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Observaciones.
1) El número de ordenamientos posibles entre n elementos distintos está dado por nx. El
número de ordenamientos con n elementos entre los cuales hay grupos de elementos iguales
de tamaño a, b, c se determina por nxÎax‡ bx‡ cx. Por ejemplo la cantidad de números distintos,
de cuatro cifras, que se pueden escribir utilizando los dígitos {2, 4, 5, 7} es igual a 4x , es decir,
24. En cambio utilizando los dígitos {2, 2, 5, 5} sólo se pueden obtener 4xÎ2x‡2x, es decir, 6
números distintos, de cuatro cifras que son: 2255, 2525, 2552, 5252, 5225 y 5522. Utilizando
los dígitos {2, 4, 5, 5, 5} se pueden escribir 5xÎ1x‡1x‡3x, es decir, 20 números distintos.¡ Intente
escribirlos todos!
2) Verifique que P(r, r, a) = P(r, a, r) = P(a, r, r) y que P(r, a, b) = P(a, r, b) = ......= P(b, a, r).
3) En las situaciones de extracciones de elementos en los cuales el orden en que son
obtenidos no importa, la extracción uno a uno es equivalente a extraerlos todos en forma
simultánea.
Independencia de sucesos.
Para introducir el concepto se revisarán algunas situaciones anteriores.
1. En el ejemplo introductorio de probabilidad condicional cuando se extraen fichas una a una
con sustitución se verifica que para los sucesos A = {la 1ª ficha extraída sea blanca}
y B = {la 2ª ficha extraída sea blanca}, la P(B/A) = 4/15 y esta probabilidad es coincidente con
la P(B) = 4/15. Es decir, la probabilidad de B no se ve afectada por la ocurrencia de A.
2. En el ejemplo 5.1 c) se definieron los sucesos E œ ÖÐBß CÑÎ B  C œ '}, F œ ÖÐBß CÑÎ B œ C× y
G œ ÖÐBß CÑÎ B  C×, determinándose que P(A/B) = 1/6 Á P(A) y P(A/C) = 2/15 Á P(A), o sea,
en ambas situaciones la probabilidad de A fue afectada por la ocurrencia del suceso B o por la
ocurrencia de C. Sin embargo, al considerar el suceso H œ ÖÐBß CÑÎ C número par} con P(D) =
"
# , se establece que P(D/B) = 3/6 = P(D), pues de los 6 pares ordenados que satisfacen B, sólo
(2,2), (4,4) y (6,6) cumplen con la condición que la segunda componente sea par, resultando
que la probabilidad de D no es afectada por la ocurrencia del suceso B. En cambio
P(D/C) = 9/15 Á P(D), verificándose que la probabilidad de D es afectada por la ocurrencia de
C.
Las situaciones anteriores que resultaron notables dan origen a la siguiente definición.
Definición.
Se dice que dos sucesos A y B asociados a un espacio muestral S son sucesos
independientes si y sólo si P(A / B) = P(A) y P(B / A) = P(B).
La condición de independencia entre dos sucesos establece que la ocurrencia de uno de
ellos no altera la probabilidad de ocurrencia del otro. La condición de independencia da origen
a una importante consecuencia.
Principio multiplicativo de probabilidades para sucesos independientes.
Del principio multiplicativo general se tiene que P(A  B) = P(A / B)‡P(B), pero si A y B son
sucesos independientes, entonces por definición P(A / B) = P(A), que al sustituirse en la
igualdad anterior resulta