Download Matem ticas 2 - Biblioteca UDGVirtual

Salazar Guerrero, L. J.; Vega Hernández, F. y Bahena Román,
H. (2004). Matemáticas II (1ra. reimpr). México: Grupo Patria
Cultural / Autores. P.p. 95-101, 105-106, 109-113.
Matemáticas II
Geometría y
trigonometría
Ludwing Javier Salazar Guerrero,
Francisco Vega Hernández,
Hugo Bahena Román
PRIMERA REJMPRESIÓ
MEXICO, 20€
PUBLICACIONES
CULTURAL
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Matemáticas II
Geometría y trigonometría
Derechos reservados respecto a la primera edición:
© 2004, Ludwing Javier Salazar Guerrero , Francisco Vega Hernández,
Hugo Bahena Román
© 2004, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE C.V.
bajo el sello de Publicaciones Cultural
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco , Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial
Registro núm. 43
ISBN 970-24-0614-5
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del
contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas
o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Edición especial ICEL: 2004
Primera reimpresión: 2004
CAPÍTULO 1
Radicales y logaritmos .................................................2
Lección 1 Radicación ..........................................................................4
1.1 Leyes de los exponentes y radicales ................................................................7
1.2 Simplificación de radicales ............................................................................12
1.3 Operaciones básicas con radicales ................................................................ 18
Lección 2 Logaritmos ........................................................................ 23
2.1 Concepto y sistemas de logaritmos .............................................................. 23
2.2 Propiedades básicas y operaciones con logaritmos ........................................ 30
Autoevaluación ....................................................................................................37
CAPÍTULO 2
Geometría euclidiana .................................................40
Lección 3 Conceptos básicos de geometría euclidiana ......................42
3.1 Proposiciones verdaderas : axioma, postulado , teorema,
corolario y problema ....................................................................................42
3.2 Conceptos básicos : punto , recta y plano ......................................................47
3.3 Nomenclatura, notación y clasificación de rectas ......... ........ . ........ .... ..... . ...... 51
Lección 4 Ángulos , rectas y congruencia de ángulos ........................60
4.1 Definición, nomenclatura, notación y clasificación ......................................60
4.2 Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal ..................70
Lección 5 Polígonos .......................................................................... 80
5.1 Definición , notación y clasificación .............................................................. 80
5.2 Diagonales y ángulos internos ...................................................................... 82
5.3 Cuadriláteros y sus propiedades ....................................................................95
Lección 6 Circunferencia ................................................................105
6.1 Definición, notación y elementos ..............................................................105
6.2 El número n en relación circunferencia-radio ....................................... .....107
6.3 Los ángulos en el círculo y sus relaciones ....................................................109
Lección 7 Triángulos ......................................................................121
7.1 Definición, notación y clasificación ............................................................121
7.2 Rectas y puntos notables en el triángulo ....................................................124
7.3 Demostración de teoremas en triángulos ....................................................127
7.4 Congruencia de triángulos y ejercicios de aplicación ..................................134
7.5 Semejanza de triángulos y ejercicios de aplicación ......................................140
Lección 8 Teorema de Pitágoras ......................................................153
8.1 Definición , concepto y aplicación ............................................................153
8.2 Demostración del teorema ........................................................................15
8.3 Aplicación práctica del teorema de Pitágoras ............................................159
8.4 Cálculo de áreas ........................................................................................162
Autoevaluación ..................................................................................................171
CAPÍTULO 3
Trigonometría ...........................................................174
Lección 9 Relaciones trigonométricas ............................................176
9.1 Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo ............................176
9.2 Manejo de tablas y calculadora ................................................................184
9.3 Relaciones trigonométricas del ángulo a partir del círculo unitario ..........191
Lección 10 Resolución de triángulos rectángulos ..............................196
10.1 Cálculo de lados, ángulos y áreas mediante el uso
de la calculadora científica. .......................................................................19
10.2 Aplicación en la solución de problemas ....................................................212
Lección 11 Funciones trigonométricas ..............................................214
11.1 Los signos de las funciones trigonométricas
en los cuatro cuadrantes ..........................................................................214
11.2 Valores de las funciones trigonométricas en ángulos
de cualquier magnitud ..............................................................................223
11.3 Gráficas de las funciones ..........................................................................230
Lección 12 Identidades trigonométricas fundamentales ....................237
12.1 Igualdades ................................................................................................237
12.2 Identidades ..............................................................................................239
12.3 Comprobación de identidades fundamentales ..........................................240
12.4 Comprobación de identidades ..................................................................246
Lección 13 Triángulos oblicuángulos ................................................248
13.1 Ley de los senos.. ............................ - ......................................................... 248
13.2 Ley de los cosenos ....................................................................................250
13.3 Métodos de resolución de triángulos oblicuángulos ..................................253
Autoevaluación ..................................................................................................278
CIRCUNFERENCIA
Definición, notación y elementos
Para iniciar el estudio de la circunferencia daremos unas definiciones.
Circunferencia: Es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro
punto llamado centro.
Círculo: Es la región del plano limitada por una circunferencia.
Arco: Es una proporción de la circunferencia comprendida entre dos puntos llamados "extremos"; se denota por añ, arco ab.
Radio: Es el segmento rectilíneo que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Una circunferencia queda siempre determinada por su centro y por
su radio.
Ampliando
el conocimiento
La teoría geométrica de la convexidad es una
de las herramientas más importantes de las matemáticas modernas básicas y aplicadas. Los
investigadores del análisis funcional, economía
Cuerda: Es el segmento rectilíneo que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro : Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y es equivalente a dos radios.
matemática, optimización, teoría de juegos y
muchas otras ramas de las matemáticas modernas, teóricas y aplicadas, usan ampliamente
las nociones y los resultados de la teoría de los
conjuntos convexos.
Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Tangente : Es la recta que sólo tiene un punto en contacto con la circunferencia y
recibe el nombre de punto de contacto o punto de tangencia.
Circunferencia
Un ejemplo muy brillante es el principio del
máximo. El principio del máximo es un grupo
de resultados centrales de la teoría matemática
de la optimización, ampliamente aplicada en la
economía matemática, en la teoría de control,
etc. La demostración del principio del máximo fue dada por V. Boltyanski. Ésta fue muy
sorprendente para investigadores de las matemáticas básicas y aplicadas, porque en ella se
usaron ideas nuevas de topología y de la teoría de separabílidad de conos convexos desarrolladas por este matemático.
La geometría combinatoria es una ciencia relativamente joven. A principios del siglo xix
aparecieron algunos teoremas particulares, los
cuales pueden ser considerados como los resultados germinales de la geometría combinatoria. Sin embargo, los principales teoremas
de esta rama de la geometría fueron obtenidos en el siglo xx por Helly, Borsuk, Hadwiger,
Grümbaun, Klee y Boltyanski, entre otros
matemáticos; entre los resultados obtenidos figuran, por supuesto, el Teorema de Helly y el
Teorema de Carathéodory. En esta rama de las
matemáticas se han obtenido progresos notables en los problemas más importantes. Sin
embargo, los desafíos más destacados de la
geometría combinatoria no han sido completamente esclarecidos: el Problema de Borsuk,
el Problema de Iluminación, formulado por
V. Boltyanski y H. Hadwiger, el Problema de
Szókefalvi-Nagy, el Problema de Fijación.
105
En 1976, V. Boltyanski introdujo el funcional md para cuerpos convexos. Con ayuda de
este funcional, algunos resultados profundos
de la geometría combinatoria fueron derivados. Por ejemplo, Boltyanski obtuvo un
teorema tipo Helly, después algunos casos
particulares del problema de Szókefalvi-Nagy
fueron esclarecidos; Boltyanski y Martini han
presentado versiones 1-1-convexas del Teorema
de Carathéodory en términos del funcional
md. Estimaciones exactas para las cardinalidades de los sistemas de fijación y sistemas de
detención fueron encontradas.
Ampliando
el conocimiento
Tipos de origami
Si queremos hablar de una clasificación del
origami podemos considerar varios aspectos:
la finalidad, el tipo de papel utilizado y la cantidad de piezas utilizadas. A continuación se
presentan tres clasificaciones que se proponen
de acuerdo a cada uno de los aspectos mencionados.
De acuerdo con la finalidad.:
Artístico: construcción de figuras de la naturaleza o para ornamento.
Educativo: construcción de figuras para el
estudio de propiedades (principalmente geométricas).
De acuerdo con la forma del papel:
A papel completo: trozo de papel inicial en
forma cuadrangular, rectangular o triangular.
Tiras: trozo inicial de papel en forma de tiras
largas.
De acuerdo con la cantidad de trozos:
Tradicional: un solo trozo de papel inicial (u
ocasionalmente dos o tres como máximo).
Modular: varios trozos de papel inicial que se
pliegan para formar unidades (módulos), generalmente iguales, que se ensamblan para formar una figura compleja. Es conocido en Japón
como "yunnito" (unidad). Ejemplos: el módulo waterbomb, el módulo Sonobe, el módulo
pbizz, el módulo Mosely, el módulo Up-Down.
106
• Regiones : La circunferencia en el plano define tres regiones que son:
- La exterior, todos los puntos cuya distancia es mayor que el radio.
- La interior o círculo, todos los puntos que están a una distancia menor que
el radio (uno de ellos es llamado "centro de la circunferencia").
- Los puntos frontera o circunferencia, son los puntos que están a la misma distancia que el radio.
Puntos frontera
LOS ÁNGULOS EN EL CÍRCULO
Y SUS RELACIONES
LECCIÓN
Existen tres tipos de ángulos en una circunferencia:
Ángulo central : ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito : ángulo que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus
lados determinan cuerdas.
Ángulo semiinscrito : ángulo formado por una tangente y una secante que pasa
por el punto de tangencia.
Ampliando
el conocimiento
la neurona
La unidad básica del sistema nervioso es la
neurona o célula nerviosa. Las neuronas difieren en forma, tamaño y función. El cerebro humano tiene cientos de millones de neuronas;
tan sólo la corteza tiene aproximadamente 20
millones de células (Hubel y Wiesel, 1979).
Los billones de neuronas siempre están alertas
y activas, listas para llevar información de uno
a otro lado del sistema nervioso . Una neurona
típica está compuesta con dendritas, el cuerpo de la célula donde se encuentra el núcleo
y el axón largo, delgado y recubierto de mielina, que finaliza en las terminales axónicas.
Medida de un ángulo central
Un ángulo central se mide por el arco comprendido entre sus lados; la unidad utilizada es el grado.
Teorema 6 .1 En un mismo círculo o en círculos iguales, los ángulos centrales iguales subtienden arcos iguales.
Su funcionamiento es a través de las dendritas que son las que reciben la información de
las neuronas vecinas y ésta es conducida al
cuerpo celular; este genera una señal eléctrica que pasa a través del axón a las terminales
axónicas, para transmitirse a otra neurona
Demostración:
Hipótesis:
Los círculos con centro en O y O' son iguales.
a=b=c
109
Ampliando
el conocimiento
Aritmética de reloj
También se conoce como aritmética de módulo 12. Se suma utilizando el contorno de
un reloj. Para sumar, sólo se usan los números del 1 al 12. Cuando se suma 1 + 12 usando el reloj, la suma es uno.
Tesis:
AB = A" = A"B"
Razonamiento
Afirmación
justificación
1. a coincide con b
Por la hipótesis y utilizando una rotación en torno a O.
2. b coincide con c
Por la hipótesis y mediante una traslación O sobre 0' y una rotación.
3. Los puntos A A' A" coinciden.
Los puntos B B' 0' coinciden.
Por lo anterior y por ser puntos extremos de radios iguales.
4. Por tanto , AB = A'B' = A"B"
Tienen el mismo radio y coinciden en
sus extremos.
1 + 12 = 1 módulo 12
Otros ejemplos
7 + 8 = 3 módulo 12
9 + 10 = 7 módulo 12
24 + 1 = 1 módulo 12
Se recorre dos veces el reloj para representar 24 y se avanza un espacio más para llegar
a 25.
Teorema 6.2 La perpendicular trazada biseca la cuerda y los arcos subtendidos.
Demostración:
¿A qué es igual 100 + 5 módulo 12?
Ampliando
4M el conocimiento
Aritmética modular
Consiste en sumar empleando sólo determinado conjunto de números para expresar la
suma. Por ejemplo, en la aritmética módulo
7, se emplea el siguiente conjunto de números: {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 61. En el módulo 5, se usa
el conjunto {0, 1, 2, 3, 4} . ¿Por qué se puede
considerar la aritmética del reloj como de módulo doce?
Hipótesis:
PQ pasa por el centro de la circunferencia , AB es una cuerda PQ 1 AB.
Tesis:
AQ = BQ
arco AM = arco BM
Razonamiento
Afirmación
justificación
1. OA = OB
Radios del mismo círculo.
2. OQ
Lado común de los A AQO y A BQO.
3. < AQO = BQO
Por hipótesis PQ 1 AB.
4. 4A=-4CB
Por ser opuestos a lados iguales de los
D AQO y A BQO.
5. Por tanto , A AQO = A BQO
Por AQ = OB; c = d;A = B; OQ
6. Por tanto, AQ = BQ ; c = d
Por ser lados correspondientes
7. Por tanto , el arco AM = arco BM
~r
ir
Medida de un ángulo inscrito
Teorema 6 .3 La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la
mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.
Para la demostración se consideran tres casos:
Ampliando
el conocimiento
Base siete
Los símbolos que se utilizan en base siete soi
ota-
a. Cuando el ángulo inscrito está formado por una cuerda y un diámetro.
b. Cuando el ángulo inscrito está formado por dos cuerdas y el diámetro está contenido dentro del ángulo.
tre-
en
c. Cuando el ángulo inscrito está formado por dos cuerdas y el diámetro está fuera
del ángulo.
Demostración de a
5 + 2 = 10 módulo 7
6 + 4 = 13 módulo 7
2 + ? = 15 módulo 7
6 + ? = 23 módulo 7
Realiza la siguiente operación en base siete:
2+4+5+4+6-3-4=
Utilizando la aritmética del reloj realiza L
siguientes operaciones:
5+?=5
Hipótesis:
A es un ángulo inscrito
AB es un diámetro
Tesis:
A t i ene por me did a
BC
Ampliando
el conocimiento
2
Razonamiento
e los
Afirmación
Justificación
1. OC es un radio
Construcción.
2. A= C
Por ser ángulos opuestos a los lados
iguales de un triángulo isósceles.
3. b = A + C
Un ángulo exterior de un triángulo es
igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.
4. 2A=b
Por afirmación de 2 y 3.
5. A= b
Despejando A en 4.
6. b tiene por medida BC
Por ser ángulo central.
2
7.
Por tanto, A t i ene por me did a
Base cinco
Los símbolos que se utilizan en base cinco sot
Módulo cinco
1 + 3 = 4 módulo 5
BC
2
Por afirmac ió n de 5 y 6 .
3 + 4 + 1 = 13 módulo 5
Si sumamos dos números a + b = 3 móduh
5, da los valores que pueden tomar.
Ampliando
el conocimiento
i
Demostración de b
Base de un sistema de numeración es el número que se eleva a diversas potencias para
generar los valores posicionales del sistema de
numeración. En el sistema decimal, la base
es 10.
Así, tenemos que 100 = 1
101 = 10
101 = 100, etcétera.
También tenemos que 2° = 1
21 = 2
Hipótesis:
B es un ángulo inscrito.
22 = 4, etcétera.
Tesis:
Para realizar un cambio de base diez a dos,
por ejemplo, 2310:
B tiene por medida
AC
2
Razonamiento
Dividimos 23 entre 2 y anotamos los residuos,
éstos formarán el número en base 2.
23 = 11 X 2 + 1 residuo 1
2
Se toma el cociente y se vuelve a dividir y se
anota el residuo, y así sucesivamente.
11 = 5 X 2+ 1 residuo l
2
Afirmación
Justificación
1.
b tiene por medida
CD
2
Por la demostración anterior.
2.
a tiene por medida
DA
2
Por lo anterior.
3.
a+b=B
Porque la suma de las partes es igual al todo.
4.
Por la justificación de 3.
5.
Por lo anterior.
5= 2 X 2+ 1 residuo l
2
2= 1 X 2+ 0 residuo 0
2
El cociente es menor que el dividendo, nos
indica que el proceso terminó, anotamos este
último y todos los residuos.
6.
2
Por la justificación 3.
La demostración de c se deja como ejercicio al alumno.
El número que se formó es 101112-
Medida de un ángulo semiinscrito
Teorema 6.4 El ángulo formado por una tangente y una cuerda que parte del punto
de tangencia, tiene por medida la mitad del arco subtendido por la cuerda.
Demostración:
2
Hipótesis
Ej ercicios
CB es tangente a la circunferencia en c
adicionales
AD es cuerda
Prueba tus conocimientos
Tesis
A = arco
Haz el siguiente cambio de base, 1810 a base 2,
AD
Para realizar un cambio de base diez a base b
se realiza el mismo algoritmo.
2
Razonamiento
Haz el siguiente cambio de base, 8310 a base 5.
Afirmación
Justificación
1. DE 1! CB
Por construcción.
83 = 16 X 5 + 3
2. arco DA = arco AE
Por ser arcos comprendidos entre paralelas.
16 =
5
3 X 5+ 1
residuo 3
residuo 1
5
3. A=D
Por ser ángulos alternos internos entre
paralelas cortadas por una secante.
4. D tiene por medida arco
AE
2
AD
5. Por tanto, A mide arco
2
Por ser inscrito.
El número que se forma es 3135
Realiza los siguientes cambios de base:
9810 a base 3
Afirmaciones 3.
7810 a base 4
19810 a base 6
EJERCICIO 6.1
27510 a base 7
12710 a base 8
Efectúa la demostración siguiente:
2891o a base 9
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco
comprendido entre sus lados (caso C).
Sabías que... ?
D
Los caldeos en el iii milenio a.C., aportaron
a la geometría la división del círculo y la circunferencia en seis partes, base para el sistema
sexagesimal.
Hipótesis:
B es un ángulo inscrito.
AB y BC son cuerdas que no pasan por O y que están en la misma semicircunferencia.
Tesis:
B tiene por medida
AC
2
Razonamiento
Afirmación
Justificación
113