Download Diapositiva 1

configuraciones planetarias
posiciones de los planetas con respecto
al Sol y a la Tierra
elongación de un planeta (λ): ángulo que forman
las visuales dirigidas al Sol y al planeta desde la
Tierra
diferentes valores de λ
λ = 0°
λ = 90°
λ =180°
diferentes configuraciones
conjunción
cuadratura
oposición
planetas exteriores
1 conjunción
2 oposición
3 y 4 cuadratura
este u oeste
1
planetas interiores
1 conjunción superior
2 conjunción inferior
3 y 4 máxima elongación
este u oeste
Mercurio: 28°
Venus: 47°
1
3
4
2
3
T
2
4
período sidéreo de un planeta:
tiempo que le toma al planeta en recorrer los 360° de
su órbita
período sinódico de un planeta:
tiempo que le toma al planeta volver a la misma
configuración con respecto al sol
planeta interior
per. sinódico
del planeta
1
1
=
S
P
-
1
E
per. sidéreo
del planeta
planeta exterior
1
1
=
S
E
-
1
P
per. sidéreo
de la tierra
movimientos planetarios
leyes de Kepler
leyes de Kepler: leyes empíricas!
primer ley de kepler:
kepler los planetas se mueven
describiendo elipses de las cuales el sol ocupa uno
de los focos
segunda ley de kepler:
kepler el radio vector que une el
centro del planeta con el centro del sol describe
áreas iguales en tiempos iguales
tercera ley de kepler:
kepler los cuadrados de los períodos
de revolución de los planetas son inversamente
proporcionales a los cubos de sus distancias
medias al sol
primer ley de kepler:
kepler los planetas se mueven describiendo
elipses de las cuales el sol ocupa uno de los focos
definición de elipse: lugar geométrico de los puntos
del plano cuyas sumas de distancias a dos puntos
fijos, llamados focos, es constante
d1 + d2 = cte
d’1 + d’2 = cte
d”
1 + d’2 = cte
P’
P
P”
d”
2
d’1
d’2
d1
d”
1
F1
d2
F2
excentricidad = e =cF/a
cF = e a
d1 + d2 = cte
a+ae + a-ae = 2a
eje menor
eje mayor
d1
F1
c
F2
P
d2
semieje mayor = a
semieje menor = b
distancia media de un planeta al sol
( d1 + d’1 ) / 2 = ?
d1 = d’2
d’1 = d2
(d1 + d’1 ) / 2 = ( d1 + d2 ) / 2 = a
la distancia media de un planeta al sol
es igual al semieje mayor de su órbita
P’
P
d’2
d1
d’1
d2
F1
a
F2
b
d1 + d2 = 2 a
d1 = d2 = a
a² = b² + (ae)²
b =√ a² - (ae)²
d p = a – ae = a(1-e)
= a √ 1 - e²
d a + d p = 2a
d a - d p= 2ae
d a = a + ae = a(1+e)
da - dp
e=
2a
P
perihelio
d1
b
d2 =a
ae
F1
a
F2
b
afelio
qué se obtiene a partir de las
leyes de la mecánica clásica ?
a partir de las tres leyes de Newton y de la ley de
gravitación universal se deduce que un cuerpo
orbitando alrededor de otro bajo la atracción
gravitatoria mutua describe una cónica
cualquier cónica!
parábola
elipse
circunferencia
hipérbola
curvas obtenidas al seccionar un cono con un plano
eje del cono
generatriz
circunferencia
elipse
curvas cerradas
parábola
hipérbola
curvas abiertas
elipse: lugar geométrico de los puntos del plano
cuyas sumas de distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es constante
e=cF/a
P
d1
d2
c
F1
a
F2
b
d1 + d2 = 2a
e<1
circunferencia: lugar geométrico de los puntos del
plano cuyas distancias a un punto fijo, llamado
centro, es constante
d=cte=R
c
d
cF=0
P
e=0
parábola: lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistas de un punto fijo llamado foco y una
recta fija llamada directriz
centro en el infinito
cF
d1
d2
a
F
directriz
d 1 = d2
∞
∞
e=1
hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano
cuyas diferencias de distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es constante
e>1
PF’-PF=2a
segunda ley de kepler (o ley de las áreas): el radio vector que
une el centro del planeta con el centro del sol describe áreas
iguales en tiempos iguales
el radio vector barre el
área A’ en el intervalo
de tiempo Δt’
el radio vector barre el
área A en el intervalo
de tiempo Δt
P3
A’
perihelio
A
línea de las
ápsides
P2
P1
P4
radio vector
si Δt = Δt’, A=A’
afelio
perihelio
P3
A’
A
P2
si Δt = Δt’, A=A’
P4
P1 afelio
1) velocidad areal
2) velocidad orbital cerca del
constante
perihelio mayor que cerca del afelio
Vorb
Var = A / Δt = Vorb Δt h / (2 Δt)
Vorb h = cte
h
m Vorb h = cte
m Vorb h = L = momento angular
la segunda ley de Kepler es equivalente al principio
de conservación del momento angular
tercera ley de kepler (o ley armónica): los cuadrados de los
períodos de revolución de los planetas son inversamente
proporcionales a los cubos de sus distancias medias al sol
P²
= cte
a³
P²
P²
P²
m
v
t
=…
a³m = a³v = a³t
si conocemos el período y la distancia media al sol
de alguno de los planetas podemos calcular la cte
para la tierra
P=1año
A=1ua
P²
=1
a³
cuidado! sólo válida para cuerpos que giran
alrededor del sol y siempre que los períodos de
revolución estén expresados en años y las
distancias medias al sol en unidades astronómicas
qué se obtiene a partir de las leyes de la
mecánica clásica ?
a) órbitas circulares
F=ma
fuerza de aceleración
atracción
gravitatoria centrípeta
mutua
G(Ms mp) = mpV²orb,p 1
Rp
(Rs+Rp) ²
Vorb,p=2πRp / P
2
Rs+Rp=a
3
Rs = mp
4
Rp Ms
reemplazando 2 , 3 y 4 en 1
Rp
Rs
CM
P²
4π²
=
a³ G(Ms+mp)
P²
= 4π²
a³ G(M+m)
válida para TODO! par de cuerpos
moviéndose bajo la atracción
gravitatoria mutua
para la Tierra y la Luna
P²
= 4π²
a³ G(Mt+ml)
para Júpiter y Ganímedes
P²
= 4π²
a³ G(Mj+mg)
para el Sol y un planeta
P²
= 4π²
a³ G(Ms+mp)
para los planetas del sistema solar
mp es despreciable frente a Ms
P²
= 4π²
a³
GMs
la misma cte para todos los planetas!
b) órbitas no circulares
principio de conservación de la energía mecánica
Ec + Ep = Em = cte
1 m M V² + - G m M
= Em = cte
2 (m+M)
r
en particular Em,A= Em,P
1 m M V² + - G m M
A
2 (m+M)
rA
rA =a(1+e) (2)
m
M
1
-GmM
=
V²
+
P
2 (m+M)
rP
(1)
rP =a(1-e) (3)
Var = Vorb h/2
Vorb
Vorb = 2 Var / h
Var = área de la elipse / período
Var = π a b / P
Vorb = 2 π a b / (P h)
h
Vorb,p = 2 π a b / (P rp) (4)
Vorb,A = 2 π a b / (P rA) (5)
h
Vorb
reemplazando (2), (3), (4) y (5) en (1)
P²
= 4π²
a³ G(Ms+mp)
energía mecánica del sistema
principio de conservación
Ec + Ep = Em = cte
de la energía mecánica
Em es la misma para todos los puntos de la órbita
pero cuanto vale Em ?
para una órbita elíptica (planteando la expresión
para Em en el afelio):
-G
M
m
1 m M V² + - G m M = Em
Em =
A
2a
2 (m+M)
rA
-G M m
E
m
=
para una órbita circular:
2R
para una órbita parabólica: Em = 0
para una órbita hiperbólica: Em =
GMm
2a
velocidad en la órbita
órbita hiperbólica
1 m M V² + - G m M = + G M m
_
2a
2 (m+M)
r
órbita elíptica (o circular)
V² =G(M+m) 2
r
(
órbita circular
órbita parabólica
+
_
r=a=R
a
∞
1
a
)
G(M+m)
V² =
R
V² =G(M+m) 2
r
( )
satélites artificiales
lanzamiento de un
satélite artificial
dos etapas:
• transporte hasta el
punto de inyección
•puesta en órbita
la órbita que describa dependerá sólo de la
intensidad y dirección de la velocidad inicial !
si la dirección de la velocidad inicial es paralela a la
tangente a la superficie de la tierra, ese punto de la
órbita será cualquier punto de una órbita circular, el
apogeo o el perigeo de una órbita elíptica, o el
vértice de una órbita parabólica o hiperbólica
V² =G(M+m) 2
r
(
Ve,A Vc Ve,P Vp Vh
+
_
1
a
)
R+h
si a<R+h
Ve,A
h
si a=R+h
Vc
R
si a>R+h
Ve,P
Tierra
rama de
p25arábola
hipérbola
desigual duración de las estaciones
PN
línea de los
solsticios
ecuador Ω
a
c
i
t
p
í
l
ec
T
ɤ
línea de los
ápsides
la línea de las ápsides y la línea de los
equinoccios coinciden cada 21000 años
Ω
Sdic
P
13°
A
11”/año
avance del
perigeo
Sjun
ɤ
50”/año
retrogradación del equinoccio
Ω
Sdic
primavera
invierno
P
A
verano
otoño
Sjun
ɤ
segunda ley de Kepler
áreas iguales se recorren en tiempos iguales
desigual duración de las estaciones