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Universidad Diego Portales
Estadística I
Profesor: Carlos R. Pitta
Facultad de Economía y Empresa
Distribución Normal
La distribución normal (O Gaussiana) se define como sigue:
En donde  y >0 son constantes arbitrarias. Esta función es en realidad uno de las más
importantes distribuciones de probabilidad continua. Los diagramas siguientes muestran los cambios
en f a medida que  y  varían. En particular, observe que estas figuras en forma de campana son
simétricas alrededor de x=
Distribuciones Normal y Exponencial
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Algunas propiedades de la distribución normal son (Teorema):
Distribución Normal
Media

Varianza
2
Desviación Estándar

En lo sucesivo, denotaremos a la distribución normal con media  y varianza 2 por medio de:
N(, 2)
Si hacemos la sustitución
en la fórmula anterior para N(, 2) obtenemos la distribución
normal estandarizada
Que tiene media =0 y varianza 2=1. El gráfico de esta distribución aparece a continuación. Note
que para -1  z  1 obtenemos el 68.2% del área bajo la curva, y para -2  z  2 tenemos el 95.4%
del área bajo la curva.
La simetría de la curva alrededor de z=0 nos permite obtener el área entre dos valores cualesquiera
de z.
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Ahora, sea X una variable aleatoria continua con distribución normal. Frecuentemente
diremos que X se encuentra normalmente distribuida. Calcularemos la probabilidad de que X caiga
entre a y b, a lo que denotaremos como P(a  X b) como sigue. Primero, cambiaremos a y b a
unidades estándar:
Respectivamente. Entonces, escribiremos P(a  X b) = P(a’  X*  b’) = área bajo la curva normal
estandarizada entre a’ y b’. Aquí, X* es la variable aleatoria estandarizada que corresponde a X, y por
lo tanto X* tiene una distribución normal estándar N(0,1)
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Distribución Exponencial
Las distribuciones exponenciales son toda una clase de distribuciones de probabilidad continua que
describen el tiempo transcurrido entre eventos de un proceso Poisson, es decir, un proceso en el
cual los eventos ocurren de manera continua e independiente, y a una tasa promedio constante.
La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial es:
Donde >0 es el parámetro de la distribución, también llamado el parámetro de la tasa o porcentaje.
La distribución se basa en el intervalo [0, ∞). Si una variable aleatoria X tiene esta distribución, la
describiremos con X~℮ . Su función de distribución acumulada de probabilidad es:
La distribución exponencial ocurre de manera natural cuando nos encontramos analizando
fenómenos en los que describimos la longitud de los intervalos de, por ejemplo, tiempos de espera,
de un proceso Poisson homogéneo.
La distribución exponencial puede ser vista como la contraparte de la distribución
hipergeométrica. En la vida real, el supuesto de tasa constante (o probabilidad constante por unidad
de tiempo) se satisface solo ocasionalmente. Por ejemplo, la tasa de llamadas telefónicas a un call
center difiere de acuerdo a la hora del día. Pero si nos interesa solo un intervalo de tiempo en el cual
la tasa de llamadas es relativamente constante, por ejemplo de las 2 a las 4 pm durante los días
laborales, la distribución exponencial puede ser utilizada como una buena aproximación para el
tiempo real que, en promedio, deberemos esperar para que la próxima llamada. Otros ejemplos en
los que se puede usar la distribución exponencial:



El tiempo que toma para que la radioactividad de una partícula decaiga.
El tiempo que tardará la próxima llamada telefónica.
El tiempo que tardará un cliente en entrar en "default", en pagos por ejemplo a una
compañía bancaria.
Las variables exponenciales también pueden ser usadas como modelos de simulación de ciertos
eventos que ocurren con una probabilidad constante por unidad de tiempo, tales como las distancias
entre mutaciones en una cadena de DNA. Es decir, básicamente para el mismo tipo de situaciones
en que usamos la distribución Poisson, solo que la distribución exponencial describe el caso
continuo (a diferencia de la distribución Poisson, que es discreta)
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Algunas propiedades de la distribución Exponencial son (Teorema):
Distribución Exponencial
Media
Varianza
Desviación Estándar
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