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Olimpíada de Física de la Región de Murcia 2013
1ª PARTE
(tiempo: 1 ½ horas)
1. Caída libre
Como probablemente sepas, pues creó expectación mundial, el pasado 14 de octubre de 2012 Felix
Baumgartner (de 70 kg de masa) batió el récord de altura en caída libre al lanzarse desde un globo
aerostático desde una altura de 39 km. El traje que llevaba pesaba 30 kg. A los 42 segundos de
iniciado el salto alcanzó una velocidad límite de 1342 km/h. (La velocidad límite es la máxima que
alcanza un cuerpo en caída libre debido a la fuerza de rozamiento que ejerce el aire).
a) ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en el punto de salto comparado con el valor en la superficie,
en tanto por ciento? (Radio terrestre: 6371 km).
b) Durante el tiempo que Baumgartner iba a la velocidad límite: ¿Cuánto vale la fuerza de
rozamiento? ¿Cuánto calor por unidad de tiempo se estaba produciendo en la caída? (Considera la
potencia disipada por la fuerza de rozamiento).
c) Si en ese momento se hubiera roto el traje y asumiendo que todo el calor generado lo absorbiera
el cuerpo de Baumgartner, ¿cuánto tiempo habría tardado en alcanzar su cuerpo 100 oC? (calor
específico del cuerpo humano: 0.83 cal/g ºC, 1 cal = 4.187 J).
2. Saque de banda
En el saque de banda el balón se lanza por encima de la cabeza desde una cierta altura h sobre el
suelo. Demuestra que el alcance máximo del pase ocurre para un ángulo óptimo, α opt , tal que
tan α opt =
1
1 + 2 gh / v 2
donde g es la gravedad y v la velocidad inicial de lanzamiento.
1
3. La escalera
¿Por qué una escalera apoyada sobre una pared vertical lisa (sin rozamiento) y sobre un suelo rugoso
(con rozamiento) puede mantenerse en equilibrio pero no ocurre así si está apoyada sobre una pared
rugosa y un suelo liso?
4. Estabilidad
Se pretende construir un puente usando dos bloques idénticos uniformes rectangulares, de longitud
24 cm, que sobresalen de la mesa tal y como muestra la figura. El bloque inferior sobresale de la
mesa una longitud x, y el bloque superior sobresale del inferior 6 cm. ¿Cuál es el valor máximo de x
para que la construcción sea estable?
5. Repulsión eléctrica
Dos esferitas iguales de masa m cuelgan mediante hilos de masa despreciable y aislantes, tal y como
se muestra en la figura. Determina:
a) La carga de las esferitas, para que cuando el sistema se encuentre en equilibrio, el ángulo sea α.
b) Encuentra el valor de dichas cargas si consideramos además la fuerza de interacción gravitatoria
entre dichas esferitas.
c) Evalúa el hecho de considerar despreciable la interacción gravitatoria.
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6. Bombilla
Calcula la potencia que consume una lámpara incandescente al conectarla a una tensión de 220 V, si
su resistencia es de 1210 Ω. Calcula la intensidad de corriente que circula por la lámpara.
7. Oxford vs. Cambridge
Los tripulantes que compiten en la carrera anual de piragüismo entre Oxford y Cambridge reman en
una canoa larga y estrecha llamada “ocho”. En algunas condiciones del río, algunas olas que no tienen
gran amplitud pueden causar que la canoa se parta en dos. La canoa tiene 19 m de longitud y la
profundidad del río es de 2.4 m.
a) Haz un dibujo representando qué particular longitud de onda es más probable que pueda partir la
canoa en dos. ¿Cuál es el valor de esta longitud de onda?
b) Si la velocidad de las ondas, v, viene dada por v =
gd , donde d es la profundidad del agua,
calcular la frecuencia de las olas que provocarían la destrucción de la canoa.
c) Se pretende pesar la piragua usando únicamente una balanza de baño convencional. La piragua
se puede combar peligrosamente si la apoyamos solo en el centro, así que la balanza se coloca
primeramente en el punto A con un soporte de madera en el punto B y luego en el punto B
poniendo un soporte de madera en el punto A. Las lecturas de la balanza en ambas situaciones
son 45 kg y 52 kg respectivamente. Determina, de forma razonada, la masa de la piragua.
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2ª PARTE
(tiempo: 2 horas)
8. Cazando exoplanetas
En marzo de 2009 se lanzó al espacio un telescopio llamado Kepler destinado a la búsqueda de
planetas fuera de nuestro sistema solar (exoplanetas). El método utilizado se basa en la disminución
de la intensidad luminosa que recibimos de una estrella cuando la órbita de un planeta de su sistema
planetario pasa por delante de dicha estrella eclipsándola parcialmente según se ve desde la Tierra.
Este “tránsito” provoca una disminución periódica en el brillo de la estrella que nos llega, que puede
medirse mediante técnicas fotométricas, es decir, que miden la cantidad de luz proveniente de los
objetos celestes. Como puedes imaginar el efecto es muy débil, pero es suficiente para ser medido
gracias a los avanzados instrumentos del observatorio espacial Kepler. Solamente planetas que en su
órbita crucen la línea visual entre la estrella y la Tierra podrán ser detectados por este método. Hasta
final de febrero de 2013, el telescopio Kepler ya ha descubierto más de 2300 posibles exoplanetas, de
los cuales se han confirmado 105, y seguirá tomado datos hasta 2016.
Figura 1
Intesidad relativa
En la figura 1 se representa un esquema del proceso, en el que se pueden distinguir tres zonas: en la
zona 1 el planeta no eclipsa a la estrella y la intensidad recibida es la habitual de la estrella. La zona
2, llamada zona de “ingreso”, transcurre desde que el planeta comienza a tapar la estrella hasta que
todo el planeta queda por delante de la estrella. En la zona 3 todo el planeta eclipsa a la estrella y
dura hasta que el planeta comienza a salir de la proyección del círculo de la estrella. Todo el proceso
en el que alguna parte del planeta eclipsa a la estrella se le llama “tránsito”.
tiempo de observacion (dias)
Figura 2
En la figura 2 se representan los datos reales medidos para una estrella llamada Kepler-22 y en la que
se ha identificado por este método un planeta llamado Kepler-22b. Se indican con flechas rojas los
momentos en los que hay un tránsito de dicho planeta.
En la figura 3 se ha hecho un zoom de uno de estos tránsitos.
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Intensidad relativa
∆
tiempo desde el punto medio del transito (horas)
Figura 3
Consideraremos que la órbita es prácticamente circular y que el tránsito discurre por la zona media de
la estrella, es decir que recorre su diámetro máximo. En la curva de luz experimental (figura 3) la
intensidad se ha representado normalizada al valor que toma en la zona 1, es decir, la intensidad
relativa es la intensidad recibida en el detector del telescopio dividida por el valor que toma en la zona
1. En este caso el tiempo de ingreso (ti) es demasiado pequeño y podemos despreciarlo, es decir,
todo el tránsito representado corresponde a la fase 3.
Por métodos astrofísicos se ha estimado que la masa de la estrella Kepler-22 es 0.97 veces la masa
del Sol.
a) Extrayendo la información que consideres oportuna de la figura 2, determina: el período orbital
del planeta (T), la distancia (a) del planeta a la estrella en unidades astronómicas (UA) y la
velocidad orbital del planeta (vo ). A partir de la figura 3, determina el radio de la estrella ( Rs )
comparado con el radio del Sol (desprecia el radio del planeta frente al de la estrella). (Una
unidad astronómica se define como la distancia media de la Tierra al Sol: 1 UA = 149.6·106 km).
Datos: G=6.67·10-11 [SI], radio del Sol = 6.95·105 km, masa del Sol = 2·1030 kg, radio de la Tierra =
6371 km, masa de la Tierra = 5.97·1024 kg
b) Un cuerpo caliente que está a una temperatura T emite energía en forma de radiación
electromagnética, en el caso de una estrella mayoritariamente en forma de luz. La potencia
emitida (P) por unidad de área (A) viene dada por una ley llamada Ley de Stefan-Boltzman:
P / A = s ⋅T
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donde s es una constante universal dada por s = 5.67·10-8 [SI]. Realizando un análisis espectral de la
luz de la estrella se sabe que la temperatura superficial de la estrella Kepler-22 es T = 5518 K. Para
esa estrella, en el detector del telescopio Kepler se registra una potencia por unidad de superficie del
detector de 1.11·10-12 W/m2.
i)
¿A que distancia (d) de nosotros (en años luz) se encuentra la estrella Kepler-22? (Un año luz se
define como la distancia que recorre la luz en un año).
ii) Demuestra que la pérdida de intensidad relativa (∆ en la figura 3) es ∆ = (Rp / Rs)2
iii) Calcula el radio del planeta (Rp), la densidad del planeta (ρp) y la aceleración de la gravedad en su
superficie (gp).
iv) Calcula la potencia luminosa por unidad de área que recibe Kepler-22b y compáralo con el valor
en la Tierra, que es de 1000 W/m2.
v) En vista de los resultados que has obtenido ¿crees que Kepler-22b podría ser habitable?
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c) Como sabes, la estrella y el planeta giran respecto del centro de masas común. Estudiando el
desplazamiento por efecto Doppler del espectro de la estrella se ha determinado la velocidad
radial de la estrella en función del tiempo, es decir la componente de la velocidad de la estrella en
la dirección de la visual con la Tierra, vr. Viene dado por la linea de puntos de la figura 4. A partir
de esa figura, ¿podrías estimar la velocidad de la estrella (vs) en su movimiento de rotación
respecto del centro de masas? ¿Qué crees que puede significar que la oscilación de la figura no
tiene como valor medio el cero?
Figura 4
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9. Vámonos de puenting
Como probablemente sabrás el puenting es una actividad de riesgo consistente en dejarse caer desde
un puente atado por los tobillos a un extremo de una cuerda elástica cuyo otro cabo está sujeto al
puente. La elasticidad de la cuerda hace que el saltador se frene suavemente, o al menos eso
deseamos. Consideremos que el puente tienen una altura h = 100 m desde donde salta el saltador
hasta el río que pasa por debajo. La cuerda tiene una longitud en ausencia de fuerzas externas que
llamaremos Lo. Podemos aproximar el salto en dos fases: 1) En una primera fase el saltador, con una
masa de 70 kg, se deja caer verticalmente con una velocidad inicial nula y la cuerda no hace ningún
efecto hasta que el saltador ha recorrido un distancia Lo desde el puente. 2) En la segunda fase la
cuerda comienza a frenar al saltador hasta detener la caída, preferiblemente antes de que éste llegue
al agua si no queremos tener una desgracia. En esta segunda fase consideraremos que la cuerda
sigue la ley de Hooke, es decir se comporta como un muelle ideal de constante k. Consideraremos al
saltador como una masa puntual y que no hay rozamiento con el aire.
a) Realiza un esquema de la caída, representando las fuerzas que actúan sobre el saltador en cada
fase.
b) Obtén una expresión para la longitud máxima que alcanza la cuerda en función de Lo y de k.
c) La dependencia de la constante k de la cuerda con la longitud Lo viene dada por la
función k (Lo ) = a / Lo , donde a es una constante que vale 1960 N. Demuestra que el valor
máximo de longitud Lo de cuerda podemos tomar para que el saltador no choque contra el agua
es 44.3 m.
Considerar en lo que sigue que nuestro saltador temerario toma una longitud de cuerda Lo igual al
valor obtenido en el apartado anterior, es decir quedará a punto de rozar el agua en el punto
inferior.
d) i) Representa gráficamente la aceleración en función de la posición (toma como origen de
coordenadas el punto en que se inicia el salto y positivo el eje hacia abajo).
ii) Considerando que aceleraciones sufridas por el cuerpo humano mayores de 4g pueden ser muy
peligrosas para la salud, ¿se alcanza esta condición en algún punto?
e) El saltador ha comprobado que el enganche de la cuerda con el puente se ha deteriorado y está
en una situación crítica. No volverá a aguantar otro salto si el enganche sufre la misma fuerza
máxima que en el salto anterior. Nuestro saltador temerario va a probar entonces una variante
distinta del puenting porque cree que así la fuerza máxima que sufrirá el enganche será menor.
Para ello se deja caer desde un punto del puente, A en la figura de abajo, situado a una distancia
Lo del punto de fijación de la cuerda al puente, O. El movimiento seguido en el salto se inscribe
obviamente en un plano pero no es circular pues la cuerda se puede estirar. De hecho el
movimiento real es bastante complicado y ni siquiera es periódico en general. En la figura se
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representa la trayectoria y(x) desde que se deja caer el saltador hasta el punto más alto que
alcanza en su movimiento cerca del punto de partida, punto C en el dibujo.
i)
¿tenía razón el saltador, es decir, aguantará el enganche?
ii)
En el punto B de casi retorno al punto inicial, el saltador no alcanza por poco la misma cota
que desde la que saltó. Explique como es esto posible si se conserva la energía y estime,
usando éste y otros datos que consideres oportuno extraer de las gráficas, el valor del módulo
de la velocidad en el punto B.
O (enganche)
L0
y(m)
punto de salto (A)
B
x (m)
A
B
y(m)
x (m)
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