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Invarianza por rotaciones
Fórmula para suma de ángulos
Sean OX 0 , OY 0 y L tres rectas obtenidas de rotar la recta OX en x,
x + π/2 e y radianes, respectivamente.
Sean P y Q en {R : d(R, O) = 1}, P ∈ OX 0 y Q ∈ L.
En OXY , P = (cos(x), sen(x)) y Q = (cos(y ), sen(y )).
En OX 0 Y 0 , P = (1, 0) y Q = (cos(y − x), sen(y − x)).
Independencia del sistema para d(P, Q) ⇒
(1 − cos(y − x))2 + (sen(y − x))2
=
(cos(x) − cos(y ))2 + (sen(x) − sen(y ))2
⇔
2 − 2cos(y − x)
=
2 − 2cos(x)cos(y ) − 2sen(x)sen(y )
⇔
cos(y − x)
=
cos(x)cos(y ) + sen(x)sen(y )
()
April 29, 2010
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Invarianza por rotaciones
Fórmula para suma de ángulos
La paridad cos se deduce al tomar y = ?...0 en
cos(y − x) = cos(x)cos(y ) + sen(x)sen(y )
Del mismo modo, para x = ?...π/2 se tiene que
cos(y − π/2) = sen(y )
De lo anterior se deduce la imparidad de sen:
sen(−y )
=
=
=
=
cos(−y − π/2)
cos(y + π/2)
cos(y )cos(−π/2) + sen(y )sen(−π/2)
−sen(y )
Además,
sen(y − π/2) = −sen(π/2 − y ) = −cos(−y ) = −cos(y )
()
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Invarianza por rotaciones
Fórmula para suma de ángulos
Usando las simetrías de seno y coseno en
cos(x)cos(y ) + sen(x)sen(y ) = cos(y − x)
se obtiene
cos(y + x)
=
=
cos(y )cos(−x) + sen(y )sen(−x)
cos(y )cos(x) − sen(y )sen(x)
La fórmula para sen(x + y ) se deduce de lo anterior:
sen(x + y )
=
=
=
cos(x + y − π/2)
cos(x)cos(y − π/2) − sen(x)sen(y − π/2)
cos(x)sen(y ) + sen(x)cos(y )
y finalmente,
sen(x − y )
()
=
=
sen(x)cos(−y ) + cos(x)sen(−y )
sen(x)cos(y ) − cos(x)sen(y )
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Trigonometría
Triángulo Rectángulo
Sea x un ángulo no recto de un triángulo rectángulo con cateto
opuesto a, cateto adyacente b e hipotenusa c.
(1)
cos(x) =
b
c
sen(x) =
a
c
tan(x) =
a
b
(2)
(3)
()
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Trigonometría
Triángulos Rectángulos
S
I
I
Pendiente OS = pendiente OT :
sen(x)
a
cos(x) = b
Distancia S a O: c 2 = a2 + b2
c
a
T
O
x
1
b
Distancia S a T : (c − 1)2 = (a − sen(x))2 + (b − cos(x))2
c = asen(x) + bcos(x) y 0 = bsen(x) + acos(x)
⇒ cos(x) = ?... a2bc
= bc , sen(x) = ?... a2ac
= ac .
+b2
+b2
()
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Trigonometría
Problemas
Demuestre que en el triángulo rectángulo de la figura se cumple
b
a
p
q
c
que p = a2 /c y q = b2 /c.
La distancia sobre la tierra entre Antofagasta (23o S) y Punta
Arenas (53o S) es π6 R Km, donde R = 6380, es el radio de la
tierra. Determine la mínima altura a la que habría que llegar para
ver ambas ciudades.
Un avión que viene desde Argentina vuela a 10 km de la
superficie de la tierra. Determine a que distancia está del monte
Aconcagua cuando logra ver su cima, si se sabe que la mayor
sombra de este monte tiene un largo de 267 kms.
? ...Para R radio de la tierra y h la altura se tiene que cumplir que
R
cos(π/12) = R+h
.
Para R = 6380km
⇒ h = 225km.
()
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Trigonometría
Suma de ángulos
Deduzca las fórmulas para la suma de ángulos a partir de la
geometría de la figura.
Para todo x, y ∈ R, se cumple:
sen(x+y ) = sen(x)cos(y )+cos(x)sen(y )
cos(x+y ) = cos(x)cos(y )−sen(x)sen(y )
?
...OG =
cos(x)cos(y )
cos(x)OD
=
C
DG = sen(x)OD = sen(x)cos(y )
x
ED = sen(x)CD = sen(x)sen(y )
E
D
x
O F
G
CE = cos(x)CD = cos(x)sen(y )
CF = CE + DG
B
y
A
OF = ?...OG − ED
()
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Trigonometría
Suma de ángulos
Para todo x ∈ R, se cumple:
sen(2x) = 2sen(x)cos(x) y cos(2x) = ?...(cos(x))2 −(sen(x))2
También
sen(3x) = sen(2x)cos(x) + sen(x)cos(2x)
= 2sen(x)(cos(x))2 + sen(x)?...(2(cos(x))2 − 1)
= sen(x)(4(cos(x))2 − 1)
Determinar sen(x) y cos(x) para x = π/3 y π/6.√
? ...En x = π/3 ⇒ cos(π/3) = 21 y sen(π/3) = 23 .
2(cos(π/6))2 − 1 = cos(π/3) = 12
√
⇒ cos(π/6) =
()
3
2
y sen(π/2) = 12 .
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Trigonometría
Suma de ángulos
Para todo x, y ∈ R, se cumple:
sen(x+y ) = sen(x)cos(y )+cos(x)sen(y )
? ...cos(x + y ) = cos(x)cos(y ) − sen(x)sen(y )
sen(x−y ) = sen(x)cos(y )−cos(x)sen(y )
? ...cos(x − y ) = cos(x)cos(y ) + sen(x)sen(y )
Sumando
sen(x + y ) + sen(x − y ) = 2sen(x)cos(y )
? ...cos(x + y ) + cos(x − y ) = 2cos(x)cos(y )
Restando
sen(x + y ) − sen(x − y ) = 2cos(x)sen(y )
? ...cos(x + y ) − cos(x − y ) = −2sen(x)sen(y )
Tomando u = x + y , v = x − y ⇒
u+v
2
sen(u)+sen(v ) = 2sen( u+v
)cos( u−v
)
2
2
u−v
sen(u)−sen(v ) = 2sen( 2 )cos( u+v
)
2
? ...cos(u)+cos(v ) = 2cos( u+v
)cos( u−v
)
2
2
u+v
? ...cos(u)−cos(v ) = 2sen( 2 )sen( v −u
)
2
()
=xy
u−v
2
=y
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Trigonometría
Identidades
Más relaciones entre las funciones trigonométricas.
1 + tan2 (x) = sec 2 (x), x ∈ dom(tan).
tan(x + y ) =
tan(2x) =
tan(x)+tan(y )
1−tan(x)tan(y ) ,
2tan(x)
,
1−(tan(x))2
x, y , x + y ∈ dom(tan).
x, 2x ∈ dom(tan).
Identidades en términos del ángulo doble o del ángulo medio
q
cos(x) = 1+cos(2x)
.
2
q
.
sen(x) = 1−cos(2x)
2
q
tan(x) = 1−cos(2x)
1+cos(2x) .
tan(x)
sen(2x) = 2 1+(tan(x))
2.
cos(2x) =
()
1−(tan(x))2
.
1+(tan(x))2
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Ecuaciones Trigonométricas
Simples
La ecuación
sen(x) = a
tiene solución si y sólo si |a| ≤ 1.
Si α es una solución en [−π/2, π/2], entonces π − α es solución y en
general toda solución se escribe como
k π + (−1)k α
para algún k ∈ Z.
()
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Ecuaciones Trigonométricas
Simples
La ecuación
cos(x) = a
tiene solución si y sólo si |a| ≤ 1.
Si α es una solución en [0, π], entonces −α también es una solución y
en general ? ...toda solución se escribe como
2k π ± α
para algún k ∈ Z.
()
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Ecuaciones Trigonométricas
Simples
La ecuación
tan(x) = a
tiene solución para todo a.
Si α es una solución en (−π/2, π/2), entonces π + α también es
solución y en general toda solución se escribe como k π + α para
algún k ∈ Z.
()
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Ecuaciones Trigonométricas
Combinadas
La ecuación
asen(x) + bcos(x) = c.
√
tiene solución para |c| ≤ a2 + b2 .
Se reduce a lo que ya sabemos.
Sea α con cos(α) = √ |a|
2
a +b2
. Entonces sen(α) = √ |b|
2
a +b2
y la ecuación
es equivalente a:
a
b
c
cos(α)sen(x) +
sen(α)cos(x) = √
2
|a|
|b|
a + b2
Que equivale a una de las siguientes:
sen(x ± α) = ± √
()
c
a2 + b 2
.
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