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Transformada de Laplace
Descripción de un transformador
Néstor Jorge Dietrich
Estudiante de Ingeniería en Computación
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
[email protected]
Marzo 2013
Resumen: En este informe se explicara el funcionamiento de un transformador y su aplicación para la distribución de energía
eléctrica. La Transformada de Laplace es utilizada para reducir las ecuaciones diferenciales que surgen en el estudio de un
modelo circuital que describe la distribución de energía eléctrica a unas pocas ecuaciones algebraicas sencillas.
Palabras clave: transformador, transformada de Laplace, energía eléctrica.
I.
INTRODUCCIÓN
El transformador es un dispositivo que permite modificar potencia eléctrica de corriente alterna con un
determinado valor de tensión y corriente en otra potencia de casi el mismo valor pero, generalmente con distintos
valores de tensión y corriente. Cuando se requiere transportar energía eléctrica, desde los centros de generación
(Centrales eléctricas) a los centros de consumo, se eleva la tensión y se efectúa la transmisión mediante líneas
aéreas o subterráneas con menor corriente, ya que la potencia en ambos lados del trasformador es prácticamente
igual, lo cual reduce las pérdidas de transmisión. En la etapa de distribución se reduce la tensión a los valores
normales mediante los transformadores adecuados.
Debido a la resistencia de los conductores, conviene transportar la energía eléctrica a tensiones elevadas, lo
que origina la necesidad de reducir nuevamente dichas tensiones para adaptarlas a las de utilización. La mayoría
de los dispositivos electrónicos en hogares hacen uso de transformadores reductores conectados a las fuentes de
poder de equipos de audio, video y computación.
Los circuitos y sistemas lineales requieren del planteo y solución de sistemas de ecuaciones
integro-diferenciales. La resolución de estas ecuaciones en el dominio del tiempo es un procedimiento sino
complicado, al menos bastante tedioso, y por ello en su lugar se usan los métodos transformados. La principal
ventaja es que el sistema de ecuaciones integro-diferenciales se transforma en un sistema de ecuaciones
algebraicas que admiten un tratamiento más directo y elegante para obtener su solución.
En un curso de análisis y diseño de circuitos eléctricos se ven la aplicación de transformaciones usadas en
redes y sistemas lineales, conocida el tipo de excitación (señal senoidal, periódica o cualquier tipo), un tipo de
transformación (Fasorial, Serie de Fourier, Transformada de Fourier o Transformada de Laplace) otorga un tipo
de respuesta (parte estacionaria de la respuesta o la respuesta completa según el interés del análisis).
La transformada de Laplace posibilita obtener la respuesta completa ante cualquier tipo de excitación.
II. TRANSFORMADA DE LAPLACE.
Sea f: R+ → R, es decir una función real definida para t ≥ 0, en un caso más general, una función compleja
de variable real, f: R+ → C, f(t) = fr(t) + i fi(t), entonces, se define a la transformada de Laplace de f(t) y se
representa con el símbolo L{f(t)} a la integral
∞
L{ f (t )}=F (s ) =∫ f (t )e − st dt.
0
Si la integral existe, f(t) que es una función del tiempo se transforma en F(s) que es una función de la
variable compleja s. Las ecuaciones diferenciales que describen a un circuito o sistema se transforman en
ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia compleja lo que permite aplicar las herramientas del
algebra lineal para encontrar y analizar las soluciones.
Normalmente se consultan tablas que contienen los pares transformados más usuales y se aplican
propiedades.
III. LEY DE LENZ-FARADAY. ACOPLAMIENTO INDUCTIVO.
Sea Φm el flujo magnético que atraviesa un circuito. La ley de Lenz-Faraday establece que si el flujo se
ௗ஍
modifica de cualquier modo, existe una fem (fuerza electro-motriz) en el circuito dada por ౣ .
ௗ௧
El flujo puede variarse de muchas formas, por ejemplo en el transformador la corriente que produce el flujo se
hace variar, es decir, se emplean corrientes variables en el tiempo.
Existe acoplamiento entre dos o más elementos bitermínales cuando la tensión o corriente de uno de los
elementos es influenciada por las variables eléctricas de otros. El acoplamiento inductivo es el más común,
dados dos inductores acoplados, a las inductancias de cada elemento en particular sin considerar el acoplamiento
L11 y L22, se las denomina propias y los flujos asociados a estas inductancias son siempre positivos. Por otro
lado, a las inductancias resultantes del acoplamiento se suponen de igual magnitud, es decir, los efectos del
acoplamiento se consideran simétricos y entonces L12=L21=M llamada inductancia mutua.
Figura 1: Modelo circuital de dos inductores acoplados.
Para un par de inductores acoplados las expresiones generales para las tensiones son
ଵ ଶ ଶ ଵ 2 ଶ
En las ecuaciones que definen el modelo, se considera el signo positivo si el flujo propio L1 * i1(t) y el flujo
mutuo L12 * i2(t) = M * i2(t) tienen mismo signo(se refuerzan uno con otro) y el negativo en caso que los flujos se
opongan.
1 ଵ
IV. TRANSFORMADOR. COMPOSICION Y FUNCIONAMIENTO.
Previamente se dijo que un transformador es un dispositivo que varía la tensión y la intensidad de la
corriente con una pérdida de potencia despreciable.
Figura 2: Modelo de un transformador compuesto con dos bobinados y un núcleo de hierro dulce.
La figura muestra un transformador sencillo compuesto de dos bobinas conductoras (inductores) alrededor
de un núcleo común de hierro dulce. La bobina por la que circula la corriente de entrada se denomina el primario
y la otra se denomina el secundario. Ambas pueden usarse como primario o secundario. La función del núcleo de
hierro consiste en aumentar mucho el flujo en el caso de una corriente determinada y guiar dicho flujo de modo
que prácticamente todo aquel que atraviese una vuelta o espira de una bobina atraviese todas las demás de ambas
bobinas.
Consideremos un generador de corriente alterna de fem aplicado al primario de N1 vueltas con la bobina
secundaria de N2 vueltas abierta. Debido al nucleo de hierro existe un flujo grande que atraviesa cada bobina
incluso en el caso de que circule una corriente pequeña. La corriente y la tensión en el primario están desfasadas
90° y la potencia media en el circuito primario es cero.
ௗ஍
ௗ஍
La fem inducida en el circuito primario es ଵ = − ౣ = −ଵ ೡೠ೐೗೟ೌ. Así pues el flujo total que atraviesa
ௗ௧
el secundario es ଶ = −ଶ
ௗ஍ೡೠ೐೗೟ೌ
ௗ௧
ௗ௧
. Comparando estas ecuaciones vemos que ଶ =
ேభ
.
ேమ ଵ
ேభ
Como la fem aplicada es el valor negativo de la fem inducida ଵ se reescribeଶ = −
ேమ
.
El transformador se denomina elevador si N2 es mayor a N1, de modo que la tensión de salida sea mayor que
la de entrada. Si N2 es menor que N1 se denomina reductor. No hay corriente en el secundario debido a que está
abierto. Si se aplica una resistencia en el circuito secundario de forma que quede cerrado, la corriente I2 estará en
fase con la tensión V2.
El transformador ideal tiene dos pares de terminales y se define por medio de las relaciones
tensión-corriente dadas por
ଵ = ଶ
1
ଶ = − ଵ
El transformador ideal se caracteriza por un solo parámetro n llamado relación de transformación.
Este dispositivo ideal es pasivo pues transmite energía desde uno de sus accesos hacia el otro, pero no la
almacena ni la disipa.
Si se considera el acoplamiento entre las bobinas puede trabajarse con un modelo menos abstracto, en este
caso las relaciones v-i son
ଶ ଵ ±
1
= ଵ
ଵ ()
ଶ ()
2
= ଶ
±
Los parámetros L1, L2 y M son los que caracterizan este modelo.
V. MODELO CIRCUITAL DE DISTRIBUCION ELECTRICA. ANALISIS DEL MISMO.
La figura 3 presenta una burda descripcion de como se genera energia electrica y esta es llevada hasta un
punto final de consumo a traves de cables conductores. Si se efectúa un análisis por mallas donde i1(t) es la
corriente de malla de la malla izquierda, i2(t) de la malla del centro e i3(t) de la malla de la derecha se tiene
analizando bajo las leyes de Kirchoff:
ଵ ଶ −௦ + ଵ ∗ 0.1 + ଵ
− ଵ
=0
ଵ ଶ ଶ ଷ ଵ
− ଶ
+ ଶ ∗ 1 + ଷ
− ଶ
=0
ଷ ଶ ଷ ∗ 4 − ସ
+ ଶ
=0
Bajo el campo temporal se dificulta la resolución, la transformada de Laplace nos lleva al campo
transformado con las siguientes ecuaciones:
−௦ + 0.1 ∗ ଵ + ଵ ଵ − ଵ 0
− ଵ ଶ − ଶ 0
= 0
ଵ ଵ − ଵ 0
− ଶ ଶ − ଶ 0
+ 1 ∗ ଶ + ଷ ଶ − ଶ 0
− ଶ ଷ − ଷ 0
= 0
ଶ ଶ − ଶ 0
− ସ ଷ − ଷ 0
+ ଷ ∗ 4 = 0
Figura 3: Circuito eléctrico que modela la distribución de energía eléctrica.
Si se supone nula las condiciones iniciales, es decir, en t=0 todas las corrientes son nulas entonces se reduce
a esto:
௦ 0.1 ∗ ଵ ଵ ଵ ଵ ଶ 0
ଵ ଵ ଶ ଶ 1 ∗ ଶ ଷ ଶ ଶ ଷ 0
ଶ ଶ ସ ଷ ଷ ∗ 4 0
Por medio de técnicas de despeje y reemplazo se logra alcanzar la siguiente relación matemática para las
ecuaciones anteriores (los pasos seguidos en el despeje no se detallan en el informe porque escapan al objetivo
del mismo):
௦ ଵ 0.1
ଵ 0.1
4
ଵ 0.4
4ଵ ଵ ଶ
ଶଶ ଶ ସ ଷ ସ 4
ଷ 4
ଶ ସ ଶ
ଷ ଵ ଶ
ଵ ଶ
ଵ ଶ
ଶ
VI. CONCLUSIONES
Por inspección se ve que el rol importante que juegan las inductancias tanto propias como inducidas dado
que predominan en la expresión precedente, luego si el modelo circuital analizado describiese en forma óptima
los comportamientos eléctricos de interés entonces una aplicación para dicha expresión matemática seria evaluar
los distintos comportamientos en la relación tensión-corriente descrita por la ecuación dando distintos valores a
las inductancias propias e inducidas.
La anti-transformada de Laplace posibilitaría obtener la razón de ganancia/perdida en lo respectivo a tensión
corriente definidas. Notar como los teoremas del valor inicial y final podrían ser aplicados si no se suponen nulas
las condiciones iniciales. El análisis del modelo circuital en si no es difícil, lo importante es saber interpretar las
expresiones matemáticas obtenidas en el campo transformado o en el campo temporal según el interés.
VII.
REFERENCIAS.
[1]David e. Johnson, “Electric Circuit Analisys 3rd edition”, Prentice hall, chapter 15.
[2]Tipler a. Paul, “Fisica 2 ed”, edit. Reverté, pag. 1064-1066.
[3]Doñate Pedro, “Analisis y Diseño de circuitos: notas de curso”, ed 2007, pag. 69-80.