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EFA MORATALAZ
MATEMÁTICAS 1º ESO
RESUMEN DE LO MÁS DESTACADO DEL TEMARIO
DE MATEMÁTICAS PARA 1º DE LA ESO
TEMA 1.- NÚMEROS NATURALES.
1.- Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
2.- Jerarquía de las operaciones con números naturales:
.
.
.
.
1º
2º
3º
4º
Efectuar las operaciones con paréntesis
Multiplicaciones y divisiones
Sumas y restas
Empezar de izquierda a derecha
Ejemplo:
7+5 -2 + 3(5-1) +2 = 7+5 – 2 +3(4) +2 = 12-2+12+2 = 10+14 = 24
3.- Potencias
Propiedades de las potencias:
1. Potencia de un producto: es el producto de cada uno de los factores
elevado cada uno a esa potencia.
Ejemplo: (5 • 3) = (5 • 3) • (5 • 3) = 3 • 5 • 3 • 5 = (5 • 5) • (3 • 3) = 5 2 • 3 2
2
propiedad
propiedad
conmutativa asociativa
2. La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del
dividendo y la potencia del divisor
Ejemplo: (6 : 2 ) = 6 2 : 2 2
2
3. Producto de potencias de la misma base. Es igual a otra potencia
con la misma base y como exponente la suma de todos los
exponentes.
Ejemplo: 3 2 • 35 = 3 2+ 5 = 3 7
4. El cociente de potencias de la misma base es igual a otra potencia
de la misma base y se restan los exponentes.
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Ejemplo: 5 8 : 5 3 = 5 8−3 = 5 5
5. Potencia e una potencia. Es igual a otra potencia de la misma base y
se multiplican los exponentes
(7 ) = 7
(7 • 2 ) = 7
3 3
Ejemplo:
9
3 6
6
• 218
6. Otros casos.
La potencia de un número elevado a 1 es ese mismo número.
61 = 6
La potencia de un número elevado a 0 es igual a 1.
60 = 1
Las potencias de base 10 son iguales a 1 seguidas de tantos ceros como
indica el exponente.
10 3 = 1000
10 5 = 100000
10 8 = 100000000
TEMA 2. DIVISIBILIDAD
1.- Conceptos básicos
-Múltiplos de un número son los números que se obtienen multiplicando
ese número por un número natural.
-
Un número es múltiplo de otro si al efectuar la división de ese
número la división es exacta.
16 ÷ 4 = 4
(no tienen resto ninguno)
24 ÷ 2 = 12
-
Divisor. Un número es divisor de otro si lo divide de manera exacta.
10 ÷ 5 = 2
-
5 es divisor de 10
Si un número a es múltiplo de un número b, entonces b es divisor de
a.
Si un número acaba en 0 entonces es divisible por 10
4530 ÷ 10 = 453
- Si un número acaba en 00, entonces es divisible por 100
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MATEMÁTICAS 1º ESO
7200 ÷ 100 = 72
2.- Otros criterios de divisibilidad
Divisibilidad por 2
Divisibilidad por 3
Divisibilidad por 5
Divisibilidad por 10
Divisibilidad por 11
Nºs terminados en 0 o
par
Si la suma de sus cifras
es múltiplo de 3
Nºs. terminados en 0 o
en 5
Nºs. terminados en 10,
por 100 si acaban en 00,
por 1000 si acaban en
000, etc.
Si la diferencia entre la
suma de sus cifras de
lugar par y las cifras de
lugar impar es 0 o
múltiplo de 11
14,24, 70, 48,…
42, 81, 300,…
25, 30, 155,…
10, 720, por 10
100, 4500, por 100
1000, 784000, por
1000,..
22, 132, 616, 1375
3.- Números primos. Son aquellos que sólo tienen como divisores a
ellos mismos y a la unidad (1)
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,…
4.- Números compuestos. Son aquellos que tienen más de dos
divisores (ellos mismos, la unidad y otros)
Ejemplo: el número 8, tiene como divisores al 8, 1, 2 y 4
¿Cómo se sabe si un número es primo?
Se divide por todos los números primos que existen, desde el más
pequeño en adelante (1, 2, 3, 5,…), hasta llegar a un cociente que sea
menor que el divisor, sin que ninguna división sea exacta. En ese caso
el número es primo.
Ejemplo:
107 ÷ 2
107 ÷ 3
107 ÷ 5
107÷ 7
07 53
17
35
07
21
37 15
1
2
2
2
107 ÷ 11
08
9
9 < 11 Luego el 107 es primo
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5.- Descomposición factorial de un número natural es su
expresión en forma de producto de números primos.
.Ejemplo:
50
25
5
1
2
5
5
36 2
18 2
9 3
3 3
1
50= 2 • 5 • 5 = 2 • 5
36 = 2 2 • 3 2
2
6.- Máximo Común Divisor (M.C.M) de varios números naturales se
hace haciendo su descomposición factorial y multiplicando los factores
comunes elevados al menor exponente resultante de cada
descomposición de cada número.
Ejemplo:
60
30
15
5
1
2
60 = 2 • 3 • 5
2
2
3
5
18 2
9 3
3 3
1
18 = 3 2 • 2
M.C.D = 2 • 3 = 6
7.- Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) de varios nºs. naturales se
obtiene haciendo sus descomposiciones factoriales y multiplicando los
factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente,
resultante de esas descomposiciones factoriales.
Ejemplo:
27 3
9 3
3 3
1
27 = 33
15 3
5 5
1
15 = 3 • 5
M.C.M = 33 • 5
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TEMA 3. FRACCIONES
1.- Conceptos básicos
-
Fracción: es un número que representa o indica una parte de la
unidad. También se puede definir como un cociente, un división.
Denominador: partes en las que se divide la unidad.
Numerador: partes que se toman de la unidad.
2.- Tipos de fracciones
-
Fracción propia :
3
4
el numerador es menor que el denominador Ej:
-
Fracción impropia: el numerador es mayor que el numerador. Ej:
-
Fracción unidad: numerador = denominador. Ej:
7
4
5
5
3.- Fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes si representan
la misma cantidad:
1 2
a c
= ⇒ =
2 4
b d
Comprobación:
a•d = b•c
1• 4 = 2 • 2 = 4
4.- Operaciones con fracciones
a) Suma y resta de fracciones con el mismo denominador. Se suman o
restan los numeradores y se mantienen el mismo denominador.
Ejemplo:
4 3 7
4 2 2
+ = ⇒⇒⇒⇒⇒ − =
5 5 5
7 7 7
b) Para sumar y restar fracciones de distinto denominador se hace:
a. Se reducen todas las fracciones a común denominador. Para ello
se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m) de todos los
denominadores.
b. Se divide ese denominador común, el m.c.m obtenido, de los
antiguos denominadores y se multiplica por el antiguo
numerador, y así se van obteniendo los numeradores.
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c. Por último nos queda una suma, o resta, de fracciones con
denominadores comunes y se suman los numeradores obtenidos
después de la operación b. Luego ya podemos sumar, o restar en
su caso, como cuando tienen común denominador o mismo
denominador.
Ejemplo:
8 13
+
9 5
Pasos 1: Obtener denominador común calculando el m.c.m
9= 3 2
5= 5
m.c.m = 3 2 • 5 = 45
Paso 2: Se divide el mcm por los denominadores antiguos y se
multiplican por los numeradores antiguos. Así se obtienen los nuevos
denominadores.
Paso 3: Se suman o restan las fracciones resultantes ya con el
denominador común
Ej:
8 13 40 117 157
+
=
+
=
9 5 45 45
45
No se puede simplificar porque el 157 es nº
primo
c) Multiplicar fracciones: Se multiplican los numeradores y ese es el
numerador resultante. Se multiplican los denominadores y ese es el
denominador resultante.
Ejemplo:
4 5 20
10
5
• =
⇒
⇒
3 4 12
6
3
d) División de fracciones: Se multiplican en cruz. El numerador de la
primera por el denominador de la segunda y el resultado es el
numerador resultante. Y el denominador de la primera por el
numerador de la segunda y el resultado es el denominador resultante.
Ejemplo:
4 5 16
÷ =
3 4 15
Recuerda que: Un nº natural siempres se puede expresar como una fracción
compuesta por ese número dividido de 1, ya que el 1 es el número neutro de
la división.
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6
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Ejemplo: 6 ⇒
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6
=6
1
Tema 4: NÚMEROS DECIMALES
Concepto: Un número decimal es aquel que tiene dos partes. Una parte
entera, a la izquierda de la coma, y otra parte decimal, a la derecha de la
coma.
Orden de los números decimales: Se obtiene comparando la parte entera
y luego los decimales, de izquierda a derecha, empezando por las décimas,
centésimas, milésimas, etc.
7 < 9 < 11
7.39 < 7.40 < 7.41 < 7.423
Clases de números decimales:
-
Exacto: es aquel que tiene un número limitado de cifras decimales.
Ejemplo:
-
7.5
8.430
Periódico: Es aquel que tiene un número infinito de cifras decimales
que se repiten.
. Puro: Si la cifra que se repite a partir de la coma es la misma
4.3333333333…
. Mixto: Si al aldo dela coma hay cifras que no se repiten.
2.543333333….
Operaciones con números decimales:
. Suma y resta:
- Se colocan los números a sumar o restar alineando las comas en la
misma columna
- Se completan las cifras decimales con ceros
- Se hace la suma o resta igual que con números naturales poniendo
la coma en su sitio.
Ejemplo: sumar 4,35 , 8,8 y 9,323
4,350
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8,800
9,323
+ _______
22,473
. Multiplicación:
- se colocan los factores un o debajo del otro.
- Se hace la multiplicación como si no hubiese comas.
- Se ponen tantos decimales a la derecha de la coma en el resultado
como números suman a la derecha de la coma cada uno de los
factores.
Ejemplo: multiplicar 3,75 por 2,42
3,75
x
3,42
Entre los dos factores 4 cifras a la derecha de la
coma
----------750
1500
740
----------------8, 9 7 5 0
→
Cuatro cifras a la derecha de la coma
. División de números decimales:
- Se divide la parte entera entre el número natural
Ejemplo:
-
91,2 ÷ 6
31
15
Después se pone la coma en el cociente y se siguen dividiendo la
cifras decimales
Ejemplo:
91,2 ÷ 6
32
15,2
12
0
. Dividir por 10, 100, 1000, …
Se va desplazando la coma del número a dividir a la izquierda tantos lugares
como ceros tiene el divisor.
Ejemplo:
2, 5 ÷ 10 = 0,25
2,5 ÷ 100 = 0.025
2,5 ÷ 1000 = 0.0025
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. Para quitar las comas del dividendo. Se multiplica el divisor y el dividendo por
el 1 seguido de tantos ceros como números a la derecha de la coma tiene el
dividendo. Y así, la división no varía, ya que tanto el dividendo como el divisor
se han multiplicado por el mismo número.
Ejemplos: 1)
453,15 ÷ 39, 45
↓
↓
Se multiplica por 100
Se multiplica por 100
45315 ÷ 3945
2)
390.6
↓
Por 100
Y ya se hace una división sin decimales
÷ 7.55
↓
Por 100
39060 ÷ 755
TEMA 5. NÚMEROS ENTEROS
1. Para comprender los números enteros debemos aceptar que existen
números con signo + o -, es decir si son > (mayores) ó < (menores)
que 0.
2. Recta numérica: Representa y ordena los números enteros:
- Positivos = naturales
- Negativos
… -5 -4 -3 -2 -15 0 +1 +2 +3 +4 +5…..
3. Valor absoluto de un número. Es el número de unidades que hay desde
ese número hasta cero en la recta numérica y se representa como /
a/. Los números enteros que tienen el mismo valor absoluto se llaman
opuestos.
/-3/ = /+3/ = 3
Operaciones con números enteros
a) Suma de números del mismo signo. Se suman los valores absolutos
y se le pone el signo que llevan.
(-3) + (-8) = - 11
(+3) + (+5) = +8
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b) Suma de números de distinto signo. Se restan los valores absolutos
y se le pone el signo del mayor.
(-3) + (+9) = 9 – 3 = +6
(-15) + (+5) = -10
c) Resta de números enteros. Es lo mismo que sumar el opuesto de
ese número
(-9) – (+3) = (-9) + (-3) = -12
(+5) – (-3) = (+5) + (+3) = +8
d) Multiplicar y dividir. Se multiplican o dividen sus valores absolutos y
se aplica la regla de los signos.
Regla de los signos
+
+
+1
·
·
·
·
+ = +
- = + = - = +
+ ÷+
+ ÷ - ÷ +
-
= +
= =÷ - = +
(+3) · (-5) = -15
(+15) ÷ (-3) = - 5
(-3) · ( -3) = + 9
(+5)÷ (+5) =
e) Potencia de números enteros
. La potencia de un número entero positivo es un número positivo
. La potencia de un número entero negativo:
-
Si el exponente es par → número positivo
Ejemplo: -(5) 2 = (-5) · (-5) = +25 (aplicando la regla de los signos)
-
Si el exponente es impar → nº entero negativo
Ejemplo: -(5) 3 = -(5) · (-5) · (-5) = -125
↓
↓
Regla de los signos
- · ↓
↓
+ ·
- = -
¡Ojo!, ten en cuenta que:
(-5)
2
= (-5) · (-5) = +25
pero
- (5)
2
= - (5 · 5) = - (25)
= -25
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TEMA 6. LENGUAJE ALGEBRAICO
1.- Concepto:
Es una combinación de números y letras relacionadas mediante operaciones
aritméticas (suma, resta, multiplicación o división).
Los sumandos que componen la expresión algebraica se llaman términos.
4 + X = 10
luego X= 6
↓
↓
↓
Términos
resultado o valor numérico de la expresión
algebraica
El valor numérico de la expresión algebraica es el resultado que se obtiene
cuando se sustituyen la letras por los números.
2.- debes saber y conocer lo que es:
. Monomio: expresión algebraica formada por la multiplicación de números ,
letras o números y letras.
4xy → monomio
. Coeficiente: es la parte numérica de un monomio
4xy
→
4 es el coeficiente
. Parte literal del monomio. Es la parte expresada en letras
4xy → xy es la parte literal
. Grado del monomio: Es la suma de los exponentes de la parte literal
4xy → 1+1 = 2 es la suma de los exponentes por tanto
el grado
4x 4 y 5 → 4 + 5 = 9
. Monomios semejantes: Son semejantes cuando tienen la misma parte literal,
con el mismo grado.
2xy es semejante al monomio 8xy
↓
Igual parte literal (xy)
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↓
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3.- Operaciones con monomios.
a) Sumas y restas. Sólo se pueden hacer estas operaciones si tienen la
misma parte literal, es decir si son semejantes.
4xy + 2xy = 6xy
↓
↓
Misma parte literal, se suman los coeficientes
3x 2 y + 2xy No se pueden sumar porque no son
monomios
semejantes
b) Multiplicación y división por un número: Se multiplica o divide el
coeficiente (número) del monomio y se deja igual la parte literal.
(8xy) ÷ 2 = 4xy
8÷2 = 4
(10xy)· 5 = 50xy
10 · 5 = 50
4.- Ecuaciones:
Igualdad de expresiones algebraicas en la que algún término tiene parte literal
(letras)
X + 21 = 23 luego x = 2
2 + 21 = 23
A cada parte de la ecuación , a ambos lados de la igualdad, se le llama
miembro.
X + 21 = 23
↓
↓
Miembro 1
miembro 2
A las letras de la ecuación las llamamos incógnitas.
X + 21 = 23
↓
Incógnita
5.- Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el
mismo resultado.
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Si a ambos lados de una ecuación sumamos, restamos, multiplicamos o
dividimos por un número, la igualdad se mantendrá y formará distintas
ecuaciones con el mismo resultado (ecuaciones equivalentes):
X
X
X
X
=
=
=
=
2
2
2
2
X + 2 =4
2X + 4 = 8
2X + 1 = 5
2X + 6 = 10
multiplicamos por 2
restamos 3
sumamos 5
Como vemos la solución de X es siempre 2
6.- Resolución de ecuaciones. Métodos:
a) Reducir a ecuaciones equivalentes
4x + 4 = 12
x + 1 = 3
x = 2
dividimos de 4 a ambos lados de la igualdad
restamos 1 a ambos lados de la igualdad
b) Aplicamos la regla de los signos
5x + 3 = 18
5x = 15 - 3
X =
Pasamos el 3 al otro lado cambiando el signo
→
+ = El 5 pasa dividiendo
- = +
· = ÷
18 − 3
15
=
= 3 es la solución
5
5
÷ =
·
←
TEMA 7. UNIDADES DE MEDIDA
1.- Concepto de magnitud.
Es todo aquello que se puede medir.
2.- Tipos de unidades de medida:
a) Longitud→ metro
mm cm
1000 100
←
·1000
: 10
:100 : 1000
→
→
→
dam hm
km
0.1
0.01 0.001
desde los metros
dm
m
10
1
←
←
·100 ·10 desde los metros
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b) Superficie→ metros cuadrados m²
La escala es igual que en las medidas de longitud pero son dos ceros (00)
en cada escalón. Tanto para la multiplicación como para la división.
c) Volumen→ metros cúbicos (m 3 )
La escala es igual que en las medidas de longitud pero son tres ceros (000)
en cada escalón. Tanto para la multiplicación como para la división.
d) Masa. La unidad de medida es el gramo (gr).
El paso en la escala es igual que en la escala de medida de la longitud (un
cero en cada paso o escalón).
e) Capacidad. La unidad de medida es el litro (l).
El paso en la escala es igual que en la escala de medida de la longitud (un
cero en cada paso o escalón).
3.- Relación entre unidades de medidas de capacidad y volumen
1000 dm 3 = 1 m 3 = 1000 litros
0.001 dm 3 = 1 cm 3 = 0.001 litro = 1 ml (mililitro)
TEMA 8. PROPORCIONALIDAD
1.- Conceptos básicos
a) razón: es el cociente entre dos números
45
= 3
15
b) Proporción. Es la igualdad entre dos razones
200 100
=
=4
50
25
Dos razones son proporcionales si se cumple la regla de: (vamos a hacerlo
con letras)
a c
= cuando → a • d = b • c
b d
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Ejemplo:
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200 100
=
→→→ 200 • 25 = 50 • 100 = 5000
50
25
2.- Regla de tres directa
Se emplea cuando tratamos de comparar magnitudes que se mueven en la
misma dirección, es decir, que al crecer una crece la otra, o al disminuir
una disminuye la otra, o lo que se conoce como, magnitudes directamente
proporcionales.
Ejemplo:
Si tardo 8 días en recorrer 315 km, ¿cuántos días tardaré en recorrer 905
km?
Tenemos dos magnitudes: → Días
→ Kilómetros
Al aumentar los kilómetros aumentarán los días en los que haremos el
recorrido. Luego son magnitudes directamente proporcionales.
315 km→→→→ 8 días
905 km→→→→ x días
Para resolver la incógnita (x) planteamos una ecuación multiplicando en
cruz:
315 • x = 905 • 8
x=
8 • 905
= 22,98 días
315
3.- Regla de tres indirecta o inversa. Cuando las magnitudes son
inversamente proporcionales. Es decir, al aumentar una disminuye la otra y
viceversa.
Ejemplo: Un pastel de 16 piezas o trozos se divide entre 8 invitados y tocan
a 2 porciones cada uno. ¿A cuántas porciones tocarían si estuviesen 20
invitados?
Lógicamente, a mas invitados menos porciones de pastel, por eso son
magnitudes inversamente proporcionales. Al aumentar una magnitud
(invitados) disminuye la otra (trozos de pastel)
16 invitados→→→→ 2 porciones
20 invitados→→→→ x porciones
En este caso la ecuación se plantea multiplicando en línea, y no en cruz o
aspa como en la anterior:
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15
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16 • 2 = 20 • x
x=
16 • 2
= 1.6 piezas o trozos de pastel
20
4.- Porcentajes. Se resuelven como si fuese una regla de tres directa, es
decir mide magnitudes directamente proporcionales.
Ejemplo: Rudy Fernández lleva en el primer tiempo 7 de 10 triples
acertados. ¿Qué porcentaje lleva de acierto?
Dos magnitudes: lanzamientos y porcentajes
10 lanzamientos→→→→ →→→100 % acierto
7 lanzamientos acertados →→→→ x % de acierto
10 • x = 100 • 7
X=
100 • 7 70
=
= 70 % de acierto
10
10
TEMA 9. GEOMETRÍA DEL PLANO
1.- Perímetro: es la suma de los lados de un polígono. Se mide en
unidades lineales de longitud (m, cm, dm, mm, dam, Hm, Km)
2.- Áreas de polígonos. Es la medida de la superficie de un polígono. De
mide en unidades de superficie, es decir, unidades al cuadrado (m², cm²
dm², mm², Km², etc).
Áreas básicas:
.Cuadrado : Área = l • l = l 2
. Triángulo: Área =
base • altura
2
Es la línea que va desde el
vértice del ángulo más alto
hasta la base, formando con
esta un ángulo recto (90º)
. Rectángulo: Área = base • altura
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. Rombo: Área=
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Diagonalma yor • diagonalmenor
2
. Romboide: Área = base • altura
. Trapecio: Área =
BaseMayor + BaseMenor
• altura
2
. Polígono regular: Área =
perímetro • apotema
2
Hexágono
. Círculo: Area = π • radio 2
π = 3.1416
Perímetro = 2 • π • radio
3.- Teorema de Pitágoras. Es la propiedad de los triángulos rectángulos (
son aquellos que tienen un ángulo recto, es decir de 90º), y dice así:
“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
Cateto 1= a ←
→ Hipotenusa = h → Es el lado que está
frente al ángulo de 90º
90º
↓
Cateto 2 = b
Teorema de Pitágoras
→→
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h² = a² + b²
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