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MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
TEMA 3. DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL
IES NERVIÓN
UNIDAD 3: DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL
1. VARIABLES ALEATORIAS
Dado un experimento aleatorio, se define la variable aleatoria, X, como una función que
asocia a cada elemento del espacio muestral, Ω, un número real.
X: Ω →R
La variable aleatoria puede ser:
 discreta, cuando, entre dos valores dados, sólo toma un número finito de valores. Ejemplo:
X= Suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados
 continua cuando puede tomar todos los valores de un intervalo real. Ejemplo: X= Peso en kg
de una persona elegida al azar
2. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
2.1. Función de probabilidad Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria
discreta X, a la función, f, que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad, pi:
f(xi) = P(X = xi) = pi
 Propiedades de la función de probabilidad:
- 0 ≤ f(xi) ≤ 1
- ∑ f(xi) = 1
2.2. Función de distribución A partir de la función de probabilidad se define la función de
distribución, F(x) = p(X ≤ x) = ∑ f(xi) para xi ≤ x
 Propiedades de la función de distribución:
- 0 ≤ F(x) ≤ 1
- F(x) = constante entre dos valores consecutivos de la variable.
- F(x) = 0 para x inferior al menor valor de la variable.
- F(x) = 1 para x superior al mayor valor de la variable.
- F(x) es una función creciente.
2.3. Parámetros de una variable aleatoria discreta
Se define los parámetros media, varianza y desviación típica de la variable aleatoria, de igual
forma que para la variable estadística sustituyendo frecuencia relativa por función de probabilidad.
Media o esperanza matemática: µ = ∑ xi·pi
Varianza: σ2 = ∑(xi - µ)2·pi = ∑ xi2·pi - µ2
Desviación típica: σ =
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3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Una variable aleatoria, X, diremos que sigue una distribución de probabilidad binomial
cuando:



La variable cuenta el número de veces que ocurre un suceso, A, al realizar un experimento
aleatoria n veces.
Las n veces que se realiza el experimento son independientes, lo que ocurra en una de ellas
no influye en el resto.
La probabilidad de que ocurra el suceso A es p.
Se dice entonces que X es binomial de parámetros n y p y lo escribimos como X=B(n,p),
Ejemplo: X= Número de caras al lanzar tres veces una moneda B(3, ½)
Su función de probabilidad:
P(X = k) =
·pk·qn – k donde q=1-p
Sus parámetros:
Media:
µ = n·p
Varianza: σ2 = n·p·q
Desviación típica: σ =
4. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.
Una variable aleatoria continua viene definida por su función de densidad o función de
probabilidad, y = f(x), que es una función continua que verifica:


no negativa (f(x) ≥ 0)
encierra junto con el eje de abscisas un área igual a 1
Las probabilidades vienen dadas por el área bajo la curva, es decir, para hallar la probabilidad de
que la variable tome un valor en el intervalo [a, b] hay que calcular el área que hay bajo la curva en
dicho intervalo.
La probabilidad de obtener un valor concreto es 0: P(X = a) =
Se llama función de distribución de una variable aleatoria continua a la función F(x) que
asigna a cada valor la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que él:
F(x) = P(X ≤ x)
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5. DISTRIBUCIÓN NORMAL Una variable aleatoria continua X sigue una distribución
normal de media µ y desviación típica σ, XN(µ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:
- La variable es una variable aleatoria continua
-
La función de densidad es
, cuya gráfica se denomina campana de
Gauss.
Características de la función de densidad f:
 Simétrica respecto de la recta x = µ.
 Máximo en x = µ.
 Puntos de inflexión en x = µ - σ y en x = µ +
σ.
 Asíntota horizontal en el eje X.
La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y σ. Para cada valor de µ y cada
valor de σ hay una curva normal, que se denomina N(µ, σ).
Se llama distribución normal estándar a la distribución N(0, 1), es decir, media 0 y
desviación típica 1, su variable suele representarse por Z. Esta distribución se encuentra tabulada, lo
cual permite calcular de forma rápida y fácil las probabilidades asociadas a ella.
5.1. Tipificación
Para poder calcular probabilidades de una variable X=N(µ, σ) hay que transformar dicha variable en
Z, N(0, 1), mediante el cambio:
. Esta transformación se conoce con el nombre de
tipificación de la variable.
6. APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL
Las probabilidades obtenidas mediante una Binomial de parámetros n y p, pueden ser
aproximadas por las probabilidades obtenidas con una Normal de media np y desviación típica
, es decir B(n, p) → N(np,
)
La aproximación de la binomial a la normal se considera buena si np > 5 y n(1-p) >5.
Al aproximar una variable aleatoria discreta por una variable aleatoria continua hay que tener
en cuenta que en las distribuciones discretas tiene sentido hablar de P(X=k), pero en las
distribuciones continuas no. Si X, B(n, p) se aproxima por X’, N(np,
P(X= k) = P(k - 0.5 < X’ < k + 0.5) (Corrección por continuidad)
) , entonces
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