
F
V V V
V F
F F V
F F
F
V F
F
V F
V F F
F F
F
F F V
V F
F F F
F F
F
F F
V F
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Filosofía
1)
ACTIVIDAD
Determinar la validez mediante el método del condicional asociado
a)
p.q
pvq
q
c)
q
p
q.p
b)
pvq
~p
q
d)
pq
qr
pr
2)




Simbolizar y determinar la validez mediante el método del condicional asociado
Los simios fueron instruidos para pulsar la luz verde si oían un zumbido, y una luz roja si se trataba de una palabra. Oían un zumbido o era una palabra. Por lo tanto los simios pulsaban una luz
verde o una luz roja
El cráneo con dos cisuras es de un animal mamífero o es de un anfibio. El cráneo con dos cisuras
no es de un mamífero. Luego el cráneo hallado es de un anfibio
O la máquina expendedora de boletos no te dio el vuelto, o colocaste un importe exacto. Colocaste un importe exacto. Por lo tanto la máquina no te dio el vuelto.
Si la moral no existe y todo está permitido, vamos hacia la anarquía social. Ahora bien, no vamos a la anarquía social. Además la moral existe. Luego, no todo está permitido
MÉTODO DE LA DEMOSTRACIÓN:
Cuando los razonamientos contienen varias proposiciones atómicas diferentes como componentes, se hace difícil y tedioso
utilizar tablas de verdad para probar su validez.
Un método más conveniente es DEDUCIR las conclusiones de sus premisas por una secuencia de razonamientos más cortos y
más elementales que ya se conocen que son validos y aceptados como reglas de inferencia, que es todo esquema valido de
razonamiento independientemente de la interpretación de las proposiciones compuestas .
Lo primero que hay que hacer es enumerar cada una de las premisas y colocarlas en columna. Numeramos cada una de las
premisas. A la conclusión se le coloca el signo / y se coloca la conclusión, ya que es el teorema a demostrar. Un ejemplo:
(p . q)  (r . s)
~ (r . s)
~p v ~q
1) (p . q)  (r . s)
2) ~ (r . s) / ~p v ~q
El procedimiento del método demostrativo consiste en dejar de lado la conclusión, pues es a donde se deberá
llegar al finalizar la operación de prueba, y de este modo se demostrará la conclusión, y por ello que el razonamiento es
válido. Hay que operar en las premisas aplicando las reglas lógicas (cuadro de la página siguiente). Las nuevas
formas proposicionales que vayamos obteniendo, se colocan encolumnadas y numeradas debajo de la última premisa, e
indicando al lado en qué premisa o entre cuáles aplicamos alguna regla lógica y qué regla aplicamos (poner
abreviaturas). Si se logra llegar a la conclusión, partiendo de las premisas y efectuando transformaciones legítimas por
las reglas lógicas; el razonamiento es válido.
Pero si por la aplicación reiterada de las reglas lógicas no se puede llegar a la conclusión, habrá una gran
posibilidad de que el razonamiento no sea válido
1) (p . q)  (r . s)
2) ~ (r . s)
/ ~p v ~q
3) ~ ( p . q)
de 1) y 2) por RMTT (regla del modus Tollendo Tollens)
4) ~p v ~q
de 3) por RR (Regla de Reemplazo) L DEM (Ley de Demorgan)
El resultado, que coincide con la conclusión de nuestro razonamiento, se recuadra.
Y esto quiere decir que hemos demostrado la conclusión, por lo tanto es una forma
válida
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Filosofía
LEYES LÓGICAS:
son FORMAS PROPOSICIONALES lógicamente VERDADERAS cuyas tablas de verdad arrojan resultado siempre verdadero
(TAUTOLOGÍAS). Se las denomina también EQUIVALENCIAS LÓGICAS (sus tablas de verdad son equivalentes)
Solo se pueden usar antecediéndoles la REGLA DE REEMPLAZO (RR)
LEY DE IDENTIDAD (L Ident)
Una proposición sólo es idéntica a si
misma
Toda proposición es necesariamente
verdadera o necesariamente falsa.
No existe una posición intermedia.
⇆
(pq)r ⇆
(pq)r ⇆
(p. q).r
(L Conm.)
(pq)
⇆
⇆
p p.p
No es posible que algo sea y no sea al mismo tiempo. NI que
una proposición se a verdadera y falsa al mismo tiempo
p(q .r)
( q . p)
( q  p)
⇆ ( p . q )  ( p . r)
⇆ ( p  q ) . ( p  r)
.
LEY DE MORGAN
(L D Morg.)
( p . q ) ⇆ (  p  q )
( p  q ) ⇆ (  p .  q )
La ley de Morgan sería algo así como la
distributiva de la negación. Tiene dos formas
en las que se puede aplicar la ley. A partir de
una proposición en conjunción negada, se
puede obtener la negación de cada uno de
los conjuntivos pero cambiando el conectivo
a disyunción, pero cambiando el conectivo a
conjunción.
LEY DE EXPORTACIÓN
~(p. ~p)
Esta ley ordena de diversas formas sin alterar los productos,
cuando se tenga el mismo conectivo lógico, ya sea la conjunción o
disyunción o bicondicional.
(siempre y cuando sea con la misma operación
p. (q .r)
p (q r)
p (q r)
Esta ley puede aplicarse con conjunción, disyunción y bicondicional.
Con el único conectivo que no puede aplicarse esta ley es con el conectivo de la condicional. Cambia el
orden de las proposiciones sin modificar el conectivo.
LEY DISTRIBUTIVA (L Dist.)
p. (q r)
(L No-cont)
LEY ASOCIATIVA (L Asoc.)
LEY CONMUTATIVA
(p. q)
LEY DE NO CONTRADICCIÓN
(L Idemp)
p⇆ p
LEY DE 3º EXCLUIDO (L 3º Excl.)
(pw ~p)
LEY DE IDEMPOTENCIA
LEY DE DOBLE NEGACIÓN (L D Neg)
p⇆ ~(~p)
~ ~p⇆ p
Una proposición doblemente negada es
igual a su afirmación y viceversa.
Se aplican cuando se tienen
dos conectivos diferentes:
conjunción-disyunción o bien
disyunción-conjunción. Distribuye a la proposición fuera
del paréntesis con las que
están dentro de este
LEY DE DEFINICIÓN
DEL CONDICIONAL
LEY DE NEGACIÓN
DEL CONDICIONAL
(L Neg Cond.)
~ (p  q) ⇆ ( p .  q)
Una preposición condicional negada es
equivalente a la conjunción del antecedente y el consecuente negado.
(L Def. Cond.)
( p  q ) ⇆ ( p  q )
( p  q ) ⇆ ( p .  q )
También se la llama Ley de Implicación
Material. Esta ley permite cambiar el conectivo principal de la proposición “condicional”
por “disyunción”, pero negando el antecedente, o bien por la negación de la conjunción del antecedente y el consecuente
negado
(L Export.)
LEY DE TRANSPOSICIÓN DEL CONDICIONAL
(L Transp. Cond.)
(p  q) ⇆ (q  p)
La trasposición de una preposición condicional es una proposición con el mismo
conectivo condicional cambiando las
preposiciones antecedente y consecuente
y negándolas respectivamente
[( p . q)  r] ⇆[ p  (q  r)]
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Filosofía
REGLAS LÓGICAS:
son FORMAS DE RAZONAMIENTO lógicamente VÁLIDAS cuyas tablas de verdad arrojan resultados siempre verdaderos (TAUTOLOGÍAS). También se las conoce como Leyes de implicación
REGLA DEL MODUS
PONENDO PONENS (RMPP)
REGLA DEL MODUS
TOLLENDO TOLLENS (RMTT)
En esta regla, la primera premisa es un condicional,
la segunda premisa es el antecedente de la primera
premisa, para concluir en el consecuente
Si llueve, voy al cine
Llueve
Luego, voy al cine
En esta regla, la primer premisa es un condicional, la
segunda premisa niega al consecuente y se concluye
en la negación del antecedente.
Si hay luz solar, es de día
No es de día
Por lo tanto, no hay luz solar
REGLA DEL MODUS
PONENDO TOLLENS (RMPT)
REGLA DEL MODUS
TOLLENDO PONENS (RMTP)
p  q
p
q
p w q
p
~q
p w q
q
~p
En esta regla, la primera premisa es una disyunción
exclusiva, la segunda premisa puede ser cualquiera
de los dos enunciados, y la conclusión será el otro
pero negado
Duermo o estudio
Duermo
No estudio
REGLA DE
SIMPLIFICACIÓN
(R. Simpl.)
p.q → p
p.q → q
Esta ley puede aplicarse a partir de una
sola premisa, que es una proposición
compuesta cuyo conectivo principal es la
conjunción; se concluye con cualquiera de
los enunciados simples..
REGLA DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO
(RSH)
p  q
q  r
p  r
.
p  q
~q
~p
p v q
~p
q
p v q
~q
p
En esta regla, la primera premisa es una disyunción
inclusiva, la segunda premisa puede ser cualquiera
de los dos enunciados negados, y la conclusión será
el otro afirmado Puedo estudiar Inglés o Francés
No estudio inglés
Estudio Francés
REGLA DE ADICIÓN
REGLA DE
CONJUNCIÓN
(R. Adic.)
(R. Conj.)
p→ p
v
q
A una proposición cualquiera se puede
adicionar, a través del conectivo de disyunción, cualquier proposición pero cambiando el conectivo a conjunción.
Las dos premisas de esta
ley son proposiciones
condicionales; para que
pueda ser aplicada, se
requiere que el consecuente de la primera
premisa sea igual al
antecedente de la segunda premisa.
p
q
p
.
q
También se la llama Regla de Producto
Lógico. Dos proposiciones separadas se
pueden unir con el conectivo conjunción .
REGLA DEL DILEMA Como primera premisa
se tiene la conjunción
CONSTRUCTIVO (RDC) de dos proposiciones
(p  q). (r  s)
pvr
qvs
.
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condicionales, su segunda premisa es la
disyunción de los antecedentes de ambas
condicionales y se
concluye en la disyunción de sus consecuentes.
17
Filosofía
ACTIVIDAD
1) Resolver mediante el método demostrativo, usando la REGLA DE REEMPLAZO y
diciendo qué LEY se aplicó
A–
1) *  a  b   c + . d /
abc.d)
B- 1) *  x  y   z +  ( k  n ) /  x  y   * z  ( k  n ) +
C- 1) *  n  s   f + /
ns
D- 1) (o . p)  *q  r  s )  t+  u}/ (o . p)  *q  r  s )  t + }  u
E- 1) (s . n )/  (s . n )
F-
1) *  b  j   d + /  *  b  j   d +
G- 1)  (h  t )   j  a . c) + } / (h  t )    j  a . c) +
H- 1) ( p . q )  * r   s w t ) + / * (p . q )  r +   s w t )
I-
1) * ( l  m )  n +   p w q ) /  p w q ) . * ( l  m )  n +
J-
1) ( a  b ) .  c  d ) / * ( a  b ) . c +  * ( a  b ) . d +
K- 1) (n . s)   q  b)   a  t ) + /  (n . s)  q  b) +   a  t )
L-
1) ( f  t ) .  ( n  u ) /  * ( f  t )  ( n  u ) ]
M-
1) * s .  ( r ) + /  ( s  r )
N- 1) q  ( p  r ) /  ( p  r ) +  q)
O- 1) (he)  f  g) }   i  j  k)+ / (he)  f  g)   i  j  k)+ }
P- 1) *  ( v  w ) + / ( v  w )
Q- 1) *(l  s  t w j)+  *(l  s  a  b)+ / (l  s  t w j)  a  b)+
R- 1)  (s . g )   t  j . n) + } / (s . g )   t  j . n) +
S- 1)  d   a   b w c)+ } / d   a   b w c)+
T-
1)   l w q) .  j  r) + / l w q)   j  r)
U- 1)  f w j) w t+   b  d . h)+ /  b  d . h)+  f w j) w t+
2) Justificar cada paso diciendo qué Ley, por medio de la Regla de Reemplazo, se
utilizó.
A–
1)  p  s )  q / p   s  q )
2)  p  s ) +  q
3)  p  s )  q
4) p   s  q )
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Filosofía
B-
1) *  n  s ) . ( t  f ) + 
  n  s)  r + /   t   f  r)+  n  s)}
2)  n  s) .   t  f )  r +
3)  n  s) .  t   f  r )+
4)   t  f )  r + .  n  s)
5)   t   f  r)+  n  s)}
3) Resolver la inferencia de acuerdo a la ley aplicada
A-
1)  q)  p /
2)
3)
4)
5)
B-
  q .p )
de 1) por RR L. Transp. Cond.
de 2) por RR L. Def. Cond.
de 3) por RR L. Conmut.
de 4) por RR L. de Morg.
1)    p   r  s)+ } /
2)
3)
4)
5)
6)
  p  r )  s
de 1) por RR L. Dob. Neg.
de 2) por RR L. Asoc.
de 3) por RR L. Conmut.
de 4) por RR L. Def. Cond.
de 5) por RR L. Transp. Cond.
4) Resolver aplicando método demostrativo
A-
1)      p  q+ } /
 q r
B- 1) q   r  p ) / p   q  r )
5)
A-
Resolver mediante el método demostrativo, usando las REGLAS LÓGICAS:
1)  d  r )   m
2)   d  r )
/  m
B- 1)  a  f )   j  s)
2)  j  s)  n /  a  f )   n
C- 1)  b  s )    a w x )
2)     a w x ) +
/   b  s )
D- 1) *  t  y )  n     s  f ) .  j +
2)  t  y )   s  f )
/
n j
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Filosofía
E- 1) d w * r   j  n ) + /  d w * r   j  n ) + }  k . ñ 
F-
1) * l   m  s ) + . * p   j  l ) / l   m  s )
G- 1) (s  t)  * j w  f  n ) +
2) (s  t)
/ j w  f  n )
H-
1) *(a  b)  s +
2) (x  f) w z / *(a  b)  s + . *(x  f) w z +
I-
1)    n  (m  s) + } w
2)    n  (m  s) + } /  d
6)
Justificar cada paso diciendo qué Ley o Regla se utilizó
A- 1) ( k  l )  ( m  n )
2) ( m  n )  ( o . p )
3) k
4) ( k  l )  ( o . p )
5) k  l
6) o . p
7) o
C-
F-
B-
1) i  j
2) j  k
3) l  m
4) i  l
/ k  m
5) i  k
6) (i  k) . ( l  m )
7) k  m
D-
1) (p . q): (r  s)
2)  (r  s )
/   p  q
3)  (p . q)
4)  p  q
/o
1) p .  q)
2) p   q  (r  s)+ /  r  t
3) p
4) p  (r  s)
5) (q  r)+ . (q v s )
5) q  r
6)  q
7) r
8) r  t
1) * a  b  c   (d  n)
2) l  * b  c  a 
3) l  d
/ c
4) l
5) * b  c  a 
6) * (b  c)  a 
7) * a  (b  c) 
8) d  c
9) d
10) c
E-
1) *b  c  a+  (d  c)
2) e  * b . c  a
3) e . d
4) e  d
5) d  e / c
6) e
7) d
8) b . (c. a)
9) (b . c) . a
10) d  c
11) (d  c) . (e  d
12) c  d
13) d  c
14) c
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Filosofía
7)
Determinar la validez mediante el método demostrativo:
A- 1) p . q
2) q  r /  p . r
B- 1) p
2)  p  (q. r)
/ q
C- 1) s . t
2) (s  m)  n / s . n
D- 1) p   q . r
2)  r
8)
/  p
Resolver la inferencia de acuerdo a la Regla aplicada
A- 1) * (p  q ) w (r  s ) + . (t  v )
2) ( p  t )   p . r
3) r . t
/  ( r  s )
4)
de 1) por R Simpl.
5)
de 3) por R Simpl.
6)
de 5) por R Adic.
7)
de 6) por RR Ley Conmut.
8)
de 2) y 7) por RMPP
9)
de 8) por R Simpl.
10)
de 9) por R Adic.
11)
de 4) y 10) por RMPT
B-
1)   n .  z )
2) * x  ( w  z ) + w  n
3) ( w  z )  x
4)    j  s )
5)
6)
7)
8)
9)
/ z  j
de 4) por RR Ley de Morgan
de 5) por R Simpl.
de 6) por RR Ley Dobl. Neg.
de 7) por R Adic.
de 8 por RR L Comnut.
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Filosofía
MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO:
Es un método para demostrar la validez de un razonamiento que consiste en negar la conclusión y esperar que,
por medio de la aplicación de la deducción (método demostrativo), se llegue a un absurdo del tipo por ejemplo:
"A . ~ A".
Como se puede observar, la expresión anterior viola el principio de identidad: "~ (A. ~A)", y por ello es absurdo.
Se supone que si el razonamiento es válido, no puede haber ningún caso donde de premisa s verdaderas la conclusión sea falsa. Por ello, si negamos la conclusión, forzamos a que la misma sea falsa, y con ello, al deducir
aplicando las reglas, no llegamos más que a un absurdo.
Veámoslo en un ejemplo:
1) ( t v c)  ( b . p)
2) p  a
3) ~ a
/:. ~ t
1) ( t v c)  ( b . p)
2) p  a
3) ~ a
/:. ~ t
4)
~ ( ~t )
En el primer paso se niega la conclusión
5)
t
de 4) por RR, L D Neg
6)
t v c
de 5) por R Adic
7)
b . p
de 1) y 6) por RMPP
8)
p
de 7) por R Simpl
9)
a
de 2) y 8) por RMPP
10) a . ~ a
de 9) y 3) por R Conj
Lo primero es negar la conclusión (paso 4), Y
luego, partiendo de la nueva premisa que creo
al negar la conclusión, tengo que llegar a un
absurdo, logrando afirmar y negar alguna otra
proposición del razonamiento. En este caso
llegamos a: "a . ~ a" (paso 10)
Vemos como mediante este procedimiento
forzamos a ser inválido el razonamiento al negar la conclusión, pero que llegamos a un absurdo: con lo cual demostramos, por medio del
método de reducción al absurdo, que es absurdo considerar que esta forma de razonamiento
sea inválida, o sea que ES VÁLIDA.
MÉTODO DE INVALIDEZ:
¿Cómo podemos saber que una forma de razonamiento es inválida?
Antes dijimos que, si con el método demostrativo no podemos llegar a la conclusión aplicando las reglas y leyes
lógicas, es probable que el razonamiento sea inválido.
Pero puede ocurrir que efectivamente lo sea, y que sencillamente no demos con las reglas adecuadas para efectuar la demostración.
Por ello, la incapacidad para demostrar la validez, no implica necesariamente que el razonamiento tenga una
forma inválida.
Por lo tanto, se hace imprescindible la existencia de una prueba formal de invalidez.
El método que describiremos se haya estrechamente relacionado con las tablas de verdad, aunque es mucho
más acotado. Por ello también se lo conoce como “método de tabla de verdad abreviado”
Entonces:
Método
Se demuestra:
Condicional asociado
VALIDEZ
Método demostrativo
VALIDEZ
Método de reducción al absurdo
VALIDEZ
Método de tabla de verdad abreviado
INVALIDEZ
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Filosofía
Será útil recordar cómo puede demostrarse que un razonamiento no es válido por medio de una tabla de
verdad. Si puede encontrarse un solo caso (fila) en que puedan asignarse valores de verdad a las variables de
enunciado, de modo tal que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa (o sea que el resultado no sea
tautología), el razonamiento no es válido.
En el caso de esta prueba, vamos a intentar hacer esta asignación de valores de verdad, sin tener que construir la tabla entera para ahorramos una parte del trabajo (por ello se la conoce como tabla de verdad abreviada).
Precisamente, como partimos del supuesto de que es un razonamiento inválido, vamos a construir el único
renglón de la tabla que me asegure que de premisas verdaderas, la conclusión es falsa. Veamos un ejemplo:
Dado el razonamiento:
Sabemos que este razonamiento es inválido ya que es una alteración
V
pq
pq
inadecuada del Modus Tolendo Ponens. Al ser inválido, su forma podrá
V
p
dar lugar a que en la tabla de verdad aparezca algún renglón donde de
p
considerar a las premisas verdaderas, la conclusión sea falsa. Suponeq
F
q
mos entonces que es inválido, anotando al lado de cada premisa el valor "V' y al lado de la conclusión el valor "F".
Tratamos ahora de confirmar nuestra suposición asignando a cada variable proposicioV
pq V  V
nal un valor de verdad de modo tal que se ratifique la suposición inicial. En nuestro caV
V
so hemos optado por considerar a "p": "V”; y a "q" tamp
V
pq V V V
bién "V”
F
 V Ahora resolvemos las expresiones que nos quedan, y vaq
V
V
V
p
mos a observar que llegamos a confirmar nuestra suposiF
F
V
q
ción, Por lo tanto la forma del razonamiento es inválida.
Otro ejemplo:
FORMA INVÁLIDA
V
V
V
F V
pq
Aquí la asignación de valores fue:
V
V
p=F
q=V
VV
p  r V F
V
r
F
V
V
F
p
F
F
F
ACTIVIDAD
1)
r= F
Conviene observar que, en este ejemplo también se puede considerar a q = F
Demostrar la validez por el método de reducción al absurdo
A- 1) p  ( q . r )
2) r
B- 1) p  q
2) r . p
2) s
C-
/ p
/ q
1) * ( p  r )  q +  m
2) p . s
3) n
/ m
D- 1) r w ( q  p )
2) r. ( z  u )
/ u  p
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Filosofía
2) Demostrar la invalidez de los siguientes razonamientos:
A- p  q
qr
p
q
B- ( p  q )  r
r
 p . q )
C- ( p  q )  r
r  s
s
 p . q )
D-
E-
3)
pq)
( p .  q )  ( r . s )
sr
r
pq.r)
( p  s ) . ( p . s )
s (pt)
 q . r )
F-
pq
p (rs)
qt
t
Justificar cada paso de los siguientes métodos de reducción al absurdo, diciendo
qué Ley o Regla se utilizó
A- 1) (a  c)  (b . d )
2) d  e
3)  e
/  a
4)  (a)
5)
de 4) por RR Ley Dobl. Neg.
6)
de 5) por R Adic.
7)
de 1) y 6) por RMPP
8)
de 7) por RR Ley Conmut.
9)
de 8) por R Simpl.
10)
de 2) y 9) por RMPP
11)
de 10) y 3) por R Conj.
B- 1) p  ( q . r )
2)  ( r  q ) . s /  p
3)  (p)
4)
de 3) por RR Ley Dobl. Neg.
5)
de 1) y 4) por RMPP
6)
de 2) por R Simpl.
7)
de 6) por RR Ley de Morg.
8)
de 5) R Simpl.
9)
de 7) por R Simpl.
10)
de 8) y 9) por R Conj.
4) Los siguientes razonamientos son uno de forma válida y otro de forma inválida. Simbolizar y aplicar el método del condicional asociado al válido, y la prueba de invalidez
al inválido.
A- Si la historia ha llegado a su fin, entonces la humanidad está condenada a
repetirse. Efectivamente, la historia ha llegado a su fin. Por lo tanto, la humanidad está condenada a repetirse.
B- Si las variables económicas permanecen estables, entonces hay reactivación
y crecimiento. Las cifras indican que hay reactivación y crecimiento. En consecuencia, las variables económicas permanecen estables.
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