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Preparación para los Tutoriales
“Herramientas Astronómicas”
Proyecto Ventana Interactiva al Universo
c
Departamento de Ingenierı́a Eléctrica, Universidad de Chile
Primavera 2005
Resumen
En el presente tutorial se presentan varias herramientas enfocadas al estudio tanto cualitativo como cuantitativo de objetos astronómicos. Se espera que antes de empezar el tutorial
se investigue acerca de los diagramas de Hertzsprung-Russell, más conocidos como diagramas
HR.
1.
1.1.
Algunas herramientas matemáticas.
Escalas de magnitudes.
La magnitud mide el brillo de un objeto astronómico. El brillo de una estrella se puede
medir con distintos filtros, por lo que para identificar el filtro se coloca el nombre de este como
un subı́ndice. Ası́, por ejemplo, la magnitud mB es una magnitud medida en el filtro azul (B).
Existen dos clases de magnitud: la magnitud aparente(m) y la magnitud absoluta (M ).
La magnitud aparente se define como el brillo de un objeto visto desde la tierra. Cuantitativamente tenemos que
!
F
m − mref = −2,5 log10
(1)
Fref
donde F es el brillo del objeto, m su magnitud. mref y Fref son la magnitud y el brillo de un
objeto de referencia. Nótese que mientras menor sea la magnitud aparente, mayor es el brillo
del objeto.
El color de una estrella está definido por
Color ≡ F iltro1 − F iltro2 = mf iltro1 − mf iltro2
1
Entonces, el color B-V está dado por
B − V = mB − mV
Esta relación es de gran importancia pues, en el caso de una estrella, nos da información acerca
de su temperatura.
La magnitud absoluta (M ) se define como la magnitud de un objeto si estuviera a una
distancia de 10 parsecs.
1.2.
Cálculo de distancias en astronomı́a.
Nosotros usaremos los métodos de paralaje trigonométrico y el módulo de distancia.
1. Paralaje trigonométrico. Este método consiste en usar trigonometrı́a básica y una
aproximación para la estimación de la distancia.
Consideremos el triángulo de la figura 1. Si a << d, esto es que a es mucho menor que
d (que es el mayor de los casos) entonces
α
2
sin
∼
a/2
d
(2)
α
= a/2
d
2
a
⇒α = d
(3)
(4)
esta es la aproximación de ángulos pequeños1 . De aquı́ sale la definición de un parsec
1 arcsec =
1 parsec
1 UA
1 parsec
⇒ 1 parsec =
1 UA
1/206265 rad
= 206265 U A
(5)
(6)
donde arcsec son segundos de arco (1 grado tiene 60 min × 60 seg = 3600 arcsec, y
un radián tiene 206265 arcsec).
La ecuación que se usará para relacionar ángulos en radianes y distancias en parsecs será
α = 206265 ·
a
d
(7)
2. Módulo de distancia. Este método está basado en el sistema de magnitudes. Para
magnitudes aparentes y absolutas en el mismo filtro se tiene que
mV − MV = 5 log10 (d) − 5
1
Esto es porque sin(α/2) ∼ tan(α/2) =
a/2
d
para α muy pequeño.
2
(8)
Figura 1: Cuando a << d se cumple que el seno del ángulo α es igual a la razón de los catetos.
3
esta ecuación proviene de las definiciones de ambos tipos de magnitudes. Por lo tanto,
si sabemos cuanto es la magnitud aparente y absoluta de un objeto, podemos saber su
distancia a través de la relación
d = 10(mV −MV +5)/5
(9)
Cuando hay polvo esta relación se debe calibrar pues el polvo es un gran absorvente de
luz. Ası́, la ecuación (9) corregida es
d = 10(mV −MV −A+5)/5
(10)
donde A es el coeficiente de extinción. Su valor es el dado por Harris et al. que es
A = 0,57.
1.3.
Error porcentual.
Un elemento muy importante dentro del estudio de cualquier fenómeno cientı́fico es la
cuantificación de los errores. Gracias a esto podemos descartar modelos o confiar en ellos.
Lo que nos interesa es saber como cuantificar el error porcentual de nuestras mediciones
comparadas con datos astronómicos sacados de papers o tablas de referencia.
Si tenemos una medición x de alguna variable, donde el valor de tablas está dado por x0 , su
error porcentual viene dado por
x − x0 %
= 100 · x (11)
0
Esto será muy importante a la hora de realizar los tutoriales.
Otra consideración importante es la de que los errores disminuyen en la medida que varias
mediciones son promediadas, esto es
xpromedio ≡ x̄ =
x1 + x2 + · · · + xN
N
(12)
donde x1 , x2 . . . xN son N mediciones de la misma variable, y x̄ es su promedio.
El error porcentual de x̄ es menor que el error porcentual de cualquier medición particular
x1 , x2 . . . xN .
4
2. Cálculo de algunas propiedades fı́sicas de las
estrellas.
2.1.
Temperatura superficial.
La temperatura superficial de una estrella determina de que color se ve, esto es por la Ley
de Wien, la que nos dice que a mayor temperatura, más azul se verá.2
Existe una relación que liga la temperatura estelar con el color de esta. Recordemos que el
color B-V está dado por mB − mV , donde mB y mV son las magnitudes aparentes de la
estrella en el filtro B y V respectivamente. La ecuación que relaciona la temperatura T de una
estrella con su color B − V está dada por
T
= 10(14,551−(mB −mV ))/3,684
log10 (T ) = (14,551 − (mB − mV ))/3,684
2.2.
(13)
(14)
Estimación de la luminosidad.
La luminosidad de una estrella está dada por la ecuación
L
=
L
d
d
2
·
F
F
(15)
donde la luminosidad está dada en luminosidades solares, d ≡ 1U A ≈ 1,5 × 1011 m ≈
4,84 × 10−6 parsecs. La razón F/F se calcula de la ecuación (1).
Otra relación útil es la que involucra la luminosidad de una estrella con su magnitud absoluta
L?
= 2,512(M −M? ) (revisar)
L
(16)
donde L? y L son las luminosidades de la estrella y la del sol respectivamente, mientras que
M? y M son las magnitudes absolutas de las mismas. Un dato importante es que M = 4,8,
por lo tanto
L?
= 2,512(4,8−M? )
(17)
L
2.3.
Estimación de la masa.
Una vez calculada la luminosidad podemos hacer referencia a la famosa relación MasaLuminosidad (no confundir con la relación Perı́odo-Luminosidad). Esta es una ley observacional que establece que la luminosidad de una estrella en la secuencia principal se relaciona
2
La Ley de Wien está dada por λmax · T = 0,29 cm K, ası́, a mayor temperatura, el peak de la emisión de
la estrella será en logitudes de onda más corta, y por ende, más azules.
5
con su masa de la siguiente forma
L
=
L
M
M
3,8
(18)
donde la luminosidad L y la masa M están medidos en unidades solares (L = 1,38×1026 W ,
M = 1,98 × 1030 kg).
2.4.
Estimación de la edad.
Finalmente encontramos que el tiempo que vive una estrella en la secuencia principal
está determinada por la masa y la luminosidad de la misma.
Una estrella masiva tiene mucho más material que quemar respecto a una estrella de baja
masa, por lo tanto t? ∝ M .
Inversamente, una estrella masiva, para poder mantenerse en equilibrio necesita quemar más
hidrógeno que una estrella pequeña, por lo que t? ∝ 1/L.
De estos dos argumentos llegamos a
t? ∝ M −2,8
(19)
¡Listo!... gracias a este montón de ecuaciones podremos ser capaces de describir cuantitativamente los cúmulos observados. ¡estamos listos para empezar!
6
Referencias
§ Programa de ejercicios de astronomı́a ESA/ESO.
Toolkit & Ejercicio 4.
§ Observar el cielo.
Levy, David L.
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