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CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
LECTURA 04: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
POBLACIONAL. INTERVALOS DE CONFIANZA ENTRE DOS MEDIAS
POBLACIONALES.
TEMA 8: INTERVALOS DE CONFIANZA: INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN
1. INTRODUCCION:
Actualmente se debe estar bien consciente de que las poblaciones son
generalmente muy grandes como para ser estudiadas en su totalidad. Su tamaño
requiere que se selecciones muestras las cuales se pueden utilizar para hacer
inferencias sobre poblaciones.
Hay dos tipos de estimadores que se utilizan más comúnmente para este propósito:
un estimador puntual y un estimador por intervalo. Un estimador puntual utiliza un
estadístico para estimar el parámetro en un solo valor o punto. El estimador puntual
por ser un solo numero, no proporciona por si mismo información alguna sobre la
precisión y confiabilidad de la estimación. Debido a la variabilidad de la muestra,
nunca se tendrá que x = µ . El estimado puntual nada dice sobre lo cercano que esta
de µ . El Psicologo puede seleccionar una muestra de n=50 pacientes y hallar la
edad promedio de x = 36 , este valor sirve como estimación puntual para la media
poblacional.
Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esta estimando es
calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un intervalo de confianza.
Una estimación por intervalo especifica el rango dentro del cual está el parámetro
poblacional desconocido. El Psicologo puede decidir que la media poblacional esté
entre 35 y 38. Tal intervalo con frecuencia va acompañado de una afirmación sobre
el nivel de confianza que se da con exactitud. Por lo tanto se llama intervalo de
confianza.
En realidad hay tres niveles relacionados comúnmente con los intervalos de
confianza: 99%, 95% y 90%. El Psicologo mencionado puede tener un 95% de
confianza en que la media poblacional está entre 35 y 38.
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: Marzo 2011
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2. DEFINICIÓN:
Es el rango dentro del cual se encuentra el parámetro desconocido θ con un nivel
de confianza dado.
En base a una muestra aleatoria y la correspondiente estadística θ̂ , se trata de
encontrar un intervalo [L 1, L2] llamado Intervalo de Confianza que debe contener el
parámetro θ con una probabilidad dada (1-α) llamado nivel de confianza.
Si θ̂ es una estadística
f( θ̂ )
1-α
α/2
α/2
L1
θ. 1
L2
fig. 11
El intervalo [L1, L2] es un intervalo aleatorio ya que sus extremos L 1, L2 llamados
límites de confianza son variables cuyos valores varían de una muestra a otra.
La Estimación Interválica consiste en calcular L 1, L2 dada una muestra aleatoria y
un nivel de confianza (1-α) y decir que se tiene confianza del 100 (1-α) % que el
intervalo contiene el valor desconocido θ.
Por ejemplo: Si 1-α = 0.95, se dice que se tiene una confianza del 95% que el
intervalo contenga el valor desconocido θ; o bien, de 100 intervalos aleatorios que se
tomen 95 de las veces contendrá el parámetro y sólo 5 veces no lo contendrá.
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TEMA 09: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
HACIENDO USO DE LA ESTADISTICA Z Y T.
1.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
P[ L 1 ≤ µ ≤ L 2 ] = 1 − α
1-α
α/2
μ
L1
α/2
L2
fig. 12
Se presentan los siguientes casos:
1.1.
CASO I: Uso de la Estadística Z.
i) Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional conocida σ2 y población normal o
no.
ii)
L1 = x − Z 0 × σ
x
L 2 = x + Z0 × σ
x
(
)
2
2
Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional desconocida σ ≅ s y población
normal o no.
L1 = x − Z 0 × s x
L 2 = x + Z0 × s x
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Muestra pequeña (n < 30), varianza poblacional conocida σ
normal.
iii)
1.2.
L1 = x − Z 0 × σ
x
L 2 = x + Z0 × σ
x
2
CASO II: Uso de la Estadística t.
Muestra pequeña (n < 30), varianza poblacional desconocida
y población
(σ
2
≅ s2
)
y
población normal.
L1 = x − t 0 × s x
L 21 = x + t 0 × s x
Donde:
t 0 = t 1− α / 2 , n -1
2. ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA
El error estándar es una medida de la dispersión de las medias de muestras
alrededor de la media de la población. Si la dispersión disminuye (si σ se hace más
pequeña), entonces los valores tomados por la media de la muestra tienden a
agruparse mas cercanamente alrededor de µ . Y a la inversa, si la dispersión se
incrementa (si σ se agranda), los valores tomados por la media de la muestra
tienden a agruparse menos cercanamente alrededor de µ . Al disminuir el error
estándar, el valor de cualquier media de muestra probablemente se acercara al valor
de la población, lo que quiere decir que al disminuir el error estándar, se incrementa
la precisión con que se puede usar la media de la muestra para estimar la media de
la población.
•
Si el muestreo es con o sin reposición en una población infinita (o con sustitución
en una población finita de tamaño N), el error estándar de la media muestral es:
σ
→ (σ 2 conocida )
i) σ x =
n
ii)
sx =
s
→ (σ 2 desconocida )
n
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•
Si el muestreo es sin reposición en una población finita de tamaño N, el error
estándar de la media muestra es:
=
σ
×
n
N− n
→ (σ 2 conocida )
N− 1
ii) s x =
s
×
n
N− n
→ (σ 2 desconocida )
N− 1
i) σ
x
Donde:
N− n
es el factor de corrección para población finita.
N− 1
NOTA: Generalmente se utiliza el muestreo sin reposición en poblaciones
infinitas y finitas de tamaño N
Ejemplo 1:
Se ha llevado acabo una prueba para determinar el coeficiente intelectual medio de
los alumnos, sabiendo que el coeficiente intelectual sigue una distribución normal
con desviación estándar 24 . De una muestra de 100 alumnos se obtiene un un
coeficiente intlectual medio de 90 soles. Calcular un intervalo de confianza del 95%
para el coeficiente intelectual medio poblacional tomando en cuenta que el
coeficiente normal varía de 80 a 120.
Solución:
a)
Se desea estimar:
μ: Coeficiente intelectual medio poblacional
b)
Análisis:
• n = 100
• n=100 (n>30)
• σ = 24 soles
x = 90
• Varianza poblacional conocida y población normal.
• Para un nivel de confianza 1 – α = 0.95
ZO = 1.96
• Error estándar de la media muestral x es:
σ
24
σx =
=
= 2.4
n
100
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c)
Haremos uso de la estadística Z descrita en el Caso I – i:
d)
Hallando el intervalo de confianza:
σ
L1 = x − Z0 ×
= 90 − 1.96 × 2.4 = 85.30
n
σ
L 2 = x + Z0 ×
= 90 + 1.96 × 2.4 = 94.70
n
e)
Interpretación:
El coeficiente medio intelectual poblacional de los alumnos varia entre 85.30y
94.70 con una confianza del 95%.
Ejemplo 2:
Un Psicologo hace un estudio sobre el número de comportamientos agresivos a la
semana en una muestra aleatoria de 9 monos de una determinada zona obtiene una
media media muestral de 11 agresiones, considerando que la poblaciòn es normal
con varianza 12 . Obtener un intervalo de confianza del 90% para el número medio
de comportamientos agresivos real.
Solución:
a) Se desea estimar:
μ: Número medio de comportamientos agresivos.
b) Análisis:
x = 11
• n=9
• n=9 (n<30)
(
2
• Varianza poblacional conocida σ = 12
)
• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.90
ZO = 1.645
• Error estándar de la media muestral x :
sx =
σ
3.4641
=
= 1.1547
n
9
c)
Haremos uso de la estadística Z descrita en el Caso I - iii
d)
Hallando el intervalo de confianza:
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L1 = x − Z0 ×
σ
= 11 − 1.645 × 1.1547 = 9.1005 ≅ 9
n
L 2 = x + Z0 ×
σ
= 11 + 1.645 × 1.1547 = 12.90 ≅ 13
n
e) Interpretación: Con una confianza del 95% que el número medio de
comportamientos agresivos real de los monos varía entre 9 y 13.
Ejemplo 3:
Un investigador desea estimar el contenido promedio de alquitrán de cierta marca
de 4 cigarrillos para ello toma una muestra de 25 cigarrillos obteniendo una media
de 17.2 mg. y una desviación estándar de 5 mg.; estudios anteriores indican que el
contenido de alquitran se distribuye normalmente. Estime un intervalo de confianza
del 99% para el contenido promedio de alquitrán poblacional.
Solución:
a) Se desea estimar:
μ: Contenido promedio de alquitrán
b)
Análisis:
x = 17.2 mg.
•
n=25
s = 5 mg.
•
n=25 (n<30)
•
Varianza poblacional desconocida σ
•
•
•
(
2
)
≅ s 2 se estima a través de la
muestra.
Población normal.
t O = t 0.995,24 = 2.797
Para el nivel de confianza 1 – α = 0.99
El error estándar de la media muestral x es:
sx =
s
=
n
5
=1
25
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c)
Haremos uso de la estadística t:
d)
Hallando el intervalo de confianza:
s
L1 = x − t 0 ×
= 17 − 2.797 × 1 = 14.20 mg.
n
s
L2 = x + t 0 ×
= 17 + 2.797 × 1 = 19.20 mg.
n
e)
Interpretación:
El contendio promedio de nicotina poblacional varia ente 14.21 mg. Y 19.20
mg.
Ejemplo 4:
Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para para 45 personas de una
escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).
2
5
6
8
8
9
9
10
11
11
11
13
13
14
14
14
14
14
14
15
15
16
16
16
16
16
16
16
16
17
17
17
18
18
18
19
19
19
19
19
19
19
19
20
20
Sabiendo que la población es normal de tamaño N=500. Calcular un intervalo de
confianza del 95% para la escala promedio poblacional
Solución:
a)
Se desea estimar:
μ: Escala promedio de depresión poblacional
b)
Análisis:
x = 14.5556
•
n=45
s = 4.2768
(
•
Varianza poblacional desconocida σ
•
Población normal.
2
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)
≅ s2 .
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•
Se tiene una población finita de tamaño N=500, entonces El error estándar
de la media muestral x es:
sx =
s
×
n
N − n 4.2768
=
×
N− 1
45
500 − 45
= 1.1932
500 − 1
c)
Haremos uso de la estadística Z descrita en el Caso I - ii:
d)
Hallando el intervalo de confianza:
L1 = x − Z0 ×
s
×
n
N− n
N− 1
L 2 = x + Z0 ×
s
×
n
N− n
N− 1
L1 = 14.5556 − 1.96 × 1.1932
L 2 = 14.5556 + 1.96 × 1.1932
L1 = 12.22
L 2 = 16.89
e) Interpretación:
La escala de depresión promedio poblacional varía entre 12.22 y 16.89 con un
nivel de confianza del 95%.
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TEMA 10: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS
MEDIAS POBLACIONALES HACIENDO USO DE LA ESTADISTICA Z Y T.
1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS
POBLACIONALES
P [ L1 ≤ µ 1 − µ 2 ≤ L 2 ] = 1 − α
1-α
α /2
L1
µ1− µ2
α /2
L2
fig. 13
Se presentan los siguientes casos:
1.1.
i)
CASO I: Uso de la Estadística Z.
Muestras grandes n1 ≥ 30 y n 2 ≥ , 30 varianzas poblacionales conocidas
σ 12 y σ 22 poblaciónes normal o no.
L1 = (x1 − x 2 ) − Z 0 × σ x1 − x 2
L 2 = (x1 − x 2 ) + Z 0 × σ x1 − x 2
Donde:
σ x1 − x 2 =
σ 12 σ 22
+
n1 n 2
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ii)
Muestras grandes n1 ≥ 30 y n 2 ≥ 30 , varianzas poblacionales desconocidas
(σ 12 ≅ s12 y σ 22 ≅ s 22 ) y poblaciónes normales o no.
L1 = (x1 − x 2 ) − Z 0 × s x1 − x 2
L 2 = (x1 − x 2 ) + Z0 × s x1 − x 2
Donde:
s x1 − x 2 =
s12 s 22
+
n1 n 2
iii) Muestras pequeñas n1 < 30 y n 2 < 30 considerando que (n1+n2<30) , varianzas
σ 12 y σ 22 poblacionales conocidas y poblaciónes normales.
L1 = (x1 − x 2 ) − Z0 × σ x1 − x 2
L 2 = (x1 − x 2 ) + Z 0 × σ x1 − x 2
Donde:
σ x1 − x 2 =
σ 12 σ 22
+
n1 n 2
NOTA: En caso de que las poblaciones N 1 y N2 fueran finitas se debe corregir el
intervalo a través del error estándar de la diferencia de medias muestrales tal
como se presenta a continuaciòn:
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σ x1 − x 2 =
σ 12  N1 − n1  σ 22  N 2 − n 2 

+


n1  N1 − 1  n 2  N 2 − 1 
s x1 − x 2 =
s12  N1 − n1  s 22  N 2 − n 2 

+


n1  N1 − 1  n 2  N 2 − 1 
1.2. CASO II: Uso de la Estadística t.
i) Muestras pequeñas n1 < 30 y n 2 < 30 consdierando que ( n1+n2<30), varianzas
2
2
2
2
2
2
poblacionales desconocidas pero iguales σ 1 = σ 2 (σ 1 ≅ s1 y σ 2 ≅ s 2 ) y poblaciónes
normales.
L1 = (x1 − x 2 ) − t 0 × s C
1
1
+
n1 n 2
L 2 = (x1 − x 2 ) + t 0 × s C
1
1
+
n1 n 2
Donde:
s x1 − x 2 = s C
sc =
1 1
+
n1 n 2
(n1 − 1) × s12 + (n 2 − 1) × s 22
n1 + n 2 − 2
Además:
t 0 = t1− α / 2,
n1 +n 2 -2
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ii)
Muestras pequeñas n1 < 30 y n 2 < 30 considirando que ( n1+n2<30),
2
2
2
2
2
2
varianzas poblacionales desconocidas pero diferentes σ 1 ≠ σ 2 (σ 1 ≅ s1 y σ 2 ≅ s 2 )
y poblaciónes normales.
L1 = (x1 − x 2 ) − t 0
s12 s 22
+
n1 n 2
L 2 = (x1 − x 2 ) + t 0
s12 s 22
+
n1 n 2
Donde:
t 0 = t1− α / 2, r
 s12
 +
 n1
r=
2
 s12 n1 
+
n1 − 1
s 22 

n 2 
 s22 n 2 
n2 − 1
2
Ejercicio 1:
La tasa de consumo de oxígeno es una medida de la actividad fisiológica de los
corredores. Se desea comparar las tasas de consumo de oxigeno en ml./minuto en
corredores de entrenamiento por dos métodos distintos: un entrenamiento continuo
durante cierto lapaso de tiempo cada dìa, y un entrenamiento intermitente con la
misma duración total. Se han tomado datos del consumo de oxígeno de varones
universitarios entrenados por ambos métodos y se han obtenido los siguientes
descriptivos:
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Entrenamiento continuo
Entrenamiento intermitente
n1=9
n2=7
x1 = 43.71
x 2 = 39.63
s12 = 5.88
s 22 = 7.68
Si se supone que las mediciones provienen de poblaciones normales independientes
con igual varianza, estime la diferencia real de tasas medias de consumo de oxígeno
con un nivel de confianza del 95%.
Solución:
a) Se desea estimar:
µ 1 − µ 2 : La diferencia real de tasas medias de consumo de oxígeno.
b) Análisis:
x = 43.71ml./ min uto
•
n=9
s = 2.42 ml./ min uto
x = 39.63ml./ min uto
•
n=7
s = 2.77 ml./ min uto
n1 = 9 < 30 y n 2 = 7 < 30
•
•
Varianzas poblaciones iguales pero desconocidas σ 12 ≠ σ 22
normales.
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y poblaciones
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•
Hacemos uso de la estadística t Caso II i) con un nivel de confianza del
95%, entonces
•
t 0 = t1− α / 2,
n1 +n 2 -2
= t 0.975,
14
=2.145
Error estándar de la diferencia de medias es:
s x1 − x 2 = s C
sc =
1 1
+
n1 n 2
(9 − 1) × 5.88 + (7 − 1) × 7.68
9+ 7− 2
s c = 2.58
s x1 − x 2 = 2.58
1 1
+
9 7
s x1 − x 2 = 1.3
Entonces:
L1 = (x1 − x 2 ) − t 0 × s C
1
1
+
n1 n 2
L1 = (43.71 − 39.63) − 2.145 × 1.3
L1 = 7.68 − 2.79
L1 = 4.89 ml. / min uto
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L 2 = (x1 − x 2 ) + t 0 × s C
1
1
+
n1 n 2
L 2 = (43.71 − 39.63) − 2.145 × 1.3
L 2 = 7.68 + 2.79
L 2 = 10.47ml./ min uto
Se tiene una confianza del 95% de que las diferencias medias de las tasas
medias de consumo de oxigeno varía entre 4.89ml./minuto y 10.47 ml./
minuto.
Ejemplo 2:
El nivel de colesterol es un factor de alto riesgo en el desarrollo de la enfermedad de
artereoesclerosis cardiaca y de la enfermedad de arteria coronaria, por tanto, es
importante determinar los niveles que esperamos en los diferentes grupos de edad y
sexo. Para comparar el nivel de colesterol de los varones de 20 a 29 años de edad
frente a las mujeres del mismo grupo, se realizó un estudio cuyos resultados se
exponen a continuación:
•
Hombres
Mujeres
n1=96
n2=85
x1 = 180.81mg./ dl
x1 = 181.08 mg./ dl
s1 = 30.55 mg./ dl
s 2 = 30.59mg./ dl
Obtener un intervalo de confianza para la diferencia de medias del nivel de colesterol
de hombres y mujeres al 90%. ¿Son los niveles de colesterol diferentes? ¿Quién
tiene un nivel más alto de colesterol los hombres o las mujeres?
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Solución:
a) Se desea estimar:
µ 1 − µ 2 : La diferencia media poblacional del nivel de colesterol de hombres y
mujeres.
b) Análisis:
x1 = 180.81
•
n=9 6
s1 = 30.55
x1 = 181.08
•
n=85
s 2 = 30.59
n1 = 96 > 30 y n 2 = 85 > 30
•
•
•
2
2
Varianzas poblaciones desconocidas (s1 = 933.3025 y s 2 = 935.7481)
y poblaciones normales por el Teorema de Limite Central n1 ≥ 30 y n 2 ≥ 30
Hacemos uso de la estadística Z Caso I ii) con un nivel de confianza del
90%, entonces
•
z 0 = 1.645
Error estándar de la diferencia de medias es:
s x1 − x 2 =
s12 s 22
+
n1 n 2
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s x1 − x 2 =
933.3025 935.7481
+
96
85
s x1 − x 2 = 4.5531
Entonces:
L1 = (x1 − x 2 ) − Z0 × s x1 − x 2
L 2 = (x1 − x 2 ) + Z0 × s x1 − x 2
L1 = (x1 − x 2 ) − Z0 × s x1 − x 2
L1 = (180.81 − 181.08) − 1.645 × 4.5531
L1 = − 0.27 − 7.49
L1 = − 7.76
L 2 = (x1 − x 2 ) + Z 0 × s x1 − x 2
L 2 = (180.81 − 181.08) + 1.645 × 4.5531
L 2 = − 0.27 + 7.49
L 2 = 7.22
•
Se tiene una confianza del 90% de que las diferencia media poblacional del
nivel de colesterol varía entre 0 mg./dl y 7.22 mg./dl.
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Fecha
Versión
: Mg. Carmen Barreto R.
: Marzo 2011
:2
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Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
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En el resultado observamos que el valor cero se encuentra dentro del
intervalo, entonces los niveles de colesterol de los hombres y de las
mujeres son iguales.
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Elaborado por
Fecha
Versión
: Mg. Carmen Barreto R.
: Marzo 2011
:2
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