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ESTADÍSTICA INFERENCIAL
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Sesión No. 1
Nombre: Probabilidad
Contextualización
La teoría de la probabilidad se desarrolló en 1654 a partir de la correspondencia
entre Antoine Chevalier de Méré y Blaise Pascal respecto a un juego de azar
que consistía en lanzar un par de dados 24 veces. El dilema era decidir si se
debía o no apostar a que en el transcurso de los 24 lanzamientos aparecerían
por lo menos un par de seises. Como resultado de este intercambio epistolar,
surgen los principios fundamentales de la teoría de la probabilidad.
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Introducción al Tema
Actualmente, la teoría de la probabilidad brinda soporte a la Estadística,
especialmente en lo que concierne al diseño de muestras para el estudio de
poblaciones, estimación de parámetros poblacionales y comprobación de
hipótesis en diversas áreas administrativas, sociales, naturales y de ingeniería.
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Explicación
Fenómenos y su clasificación
Un fenómeno es una manifestación tanto de la naturaleza como de los colectivos
sociales. Para su estudio, los fenómenos pueden clasificarse en deterministas y
probabilísticos. Los fenómenos deterministas son aquellos que al repetirse en las
mismas condiciones arrojan siempre los mismos resultados. Algunos ejemplos
de fenómenos deterministas periódicos son:
• La temperatura a la que se congela el agua.
• La posición de la luna respecto a la tierra.
• La ocurrencia de eclipses.
• Las estaciones del año.
Por su parte, a los fenómenos probabilísticos también se les denomina
“aleatorios”. Por esta razón se dice que dependen del azar. Algunos ejemplos de
fenómenos probabilísticos son:
•
Cara que resultará de lanzar una moneda.
•
La ocurrencia de un terremoto.
•
Número de personas que llegan a solicitar cierto servicio a una oficina
pública.
•
Duración de la vida útil de una lámpara.
Por la gran cantidad y complejidad de variables que los componen, los
fenómenos probabilísticos tienen patrones de comportamiento no visibles, es
decir, no predecibles en el corto plazo. Sin embargo, a partir de estudios teóricos
de tales fenómenos se han desarrollado reglas sobre el comportamiento que de
ellos puede esperarse.
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La probabilidad
En la teoría de la probabilidad no se garantiza o niega la ocurrencia de un evento;
únicamente se asigna un valor numérico indicando en términos porcentuales qué
tan factible es que dicho evento ocurra.
Conceptos de probabilidad
En 1713, el matemático suizo Jakob Bernoulli dio por primera vez una definición
clásica de probabilidad, la cual posteriormente fue reformulada por el
matemático francés Abraham de Moivre. En este enfoque, denominado clásico,
se asume que todos los resultados del experimento son igualmente posibles, de
manera que la probabilidad se expresa por:
Probabilidad= Nº de posibles resultados del evento
.
Nº total de resultados posibles del experimento
Por ejemplo, al lanzar un dado, la probabilidad –denotada por la literal P– de que
la cara de arriba corresponda al tres es:
= 0.1666
= 16.66%
Debido a que el dado tiene un total de seis caras y sólo una de ellas
corresponde al número tres. El concepto clásico de probabilidad también se
conoce como enfoque a priori, pues anticipa una medida sobre la posibilidad de
que un evento ocurra. El concepto clásico de probabilidad se basa en el
conocimiento del número de casos favorables, sin embargo, cuando dicho
número se desconoce es imposible utilizar el enfoque a priori para estimar la
probabilidad de ocurrencia de un evento. Consciente de ello, Bernoulli propuso el
enfoque a posteriori, que consiste en determinar la probabilidad de ocurrencia de
un fenómeno mediante la observación de una gran cantidad de resultados de
pruebas similares. Esto se resume en la siguiente expresión:
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Probabilidad =Nº de veces que ocurre el evento en el pasado
Nº total de repeticiones del experimento
Por ejemplo, en cierta población se registra el género de los recién nacidos. Si
de cada 100 mil casos 65 mil han sido mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que
en esa población nazca una mujer? La respuesta a este problema sería:
P(mujer)= 65,000
100,000
=.65
=65%
En lenguaje técnico, este principio frecuentista obedece a la denominada Ley de
los grandes números, la cual establece
que a largo plazo los fenómenos
probabilísticos presentan un patrón de comportamiento o regularidad estadística.
En el segundo cuarto del siglo xx, el matemático y filósofo Frank P. Ramsey
introdujo una nueva interpretación denominada subjetiva, en la cual la
probabilidad cuantifica el grado de creencia de un investigador en la verdad de
una proposición, midiéndola dentro de un rango que va desde el cero hasta el
uno.
Expresión de la probabilidad
El término probabilidad se emplea para medir la posibilidad de ocurrencia de un
evento determinado. Para su estudio es necesario considerar los siguientes
conceptos:
• Un experimento es un fenómeno que tiene asociado un conjunto de posibles
resultados, los cuales son de carácter aleatorio. Un experimento puede
denotarse con la literal griega ε (épsilon).
• Un evento es un resultado específico de un experimento. Generalmente se
denota con la literal E.
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• El término espacio muestral hace referencia al conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento. Es común representarlo con la letra griega Ώ
(omega).
Atendiendo a su definición clásica, la probabilidad de ocurrencia de un evento E
se determina al dividir el número total de casos favorables del espacio muestral
entre el número total de elementos del mismo. Esta probabilidad se representa
con la expresión P(E). Por ejemplo, si se lanza un dado legal, ¿cómo podría
determinarse la probabilidad de que la cara sea igual a tres? La respuesta sería:
• ε= Lanzamiento de un dado • E= Cara del dado igual a tres • Ώ= {1,2,3,4,5,6}
Puesto que en el espacio muestral se tiene un caso favorable del total de seis
elementos que lo constituyen, la probabilidad de que aparezca la cara con valor
tres está dada por:
=0.1666
=16.66%
Debe notarse que la probabilidad es un valor decimal comprendido entre cero y
uno, lo que se representa con la siguiente expresión:
Esta probabilidad se expresa en términos porcentuales (multiplicando por cien).
Si se obtiene que la probabilidad de ocurrencia de un evento es de cero por
ciento, se dice que el evento es imposible o improbable; por el contrario, si tiene
un valor de cien por ciento de probabilidad, puede considerarse un evento
seguro.
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Conclusión
La probabilidad estadística es un medio y una herramienta muy útil que ayuda a
determinar posibilidades y conocer la viabilidad sobre cuestiones útiles en
mercadotecnia y muchas ramas de estudio mas.
Al hablar de estadística se tratan temas en las hipótesis que pueden ser las
soluciones y se consideran varios elementos, como los negativos o alternativos
para poder cubrir lo mas que se pueda sin dejar
mínimos, lo que ayudará a tener un mejor resultado.
de considerar elementos
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Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes
Eventos mutuamente excluyentes
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de
ellos imposibilita la ocurrencia del otro. La proposición exacta es la siguiente: si
E es un evento con probabilidad P(E)≤1, entonces su complemento denotado
por Ec tiene una probabilidad de ocurrencia de P(Ec
E). Se tiene
entonces que E y Ec son eventos mutuamente excluyentes. En consecuencia, la
suma de dos eventos mutuamente excluyentes es igual a un evento seguro: P(E)
Ec
ε, Ώ, E, Ec, P(E), P(Ec
c
), la respuesta sería:
• ε= Lanzar una moneda.
• Ώ={a,s} en donde a= águila y s= sol.
• E1= La cara que aparece es águila.
• E2= La cara que aparece es sol.
Se observa que E1 y E2 son eventos mutuamente excluyentes, ya que la
aparición de uno imposibilita la aparición del otro (es imposible que al lanzar una
moneda salga águila y sol al mismo tiempo). Asimismo:
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Eventos que no son mutuamente excluyentes
Son aquéllos cuya ocurrencia de uno no imposibilita la ocurrencia del otro. Por
ejemplo, considerar el experimento de lanzar un dado y dos eventos en los que:
• E1= El valor de la cara que aparece es mayor que tres.
• E2= El valor de la cara que aparece es un número par.
Estos eventos no son mutuamente excluyentes, ya que la cara del dado puede
ser mayor que el número tres y, al mismo tiempo, puede ser un número par,
como lo son las caras con valores de cuatro y seis. Es importante mencionar que
aunque aquí se ha representado a un evento con la literal E, suelen emplearse
también las primeras letras del abecedario: A, B, C, D... para denotar varios
eventos asociados a un experimento.
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones: en base a lo visto anteriormente resuelve los siguientes
ejercicios.
1.- Calcula la probabilidad de obtener tres cuatros al lanzar tres dados.
P(4, 4, 4)=
2.- Calcula la probabilidad de no obtener ningún seis al lanzar 4 dados.
P=
3.- Calcula la probabilidad de ganar el premio mayor de la lotería si juegan
100.000 números a uno.
4.- calcula la probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2.
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Bibliografía
García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de
Cultura Económica.
Hernández, A. y O. Hernández (2003) Elementos de probabilidad y estadística.
México: Sociedad Matemática Mexicana.
Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley
Iberoamericana.
Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México:
UNAM.
Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.
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Panel de Verificación
1.- Calcula la probabilidad de obtener tres cuatros al lanzar tres dados.
2.- Calcula la probabilidad de no obtener ningún seis al lanzar 4 dados.
3.- Calcula la probabilidad de ganar el premio mayor de la lotería si juegan
100.000 números a uno.
P= 1
= 0,00001 0,001%
100.000
4.- Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2.
P= 1= 0,166 =16,6%
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