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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN
Recordemos en primer lugar algunas definiciones y propiedades de la potenciación y de la
radicación de números reales:
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

Potencia de exponente cero : a0 = 1 por definición, siendo a  0

Potencia de exponente uno: a1 = a

Potencia de exponente negativo: a  n 

Potencia de otra potencia:  a n   a n.m


Producto de potencias de igual base: a n . a m  a n  m
Cociente de potencias de igual base: a n : a m  a n  m

Distributiva respecto de la multiplicación:  a .b   a n .bn

Distributiva respecto de la división:  a :b   a n : bn

Toda potencia de exponente fraccionario se puede expresar como raíz:
1
( siendo a  0 )
an
m
n
n
1
n
a n a
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Siempre que las raíces indicadas existan, entonces se cumplen las siguientes propiedades

La radicación puede expresarse como potencia de exponente fraccionario:
n
a an
1

Raíz de raíz:

Distributiva respecto de la multiplicación:

Distributiva respecto de la división:

Simplificación de índices:

Eliminación del radical:
a)
b)
n
n
n m
a  n. m a
n
a n  a  n es impar Ej:
a n  a  n es par Ej:
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n
a .b  n a . n b
a :b  n a : n b
a m  n:r a m:r
5
n
25  2 ;
; Ej:
7
64  6  6 ;
4
52  5 ;
6
8
6
23
(3)7   3
6
(2)6  2  2
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Ejercicios
1) Exprese las potencias como raíz y las raíces como potencias
2
3
2
 1 3
c)   
4
2
5
a) 8 
b) 2 
g) 7 33 
h) a3 
4
d) 5 3 
i)
e) y
1

4
j)
5
4

5
3

f )  3m 

1
4

1

5
2) Evalúe las siguientes expresiones:
a) 8

2
3
b)
d) (64)

c) 144  25
625
1
3
 125   1 
e)  
  
 8   64 
2
3
3
1
3
f)
5
(243) 2  49

1
2
1
1
 16  4  256  4
g)    

 81   625 
 32 1  2
h)   
 49 7 
3) Halla la mínima expresión, aplicando las propiedades de la radicación.
a)
a3 . a . a 4 
c)


e)
7 5


f)



2
3 2 
h)  3  x  
2
2
20
x 2 . z 5 . 3 x7 . z 
2 
2

d)  5    5   
3 
3

2
34 
5

7 5 
g)  x  5 
i)
3
b)

2

k)  2  x3  
2
j)  2 x  4  
2
l)  5  x  
3
m)  2  3x  
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INTERVALOS REALES
El Conjunto de los números reales está formado por los números racionales y los
irracionales. Los números reales se representan en una recta numérica llamada recta real.
Si a y b son dos números reales ( a < b ) , llamamos INTERVALO a todo subconjunto de
números reales que cumplen con las siguientes condiciones, siendo a y b los extremos del
mismo:
A) INTERVALO CERRADO [ a;b] es el conjunto de todos los números reales que son
mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
En símbolos: [a;b] = {x 
/a≤x≤b}
Se representa en la recta numérica gráficamente mediante un segmento
Ejemplo: [-2;5] = { x 
/ -2 ≤ x ≤ 5 }
B) INTERVALO ABIERTO ( a;b) es el conjunto de todos los números reales que son
mayores que a y menores que b.
En símbolos: (a; b) = { x 
/a<x<b}
Se representa en la recta numérica gráficamente mediante un segmento, sin los extremos.
1
1


Ejemplo:  3;  =  x  / 3< x < 
2
2


C) INTERVALO SEMIABIERTO A LA DERECHA [ a;b) es el conjunto de todos los
números reales que son mayores o iguales que a y menores b.
En símbolos: [a;b) = { x 
/a≤x<b}
Se representa en la recta numérica gráficamente mediante un segmento, sin el extremos
derecho.
Ejemplo: [-5;1) =
 x
/  5  x  1
D) INTERVALO SEMIABIERTO A LA IZQUIERDA (a;b] es el conjunto de todos los
números reales que son mayores que a y menores o iguales que b.
En símbolos: (a;b] = { x  / a < x ≤ b }
Se representa en la recta numérica gráficamente mediante un segmento, sin el extremo
izquierdo.
3
 3 


Ejemplo:   ; 4  =  x  /   x  4 
2


 2 
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E) También son intervalos de números reales los siguientes subconjuntos, llamados
INFINITOS O NO ACOTADOS.
M={x
/ x > a } = ( a; +  )
N={x
/ x < a } = ( -  ; a)
A={x
/ x ≥ a } = [ a; +  )
B={x
/ x ≤ a } = (-  ; a]
Estos subconjuntos de números reales se representan mediante semirrectas.
Ejemplos:
(-3;+  ) =
 x
/ x   3
(-  ; 5) =
 x
/ x  5
[-7; +  ) =
 x
/ x   7
(-  ; 6] =
 x
/ x  6
NOTA: al conjunto de los números reales se lo puede escribir como el intervalo ( -  ; +  )
Ejercicios
1) Escriba cada uno de los intervalos reales
a) A =  x
/ x  -2,8
d) B =  x
/ 3  x  7
b) C =  x
/ 0  x  3,5
e) D =  x
/ 4,5  x <  1,3

f) F =  x 

3
/x  
2
c) E =  x
/ x  2,5
2) Represente cada uno de los intervalos sobre la recta real.
a) M = ( -3,5; 0,5 )
b) P = ( -∞; 0,25]
c) T = ( 1,25;0]
 3 1
d) S =   ; 
 2 2
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MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
El módulo o valor absoluto de un número real, geométricamente es la distancia entre el
número y cero.
Ejemplo:
*El 5 está a 5 unidades del cero
*El – 3,5 está a 3,5 unidades del cero
*El 0 está a 0 unidades con respecto a si mismo
En símbolos:
|5|=5 ;
Generalizando:
x 
| -3,5 | = 3,5 ;
|0|=0
 x si x  0
|x|= 
 x si x  0
Es decir el módulo o valor absoluto de un número positivo o del cero es el mismo número,
pero para los números negativos es el opuesto del número dado.
Propiedades
a) | x | ≥ 0
*
|2 | = 2 > 0 ;
b) | x | = |–x |
*
|4 | = 4 ˄ |-4 | = 4
c) | x + y | ≤ | x | + | y |
*
|2+3|=|5|=5
|2|+|3|=2+3=5
d) | x . y | = | x | . | y |
|-3 | = 3 > 0 ; | 0 | = 0
 | 2 + 3 | = | 2| + | 3 |
* | -3 + 7 | = | 4 | = 4
| -3 | + | 7 | = 3 + 7 = 10
 | -3 + 7 | < | -3 | + | 7 |
* | 5 . (-2) | = | -10 | = 10
| 5 | . | (-2) | = 5 . 2 = 10
 | 5 . (-2) | = | 5 | . | -2 |
e) | x | < a ( a > 0)  -a < x < a  x  (-a; a)
-a
0
a
| x |  a ( a > 0 )  -a  x  a  x  [-a; a]
-a
0
a
Ejemplos
|x|<4
| x | 4
 -4 < x < 4  x  (-4; 4)
 -4  x  4  x  [-4; 4]
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f)
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| x | > a (a > 0)  x > a ˅ x < -a  x  ( -  ; -a)  (a ; +  )
-a
0
a
x < -a
x>a
| x |  a ( a > 0 )  x  a ˅ x  -a  x  ( -  ; -a]  [a ; +  )
-a
0
a
x a
x  -a
Ejemplos
| x | > 6  x > 6 ˅ x < -6  x  ( -  ; -6)  (6 ; +  )
| x |  6  x  6 ˅ x  -6  x  ( -  ; -6]  [6 ; +  )
Ejercicios
1) Efectúe los cálculos:
a) │4 – 8│+│–5+11│– │–9│=
b) │–7│.│6 – 12│– │(–2) . (–9+4)│=
2) Complete con < , > o = según corresponda
a)  14 ....... 14
b)
 54  11 .......  54  11
d)  5  (41) .......  5   41
e)
c)  18  7 .......  18  7
8,1  (3,7) ....... 8,1   3,7
3) Escribe el conjunto de valores que verifican las siguientes igualdades.
a) | x | < 3
c) | x | > 6,2
b) | x | ≤ 0,1
d) | x | ≥ 3
4) Grafica sobre la recta real los conjuntos de números reales que cumplen cada una de las
siguientes condiciones.
a) | x | < 4 ˄ x ≥ 0
c) | x | ≥ 1,2 ˄ x < 0
b) | x | > 5 ˄ x > 0
d) | x | ≤ 1 ˄ x > 0
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