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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
EJERCICIOS FISICA I
ESTÁTICA
1-
Una viga uniforme pesa 400N se encuentra apoyada en sus extremos y se suspende de ella a
1/4 de su longitud un objeto que pesa 900N. determinar el esfuerzo trasmitido a los apoyos de
la viga.
L/2
L/4
L/4
400N
900N
A los efectos de poner en evidencia las fuerzas actuantes sobre la viga, eliminamos los vínculos
y ponemos en su reemplazo los esfuerzo que estos vínculos generan (esquema de cuerpo libre)
L
A
RBH
L/2
L/4
L/4
RBV
RAV
400N
Y
X
900N
Siendo la barra uniforme el centro de gravedad se localiza en el centro geométrico, y en este
punto se considera actuando el peso de la viga (400N).
Las condiciones de equilibrio para esta barra estará dado por las ecuaciones:
r
F
∑ =0
∑ Fx = 0
(1)
∑ Fy = 0
(2)
De (1) obtenemos
RBH = 0
De (2) obtenemos
RAV + RBV - 400N - 900N = 0
r
∑M =0
(3)
Tomando momentos con respecto al punto A e igualando la sumatoria de los mismos a cero (3)
tenemos
-(400N x L/2) – (900N x 3L/4) + (RBV x L) = 0
Dividiendo la expresión anterior por L y resolviendo obtenemos
RBV = 875N
RAV = 1300N – 875N = 425N
2-
Una viga de densidad uniforme y 400N de peso se encuentra apoyada en uno de sus extremos
y formando un ángulo de 60º con respecto a la horizontal por la acción de un cable horizontal
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B00 EJERCICIOS
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fijo a una distancia del punto de apoyo de la viga igual a 3/4 de su longitud. Si de su extremo
libre se suspende un peso de 2000N determinar el esfuerzo en el cable y en el extremo
apoyado de la viga.
C
L/4
B
RBX
F= 2000N
D
L/2
P= 400N
y
RAY
60º
RAX
A
∑ Fx = 0
R AX − R BX = 0
∑ Fy = 0
R AY − P − F = 0 ⇒ R AY = P + F = 2 .400 N
r
A
∑M =0
R BX = R AX
RA =
⇒ R AX = R BX
L
3L
× cos 60 º ) − ( F × L × cos 60 º ) + ( R BX ×
× sen 60 º ) = 0
2
4
4 cos 60 º P
=
( + F ) = 1693 ,6 N
3 sen 60 º 2
−(P×
2
2
R AX
+ R AY
= 1693 ,6 2 + 2400 2 = 2 .937 ,4 N
α = arc .tg
3-
+
2400
= 54 ,8º
1693 .6
Eliminar los vínculos en los siguientes cuerpos (esquemas de cuerpo libre)
F1
a)
F2
F2
F1
F3
P
b)
F2
F1
P
c)
1
μ
μ
P1
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4-
Tres fuerzas de módulos 6, 10 y 12 N actúan sobre una partícula, y forman respectivamente
ángulos de 60°, 150° y 225° con la dirección positiva del eje OX. Calcular la resultante, su
módulo y el ángulo que forma con la dirección positiva del
eje OX.
5-
Al descomponer la fuerza F, de módulo 500 N, en las
direcciones de las rectas a y b indicadas en la Fig. se quiere
que la componente en la dirección de la recta a sea de 200 N.
Determinar el valor de la componente en la dirección de la
recta b.
6-
Si descomponemos una fuerza F de 300,0 N en dos componentes cuya diferencia entre sus
módulos es: F1- F2 = 100,0 N; y la componente F1 forma un ángulo de 25° con F. Calcular
F1 y F2 y el ángulo que forman.
7-
En el centro P de un cuadrado rígido ABCD, situado sobre
una mesa horizontal, se encuentra una partícula que va unida
a las vértices por cuatro gomas elásticas idénticas, cuya
longitud natural (sin estiramiento) es 1cm. Las gomas son
tales que, al estirarlas, las tensiones que «tiran» de la
partícula son proporcionales a la longitud que se alargan, y el
valor de la constante de proporcionalidad es k =1 N/cm. Se
traslada la partícula del punto P al Q situado en el lugar que
nos indica la Fig., y se suelta; calcular la fuerza que actúa
sobre la partícula en tal instante.
8-
9-
Sobre la partícula situada en O actúan las fuerzas que
indicamos en la Fig. Los lados del paralelepípedo
trirrectángulo tienen por longitudes a =3 cm, b = 10 cm y c
= 5 cm. La relación entre fuerza y longitud en el diagrama
es K = 10 N/cm. Determinar la fuerza que actúa sobre la
partícula.
El poste de 9 m de altura de la Fig. se encuentra en equilibrio en
posición vertical sobre un terreno horizontal, sujeto por tres cables que se
consideran inextensibles y sin peso apreciable, de longitudes iguales a 15
m, y que se encuentran unidas a él en su parte superior. Las tensiones de
los cables PA, PB y PC son 450, 300 y 200 N respectivamente. Calcular
la fuerza resultante que los cables ejercen sobre el poste.
10- Un observador situado en el origen de un sistema de referencia inercial OXYZ, ve que una
partícula se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme, conoce que su peso es P (0, 0, 50)
N y que es impulsada por F1 (30, . 40, . 60) N. Determinar la tercera fuerza que actúa sobre la
partícula.
11- Arrastramos por una superficie horizontal un bloque de
100,0 kg con movimiento rectilíneo y uniforme; para ello
atamos una cuerda inextensible y sin peso apreciable y
tiramos de ella con una fuerza de 300,0 N formando un
ángulo de 30° con el suelo como indicamos en la Fig.
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Calcular el valor de la fuerza de rozamiento y la reacción normal del suelo sobre el bloque.
12- Un bloque de 100 kg se encuentra sobre un plano inclinado 45°; si la fuerza de rozamiento
entre el bloque y el plano es despreciable, calcular: 1) Fuerza mínima paralela al plano
inclinado capaz de mantener al bloque en reposo. 2) Fuerza mínima horizontal capaz de
mantener al bloque en reposo. 3) Fuerza mínima que forma un ángulo de 15° con el plano
inclinado capaz de mantener al bloque en reposo y el valor de la reacción normal del plano
inclinado sobre el objeto.
13- La esfera de masa M de la Fig. descansa sobre dos planos
inclinados lisos, formando los ángulos  y 2 con la
horizontal. Determinar las reacciones normales a los planos
inclinados que actúan sobre la esfera en los puntos de contacto
con ellos.
14- En la figura los dos cilindros de centros A y B se encuentran en
equilibrio y tienen por radios R1 y R2, pesando P1 y P2
respectivamente; también son datos los ángulos j1 y j2 que los
planos forman con la horizontal.
15- Determinar el ángulo ϕ, que forman la línea de los centros (AB) con la horizontal. Suponemos
que en los puntos C, D y E (puntos de contacto entre las distintas superficies), las fuerzas de
rozamiento son despreciables.
16- Determinar la fuerza F que tiene que aplicar una
persona en los cuatro casos de la Fig. para mantener el
sistema en reposo o con movimiento rectilíneo y
uniforme. El peso P es dato, y se consideran
despreciables los pesos de las poleas frente a él, y
también los rozamientos.
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17- Un peso de 10 kg pende de una cuerda como indica la figura.
Calcular los pesos iguales que hay que colgar de los cabos de la
cuerda, que pasa por las poleas A y B, para que exista
equilibrio. El rozamiento del eje de las poleas y de la cuerda
con las guías es inapreciable.
18- En el extremo superior de un plano inclinado liso (sin rozamiento apreciable) hay una polea
por cuya garganta pasa un cordón que consideramos inextensible y sin peso, uno de los
extremos del cordón es vertical y sostiene atado a un extremo un cuerpo de masa 3 kg y el
otro cordón se mantiene paralelo al plano inclinado y tiene atado un cuerpo de masa 5 kg. Si
el sistema se encuentra en equilibrio, calcular: La tensión de la cuerda, la reacción normal del
plano y el ángulo que forma con la horizontal. El rozamiento en el eje de la polea y, entre la
cuerda y las guías, existe, pero es despreciable.
19- Una persona que pesa 70 kg se cuelga de una anilla, que puede deslizarse sin rozamiento
apreciable por una cuerda floja de 20 m de longitud, fijada por sus extremos a dos puntos con
diferentes alturas; el punto más bajo dista 14 m del otro en dirección horizontal y 3 m en
vertical. Determinar la posición y las tensiones en las dos partes de la cuerda cuando la anilla
se para. (La cuerda es inextensible de masa despreciable aligual que la anilla frente a la masa
de la persona).
20- Un atleta que pesa 700 N se cuelga de una barra fija que suponemos indeformable. Hallar la
fuerza que ejerce cada uno de sus brazos sobre la barra cuando estos forman un ángulo de 90°.
21- Determinar las tensiones de la cuerdas inextensibles y sin
peso apreciable (AB, BC y CD), y las fuerzas F1 y F2,
siendo M = 1.000 kg
22- Tres cilindros iguales, homogéneos de radio r y masa M se
encuentran apilados en un plano horizontal, y en el equilibrio
unidos los dos inferiores por una cuerda inextensible y sin
peso apreciable de longitud 2r (ver Fig.). Si suponemos que no
existe rozamiento en los puntos de contacto; determinar la
tensión de dicha cuerda y las fuerzas que actúan sobre cada
uno de ellos en los puntos de
contacto, y con el suelo.
23- El hombre forzudo de un circo levanta a su mujer (70 kg) y a
su hijo (30 kg) colgados en los extremos de una barra, de 2
m, de peso despreciable, ¿Qué fuerza efectúa y por dónde
tiene que sostener la barra?
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24- El niño del problema anterior .digno hijo de su padre. también
sostiene la barra con el padre y la madre suspendidos en ella; la
segunda colgando de una polea enlazada al extremo de la barra,
como se indica; y el padre (80 kg), suspendido directamente, a
25 cm del mismo extremo. ¿Qué esfuerzo tiene que efectuar el
niño y por dónde tiene que sostener la barra?
25- Por qué el trabajador que va detrás se muestra tan descansado
y su compañero con tanta fatiga?
26- Determinar la fuerza perpendicular a la barra AB que hay
que aplicar en el punto D para que exista equilibrio,
suponiendo a O un punto de apoyo y los siguientes valores
de fuerzas y distancias: F1=10 kg, F2 =15 kg, F3 =5 kg, OA
=50 cm, OB =100 cm, OC =75 cm, OD = 25 cm.
Suponemos la barra tiene peso despreciable.
27- Los chicos A y B de la figura pesan respectivamente 40 y 30
kg, están montados en un tablón de 4 m de longitud apoyado en
su parte central. ¿En qué punto debe colocarse el niño C de 30
kg de peso, para que haya equilibrio?
28- Una regla de un metro de longitud, homogénea y de sección constante, tiene de masa 50 g. En
el extremo correspondiente a la división cero se cuelga una masa de 25 g y en el marcado con
la división 100 otra masa de 50 g. 1) ¿En qué división hay que colocar el punto de apoyo para
que la barra permanezca horizontal? 2) Comprobar que los resultados obtenidos en el apartado
anterior, son los mismos aunque se cambie el centro de momentos. 3) ¿Qué contrapeso habría
que añadir a la división 25 para que, apoyándose la barra por su punto medio, siguiera
quedando en equilibrio?
29- Calcular el peso P que hay que colgar de la cuerda BD que
pasa por la polea E para que exista equilibrio en la palanca
AB, siendo el ángulo OBC 
°.
30- Demostrar que cuando el peso del cuerpo puntual de la figura es
despreciable, la fuerza que actúa sobre el punto A sigue la
dirección OA. Determinar tal fuerza (compresión) y la tensión de
la cuerda. Para : 1) α = 30°; β = 30° y P=1.000kg.
2)α = 0°; β =60°y P=1.000 kg 3) α = 30°; β = 0°y P =1.000 kg.
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31- Calcular la fuerza horizontal F que es necesario aplicar al
centro de un rodillo de 100 kg de masa, y 50 cm de radio para
hacerlo pasar por encima del obstáculo representado en la
figura, que tiene 10 cm de altura.
32- Una escalera de tijera de 12 kg de masa, está formada por dos
brazos de 4 m de longitud, unidos por una cuerda horizontal a 1
m del suelo, y que forman entre sí un ángulo de 30° (ver
figura). Si la escalera soporta en su punto más alto un cuerpo de
80 kg y el rozamiento con el suelo es despreciable, determinar:
1) La fuerza normal que el suelo ejerce sobre los puntos A y B
de la escalera. 2) La tensión de la cuerda.3) La fuerza que cada
brazo ejerce sobre el otro en el punto O en el que están
engoznados.
33- Un bloque de 54 kg de peso desliza sobre una superficie con
movimiento uniforme producido por la fuerza F según se
indica en la figura. Calcular: 1) La posición de la línea de
acción de la normal cuando h =30 cm. 2) Determinar el valor
máximo que puede tener h para que el bloque deslice sin
volcar. DATOS: el coeficiente dinámico de rozamiento entre el
bloque y la superficie es 0,5 y el centro de masa del bloque se
encuentra en el centro geométrico
34-
Una escalera de mano de 4 m de longitud (centro de masa en su punto medio), está apoyada
en una pared vertical sin rozamiento apreciable y en el suelo horizontal con rozamiento,
siendo 0,4 el coeficiente estático de rozamiento entre ambos. 1) Calcular la máxima distancia
que puede separarse el pie de la escalera de la pared sin que caiga. 2) Determinar la altura
sobre el suelo a la que podría subir un hombre de igual masa que la escalera, estando el pie de
la escalera separado de la pared las 4/5 partes de la distancia máxima calculada en el apartado
anterior.
35- Una escalera de mano se apoya sobre una pared vertical y el suelo
horizontal, siendo el coeficiente estático de rozamiento en los dos
extremos 0,3. Calcular el valor mínimo que puede tomar el
ángulo ϕ que forma la escalera con el suelo para que se
mantenga sin caerse. El centro de gravedad de la escalera se
encuentra en su centro geométrico.
36- Una barra homogénea de longitud L y masa M se apoya en una pared vertical y el suelo
horizontal sin rozamientos apreciables. Para conseguir que esté en equilibrio se aplica en el
extremo inferior una fuerza horizontal F como. Determinar el valor de F para que la barra esté
en equilibrio con un ángulo de inclinación ϕ.
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CINEMATICA
37- Un móvil parte de A con una velocidad V1=40 m/seg.; 300m más adelante otro móvil con el
mismo sentido. Determinar el tiempo que tardarán ambos móviles en encontrarse y representar
gráficamente x= f(t) y v=f(t).
a) Establecemos el sistema de referencia único, a partir del cuál planteamos las ecuaciones
horarias. En nuestro caso y tratándose de un movimiento rectilíneo para ambos móviles
tomamos el origen coincidente con la posición inicial del móvil A.
b) Realizamos un grafo planteando la situación del problema, es decir:
XA = 0
XB = 300m
VA=40m/s
XE
+
VB=25m/s
c) Planteamos las ecuaciones horarias para ambos móviles
XA = 40 t [m]
XB = 300 + 25 t [m]
d) Cuando se produce el encuentro XA = XB = XE
tA = tB = t
Igualando ambas ecuaciones obtenemos
40 t = 300 + 25 t
t = 300 / (40-25) [s] = 20 s
XE = 800m y te = 20 s
e) Gráficos X = f(t) y V = g(t)
X [m]
V [m/s]
800
40
600
400
200
XB
XA
=
=3
40
5
+2
00
t
30
VA = 40 m/s = cte.
VB = 25 m/s = cte.
20
t
10
t [s]
10
20
t [s]
10
20
38- Un bloque se desliza por una cinta transportadora que posee una velocidad constante de 6 m/s
y forma con un plano horizontal un ángulo de 15º . A que distancia se deberá colocar un
recipiente para que el bloque que se encuentra a una altura de 3 m del extremo de la cinta,
caiga dentro de él.
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6m/s
A
15º
3,00m
d
Colocamos nuestro sistema de referencia en el punto A en consecuencia las condiciones iniciales
serán Xo = 0 ; Yo = 0 y to = 0
.
Vx
m
s
m
VY = Vsen 15º = 1,55
s
m
aY = g = 10 2
s
→ X = 5,80 t [m]
x
V X = V cos 15º = 5,80
Vx
V
a
.
y
X = Xo + V X (t − to)
Y = Yo + VOX (t − to) +
1
g (t − to) 2
2
→ Y = 1,55 t + 5 t 2 [m]
Para que el bloque caiga en el recipiente se debe cumplir que Y = 3m y X = d
Dado que el movimiento en el eje Y es simultáneo al que realiza sobre el eje X, en consecuencia el
tiempo que tarda en recorrer los 3m en el sentido vertical debe ser igual al que demora en
desplazarse la distancia d entonces
3 = 1,55 t + 5 t 2
0 = − 3 + 1,55 t + 5 t 2
→t =
− 1,55 ± 1,55 2 − 4 x5 x ( −3)
=
2 x5
t1 = 0,63s ; t 2 = −0,945 s
Reemplazando en X obtenemos la distancia " d" pedida
d = 5,80 x0,63 [m] = 3,65 m
39- Representar gráficamente un movimiento r variado el cuálr responde a las siguientes
(
(
(
expresiones ar ( t ) [ m / s 2 ] = ( 5 − 2t ) i + 5 j
V 0 [ m / s ] = 20i
R0 = 0
La velocidad la obtenemos por integración de la ecuación
[
] [
]
r
(
(
s
V( t ) [ m / s ] = ∫ a( T ) dt = ∫ ( 5 − 2t ) dt i + ∫ 5 dt j
r
(
(
V( t ) = ( 5t + t 2 ) i + 5t j + C
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r
(
(
El valor de la constante se establece para t O = 0 y VO = 20 i entonces C = 20 i
r
(
(
V
= ( 20 + 5t + t 2 ) i + 5t j
(t )
Para determinar el vector posición del movimiento integramos la expresión anterior.
[
] [
]
r
r
(
(
R( t ) [ m] = ∫ V(T ) dt = ∫ (20 + 5t + t 2 ) dt i + ∫ 5t dt j
v
t3
⎛5
⎞( ⎛ 5
⎞(
R( t ) = ⎜ t 2 − + 20t + C1 ⎟ i + ⎜ t 2 + C2 ⎟ j
3
⎝2
⎠
⎝2
⎠
r
El valor de la constante se establece para t O = 0 y RO = 0 entonces C 1 = C 2 = 0
v
⎛5
⎞( ⎛ 5 ⎞(
t3
R( t ) = ⎜⎜ t 2 − + 20t ⎟⎟ i + ⎜ t 2 ⎟ j
2
3
⎝2 ⎠
⎝
⎠
Las ecuaciónes paramétric as de la trayectori a serán
5
t3
X ( t ) = t 2 − + 20t
2
3
X(m)
5
Y( t ) = t 2
2
Y(m)
t(s)
t(s)
V(m/s)
V(m/s)
Vo
t(s)
t(s)
a(m/s2)
a(m/s2)
t(s)
t(s)
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40- Un cuerpo pesado lanzado horizontalmente con una velocidad inicial Vo=200 i determinar
para el instan t=10s los vectores velocidad, aceleración normal, tangencial y total, el radio de
curvatura y las ecuaciones paramétricas y cartesianas de la trayectoria. Despreciar la
resistencia del aire.
g = 10 m/s2 ; [l]= m ; [t] = s
t =0
º
V =200 i
º
X(m)
Ecuación de la trayectoria
X = V0X t = 200 t
Y = V0Y t +(1/2) g t2 = 5 t2
R(t)
a=10 j
t=10s
an
Y = X2 /8000
at
V=Vx i+Vy j
a=10 j
r
(
(
R( t ) = 200t i + 5 t 2 j
Y(m)
r
(
(
R(10 ) = 2000 i + 500 j
para t =10s
Vector posición
R(10 ) = 2.061m
La velocidad la calculamos derivando con respecto al tiempo el vector posición,
r
r
dR( t ) dR X ( dRY ( dRZ (
V( t ) =
=
i +
j+
k
dt
dt
dt
dt
r
(
(
Para t = 10s
V(10 ) = 200 i + 100 j
r
(
(
V( t ) = 200 i + 10t j
V(10 ) = 223,61m / s
La aceleración será
r
dV( t ) dV X ( dVY ( dv Z (
r
k
i +
j+
=
a( t ) =
dt
dt
dt
dt
(
r
a ( t ) = 10 j = cte.
Calculo de la aceleración normal y tangencial para t = 10s
|V| = 223,61m
t=10s
V
tg α = Y = 0 , 5 ⇒ α = 26 , 6 º β = 116 , 6 º
VX
| a t | = | a | sen α = g x sen 26 , 6 º = 4 , 5 m / s 2
Vx
a
at
β
| a n | = | a | cos α = g x cos 26 , 6 º = 8 , 9 m / s 2
Vy
V=Vx i+Vy j
t
an
Componentes cartesianas
(
(
(
(
v
a t = (| a t | cos α ) i + (| a t | sen α ) j = 4 m / s 2 i + 2 m / s 2 j
(
(
(
(
v
a n = (| a n | cos β ) i + (| a n | sen β ) j = − 4 m / s 2 i + 8 m / s 2 j
n
a=10 j
El radio de curvatura se calcula como
v
| V |2
v
| an | =
ρ
⇒
v
| V |2
v
ρ =| a n | = v
= 5 . 618 m
| an |
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41- Como resultado del estudio del movimiento de un cuerpo se obtiene la gráfica que se indica a
continuación de la velocidad en función del tiempo, sabiendo que se trata de un movimiento
rectilíneo determinar para un instante “t” donde las unidades están expresadas en el SI
a)
Ecuación de la velocidad en función del tiempo V= f(t)
b)
Ecuación de la posición en función del tiempo X= f(t) ; para t0=0 X0 =40m.
c)
Ecuación de la aceleración en función del tiempo a = f(t)
d)
Graficar X= f(t) ; V = f(t) ; a = f(t)
V [m/s]
6
V
0
a)
t
12
t [s]
La velocidad para un instante t estará dada por la ecuación de la recta que se observa en la
gráfica y que responde a la forma
V = V0 + m t
donde Vo= 6 m/s (ordenada al origen) y
m= - (6 / 12) = - 0,5 (pendiente de la recta)
quedando en consecuencia
V = 6 − 0,5 t
b)
Sabiendo que la diferencia de posición esta dada por el área encerrada entre la función que
representa la velocidad y el eje de las absisas, podemos escribir
X – X0 =( sup. triang. 0, 6, 12) – (sup. triang. 12, t, V )
⎛ (12 − t ) × (6 − 0,5 t ) ⎞
⎛ 12 × 6 ⎞ ⎛ (12 − t ) × V ⎞
X − X0 = ⎜
⎟
⎟−⎜
⎟ = 36 − ⎜
2
2
⎝ 2 ⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
resolviend o
X − 40 = 0,25 t 2 − 6t
c)
X [m ] = −0,25 t 2 + 6t + 40
Teniendo en cuenta que la ecuación de la velocidad es una recta, es decir que la velocidad
varia linealmente con el tiempo la aceleración será constante para todo el movimiento y
estará dada por la pendiente de la recta V = f(t), es decir
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⎛
⎞ ⎛ − 6 m / s ⎞⎟
m
a (t ) = ⎜⎜ Δ V ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟ = − 0 ,5 2 = cte .
⎟
⎝ Δ t ⎠ ⎜⎝ 12 s
s
⎠
d)
Graficar X= f(t) ; V = f(t) ; a = f(t)
X [m]
76
40
t [s]
0
12
V [m/s]
6
0
t [s]
12
a [m/s2]
0
t [s]
-0,5
42- Un móvil comienza el movimiento desde el reposo y se mueve con aceleración constante en
una primer observación la velocidad es de 20m/s y 80s mas tarde la velocidad es 60m/s.
Calculas a los 80s, la posición, velocidad media y aceleración en el intervalo.
Calculo de la aceleración
Cálculo de la distancia recorrida en los 80s:
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La velocidad media es
Si la aceleración es constante entonces la velocidad media es el promedio de 20m/s y 60m/s, o sea
40m/s, y con una velocidad media de 40m/s en 80s, la distancia recorrida es de 3200m.
43- Un coche está parado; arranca y acelera durante 6 segundos a razón de 2 m/s2 para seguir a
continuación con velocidad constante. En instante en que el coche empieza a moverse, es
adelantado por un camión que va a 10 m/s. Representar los gráficos espacio-tiempo y
determinar cuándo y dónde alcanza el coche al camión.
El camión lleva velocidad constante por lo que la gráfica espacio-tiempo es una línea recta:
e = 10. t
El coche parte del reposo y acelera hasta los 6 segundos por lo que en ese intervalo de tiempo la
gráfica es una parábola:
e = a.t2 /2 = 2.t2 /2 = t2
La velocidad adquirida a los 6 segundos será:
v = a. t = 2. 6 =12 m /s
A partir de ese instante el coche se mueve con velocidad constante de 12 m/s por lo que la gráfica
continúa como una recta.
En los 6 segundos el camión ha avanzado 60 m y el coche 36 m; todavía no lo ha alcanzado.
Si llamamos e al espacio recorrido y t al tiempo que transcurre desde la salida hasta el alcance:
e = 10. t
e = eacelerado + euniforme = 62 + 12.(t - 6)
Resolviendo el sistema:
10. t = 36 + 12. t - 72 →
72 - 36 = 12. t - 10. t →
t = 36 / 2 = 18 segundos desde la salida
e = 10m/s x8s = 180 m desde la salida
44- Un objeto en caída libre recorre los últimos 5 metros en 0,2 segundos. Determinar la altura
desde la que cayó.
e = g. t2 /2 , e + 5 = g. (t + 0,2)2 /2
g. t2 /2 + 5 = g. (t + 0,2)2 /2
10 = g. (0,22 +2.t.0,2) →
→
g. t2 + 10 = g. (t2 + 0,22 +2.t.0,2)
t = (10 - g. 0,22 ) / (0,4.g) = 2,45 s
e = g. 2,452 /2 = 29,43 m
h = e + 5 = 29,43 + 5 = 34,43 m
45- De dos pueblos separados 50 Km salen al mismo tiempo un coche a 72 Km/h y una moto a
108 Km/h, uno al encuentro del otro, ¿ Dónde y cuándo se encontrarán?.
Como salen a la vez, el tiempo t que tardarán en encontrarse será el mismo para los dos. Si el
coche ha recorrido x Km la moto habrá recorrido 50 - x Km
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El movimiento es uniforme para los dos por lo que hay que aplicar la ecuación e = v.t ; el espacio
e se expresará en Km, la velocidad v en Km/h y el tiempo en horas
Para el coche:
x = 72.t
Para la moto:
50 - x = 108.t
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores se obtendrá:
50 - 72.t = 108.t →
50 = 108.t + 72.t →
50 = 180.t
t = 50 / 180 = 0,28 horas tardan en encontrarse
x = 72 . 0,28 = 20 Km recorre el coche
46- Sale un coche a 72 Km/h. Cinco minutos después sale en su persecución una moto a 108
Km/h. ¿ Dónde y cuando lo alcanzará ?.
Cuando la moto alcance al coche los dos habrán recorrido la misma distancia, x, pero el coche habrá
tardado 5 minutos más en hacer ese recorrido, 5/60 = 0'0833 horas, pues salió 5 min antes.
Los dos llevan movimiento uniforme por lo que la ecuación a aplicar es e = v.t ; el espacio, e, en
Km, la velocidad en Km/h y el tiempo en horas.
Para la moto: x = 108.t
Para el coche: x = 72.(t + 5/60)
Resolviendo el sistema anterior:
→
108.t = 72.(t + 5/60)
108.t - 72.t = 6
→
108.t = 72.t + 360/60
36.t = 6
t = 6 / 36 = 0,167 horas tarda la moto en alcanzar al coche, habiendo recorrido:
x = 108 . 0'167 = 18 Km
47- Un coche va a 108 Km/h. El conductor observa a una distancia de 200 metros una señal que
limita la velocidad a 50 Km/h. Frena con una aceleración de 2 m/s2. ¿ Cuando llegue a la
señal, cumplirá el requisito ?.
Hay que determinar la velocidad que tendrá el coche después de recorrer los 200 m frenando.
La velocidad inicial es 108 Km/h, es decir, vo = 108.1000m/3600s = 30 m/s
La aceleración es negativa por ir frenando, a = - 2 m/s2
Las ecuaciones del movimiento son
v = vo + a.t
→ v = 30 - 2.t
e = vo.t + a.t2/2
Ing. José Torres Sayar
→
200 = 30.t - 2.t2/2
B00 EJERCICIOS
Pág. 15 / 56
Ecuación de segundo grado con soluciones:
t2 - 30.t + 200 = 0
t = ( 30 +- 10)/2
→
→
t = (30 +- (302 - 4.1.200)1/2 /2
t1 = 20 s
t2 = 10 s
La solución 20 segundos no es válida pues implicaría una velocidad final negativa, iría marcha
atrás. La solución correcta es t = 10 s, con una velocidad final inferior a los 50 Km/h.
v = 30 - 2.10 = 10 m/s = 36 km/h
48- Un coche partiendo del reposo se pone a 100 Km/h en 9 segundos. ¿ Qué espacio ha recorrido
en ese tiempo ?.
La velocidad inicial es vo = 0
La velocidad final es v = 100 Km/h = 100.1000 m / 3600 s = 27,78 m/s
Las ecuaciones del movimiento son:
v = vo + a.t
→
27,78 = 0 + a.9 →
a = 27,78/9 =3,09 m/s2
e = vo.t + a.t2/2
49a)
b)
c)
d)
→
e = 0.9 + 3,09.92/2 = 125 m
Un tenista golpea la pelota, la aceleración de la pelota durante el vuelo:
es la misma durante todo el trayecto.
depende de si la pelota va hacia arriba o hacia abajo.
es máxima en el punto más alto de su trayectoria.
depende de cómo se le pegó.
50- Un cañón está a 1,5 m por encima del suelo dispara horizontalmente un proyectil con una
velocidad inicial de 245 m/s.
a) ¿Cuánto tiempo estará el proyectil en el aire?
b) ¿Desde qué altura habría que soltar el proyectil para que, cayendo libremente, demore el
mismo tiempo que en el caso anterior?
c) Calcule la velocidad del proyectil (módulo, dirección y sentido) justo antes de que golpee el
suelo, para los incisos (a) y (b).
51- Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30° con la horizontal y al llegar a su
extremo queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m y el
ancho de la calle a la que cae el tejado es de 30 m. Calcular:
a) Las ecuaciones del movimiento de la pelota al quedar en libertad y ecuación de la trayectoria.
b) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared del edificio de enfrente?
c) El tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese momento, si es que ocurre.
d) La posición en que se encuentra cuando su velocidad forma un ángulo de 45° con la
horizontal.
52-
Has sido contratado como consultor para la nueva película de James Bond “Oldfinger” por tus
conocimientos de física. En una escena de riesgo, James Bond salta horizontalmente desde la
cima de un acantilado para escapar. La escena es más dramática si el acantilado tiene una
saliente a una distancia h por debajo de la cima que se extiende una distancia L desde la cara
vertical del acantilado. El coordinador de escena necesita que determines la velocidad
horizontal mínima con la que cual Bond debe saltar para que pase la saliente sin golpearla.
53- Un muchacho le arroja un disco de plástico a su perro para que lo atrape. El disco deja su
mano a 1m del piso con una velocidad vo = 11m/s y un ángulo de 30° con la horizontal. Si el
perro esta a 13 m del muchacho y corre para atrapar el disco, calcular
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a) ¿A qué velocidad corre el perro si muerde el disco a 1,5 m del piso?
b) ¿Qué distancia corre el perro?
c) Si el perro si se encontrara al lado de su dueño, ¿lograría atrapar el disco si corre a la misma
velocidad?
54- La catapulta con la que se arrojan platos de tiro esta ubicada al ras del suelo en una ladera que
tiene una pendiente de 5°. A qué velocidad dejan los platos la catapulta si caen a 214.7m
ladera a bajo cuando el tiro no le dio, si el ángulo de salida es de 25° respecto de la
horizontal?
V0
50
d
55- Un ciclista recorre una pista circular a velocidad constante. Diga cual de las siguientes
aseveraciones son ciertas:
a) su aceleración es cero.
b) su aceleración es constante.
c) tanto (a) como (b) son correctos.
d) ni (a) ni (b) son correctos.
56- Un automóvil acelera uniformemente desde 60 Km/h hasta 75 Km/h. Durante el tiempo de
aceleración, las ruedas del vehículo, de 55 cm de diámetro, hacen un total de 120
revoluciones. Calcule:
a) la aceleración angular de las ruedas.
b) el tiempo necesario para el cambio de la velocidad.
c) la distancia recorrida por el automóvil durante este tiempo.
57- Una muchacho recorre en bicicleta una ciclo vía hacia el Norte con rapidez constante. ¿Cuál
es el sentido del vector ω de las ruedas? Si desacelera al acercarse al cruce con una calle ¿en
que dirección apunta el vector α de las ruedas?
58- Una rueda de 8 cm de diámetro gira con velocidad angular constante de 100 r.p.m. durante 5
s, luego la misma disminuye uniformemente hasta detenerse en 4 s. Calcular:
a) La aceleración angular.
b) La velocidad angular 2 s después de comenzar a frenarse.
c) El ángulo total girado hasta detenerse.
d) Graficar: θ(t), ω (t), α(t) .
e) Ubicar el vector velocidad angular; ¿qué sucede con él?
f) Ubicar el vector aceleración angular.
59- La rueda A de 30 cm de radio, parte del reposo y aumenta uniformemente su velocidad
angular, a razón de 1,2 s-2. A transmite el movimiento a B, de 12 cm de radio, por medio de
una correa.
a) Obtener la relación entre las velocidades angulares de ambas
B
A
ruedas.
b) Hallar el tiempo necesario para que la rueda B alcance las 500
r.p.m.
60- Se hace girar una piedra en un círculo horizontal a 1,8 m por encima del suelo, valiéndose de
una cuerda de 1,2 m de largo. La cuerda se rompe y la piedra sale disparada en forma
Ing. José Torres Sayar
B00 EJERCICIOS
Pág. 17 / 56
61a)
b)
c)
d)
e)
horizontal llegando a una distancia de 9,1 m. ¿Cuánto valía la aceleración centrípeta durante
el movimiento?
Un buque avanza hacia el norte con v = 1 m/s; uno de sus tripulantes corre sobre la cubierta
con una v = 2 m/s con respecto al buque. Calcular la velocidad del tripulante respecto a la
orilla si corre:
Hacia el N.
Hacia el S.
Hacia el O.
Hacia el NO.
Hacia el SE.
62- Un piloto de avión desea volar hacia una ciudad situada a 500 Km al norte de su punto de
partida. El viento sopla hacia el oeste a 60 km/h. Si la velocidad de vuelo del avión (con
respecto al aire) es de l80 km/h, en qué dirección debe poner su rumbo el piloto? ¿Cuál es la
velocidad del avión respecto al suelo? (Hacer el diagrama vectorial.) ¿Cuánto tarda el piloto
en llegar a su destino? Si el piloto, una vez en destino decide regresar a su punto de partida,
¿en qué dirección deberá apuntar su avión?. ¿Cuánto tardará el viaje?.
63- Dos autos se desplazan en caminos perpendiculares, hacia el Norte y el Este respectivamente.
Si sus velocidades con respecto a la tierra son de 60 Km/h y 80 Km/h, hallar sus velocidades
relativas (módulo, dirección y sentido). ¿Depende la velocidad relativa de la posición de los
autos en sus respectivos caminos? Explicar
64- Una chica parada sobre una patineta que se mueve a 9 m/s tira una pelota de manera tal que
pase por un aro que se encuentra 4,9 m sobre su mano y lo atraviesa horizontalmente. La
velocidad con la que arroja la pelota es de 43,2 Km/h respecto a si misma.
a) ¿Cuál debe ser la componente vertical de la velocidad inicial de la pelota?
b) ¿Cuántos segundos transcurren desde que tira la pelota hasta que atraviesa el aro?
c) ¿A qué distancia del aro debe lanzar la pelota?
d) ¿Cuál es el ángulo que forma la velocidad inicial de la pelota con la horizontal?
65- El sistema de la figura parte del reposo comprobándose que
B
existe movimiento relativo entre los bloques A y B. Al
medirse las aceleraciones se obtienen los valores: aA = 3,5
m/s2 y aB = 2 m/s2 ambas hacia la derecha y medidas desde
el laboratorio. Hallar:
A
a) la aceleración relativa entre los cuerpos A y B.
b) la velocidad relativa entre ambos cuerpos cuando
transcurrieron 2 seg.
c) la posición para la cual tendrán la misma velocidad.
d) sabiendo que inicialmente los centros de masa de A y B están
separados 1 m horizontalmente, hallar el tiempo que tardarán en estar uno sobre el otro.
e) graficar x(t) para ambos móviles.
66- Demostrar que un movimiento vibratorio armónico de trayectoria recta, coincide con el
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movimiento de la proyección sobre un diámetro, de una partícula que gira uniformemente
alrededor de una circunferencia.
67- Un punto material describe uniformemente una trayectoria circular de 1 m de radio, dando 30
rpm. Expresar la ecuación del movimiento vibratorio armónico que resultaría al proyectar
sobre un diámetro las posiciones del punto material en los dos casos siguientes:
a) Se comienza a contar el tiempo cuando la proyección del punto móvil es el centro de la
circunferencia y el movimiento va en el sentido de las agujas de un reloj.
b) En el caso de comenzar a contar el tiempo cuando el radio ha girado desde la posición anterior
un ángulo de 57,328º.
68- Un M.A.S. viene dado por la ecuación x = A sen ( ωt + ϕ) siendo las condiciones iniciales
(para t = 0); x = x0 y v = v0; determinar las constantes A y j para una determinada pulsación
ω.
69- En la experiencia correspondiente a la figura el cilindro da una vuelta en 2 s. Dada una vuelta,
el dibujo que se ha realizado en el papel consta de 870 ondulaciones completas cuya máxima
dimensión transversal es 3 mm. Determinar la frecuencia, el período y la ecuación de
movimiento .supuesto vibratorio armónico simple. de la punta entintada, si entra en contacto
con el cilindro cuando pasa por su posición de equilibrio, en el sentido que se considerará de x
crecientes. Calcular también la elongación al cabo de 0,1 y 0,01 s de iniciado el movimiento.
70- La ecuación del movimiento de una partícula viene dada en el SI por la expresión: x = 10.2
cos (2pt + p/4). Calcular: 1) El período de la vibración. 2) Los valores extremos de la
velocidad y aceleración de la partícula.
71- Un punto material oscila con movimiento vibratorio armónico simple de amplitud 2 cm y
frecuencia 10 Hz. Calcular su velocidad y aceleración extremas y la velocidad y aceleración
en el tiempo t = 1/.120 s. Suponer la fase inicial nula.
2
72- La aceleración de un movimiento queda determinada por la expresión: a = 16π x, estando a
medida en cm/s2 y x (distancia al origen) en cm. Sabiendo que el desplazamiento máximo es 4
cm y que se ha comenzado a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto
máximo, en los desplazamientos positivos, determinar:
a) La ecuación del desplazamiento para cualquier instante.
b) La velocidad y aceleración extremas.
c) La velocidad y la aceleración cuando el desplazamiento es la mitad del máximo.
73- Para un M.A.S. de la partícula, su velocidad es 3 cm/s cuando su elongación es 2,4 cm y 2
cm/s cuando su elongación es 2,8 cm. Determinar la amplitud y su frecuencia angular.
Ing. José Torres Sayar
B00 EJERCICIOS
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74- Las aceleraciones extremas de un M.A.S. para una partícula son: ±158 cm/s2, la frecuencia de
las vibraciones es 4 Hz y la elongación cuando t = 0,125 s es x = 0,125 cm y v < 0. Escribir la
ecuación del M.A.S. de la partícula.
75- Una partícula que se mueve con un movimiento vibratorio armónico simple, tiene un
desplazamiento inicial x0 = 1,5 cm, una velocidad inicial dirigida en el sentido positivo del eje
X de v0 = y su período es 1 s. Determinar las ecuaciones horarias del M.A.S.
76- Una partícula vibra con un M.A.S. obedeciendo a la ecuación horaria dada en el SI: x (t) =
10.2 cos (8πt + π/6). 1) Hacer la representación gráfica x = x (t). 2) Determinar el tiempo que
tarda la partícula en pasar por tercera vez por la posición de equilibrio. 3) Calcular el espacio
recorrido por la partícula en ese tiempo.
77- La gráfica de la figura nos representa la posición en función del tiempo de una partícula que
oscila en torno al origen. Determinar: 1) Sus ecuaciones horarias x = x (t), v = v (t) y a = a (t)
y representar las dos últimas. 2) El espacio recorrido por la partícula en el primero, segundo y
tercer segundo a partir de t = 0.
78- Una partícula, suspendida de un muelle vertical, realiza un movimiento vibratorio armónico
con una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 0,5 Hz. se empieza a contar tiempo en el
instante en que la partícula está 5 cm por encima de su posición de equilibrio y bajando.
a) Obtener su ecuación de movimiento.
b) ¿En qué instantes alcanza la máxima elongación negativa?
c) ¿En qué instantes pasa por la posición inicial?
79- Una partícula realiza un movimiento vibratorio armónico en el eje OX, siendo su ecuación: x =
2 cos (2t + π/3) escrita en el SI.
a) Representar gráficamente el desplazamiento x, la velocidad v y la aceleración a en función del
tiempo t.
b) Representar gráficamente la velocidad y la aceleración en función del desplazamiento.
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DINÁMICA
80- Un cuerpo de 2000 Kg. se encuentra en un montacargas determinar
a) Si el montacargas se mueve con una aceleración constante hacia arriba de 3 m/s2 que fuerza
ejerce el montacargas sobre el cuerpo
b) Ídem, pero en el caso de que baje con a = 3m/s2 dirigida hacia abajo.
c) Ídem, pero en el caso de que baje con a = 3m/s2 dirigida hacia arriba.
d) Ídem, pero en el caso de que baje con a = g dirigida hacia abajo.
a) Realizando el esquema de cuerpo libre a los efectos de poner en evidencia las fuerzas que actúan
sobre el cuerpo y aplicando las leyes de Newton obtenemos:
F=?
r
r
∑ F = m⋅a
+
a =3m/s2
y
x
∑ Fx = 0
∑ Fy = F − P = m ⋅ a
F = m ⋅ ( g + a ) = 2000 (9,8 + 3)kg
P=m.g
b)
m
= 25 .600 N
s2
.
F=?
∑ Fy = F − P = m ⋅ (−a)
y
a =3m/s2
x
P=m.g
F = m ⋅ ( g − a ) = 2000(9,8 − 3)kg
m
= 13.600N
s2
.
c) .
F=?
a =3m/s2
y
∑ Fy = F − P = m ⋅ a
x
F = m ⋅ ( g + a ) = 2000 (9,8 + 3 )kg
V
P=m.g
d) .
m
= 25 .600 N
s2
.
F=?
∑ Fy = F − P = m ⋅ (− a )
y
x
a =g
P=m.g
Ing. José Torres Sayar
F = m ⋅ ( g − a ) = 2000(9,8 − 9,8)kg
m
=0
s2
.
B00 EJERCICIOS
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81- Los cuerpos A y B de masas 1 Kg. y 5 Kg. se encuentran uno al lado del otro sobre una
superficie horizontal, determinar.
a) Si se aplica una fuerza externa al cuerpo A de 50 N
calcular la fuerza de contacto entre ambos cuerpos.
b) Ídem en el cuerpo B.
F
B
A
c) Determinar el coeficiente de roce mínimo para que los
cuerpos no deslicen cuando se aplica la fuerza en el
cuerpo A. y la fuerza de contacto en esta situación.
a)
Dado que ambos cuerpos se mueven unidos las interacciones entre ambos constituyen pares
de acción-reacción por lo cual a los efectos de determinar la aceleración tomaremos como
sistema m1+m2 como se indica en el esquema de cuerpo libre que se efectúa a continuación
Aplicando las leyes de Newton obtenemos
N= N1 + N2
∑ Fx = F = ( m A + m B ) ⋅ a x
r
r
∑ F = m⋅a
y
∑ Fy = N − ( m A + m B ) ⋅ g = 0
x
F= 50 N
a
N = ( m A + m B ) g = 58 ,8 N
a
=
F
m
= 8 ,33 2
mA + mB
s
(mA+ mB) x g
La determinación de la interacción entre ambos cuerpos la determinamos poniendo en evidencia la
misma, es decir
N1
FC1/2
Aplicando las leyes de Newton para el cuerpo B
obtenemos
N2
FC2/1
F= 50 N
FC 2 / 1 = m B a = 41 ,67 N
Del mismo modo operando con el cuerpo A
F − FC 1 / 2 = m A a
mA x g
mB x g
FC 1 / 2 = F − m A a = 41 ,67 N
Es decir que
FC 1 / 2 = − FC 2 / 1
b) Toda vez que se trata de esquemas de cuerpos desvinculados podemos adoptar para la resolución
sistemas de referencia diferentes para cada sistema y/o cuerpo sujeto a estudio
N1
FC1/2
N2
F= 50 N
FC2/1
y
x
a
mA x g
mB x g
Aplicando las leyes de Newton a cada uno de los cuerpos obtenemos
Cuerpo A
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∑ F x = FC 1 / 2 = m(1)
A ⋅a
∑ Fy = N1 − m A ⋅ g = 0 ⇒ N1 = m A .g
∑ F x = F − FC 2 / 1 = m(2)
B ⋅a
Cuerpo B
∑ Fy = N 2 − mB ⋅ g = 0 ⇒ N 2 = m B .g
Reemplazando (1) en (2)
∑ F x = F − m A .a = m B ⋅ a
⇒
a=
F
m
= 8 ,33 2
mA + mB
s
FC 1 / 2 = m A .a = 8 ,33 N
c) Considerando que las superficies de ambos cuerpos tienen el mismo coeficiente de rozamiento
con el piso
Dado que se requiere que el cuerpo se mantenga en reposo la aceleración será nulo lo que implica
que no existen fuerzas no equilibradas en el sistema
N= N1 + N2
FR1
r
∑F = 0
∑ F x = F − ( FR1 + FR 2 ) = 0
∑ Fy = N − ( m A + m B ) ⋅ g = 0
F= 50 N
y
FR2
x
(mA+ mB) x g
0 = F − ( FR 1 + FR 2 ) = F − μ g ( m A + m B )
μ=
F
= 0 ,85
g (m A + m B )
Para determinar la fuerza de contacto entre los cuerpos aislamos el cuerpo A, es decir
N1
FR1
∑ Fx = F − FR1 − FC 1 / 2 = 0
F=50 N
FC1/2
FC 1 / 2 = F − μ g m A = 41,67 N
mA x g
82- Un cuerpo de 2 Kg. se encuentra unido al centro de un disco giratorio a través de un resorte
que tiene una longitud natural de 0,12 m y constante elástica k =200 N/m, si entre el disco y
el cuerpo existe un rozamiento µ = 0,2 determinar el número de revoluciones mínimo y
máximo a que debe girar el disco para que el cuerpo se mantenga girando a una distancia de
0,22 m del centro
Ing. José Torres Sayar
B00 EJERCICIOS
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esquema de cuerpo
libre “nmin”
0,22 m
esquema de cuerpo
libre “nmax”
N
k
m
ac
Fe
n max
n min
N
+
Fr
Fe
Fr
mg
mg
Cuando el disco gira a baja velocidad el cuerpo por efecto de la Fe tenderá a desplazarse hacia el
centro en consecuencia la fuerza de rozamiento estará dirigida hacia el exterior del disco,
encontraremos en esta situación número mínimo de revoluciones del sistema. Aplicando las Leyes
de Newton en el esquema precedente obtenemos.
r
r
∑ F = m.a
⇒
∑ FY = m aY → N − m g = 0
∑ FX = m a X → FE − FR = m aC
Recordando que el valor de la fuerza elástica y máximo de la fuerza de roce están dados por la
expresión:
FR = μ .N = μ ⋅ m ⋅ g = 0,2 ⋅ 2kg ⋅ 9,8
FE = k .ΔX = 200
m
= 3,92 N
s2
N
⋅ (0,22 − 0,12) m = 40 N
m
Obtenemos
F − FR k ⋅ ΔX
aC = E
=
−μ⋅g=
m
m
aC = ω 2 ⋅ R
n=
30
π
ω=
π ⋅n
30
=
200
N
⋅ 0,20 m
m
m
m
− 0,2 ⋅ 9,8 2 = 18.04 2
s
s
2 kg
aC
R
aC
= 86,47 r. p.m
R
Si incrementamos la velocidad de rotación, debido a su “inercia” el cuerpo tenderá a
desplazarse hacia el exterior del disco en el caso límite de este desplazamiento calcularemos en
número máximo de revoluciones a que puede girar el cuerpo en forma solidaria al disco, en
consecuencia.
∑ FY = m aY → N − m g = 0
r
r
∑ F = m.a
⇒
∑ FX = m a X → FE + FR = m aC
En lo que respecta al valor de la fuerza elástica dado que no se modifica la longitud del
resorte su valor es el ya calculado, en lo respecta a la fuerza de roce máximo su modulo es el mismo
pero se modifica su sentido oponiéndose al desplazamiento inminente del cuerpo.
Consecuentemente operando algebraicamente obtenemos:
Pág. 24 / 56
F + FR k ⋅ ΔX
=
+μ⋅g=
aC = E
m
m
aC = ω 2 ⋅ R
n=
ω=
π ⋅n
30
=
200
N
⋅ 0,20 m
m
m
m
+ 0,2 ⋅ 9,8 2 = 21,96 2
2kg
s
s
aC
R
30 aC
= 95,41r. p.m
π R
Consecuentemente para que el cuerpo no se desplace sobre la superficie del disco, el rango en el
cual debe girar será:
95,41r. p.m. ≥ n ≥ 86,47 r. p.m.
83-
.
Determine algebraicamente la aceleración de un bloque situado en un plano inclinado con
rozamiento que forma un ángulo α con la horizontal
N
F
R
m
µ
α
nα
mg
mg
c os
α
+
α
mg
se
.
Para resolverlo adoptemos un sistema con sus ejes paralelos y normales a la superficie del
plano, determinamos las componentes en cada uno de ellos y aplicamos las ecuaciones de Newton.
r
r
∑ F = m.a
⇒
∑ FY = N − m g cos α = m aY
∑ FX = m g senα − FR = m a X
Dado que el cuerpo no se puede mover en la dirección “y” por su vínculo con el plano
inclinado implica que la componente de la aceleración en esta dirección es nula ay=0
Resolviendo
N = m g cos α ⇒ FR = μ .N = μ .m.g . cos α
a X = g senα − μ g cos α = g ( sen α − μ cos α )
Nótese que la aceleración ax sólo puede tener sentido positivo por lo cuál el valor mínimo del
ángulo que forma el plano inclinado para que se produzca este movimiento estará dado cuando el
valor encerrado en el paréntesis sea nulo o mayor que cero.
Ing. José Torres Sayar
B00 EJERCICIOS
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En consecuencia
μ cos α ≤ senα
μ ≤ tgα para que exista movimiento
84-
Calcular el peso en N de un cuerpo cuya masa es de 540 Kg.
85-
Calcular la aceleración de un cuerpo de 45 kg. al aplicarle una fuerza de 2250N Rta.: 50 m/seg2.
86-
Calcular el peso de un cuerpo al que se le aplica una fuerza de 5400N y produce una
aceleración de 0,72 m/seg2. Rta.: 7,4.10 4 N
87-
Qué fuerza será necesaria para que un cuerpo de 500N de peso alcance una velocidad de
30m/s en 10 seg. partiendo del reposo? Rta.: 150 N
88-
Estamos en los últimos minutos del partido que está empatado. A Diego le toca patear el
último penal. Ubica la pelota de 1,5 Kg. a doce metros del arco y tras un breve trote patea el
balón que llega en 0,3 seg. a las manos del arquero quien se ha arrojado 4m al costado para
atajar. ¿ Con qué fuerza le pega en la mano ? (ojo, hay que calcular la distancia que recorre la
pelota) Rta.: 421,64 N
89-
Un cuerpo de 20 kg. recorre 200 m en 5 seg. ¿qué fuerza lo impulsaba? Rta.: 320 N
90-
En un laboratorio se estudia una extraña partícula. Ella es capaz de recorrer 200000 m cuando
se le aplica una fuerza de 500N, en apenas 0,032 seg. Hallar la masa de esta partícula.
Rta.: 5292 N
Rta.:1,28 10-6 kg.
91-
Un vagón cuya masa es de dos toneladas se halla fuera de control, corriendo con una
velocidad de 54 Km./h. ¿Qué fuerza habrá que aplicarle para que se detenga a los 100m? Rta.:
– 2250 N
92-
¿por qué un cuerpo cae si se encuentra sobre un plano inclinado ? (recomendación, hacer el
dibujo y descomponer la fuerza ) Rta.: P. Sen α
93-
Siendo la constante de rozamiento estático 0,25 ¿Cuánta fuerza se debería hacer para arrancar
un auto de 1500 Kg. (masa)? Rta.: F < 375 N
94-
Para tirar de una podadora de césped que pesa 550 N sobre un camino horizontal, un hombre
efectúa una fuerza de 400 N con un ángulo de 30º respecto al suelo. Determinar, suponiendo
que parte del reposo: a) fuerza que hace el sobre horizontal y verticalmente. b) fuerza normal
c) aceleración que desarrolla d) espacio que recorre en 10 seg. e) velocidad que alcanza en ese
punto.
Rta: a) 346,4 N i + 200 N j
b) 350 N
c) 6,3 m/seg.2
d) 314,92 m e) 63 m/seg.
95-
Un cuerpo de 500 N de peso recorre 150 m en 15 seg. partiendo del reposo; siendo la fuerza
de rozamiento de 50 N determinar el valor de la constante de rozamiento y el valor de la
fuerza aplicada. Rta: α = 0,1; F = 216,7 N
96-
Hallar la aceleración y la tensión en cada caso.
Rta: a) 2,4m/seg2 ; b)2,8 m/seg2 28 N; c) 2 m/seg2 ; 16 N; d) 0,4 m/seg2 ; 26 N
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97-
Resolver el ejercicio anterior suponiendo que el suelo tiene un coeficiente dinámico de
rozamiento de 0,2. Rta: a) 0,76 m/seg2
b) 0,8 m/seg2 ; 28 N c) 0,3 m/seg2 ; 18,38 N d) no se mueve.
98-
Un hombre de 60 Kg. está parado sobre una balanza dentro de un ascensor que sube a 1
m/seg. Al llegar a destino frena con una aceleración de 2 m/seg2. Entonces, en ese tramo, la
balanza indicará: a) 720 N b) 600 N c) 660 N d) 480 N e) otro valor Rta: d.
99-
En el sistema de la figura el cuerpo A se desplaza 200 m. hacia la derecha en 10 seg.
Determinar: a) aceleración de cada uno de los cuerpos; b) fuerza actuante en la cuerda; c)
módulo de la fuerza F2. Rta.: a) 4 m/seg. b) 50 N c) 90 N
100- Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 N adquiere una aceleración de 5
m/s2. Rta.: 4 kg
101- ¿Qué masa tiene una persona de 65 Kg. de peso en:
a) Un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,8 m/s2. b) Otro lugar donde la
aceleración de la gravedad es de 9,7 m/s2. Rta.: 66,33 kg y 67,01 kg
102- Si la gravedad de la Luna es de 1,62 m/s2, calcular el peso de una persona en ella, que en la
Tierra es de 80 Kg.. Rta.: 13,22 Kg.
103- ¿Qué aceleración tiene un cuerpo que pesa 40 Kg., cuando actúa sobre él una fuerza de 50 N?.
Rta.: 1,25 m/s2
104- Calcular la masa de un cuerpo que aumenta su velocidad en 1,8 km/h en cada segundo cuando
se le aplica una fuerza de 60 Kg. Rta.: 120 kg
105- Si al tirar de una masa m1, ésta experimenta una aceleración a, ¿cuál
debe ser la masa m2 que se agrega, como indica la figura, para que
tirando con la misma fuerza, la aceleración que logre el sistema sea a/2
? Rta.: a=m1/(2.g +a)
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106- Las masas A, B, C, deslizan sobre una superficie horizontal debido a la fuerza aplicada F =
10 N. Calcular la fuerza que A ejerce sobre B y la fuerza que B ejerce sobre C.
Datos: m A =10 kg
m B = 7 kg m C = 5 kg Rta.: 4,54 N y 3,18 N
107- Un cuerpo de masa m, se suelta en el punto más alto de una superficie semiesférica de 3 m de
radio, y resbala sin rozamiento. Determinar el punto en cual deja de tener contacto con la
superficie. Rta.: 3 m
108- Un alpinista baja deslizándose por una cuerda de manera que su aceleración de descenso es de
1/8 de g, calcular la tensión de la cuerda. Rta.: 7/8 de su peso
109- Un paracaidista de 80 Kg. de peso, salta a 5000 m de altura. Abre su paracaídas a 4820 m y en
10 s reduce su velocidad a la mitad. Calcular la tensión en cada uno de los 12 cordones que
tiene el paracaídas. Rta.: 240 N
110- ¿Cuál será el peso de un cuerpo en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,7969
m/s2, si en un lugar donde la gravedad es normal pesa 30 N?. Rta.: 29,97 N
111- Determinar el peso de un cuerpo en un lugar donde g = 980,66 cm/s2, si por acción de una
fuerza constante de 16 N, posee una aceleración de 8 m/s2. Rta.: 19,61 m/s2
112- A un cuerpo que pesa 50 N, se le aplica una fuerza constante de 10 N, determinar:
a) ¿Cuál es su masa?. b) ¿Qué aceleración le imprime la fuerza?. Rta.: a) 5 kg b) 2 m/s2
113- Un cuerpo de masa m = 10 kg esta apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento,
una persona tira horizontalmente de una soga inextensible fija al bloque con una fuerza de 20
N.
a) Analizar cuales son los pares de acción y reacción en las intersecciones de la mano con la
soga, la soga con el bloque, el bloque con la tierra y con el plano sobre el que esta
apoyado.
b) Calcular la aceleración del bloque, suponiendo despreciable la masa de la soga. Rta.: b) 2
m/s2
114- En el sistema de la figura, la fuerza aplicada a la cuerda AB es de 40 N, el cuerpo pesa 50 N.
Despreciando el rozamiento, determinar: a) El módulo de la fuerza de vínculo (reacción del
plano). b) El módulo de la aceleración del cuerpo puntual. Rta.: a) 25,93 N b) 6,39 m/s2
115- Un cuerpo de masa m = 60 kg esta apoyado sobre un plano de inclinación 37°, como muestra
la figura. La intensidad de la fuerza F que ejerce la soga AB es de 500 N. Despreciando el
rozamiento, calcular el módulo de la aceleración del bloque. Rta.: 0,637 m/s2
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116- Dos bloques están en contacto como muestra la figura, sobre una mesa. Se aplica una fuerza
horizontal constante de 3 N. Si m1 = 2 kg y m2 = 1 kg, despreciando el rozamiento calcular:
a) La aceleración que adquiere el sistema. b) La fuerza de interacción entre ambos cuerpos.
Rta.: a) 1 m/s2
b) 2 N y -1 N
117- Enuncia el principio de acción y reacción.
118- ¿Cómo enuncia el principio de masa?.
119- El peso ¿es una constante o una variable del cuerpo?.
120- Defina el Newton.
121- ¿Cuál es la unidad de masa en el SIMELA?.
122- Un bloque de 5 kg de masa está sostenido por una cuerda que tira de él hacia arriba con una
aceleración de 2 m/s2.
a) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?.
b) Después de haberse puesto en movimiento el bloque, la tensión de la cuerda disminuye a 49
N. ¿Qué clase de movimiento tendrá entonces el bloque?.
c) Si se afloja completamente la cuerda, se observa que el bloque asciende aún 2 m antes de
detenerse. ¿Qué velocidad llevaba cuando se aflojó la cuerda?.
Rta: a) 59 N b) M.R.U. c) 6,26 m/s
123- Un cuerpo está suspendido de una balanza de resorte sujeta al techo de un elevador.
a) Si el elevador tiene una aceleración hacia arriba de 2,45 m/s2 y la balanza indica 50 N, ¿cuál
es le verdadero peso del cuerpo?.
b) ¿En qué circunstancias indicará la balanza 30 N?.
c) ¿Qué indicará la balanza si se rompe el cable del elevador?.
Rta: a) 40 N b) 2,45 m/s2 c) 0 N
124- Una caja de 20 kg de masa descansa sobre la plataforma de un camión. El coeficiente de
rozamiento entre la caja y el suelo es de 0,1. El camión inicia su marcha con una aceleración
de 2 m/s2. Si la caja se encuentra a 5 m del final del camión cuando éste arranca, determinar:
a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que la caja salga despedida del camión por su parte
trasera?.
b) ¿Qué distancia recorrerá el camión en ese tiempo?.
Rta: a) 3,13 s b) 9,8 m
125- Un tren de pasajeros consta de una locomotora y dos vagones. La masa de la locomotora es de
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6000 kg y la de cada vagón es de 2000 kg. El tren sale de una estación con una aceleración de
0,5 m/s2, determinar: a) La tensión en el enganche entre la locomotora y el primer vagón. b)
La tensión en el enganche entre los vagones. c) La fuerza horizontal total que ejercen las
ruedas de la locomotora sobre el riel. Rta: a) 2000 N b) 1000 N c) 5000 N
126- Un bloque descansa sobre un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. El
coeficiente de rozamiento cinético es de 0,5 y el estático de 0,75. Calcular: a) El valor de α
para que el bloque comience a deslizarse. b) La aceleración cuando el bloque comenzó a
deslizarse. c) El tiempo necesario para que el bloque se deslice 6,096 m por el plano
inclinado. Rta: a) 36,9° b) 1,95 m/s2 c) 2,5 s
127- Una fuerza horizontal constante de 40 N actúa sobre un cuerpo situado en un plano horizontal
liso. Partiendo del reposo, se observa que el cuerpo recorre 100 m en 5 s.
a)¿Cuál es la masa del cuerpo?. b) Si la fuerza deja de actuar al cabo de 5 s, ¿qué distancia
recorrerá el cuerpo en los 5 s siguientes?. Rta: a) 5 kg b) 200 m
128- Un cuerpo de 15 kg de masa reposa sobre un plano horizontal sin rozamiento y se le aplica
una fuerza horizontal de 30 N. a) ¿Qué aceleración se produce?. b) ¿Qué espacio recorrerá el
cuerpo en 10 s?. c) ¿Cuál será su velocidad al cabo de 10 s?. Rta: a) 2 m/s2 b) 100 m c) 20 m/s
129- Un cuerpo de 10 kg de masa se mueve con una velocidad constante de 5 m/s sobre una
superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es de 0,20.
a)¿Qué fuerza horizontal se necesita para mantener el movimiento?. b) Si se suprime la fuerza
¿cuándo se detendrá el movimiento?. Rta: a) 19,6 N b) 2,55 s
130- Un electrón (masa = 9.10-31 kg) sale del cátodo de una lámpara de radio partiendo del reposo
y viaja en línea recta hasta el ánodo, que está a 0,01 m de distancia, y llega con una velocidad
de 6.106 m/s. Si la fuerza que lo acelera es constante (despreciar la fuerza gravitatoria sobre el
electrón), calcular: a) La fuerza de aceleración. b) El tiempo que empleó en llegar al ánodo.
c) La aceleración. Rta: a) 1,62.10-15 N b) 3,33.10-9 s c) 1,8.1015 m/s2
131- Un satélite de comunicaciones de 200 kg de masa se encuentra en una órbita circular de
40000 km de radio alrededor de la Tierra (la masa de la Tierra es 5,97.1024 kg). ¿Cuál es la
fuerza gravitatoria sobre el satélite?. Rta: 49,8 N
132- La masa de la Luna es, aproximadamente, 1/81 de la masa de la Tierra, y su radio ¼ del de
ésta. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna?. Rta: 1,94 m/s2
133- Un elevador de 2000 kg de masa sube con una aceleración de 1 m/s2. ¿Cuál es la tensión del
cable que lo soporta?. Rta: 21600 N
134- Si el coeficiente de rozamiento entre los neumáticos de un automóvil y la carretera es 0,5,
calcular la distancia más corta para poder detener el automóvil si éste viaja a una velocidad de
96,56 km/h. Rta: 73,76 m
135- Una fuerza de 10 Kg. actúa sobre una masa que se desplaza con una velocidad de 20 cm/s y al
cabo de 5 s le hace adquirir una velocidad de 8 cm/s, ¿cuál es la masa del
cuerpo?.Rta:m=4086,1 kg
136- Si la tensión en el cable de un ascensor es de 2800 N, el peso del ascensor es de 300 Kg. y
transporta a una persona de 80 Kg. de peso. Calcular:
a) ¿Qué aceleración tiene?. Rta: a = 2,49 m/s2
b) ¿El ascensor sube o baja?. Rta: el ascensor desciende.
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137- Calcular para el sistema de la figura su aceleración y la tensión en la cuerda si m1 = 12 kg,
m2 = 8 kg y α = 30º. Rta: a = 2 m/s2
T = 24 N
138- Con los datos del problema anterior calcular α para que el sistema tenga una aceleración de 3
m/s2. Rta:  α = 48° 35' 25"
139- Sea un paralelepípedo rectángulo de hierro (d = 7,8 g/cm3) cuya base es de 32 cm2 y su altura
es de 20 cm, determinar:
a) La masa. Rta: m = 5 kg
b) La aceleración que le provocará una fuerza constante de 100 N.
Rta: a = 20 m/s2
c) La distancia recorrida durante 30 s. Rta: e = 9000 m
140- Sobre un cuerpo actúa una fuerza constante de 50 N mediante la cual adquiere una aceleración
de 1,5 m/s2, determinar:
a) La masa del cuerpo. Rta: m = 33,33 kg
b) Su velocidad a los 10 s. Rta: v = 15 m/s
c) La distancia recorrida en ese tiempo. Rta: e = 75 m
141- ¿Cuál será la intensidad de una fuerza constante al actuar sobre un cuerpo que pesa 50 N si
después de 10 s ha recorrido 300 m?.
Rta: F = 812,7 N
142- ¿Cuál será la fuerza aplicada a un cuerpo que pesa 12800 N si lo hace detener en 35 s?, la
velocidad en el instante de aplicar la fuerza era de 80 km/h.
Rta: F = 30 N
143- Un cuerpo posee una velocidad de 20 cm/s y actúa sobre él una fuerza de 120 N que después
de 5 s le hace adquirir una velocidad de 8 cm/s. ¿Cuál es la masa del cuerpo?. Rta: m = 5000
kg
144- Impulsado por una carga explosiva, un proyectil de 250 N atraviesa la cámara de fuego de un
arma de 2 m de longitud con una velocidad de 50 m/s, ¿Cuál es la fuerza desarrollada por la
carga explosiva?. Rta: F = 15625 N
145- Un cuerpo de masa 3 kg está sometido a la acción de dos fuerzas de 6 N y 4 N dispuestas
perpendicularmente, como indica la figura, determinar la aceleración y su dirección
Rta: a = 2,4 m/s2 α = 33° 41' 24"
146- Determinar la fuerza F necesaria para mover el sistema de la figura, considerando nulos los
rozamientos, si la aceleración adquirida por el sistema es de 5 m/s2. Rta: R = 160 N
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B00 EJERCICIOS
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TRABAJO Y ENERGÍA
147- Transformar 250 kgm a Joul y Kwh. Resp: 2451,75 J
148- ¿Cuántos kgm y Joul representan 25 Kwh.?
6,81.10-4 Kwh.
Resp: 2451,75 J
149- Indicar cuántos Joul y Kwh. son 125478 kgm. Resp: 9.107 J
6,81.10-4 kW.h
9.177.118 kgm
150- Indicar el trabajo necesario para deslizar un cuerpo a 2 m de su posición inicial mediante una
fuerza de 10 N. Resp: L = 20 J
151- ¿Qué trabajo realiza un hombre para elevar una bolsa de 70 Kg. a una altura de 2,5 m?.
Expresarlo en:
a) kgm
Resp: 175 kgm
b) Joule Resp: 1716,225 J
c) Kwh. Resp: 0,000477 Kwh.
152- Un cuerpo cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 4 N, ¿qué trabajo deberá
efectuarse para elevarlo hasta el lugar desde donde cayo?. Expresarlo en:
a) Joule. Resp: 176,526 J
b) kgm. Resp: 18 kgm
153- Responder:
a)
b)
c)
d)
e)
¿Qué es el trabajo mecánico?.
¿En que unidades se mide el trabajo?.
¿Cuáles son sus equivalencias?.
Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay trabajo?.
¿Las máquinas simples, realizan trabajo?.
154- Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s
cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60
m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5
ms?.Rta.: 3000 N
155- Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo
de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del
impacto? Rta.: 2,5 m/s
156- Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N en
4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?. Rta.: 10 m/s
157- Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y adquiere una
velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo actuó el
palo sobre la pelota?. Rta.: t = 0,0196 s
158- Una pelota de futbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s mediante un
puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota? Rta.: F = 170 N
159- Determinar la masa de una esfera metálica que por acción de una fuerza de 20 N durante 0,3 s
le provoca una velocidad de 2 m/s. Rta.: m = 3 kg
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160- A un cuerpo de 980 kg se le aplica una fuerza constante de 40 N durante 5 s. Calcular el
impulso total y el incremento de velocidad. Rta.: J = 200 N/s ΔV = 0,204 m/s
161- A un cuerpo de 50 kg de masa se le aplica una fuerza de 150 N durante 5 s, calcule el impulso
y el incremento de velocidad. Rta.: J = 750 N/s ΔV = 15 m/s
162- Hallar la energía cinética en cada uno de los siguientes casos
a) una pelota cuando es lanzada con v = 40m/s y masa 0,15 kg.
b) Un aerobista que corre a 3 m/s y pesa 80 kg.
c) Un buque carguero que se aproxima a puerto con v = 1m/s y masa 3.107 kg.
163- En la figura se grafica la fuerza en función del tiempo, que actúa sobre un cuerpo de masa 4
kg que se encuentra en movimiento con una velocidad inicial V0 = 4m/s. El movimiento es
rectilíneo y la fuerza es aplicada en su misma dirección y sentido, determinar:
a) La velocidad del cuerpo cuando se mueve desde el origen hasta t1 = 3 s
b) La velocidad del cuerpo cuando se mueve desde t1 = 3 s hasta t2 = 7 s
c) La velocidad del cuerpo cuando se mueve desde el origen hasta la posición final t2 = 7 s
F [N]
4
º
3
º
2
1
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
t [s]
-1 º
164- Un cuerpo de masa m tiene una velocidad V0 dirigida hacia la parte alta de un plano inclinado
de ángulo α respecto de la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano
es μκ ¿Que distancia deslizara el cuerpo hacia arriba antes de detenerse? Resolver a)
aplicando las leyes de Newton y b) conceptos de energía.
165- Un coche de 1800 kg de peso asciende por una rampa y sigue luego por un camino horizontal.
Entre el piso y las ruedas el coeficiente de roce es μκ = 0,4 en todo el trayecto. Sobre la
rampa de 50m el conductor va acelerando de manera que VA = 12 m/s y VB = 15 m/s.
a) Calcular para el tramo AB la variación de energía mecánica del coche, el trabajo realizado
por la fuerza de roce y el trabajo que realizó el motor del coche.
b) Al llegar a B el conductor detiene el motor y el coche sigue hasta detenerse en C calcular
la distancia BC
B
C
V
30º
A
166- Un bloque de 3 kg de masa se desliza por un tobogán AB sin fricción. En el punto E
comprime un resorte de constante k = 70 N/cm, produciendo un acortamiento máximo de 20
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B00 EJERCICIOS
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cm. Si en el tramo BC actúa una fuerza de roce constante de módulo 2N y no existe roce el
resto del trayecto hallar:
a) La altura del punto A medida desde el tramo BC
b) El trabajo que realiza el peso del bloque en el trayecto ABCDE.
E
A
D
CD= 4m
h
B
α = 30º
C
BC= 5m
20cmD
167- En la figura se grafica la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa 4 kg que se encuentra en
movimiento en función de la posición. El movimiento es rectilíneo y la fuerza es aplicada en
su misma dirección y sentido, determinar:
a) El trabajo que realiza la fuerza F cuando el cuerpo se mueve desde el origen hasta x1 = 3m
b) El trabajo que realiza la fuerza F cuando el cuerpo se mueve desde x1 = 3m hasta x2 = 7m
c) El trabajo que realiza la fuerza F cuando el cuerpo se mueve desde el origen hasta la
posición final x2 = 7m
F [N]
4
º
3
º
2
º
1
º
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
X [cm]
-1 º
168- Si son necesarios 14,7 Kw. para mover un automóvil de 1.200 kg sobre una ruta horizontal a
la velocidad de 50 km/h
a) Cuál es la fuerza total que se opone al movimiento.
b) Que potencia es necesaria para que el auto suba una pendiente del 10% a 50 km/h.
c) Que potencia es necesaria para que el auto baje a 50 km/h una pendiente del 2%.
d) Que pendiente permitirá bajar el auto a 50 km/h con el motor detenido.
169- Una masa puntual cae por una superficie esférica sin roce, con que ángulo la masa abandona
la superficie y cuanto valen las componentes intrínsecas de la aceleración.
170- El vector posición de una partícula de
(
(
(
r
r = (t 3 − 2)i + (1 − t ) j + (3t 2 − 6) k determinar:
(
(
a) La aceleración. Rta. ar = (6ti + 6 k )( m / s 2 )
b) El trabajo en el tercer segundo. Rta. 1912,5 J
5
kg
expresado
en
el
SI
es
171- Un cuerpo de 20 kg es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad de 50 m/s.
Determine:
a) La Ec, Ep y Em iniciales.
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b) Ec y Ep después de 3s.
c) Ec y Ep a 100m de altura.
d) La altura del cuerpo la Ec se reduce un 80% de su valor inicial.
172- Una partícula de masa m está unida a un resorte de constante elástica k, el resorte se estira una
distancia d y se suelta. Relacione la energía potencial de la partícula en x = d con la energía
cinética en x=0 ¿Cuál es la velocidad de la partícula en x=0?.
173- En el esquema de la figura determinar despreciando la fuerza de rozamiento:
a) Desde que altura H debe dejarse deslizar el bloque para recorrer el rulo BCDE.
b) Si h = 2/3 H describa el movimiento posterior del bloque
c) Si H = 3R hallar la reacción sobre el bloque en B,C,D y E, que fuerza soporta el riel.
d) Grafique Ep = f(x), Ec = f(x) y Em = f(x)
m
A
D
R
E
C
h
B
SISTEMA DE PARTICULAS
174- Un patinador de 80 Kg. de masa le aplica a otro de 50 Kg. de masa una fuerza de 25 Kg.
durante 0,5 s, ¿qué velocidad de retroceso adquiere el primero y que velocidad final toma el
segundo?.
Datos.
m1 = 80 Kg.
m2 = 50 Kg.
F = 25 kgf = 25 kgf.9,8.665 N/1 kgf = 245,17 N
t = 0,5 s
Según la definición de impulso:
I = F.t → I = 245,17 N.0,5 s → I = 122,58 kg.m/s
El impulso en el momento del choque es el mismo para ambos cuerpos y el impulso también es
igual a la cantidad de movimiento.
I = m1.v1 → I/m1 = v1 → v1 = (122,58 kg.m/s)/80 kg → v1 = 1,53 m/s
I = m2.v2 → I/m2 = v2 → v2 = (122,58 kg.m/s)/50 kg → v2 = 2,45 m/s
175- Un hombre colocado sobre patines arroja una piedra que pesa 80 N mediante una fuerza de 15
N que actúa durante 0,8 s, ¿con qué velocidad sale la piedra y cuál es la velocidad de
retroceso del hombre si su masa es de 90 kg?.
Datos.
P1 = 80 N
m2 = 90 kg
F = 15 N
Ing. José Torres Sayar
B00 EJERCICIOS
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t = 0,8 s
Se adopta g = 10 m/s2
Según la definición de impulso:
I = F.t → I = 15 N.0,8 s → I = 120 kg.m/s
P1 = m1.g → m1 = P1/g →
m1 = 80 N/10 m/s2 → m1 = 8 kg
El impulso en el momento del lanzamiento es el mismo para ambos cuerpos y el impulso también es
igual a la cantidad de movimiento.
I = m1.v1 → I/m1 = v1 → v1 = (120 kg.m/s)/8 kg → v1 = 15 m/s
I = m2.v2 → I/m2 = v2 → v2 = (120 kg.m/s)/90 kg → v2 = 1,33 m/s
176- Con una escopeta se dispara un cartucho de 100 perdigones de 0,4 g cada uno, los que
adquieren una velocidad de 280 m/s, ¿cuál es la velocidad de retroceso del arma si pesa 5 kg?.
Datos.
m1 = 0,4 g = 0,0004 kg
m2 = 5 kg
v = 280 m/s
Cantidad = 100 perdigones
Primero calculamos la masa del total de perdigones.
mp = 100x0,0004 kg → mp = 0,04 kg
Según la definición de impulso:
I = m1.v1 → I = 0,04 kg.280 m/s → I = 11,2 kg.m/s
Este impulso es el mismo para la escopeta.
I = m2.v2 → I/m2 = v2 → v2 = (11,2 kg.m/s)/5 kg → v2 = 2,24 m/s
177- Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y adquiere una
velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo actuó el
palo sobre la pelota?.
Datos.
m1 = 0,05 kg
v1 = 95 m/s
F = 242,2 N
Según la definición de impulso:
I = F.t = m.v
F.t = m1.v1 → t = m1.v1/F → t = 0,05 kg.(95 m/s)/242,2 N → t = 0,0196 s
178- Una escopeta de masa 5,8 kg lanza un proyectil de masa 20 g con una velocidad inicial de 750
m/s. ¿cuál será la velocidad de retroceso?.
Datos.
m1 = 5,8 kg
m2 = 20 g = 0,02 kg
v2 = 750 m/s
Según la definición de la cantidad de movimiento:
m1.v1 = m2.v2 → v1 = m2.v2/m1 → v1 = 0,02 kg.(750 m/s)/5,8 kg → v1 = 2,59 m/s
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179- Una pelota de futbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s mediante un
puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota?.
Datos.
m1 = 850 g = 0,85 kg
v1 = 40 m/s
t = 0,2 s
Según la definición de impulso y de la cantidad de movimiento:
F.t = m1.v1 → F = m1.v1/t → F = 0,85 kg.(40 m/s)/0,2 s → F = 170 N
180- Determinar la masa de una esfera metálica que por acción de una fuerza de 20 N durante 0,3 s
le provoca una velocidad de 2 m/s.
Datos:
F = 20 N
t = 0,3 s
v = 2 m/s
Según la definición de impulso y cantidad de movimiento:
F.t = m.v → m = F.t/v → m = 20 N.0,3 s/(2 m/s) → m = 3 kg
181- A un cuerpo de 980 kg se le aplica una fuerza constante de 40 N durante 5 s. Calcular el
impulso total y el incremento de velocidad.
Datos:
m = 980 kg
F = 40 N
t=5s
Según la definición de impulso:
I = F.t → I = 40 N.5 s → I = 200 N.s
Según la definición de impulso y cantidad de movimiento:
I = m.v → v = I/m → v = 200 N.s/980 kg → v = 0,204 m/s
182- A un cuerpo de 50 kg de masa se le aplica una fuerza de 150 N durante 5 s, calcule el impulso
y el incremento de velocidad.
Datos:
m = 50 kg
F = 150 N
t=5s
Según la definición de impulso:
I = F.t
I = F.t → I = 150 N.5 s → I = 750 N.s
Según la definición de impulso y cantidad de movimiento:
I = m.v → v = I/m → v = 750 N.s/50 kg → v = 15 m/s
183- Una pelota de béisbol de 0,15 Kg. de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s
cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60
m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?.
Rta.: 3000 N
184- Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un
tiempo de 0,01seg, si la bola tiene una masa de 0,2 Kg., ¿qué velocidad adquirió la bola luego
del impacto?.Rta.: 2,5 m/s
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185- Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 Kg. aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N
en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?.Rta.: 10 m/s
186- Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de agua es de
5 m/s, su caudal es de 300 cm3/s, si la densidad del agua es de 1 g/cm3 y se supone que el
agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la
pared? Rta.: 1,5 N
187- 5) Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 Kg. de masa sobre un bloque de 1,8 Kg. de
masa que está en reposo sobre una superficie horizontal, luego del impacto el bloque se
desplaza 1,8 m y la bala se detiene en él. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el
bloque y la superficie es de 0,2, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?.Rta.: 1073 m/s
188- Se dispara una bala de 0,01 Kg. de masa contra un péndulo balístico de 2 Kg. de masa, la bala
se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 m medidos verticalmente, ¿cuál era la velocidad
inicial de la bala?. Rta.: 309,8 m/s.
189- Una partícula A de masa mA se encuentra sujeta por medio de un resorte comprimido a la
partícula B de masa 2.mA, si la energía almacenada en el resorte es de 60 J ¿qué energía
cinética adquirirá cada partícula luego de liberarlas?. Rta.: 20 J y 40 J
190- Un cuerpo de masa m1 = 2 Kg. se desliza sobre una mesa horizontal sin fricción con una
velocidad inicial v1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la misma dirección y sentido se
encuentre el cuerpo de masa m2 = 5 Kg. cuya velocidad inicial es v2i = 3 m/s, éste tiene
adosado un resorte en su parte posterior, cuya constante elástica es k = 1120 N/m, ¿cuál será
la máxima compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?.Rta.: 0,28 m
191- Un patinador de 80 Kg. de masa le aplica a otro de 50 Kg. de masa una fuerza de 25 Kg.
durante 0,5s, ¿qué velocidad de retroceso adquiere el primero y que velocidad final toma el
segundo?. Rta.: V1 = 1,53 m/s V2 = 2,45 m/s
192- Un hombre colocado sobre patines arroja una piedra que pesa 80 N mediante una fuerza de 15
N que actúa durante 0,8 s, ¿con qué velocidad sale la piedra y cuál es la velocidad de
retroceso del hombre si su masa es de 90 Kg.?. Rta.: V1 = 15 m/s; V2 = 1,33 m/s
193- Con una escopeta se dispara un cartucho de 100 perdigones de 0,4 g cada uno, los que
adquieren una velocidad de 280 m/s, ¿cuál es la velocidad de retroceso del arma si pesa 5
Kg.?. Rta.: V2 = 2,24 m/s
194- Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y adquiere una
velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 Kg., ¿durante cuánto tiempo actuó el
palo sobre la pelota?. Rta.:
t = 0,0196 s
195- Una escopeta de masa 5,8 Kg. lanza un proyectil de masa 20 g con una velocidad inicial de
750 m/s. ¿cuál será la velocidad de retroceso? Rta.: V1 = 2,59 m/s
196- Una pelota de fútbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s mediante un
puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota?. Rta.: F = 170 N
197- Determinar la masa de una esfera metálica que por acción de una fuerza de 20 N durante 0,3 s
le provoca una velocidad de 2 m/s. Rta.: m = 3 Kg.
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198- A un cuerpo de 980 Kg. se le aplica una fuerza constante de 40 N durante 5 s. Calcular el
impulso total y el incremento de velocidad. Rta.: I = 200 N.s; V = 0,204 m/s
199- A un cuerpo de 50 Kg. de masa se le aplica una fuerza de 150 N durante 5 s, calcule el
impulso y el incremento de velocidad. Rta.: I = 750 N.s ; V = 15 m/s
200- Un cubo posee una rotación “z” tal que su eje coincide con una de sus aristas. La arista del
cubo mide 0,6 m y la velocidad angular vale 2 s-1. hallar la componente de la velocidad en
cada una de las aristas del cubo.
201- Si el la vértice coincidente con el origen de coordenadas del cubo del ejercicio anterior se
desplaza con una velocidad cuya componente en el eje “x” es de 2m/seg y en el eje “y” de 1,5
m/seg determinar la velocidad en cada uno de los vértices.
202- Un alumno de sentado en un taburete giratorio, esta girando con una velocidad de 0,2 rad/seg
sosteniento en sus manos dos pesas de 2kg a una distancia de su eje de rotación de 0,60m,
extiende sus brazos de manera que la distancia entre las pesas es de 1,60m y su velocidad
angular pasa a ser de 0,08 rad/seg. Determinar el momento de inercia del alumno y la
velocidad de rotación si con los brazos extendidos suelta las pesas.
203- Una escalera de 4m de longitud se encuentra apoyada sobre un muro vertical, si el extremo
apoyado sobre el piso se desliza, cuando la misma forma un ángulo de 60º, con una velocidad
constante de 0,4 m/seg cual será la velocidad y aceleración del extremo que se desplaza
apoyado en el muro vertical.
204- Un disco circular de 10 cm de diámetro rueda sin
deslizar entre dos placas A y B que se mueven
paralelamente en sentidos opuestos, si la velocidad de
la placa A es de 4m/s y la de la placa B de 6m/s,
localizar el centro instantáneo de rotación y
determinar las velocidades y aceleraciones de los
puntos O y D.
r
m
205- Determinar a que altura de una bola de billar de radio R debe aplicarse un impulso horizontal
a los efectos de ruede sin deslizar a partir de que recibe el golpe del taco.
206- Un cuerpo de masa m está atado a una cuerda ligera arrollada sobre el eje
de un volante de radio r y se apoya en rodamientos de fricción
despreciable. Cuando se la libera partiendo del reposo en cuerpo
desciende 180cm en 8 seg. Hallar el momento de inercia del conjunto, la
tensión en la cuerda, aceleración lineal de m y aceleración angular del
conjunto polea eje, en función de m y r
r
m
207- Un cilindro macizo de M = 5 kg y R = 20cm rueda sin
resbalar sobre una superficie horizontal cuando actúa una
fuerza F = 25N según el esquema de la figura. Calcular la
aceleración del centro de masa, indicar el sentido y valor de la
fuerza de rozamiento.
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HIDROESTATICA
208- El peso específico de un aceite es de 850 kgr/m3; encontrar su peso específico y su densidad
relativa ?.Sist.Técnico
209- Si 6 m3 de un aceite tienen una masa de 5.080 kgr, calcular su densidad, su peso específico y
su densidad relativa?.
210- El peso de 5m3 de un aceite es de 41.000 Newton. Calcular en el Sistema Técnico su peso,
densidad, peso específico y su densidad relativa?
En el Sistema Técnico:
211- Determinar la presión en un punto sumergido a 6 m de profundidad en una masa de agua.
En el sistema MKS tenemos:
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212- A qué profundidad de un aceite de densidad relativa de 0,750, se producirá una presión de 2.80
Kg / cm2 A cual sí el líquido es agua?
En el Sistema Técnico tenemos:
Si fuera agua gw = 1.000 Kg/ m3
213- Convertir una altura de presión de 5 m de agua en altura de aceite de densidad relativa 0,750
Trabajando con unidades del Sistema Técnico tenemos:
6,67 m de aceite
214- Con referencia a la figura, las áreas del pistón A y del cilindro B son respectivamente de 40 cm²
y 4000 cm²; B pesa 4000 Kgr. Los depósitos y las conducciones están llenos de aceite de
densidad relativa 0,750. Cual es la fuerza F necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia
el peso de A?
Como los puntos a y b están al mismo nivel (igual profundidad) dentro de un mismo líquido, entonces
están a la misma presión. En el Sistema Técnico de unidades tenemos:
Ing. José Torres Sayar
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215- Determinar la presión manométrica en la tubería de agua A en Kgr/cm2 debida a la columna de
mercurio (densidad relativa 13,6) en el manómetro en U mostrado en la figura
p B = pC
Por ser puntos que están a un mismo nivel dentro de un mismo
líquido en reposo.
p A + γ w hw = γ Hg hHg
En el Sistema Técnico tenemos:
Otra forma de resolverlo es empleando las alturas de presión en metros de agua.
En este problema se sumaron alturas de un mismo líquido, como debe ser, en éste caso metros de
agua.
216- Un manómetro (Tubo en U) que contiene mercurio (densidad relativa σ Hg = 13.6), tiene su brazo
derecho abierto a la presión atmosférica y su brazo izquierdo conectado a una tubería que
transporta agua a presión. La diferencia de niveles de mercurio en los dos brazos es de 200 mm.
Si el nivel del mercurio en el brazo izquierdo está a 400 mm por debajo de la línea central de la
tubería, encontrar la presión absoluta en la tubería. También encontrar la nueva diferencia de
niveles del mercurio en el manómetro, si la presión en la tubería cae en 2 x 103 N/m2.
Comenzando por el brazo izquierdo y haciéndolo por alturas de presión tenemos:
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a)
La presión absoluta correspondiente será:
pabs = 14,05 N/m2
pabs = (22,76 * 103 + 101,396) N/m2
b) Si la presión baja en 2 x 103 N/m2, los niveles del mercurio se modificarán tal como aparecen en la
figura
p
Reemplazando los valores de ρg
p
ρg
N
m2
= 2 ,116 m
Kgr
m
10 3 3 × 9,81
m
seg 2
20 ,76 × 10 3
Por lo tanto
2,116 m = 2,32 m – 26,2 X
X=
2,32m − 2,116 m 0,204
=
m = 7,786 × 10 −3 m
26,2
26,2
La nueva diferencia de niveles será:
200 mm - 2X = 200 mm – 15,57 mm = 184,43 mm
Otra manera de resolver la segunda parte de este problema sería:
De la figura 5 se observa que cuando el manómetro no está conectado al sistema, los niveles de
mercurio en ambos brazos se igualarían a 300 mm debajo de la línea central de la tubería.
Escribiendo la ecuación manométrica para las nuevas condiciones tenemos
Ing. José Torres Sayar
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217- Determinar la fuerza resultante F debida a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular
AB de medidas 1 m x 2 m que se muestra en la figura
h0 = hcg +
Ig
Sen 2θ
Ahcg
1
8
1× 2 3 m 4
m
h0 = 2,2m + 12 2
Sen 2 90 0 = 2,2m + 12 = 2,35m
2 × 1m × 2,2m
4,4
Ubicación Por prisma de presiones:
Ubicación
h0 = hcg +
Ig
Sen 2θ
Ahcg
Volumen Rectángulo = g x 1,2m x 2m x 1m = 2400 Kgr con aplicación de este empuje en el centro
de gravedad del Rectángulo.
VolumenTri angulo =
γ × (3,1 − 1,2) m × 2 × 1m
2
= 2000 Kgr
Empuje que estaría aplicado a 2/3 de la altura del triángulo, a partir del vértice del mismo.
Tomando sumatoria ( S de Momentos con respecto al punto O en el vértice del triángulo
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4400 Kgr X(m) = 2400 Kgr 2,2 m + 2000 Kgr (2/3(2)+1,2) m
X (m) =
5280 Kgr( m ) + 5066,66 Kgr( m )
4.400 Kgr
= 2,35m
218- Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre el área triangular CD de 1,2 m
X 1,8 m mostrada en la figura, C es el vértice del triángulo.
F = g hcg A
Sen45 0 =
CF =
1m
CF
1m
= 1,414m
Sen45 0
Como es un triángulo, su centro de gravedad estará a 2/3 de C o sea 2/3 1,8 m = 1,2 m de C
g X cg = 1,414 m + 1,2m = 2,614 m y el hcg será:
hcg
Sen 45° =
2,614m
hcg = 2,614m × Sen 45° = 1,848m
Kgr
1,2m × 1,8m
F = γhcg × A = 1000 3 × 1,848m ×
= 1995,84 Kgr
m
21
Ubicación del Empuje
1,2m × 1,8 3 m 3
Ig
= 2,614m + 36
X cp = X cg +
1,2m × 1,8m
AX cg
× 2,614m
2
Xcp = 2,683 m de F
Ig = 1/36 bh3
1
1,2m × 1,8 3 m 3
Ig
hcp = hcg +
Sen 2 45 0 = 1,848m + 36
Sen 2 45 0
×
1
,
2
m
1
,
8
m
Ah cg
× 1,848m
2
hCP = 1,848 m + 0,0974 Sen² 45º
hCP = 1,897 m
219- Cual es el peso específico del agua en el sistema de unidades técnico?, en el sistema M.K.S.?.
R a) 1.000 Kg/m3: b) 9.810 N/m3
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220- Cual es la densidad del agua en el sistema de unidades técnico y M.K.S.?.
R: a) 101,94 UTM / m3 b) R: a) 1.000 Kg/m3
221- si 7 m3 de un aceite tienen una masa de 6020 kgr(m); calcular su densidad, su peso específico y
su densidad relativa .R: a) 860 Kg / m3 b) 8436,6 N/m3 c) 0.86
222- En el sistema de unidades M.K.S., cuanto pesan 4,8 m3 de un aceite de densidad relativa 0,83 y
cual sería su peso en el sistema técnico R: 39083,04 N; 3984 kgr(F);
223- Cuantos m3 de aceite de densidad relativa 0,85 hay en un recipiente, si la masa es de 3850
kgr(m)?.R: 4,529 m3.
224- Si la masa de un volumen de agua es de 7860 U.T.M., cual será el volumen?.R: 77,106 m3.
225- Cual será el volumen de un aceite de densidad relativa 0,75, si su masa es la equivalente a la
masa de 3 m3 de agua ?.R: 4m3.
226- Cual será la densidad relativa de un aceite si su volumen es el equivalente al peso de 13270 N de
agua y el peso del aceite es de 9955 N ?.R: 0,75.
227- Demuestre que la condición necesaria para que un líquido de densidad variable permanezca en
equilibrio en un campo gravitacional es que el peso específico sea constante en cada capa
horizontal. Demuestre que el equilibrio será estable sólo si las capas más densas del líquido
permanecen bajo las menos densas.
228- Determine la intensidad de la presión en A, si la
presión en B es de 1.4 kg/cm
229- Un tubo de vidrio con un extremo cerrado tiene 120 cm de
longitud el cual se llena completamente con mercurio, después de
lo cual su extremo abierto es sumergido en un recipiente lleno de
mercurio y el tubo es colocado en posición vertical como se
muestra en la figura. Determine la intensidad de la presión dentro
del tubo en su punto más alto y a una altura de 75 cm del extremo
abierto del tubo.
230- Por la parte superior del tanque A está entrando gas
freón-12 a 19°C y se está condensando. encuentre la
presión absoluta en el tanque B.
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231- Un manómetro de un solo brazo es útil puesto que sólo es necesaria una lectura para medir una
presión diferencial. Para el manómetro mostrado en la figura, determine la razón necesaria entre
el diámetro interior del tubo y el diámetro de la cisterna, si la altura marcada con H, en la
columna de mercurio, debe estar dentro del 0.1 % de la altura correspondiente a la diferencia de
presión real
232- La longitud de la columna de líquido para una presión diferencial dada, es aumentada inclinando
el brazo del manómetro. Para el manómetro mostrado en la figura, la razón de los diámetros de la
cisterna al tubo del manómetro es 10 : 1. Determine el ángulo (Y si la verdadera presión
diferencial es 12 kg/m2 cuando L = 30 cm, donde L es medida desde la posición de presión cero
del fluido en el manómetro, en el tubo inclinado.
233- Determine las fuerzas horizontal, vertical y resultante actuando sobre una compuerta cilíndrica
de 3 m de diámetro y 9 m de longitud, la cual está en agua a una profundidad de 2.25 m como
muestra la figura 1-24. ¿Cuál es la dirección y línea de acción de la resultante?
234- El tanque de almacenamiento ilustrado en la figura está dividido en dos compartimientos que
están separados por una compuerta cuadrada de 60 X 60 cm, articulada en la parte superior y con
un tope en el fondo del tanque. El lado izquierdo contiene aceite crudo de GE = 0.90 y el lado
derecho, gasolina de GE = 0.75. El lado del aceite está lleno hasta una profundidad de h., =
1.50m. Determine la profundidad de la gasolina, h,, de forma tal que no se ejerza fuerza sobre el
tope y para qué profundidad, se abrirá la compuerta rectangular basculante A mostrada en la
figura ? Despréciese el peso de la compuerta.
Ing. José Torres Sayar
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235- Para qué profundidad, h, se abrirá la compuerta rectangular basculante A mostrada en la figura?
Despréciese el peso de la compuerta.
236- La descarga de un canal está controlada por una compuerta basculante contrapesada. La
compuerta rectangular es de 2,40 m de altura por 3 m de ancho. Determine el valor del peso W,
de modo que el agua se vierta justamente cuando la profundidad de ésta en el canal sea de 1.20
m.
237- Un cilindro de 60 cm de diámetro, 1.20 m de longitud, y cuyo peso es de 34 kg flota en agua, con
su eje en posición vertical. Un ancla, que pesa 2,400. kg/ms en el aire, cuelga de su extremo
inferior. Determine el peso total del ancla, en el aire, suponiendo que el fondo del cilindro está
sumergido 90 cm bajo la superficie del agua.
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HIDRODINÁMICA
238- Por una tubería de 30 cm de diámetro circulan 1800 l/min, reduciéndose después el diámetro
de la tubería a 15 cm. Calcular las velocidades medias en ambas secciones de la tubería.
239- Si la velocidad en una tubería de 30 cm es de 0,5 m/seg, cuál será la velocidad en el chorro de
7,5 cm de diámetro que sale por una boquilla unida al extremo de la tubería?
240- Una tubería de 300 mm de diámetro que transporta agua a una velocidad promedio de 4,5
m/seg, se divide en 2 ramales de 150 mm y 200 mm respectivamente. Si la velocidad
promedia en la tubería de 150 mm es 5/8 de la velocidad en la tubería principal; determinar la
velocidad media en la tubería de 200 mm y el flujo total en el sistema en l/seg.
241- El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 20 cm en A; a 40 cm en B, A está 4,5 mts
abajo de B, si la presión relativa en A es de 0,7 Kgr/cm2 y en B de 0,6 Kgr/cm2 cuando hay
105 lts/seg de gasto.
Determinar:
a) El sentido del flujo b) La pérdida de frotamiento entre los dos puntos.
a) El sentido del flujo quedará determinado por la suma de las energías en A y en B; la corriente irá
del punto de mayor energía al de menor energía.
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Suma de energías en B:
Suma de energías en A:
Como 10,536 > 7,568 m, entonces la circulación del flujo es de B hacia A.
b) Tomando la diferencia entre la suma de las cargas, tenemos:
Este resultado indica que por cada kilogramo de agua que pasa de B a A se pierden 2,968
kilográmetros de energía; o lo que es lo mismo las pérdidas de energía entre A y B son de 2,968
kilográmetros por cada kilogramo de agua.
242- El diámetro en el tubo de la figura anterior cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en
B; A está 4,5 mts abajo de B. Si la presión en A es 0,7 kgm/cm2, y en B de 0,6 kg/cm2,
determínese el gasto en lts/seg despreciando el rozamiento.
Por el Teorema de Bernoulli:
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243- El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B, Figura anterior.
A está 4,5 m abajo de B. Cuál debe ser la diferencia de presiones registradas por 2
manómetros colocados en A y B cuando hay un gasto de 200 lts/seg, despreciando el
rozamiento?
Por el Teorema de Bernoulli:
244- El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B, Figura anterior.
A está 4,5 m abajo de B. Determínese el gasto en lts/seg cuando hay la misma presión en los
dos puntos. Depréciese el rozamiento.
m3
seg
VA =
AA m 2
Q
AB = 0 ,126 m 2
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Aplicando el Teorema de Bernoulli entre A y B
245- El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B. Si la presión en
A es de 0,20 Kgr/cm2 mayor que en B, cuál es la diferencia de nivel entre esos dos puntos si
fluye un caudal de 200 lts/seg? Despréciense las pérdidas.
Aplicando el Teorema de Bernoulli entre A y B:
246- En la figura se muestra un sifón que descarga agua de un tanque. La diferencia de nivel entre
un punto A en la superficie libre y el vértice del sifón es: a = 1,5 mts y la diferencia de nivel
entre el vértice y un punto B en la salida es de: b = 6,4 mts; el diámetro de la tubería es de
0,15 mts.
Si hay una pérdida por rozamiento de 0,90 mts entre A y el vértice del sifón, y de 1,10 mts
entre el vértice y B; ¿Cuál es la presión absoluta en el vértice expresada en Kgr/cm2?
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Determínese también el gasto en lts/seg. La presión atmosférica del lugar es de 58,6 cm de Hg.
Aplicando Bernoulli entre A y B
VA = 0
pA = pB en este caso, presión atmosférica en ambos puntos
hB = 0, sí nuestro nivel de referencia pasa por el punto B.
Como se considera flujo permanente, 7,54 m/seg es la velocidad corriente en todo el sifón.
Bernoulli entre A y C
Como la presión en el punto C es superior a cero, entonces si es posible el flujo por el sifón de las
condiciones anteriores; ya que se estaba trabajando con presión absoluta:
247- Cuál es la velocidad media en una tubería de 15 cm, si el caudal de agua transportado es de
3800 m3/día?. Resp. 2,48 m/seg.
248- 211.-Qué diámetro debe tener una tubería para transportar 2 m3/seg. a una velocidad media de
3 m/seg.?.
Resp. 92 cm.
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249- Una tubería de 30 cm de diámetro, que transporta 110 l/seg., está conectada a una tubería de
Resp. 1,97 m
15 cm. Determinar la altura de velocidad en la tubería de 15 cm.
250- Una tubería de 15 cm de diámetro transporta 80 l/seg. La tubería se ramifica en otras dos, una
de 5 cm y la otra de 10 cm de diámetro. Si la velocidad en la tubería de 5 cm es de 12 m/seg.,
Cuál es la velocidad en la tubería de 10 cm
Resp. 7,20 m/seg.
251- Una tubería de 30 cm de diámetro transporta 110 l/seg. de un aceite de densidad relativa 0,812
y la presión manométrica en A es de 0,20 kg/cm2. Si el punto A está situado 1,80 m por
encima del plano de referencia, calcular la energía en A en m.
Resp. 4,27 m.
252- A través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro fluye agua a una presión de 4,20
kg/cm2. Suponiendo que no hay pérdidas, cual es el caudal si en una reducción de 7,5 cm de
diámetro la presión es de 1,40 kg/cm2 ?.
Resp. Q = 107 l/seg.
253- Si en el problema 6 fluye un aceite de densidad relativa 0,752, calcular el caudal ?.
Resp. 123 l/seg.
254- Si lo que fluye en el problema 6 es tetracloruro de carbono (densidad relativa 1,594),
determinar Q.
Resp. 85 l/seg.
255- A través de una tubería vertical de 30 cm de diámetro fluyen hacia arriba 220 l/seg. de agua.
En el punto A de la tubería la presión es 2,20 kg/cm2. En el punto B, 4,60 m por encima de A,
el diámetro es de 60 cm y la pérdida de carga entre A y B es igual a 1,80 m. Determinar la
presión en B en kg/cm2.
Resp. 1,61 kg/cm2.
256- Una tubería de 30 cm de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce
gradualmente hasta 15 cm y de nuevo aumenta a 30 cm. La sección de 15 cm está 60 cm por
debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 cm, donde la presión es de 5,25 kg/cm2. Si
entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio, cual es la
lectura del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120 l/seg?. Supóngase
que no existen pérdidas.
Resp. 17,6 cm.
257- Una tubería de 30 cm de diámetro transporta aceite de densidad relativa 0,811 a una velocidad
de 24 m/seg. En los puntos A y B las medidas de la presión y elevación fueron
respectivamente 3,70 kg/cm2 y 2,96 kg/cm2 y 30 m y 33 m. Para un flujo permanente,
determinar la pérdida de carga entre A y B.
Resp. 6,12 m.
258- Un recipiente suministra agua a través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro y 300
m de longitud. El flujo es a tubería llena y desagua en la atmósfera un caudal de 65 l/seg. Cuál
es la presión en la mitad de la longitud de la tubería al suponer que la única pérdida de carga
es de 6,20 m cada 100 m de tubería?
Resp. 0,93 kg/cm2.
259- Un aceite de densidad relativa 0,750 es bombeado desde un depósito por encima de una colina
a través de una tubería de 60 cm de diámetro, manteniendo una presión en el punto más
elevado de la línea de 1,80 kg/cm2. La parte superior de la tubería está 75 m sobre la
superficie libre del depósito y el caudal de aceite bombeado es de 620 l/seg. Si la pérdida de
carga desde el depósito hasta la cima es de 4,70 m, que potencia debe suministrar la bomba al
líquido?. Resp. 645 CV.
260- Una bomba aspira agua de un pozo mediante una tubería vertical de 15 cm. La bomba
desagua a través de una tubería horizontal de 10 cm de diámetro, situada 3,20 m sobre el nivel
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del agua del pozo. 224.-Cuando se bombean 35 l/seg, las lecturas de los manómetros
colocados a la entrada y a la salida de la bomba son -0,32 kg/cm2 y +1,80 kg/cm2,
respectivamente. El manómetro de descarga está situado 1 mt por encima del manómetro de
succión. Calcular la potencia de salida de la bomba y la pérdida de carga en la tubería de
succión de 15 cm.
Resp. 10,4 CV y 0,80 m.
261- Calcular la perdida de carga en una tubería de 15 cm de diámetro si es necesario mantener una
presión de 2,35 kg/cm2 en un punto aguas arriba y situado 1,80 m por debajo de la sección de
la tubería por la que desagua en la atmósfera 55 l/seg de agua. Resp. 21,70 m.
262- Un depósito cerrado de grandes dimensiones está parcialmente lleno de agua, y el espacio
superior con aire a presión. una manguera de 5 cm de diámetro, conectada al depósito desagua
sobre la azotea de un edificio, 15 m por encima de la superficie libre del agua del depósito.
Las pérdidas por fricción son de 5,50 m. Que presión de aire debe mantenerse en el depósito
para desaguar sobre la azotea un caudal de 12 l/seg?.
Resp. 2,24 kg/cm2.
263- Mediante una bomba se bombea agua desde un recipiente A, a una elevación de 225 m, hasta
otro depósito E, a una elevación de 240 m, a través de una tubería de 30 cm de diámetro. La
presión en la tubería de 30 cm en el punto D, a una elevación de 195 m, es de 5,60 kg/cm2.
Las pérdidas de carga son : de A a la entrada de la bomba B = 0,60 m, de la salida de la
bomba C hasta D = 38 v2/2g y desde D a E = 40 v2/2g. Determinar el caudal Q y la potencia
en CV suministrada por la bomba BC.
Resp. 166 l/seg. y 83 CV.
264- Desde un depósito hay que transvasar un caudal de agua de 89 l/seg mediante un sifón. El
extremo por el que desagua el sifón ha de estar a 4,20 m por debajo de la superficie libre del
agua en el depósito. Los términos de pérdida de carga son: 1,50 V2/2g desde el depósito hasta
la parte más elevada del sifón y 1V2/2g desde esta al desagüe. La parte superior del sifón está
1,50 m por encima de la superficie del agua. Determinar el diámetro de la tubería necesaria y
la presión en la parte superior del sifón.
Resp. 15,3 cm y -0,45 kg/cm2
265- Se está ensayando una tubería de 30 cm para evaluar las pérdidas de carga. Cuando el caudal
de agua es de 180 l/seg, la presión en el punto A de la tubería es de 2,80 Kg/cm2. Entre el
punto A y el punto B, agua abajo y 3 m más elevado que A, se conecta un manómetro
diferencial. La lectura manométrica es de 1 mt, siendo el líquido mercurio e indicando mayor
presión en A. Cuál es la pérdida de carga entre A y B
Resp. 12,57 m
266- La bomba B comunica una altura de 42,20 m al agua que fluye hacia E, como se muestra en la
figura. Si la presión en C es de -0,15 Kg/cm2 y la pérdida de carga entre D y E es 8V2/2g.
Cuál es el caudal?
Resp. 275 Lts/seg
267- En el sistema mostrado en la figura, la bomba BC debe conducir un caudal de 160 ltrs/seg de
aceite de densidad relativa 0.762, hacia el depósito D. Suponiendo que la pérdida de energía
entre A y B es de 2.50 m y entre C y D es de 6.50 m; calcular la potencia de la bomba en CV.
Resp. 88 CV.
Ing. José Torres Sayar
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268- De una represa se le suministra agua a una turbina mediante una caída de 20 m. Cuando la
turbina recibe 500 ltrs/seg, las pérdidas en la tubería de suministro de 300 mm son de 2.5 m.
Determinar la presión a la entrada de la tubería, si en la tubería de salida de 600 mm se
presenta una presión negativa de -30 KN/m2 en un punto situado 1.5 m por debajo de la línea
de suministro. Determinar : a) La energía absorbida por la turbina en KW, si se desprecian
todas las pérdidas por fricción entre la entrada y la salida de la turbina. b) La energía
suministrada por la turbina, si su eficiencia es del 85%. Resp. a) 107,41 KW; b) 91,30 KW.
269- Determinar: a) El caudal Q en m3/seg, b) La presión en C en kg/cm2 y c) La potencia en C,
en CV, tomando como plano de referencia el que pasa por E.
Resp. a) 0,086 m3/seg; b) -0,106 kg/cm2; c) 9,85 CV
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