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CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS - Sus constantes y variables y Gráficas Según su Trayectoria Velocidad Re cta M. Re ctilíne o TRAYECTORIA Curva M. Curvilíne o Es Unidime nsional ( longitud ) Circular Es bidime nsional Parabólico Elíptico T. curva Plana Es tridime nsional He licoidal Trayectoria curva no contenida en un plano Constante Variable Movimiento M.R.U. Módulo, Dirección y Sentido Módulo Dirección M.C.U. Módulo M.R.U.V. Dirección y Sentido VELOCIDAD Módulo - Dirección M.C.U.A. Notaciones : M.R.U. Características v Cte. , , a a t 0 an 0 a t 0 a c a n a r Cte. 0 MRUA a a t Cte 0 - MRUD a 0 n Cte. 0 a Cte. 0 t a a a Variable n r c 2 2 a R a t a c Movimiento rectilíneo uniforme M.C.U. “ circular uniforme M.R.U.V. “ rectilíneo uniformemente variado M.C.U.A. “ circular uniformemente acelerado Cte .- Constante a t .- aceleración tangencial o lineal a n .- aceleración normal a c .- aceleración centrípeta a r .- aceleración radial .- aceleración angular 2 = v R ( dirigida hacia el centro de la curva ) FORMULARIO DE MOVIMIENTO CIRCULAR MAGNITUDES ANGULARES: RELACIONES Angulo descrito (rad) Espacio recorrido s . R (m) Velocidad angular ω rad s Velocidad en un punto de la periferia Aceleración angular rad m 2 v ω . R ms a t . R m 2 s R m m v Cte s MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME: M.C.U ω Cte rad s m o ω t rad a n Cte s2 v ω .R ms a t 0 m 2 s t N vueltas ω 2 . t (s) 2 2 .F T Periodo Frecuencia rad s 2 ω s vuelta T Tiempo que tarda en dar 1 vuelta 1 F ω 2 vueltas s Hz (Hercio) F nº devueltas que da en 1 segundo 1 T N vueltas F . t (s) s (espacio recorrido en un tiempo dado ) N vueltas 2R 2 T F Nº de vueltas Aceleración (Normal – Centrípeta – Radial) a n a c a r v2 2 .R m 2 R s Aceleración en función de sus componentes intrínsecas a a t 2 a n 2 m s2 m a n Cte s2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO: M.C.U.V. a t Cte m 2 s ω ωo α (rad 2 ) Cte rad t s s2 rad ω ωo t ( s) 1 2 o ω o t t 2 (rad) ω2 ωo 2 2 t Nº de vueltas 1 2 ángulo recorrido en un tiempo dado () 2 2π s v o t . a t . t 2 (m) a t , an COMPONENTES INSTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN d v at t at α . R v a . t a . uv a . v r a . n a . ur a . r v2 an ω 2 . R an R m a 2 a t 2 an 2 s2 m s a 2 a t 2 an 2 t u v vector unitario tangente a la trayectoria n u r vector unitario normal (perpendicular) a la trayectoria Vector de Posición r x i y j z k (m) r x 2 y2 z2 Módulo del vector de Posición (m) Desplazamiento r r final r inicial (m) r final r inicial Δr Velocidad Media Vm Δt Δt m s dr dt m s dv a dt Velocidad Instantánea Se obtiene derivando el Vector de Posición V Aceleración Instantánea Se obtiene derivando el Vector velocidad Aceleración Media am Δ v v final v inicial Δt Δt m s2 m s2 Aceleración tangencial Se obtiene derivando el módulo del vector velocidad respecto del tiempo: a t d v dt m s2 v También se puede obtener: a t a . t a . u v a . v CLASIFICACION de los MOVIMIENTOS: Si V y a tienen Si V y a tienen DISTINTO signo RETARDADO IGUAL signo ACELERADO m s2 CUESTIONES TEÓRICAS 1º) ¿Qué diferencias hay entre posición de un móvil en una trayectoria y el espacio o la distancia recorrida sobre la misma? La posición nos indica el lugar que ocupa el móvil en la trayectoria respecto al sistema de referencia tomado como fijo en un determinado instante, no nos indica nada sobre si el móvil ha recorrido o no alguna distancia y puede ser positiva o negativa. El espacio o distancia recorrida es la longitud medida sobre la trayectoria que recorre entre dos instantes y es siempre positiva. 2º) ¿Cuándo coincide el espacio o distancia recorrida con el desplazamiento? El desplazamiento coincide con la distancia recorrida cuando la trayectoria es rectilínea y el móvil no retrocede. 3º) ¿Da lo mismo decir espacio recorrido que desplazamiento en la descripción de un movimiento entre dos puntos de una trayectoria cualquiera? No. El espacio recorrido es la longitud medida sobre la trayectoria que recorre el móvil entre los dos puntos y es una magnitud escalar. El desplazamiento es el vector que une la posición inicial y final, es decir, los dos puntos y es una magnitud vectorial. Sólo coincide cuando la trayectoria es rectilínea y no retrocede en su movimiento. 4º) ¿Qué diferencia hay entre la trayectoria seguida por un móvil y su gráfica posición - tiempo? La trayectoria es el camino recorrido por el móvil y es el resultado de unir las distintas posiciones que ocupa a lo largo del tiempo. La gráfica posición – tiempo, es la representación gráfica de una ecuación matemática que relaciona la posición del móvil con el tiempo. 5º) Justifica si son correctas o no las siguientes afirmaciones. a) De dos atletas corriendo, el más rápido es aquel que recorre más distancia. b) De dos atletas corriendo, el más rápido es aquel que tarda menos tiempo. Las dos afirmaciones son incompletas. En la a), no se informa sobre el tiempo empleado en recorrer dicha distancia. En la b), a su vez, no se informa la distancia que ha recorrido cada atleta. 6º) ¿Por qué un movimiento uniforme no puede iniciarse a partir del reposo? Si un cuerpo está en reposo, para iniciar su movimiento ha de poseer una cierta aceleración y, en consecuencia, el movimiento no podrá ser uniforme 7º) ¿ Cómo se determina si un cuerpo tiene un movimiento acelerado o retardado en un instante dado? - Si v y a tienen el mismo signo Acelerado - Si v y a tienen el distinto signo Retardado 8º) a) b) c) d) Indica que afirmaciones son correctas. El movimiento es: Un cambio de lugar Un cambio de lugar si el cuerpo que se mueve es un punto material Un desplazamiento Un cambio de posición Son correctas.: b) y d) El movimiento es, en general, un cambio de posición. Pero si el móvil es un punto material, un cambio de posición implica un cambio de lugar. Punto material: es un cuerpo cuyas dimensuiones no se tienen en cuenta 9º) Señala las afirmaciones correctas. El movimiento de un coche que se desplaza por una carretera es respecto de una gasolinera: a) Rotación b) Traslación c) Absoluto d) Relativo Son correctas: b) y c) 10º) a) b) c) d) a) b) c) d) Indica si es falso o verdadero: Se puede estudiar el movimiento prescindiendo del sistema de referencia El movimiento es un cambio de lugar Un punto solamente puede tener movimiento de traslación La Tierra se puede considerar un punto material cuando se mueve alrededor del Sol Falso. Porque el sistema de referencia es necesario para estudiar el movimiento Flaso. Porque el movimiento consiste en un cambio de posición Verdadero Verdader. Porque las dimensiones de la Tierra son despreciables comparas con la distancia entre ella y el Sol 11º) Indica que afirmaciones son verdaderas. La velocidad media de una partícula es un intervalo de tiempo es: a) El cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo b) El cociente entre el espacio recorrido y el intervalo de tiempo c) Es igual cualquiera que sea la trayectoria d) Depende de la trayectoria Son verdaderas: a) y c). Porque se deducen de la propia definición de velocidad media 12º) En un campeonato de esquí alpino un esquiador realiza el descenso haciendo muchas “eses”, mientras que otro lo realiza en línea recta. Señala las afirmaciones falsas: a) Los dos han realizado el mismo desplazamiento b) Los dos han recorrido la misma distancia c) Los dos han seguido la misma trayectoria d) Bajaron con la misma velocidad media si tardaron el mismo tiempo Son Falsas: b) y c). Porque es evidente que los dos no corren la misma distancia ni han seguido la misma trayectoria 13º) a) b) c) Visto desde dentro de un autobús en movimiento, queremos saber si se mueve: La persona que está sentada a mi lado El semáforo que acabamos de pasar La persona que viene a sentarse en el asiento de detrás del mío Respecto de un observador que viaja en el autobús: - La persona que está sentada a mi lado está parada - el semáforo tiene movimiento relativo: se acerca o se aleja con la velocidad con que se mueve el autobús. - La persona que va a sentarse se mueve respecto de cualquier otro viajero del autobús Respecto de una persona parada en el exterior, las personas sentadas se mueven con la velocidad del autobús 14º) a) b) c) De las siguientes afirmaciones indica cuales son falsas: Si la velocidad del cuerpo es nula, la aceleración también lo es Si la aceleración de un cuerpo es nula, la velocidad también lo es La velocidad y la aceleración son vectores que tienen siempre la misma dirección aunque su sentido puede ser diferente Se pueden citar ejemplos que demuestran que las tres afirmaciones son Falsas. a) Cuando se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, su velocidad es cero cuando alcanza el punto más alto. Sin embargo está sometido a la aceleración de la gravedad. Cuando un péndulo se encuantra en los extremos de la oscilación no tiene velocidad; en cambio su aceleración es máxima b) En el movimiento rectilíneo y uniforme, la aceleración es cero; en cambio, la velocidad no lo es c) Los vectores velocidad y aceleración tienen distinta dirección en los movimientos curvilíneos. 15º) a) b) c) d) En el MRU, la aceleración es: un escalar un escalar constante no existe ninguna de las anteriores Respuesta.- c) 16º) a) b) c) d) En el MRU, la velocidad es: Constante en módulo Constante en módulo y dirección Constante en módulo, dirección y sentido Constante en módulo y sentido Respuesta.- c) 17º) a) b) c) d) El movimiento de caída de un cuerpo es: RU RUA RUV Parabólico Respuesta.- b) 18º) a) b) c) d) ¿Qué clase de movimiento mantiene constante la velocidad y tiene aceleración? MCU MRU MRUV Ninguno Respuesta.- a) 19º) a) b) c) d) ¿Cual de las siguientes proposiciones es falsa? El vector desplazamiento entre 2 puntos es siempre el mismo, cualquiera que sea su trayectoria El vector posición de un punto coincide con el vector desplazamiento desde el origen al punto En cualquier momento, el espacio recorrido coincide con el módulo del vector desplazamiento Si en un movimiento, el espacio recorrido es 0, el vector desplazamiento es nulo Respuesta.- c) 20º) Podemos afirmar que: a) El vector posición y el vector desplazamiento tienen el mismo significado físico b) El vector posición es un vector cuyo origen es el del sistema de referencia y su extremo es la posición del punto del móvil c) El vector desplazamiento coincide con la trayectoria del punto móvil en todo momento d) la a) y la c) Respuesta.- b) 21º) Señala la respuesta correcta: a) Se define velocidad instantánea como la velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a 0 b) La velocidad se expresa en unidades de distancias multiplicadas por el tiempo c) En un intervalo de tiempo determinado, la velocidad de una partícula varía de v1 a v2 , y su v v2 velocidad media en el intervalo podemos asegurar que es igual a 1 2 d) la a) y la b) Respuesta.- a) 22º) a) b) c) d) En un cuerpo en movimiento: El vector aceleración nunca puede tener sentido contrario al de la velocidad La velocidad puede ser nula y en cambio estar acelerado No puede modificarse la dirección del vector velocidad cuando el vector aceleración es constante Con aceleración, la velocidad nunca puede ser constante Respuesta.- b) 23º) Con respecto a las representaciones gráficas del movimiento, señala la proposición verdadera: a) En el MU, en una gráfica v – t , el espacio se representa por una recta con pendiente positiva o negativa b) En el MU, en una gráfica s – t , la velocidad se representa por una curva c) En el MUA, en una gráfica s – t , la velocidad se representa por una recta d) En el MUA, en una gráfica v – t , el espacio se representa por una superficie Respuesta.- d) 24º) a) b) c) Averigua cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta: El móvil sufre variaciones de velocidad escalar iguales en tiempos iguales La aceleración escalar instantánea del móvil permanece constante La aceleración escalar media en un intervalo de tiempo cualquiera coincide con la aceleración escalar instantánea en cada punto del intervalo d) La trayectoria es obligatoriamente rectilínea Respuesta.- d) 25º) Cuando se mueve un punto material, lo hace según: a) La dirección y sentido de la a t b) La dirección de su vector posición c) La dirección del vector aceleración de la partícula, en el mismo sentido o en el contrario d) La dirección del vector velocidad Respuesta.- d) 26º) Señala la proposición verdadera: a) En cualquier tipo de movimiento, cuando un móvil recorre un camino en cualquier intervalo de tiempo, el módulo del vector desplazamiento coincide con el espacio recorrido b) En cualquier tipo de movimiento, cuando un móvil recorre un camino y se consideran intervalos de tiempo muy pequeños, el módulo del vector desplazamiento coincide con el espacio recorrido c) En los movimientos de tipo curvilíneo, el camino recorrido por un móvil y el módulo del vector desplazamiento son siempre iguales d) El vector velocidad media, siempre es tangente a la trayectoria del móvil Respuesta.- b) 27º) Demuestra que en el MUA, la aceleración es igual al doble del espacio recorrido en la primera unidad de tiempo. 1 En el MUA, si el móvil parte del reposo, se cumple que: s a t 2 2 1 En la 1ª unidad de tiempo, el espacio recorrido es: s (1) a 12 a 2 s (1) 2 28º) a) b) c) d) ¿En qué movimiento tienen igual dirección los vectores velocidad y aceleración? MRU MRA a) y b) MCU Respuesta.- c) 29º) Señala la afirmación Falsa: a) Un MCU tiene aceleración nula b) En cualquier MR no existe a n c) En un MU la velocidad es constante d) Es posible que en un movimiento, la velocidad aumente al disminuir la aceleración Respuesta.- a) 30º) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones referidas al MCU es Cierta?: a) No existe a n , pero si a t b) No existe a t , pero si a n c) No existe ni a n ni a t d) Existe aceleración angular Respuesta.- b) 31º) a) b) c) d) Un punto describe una trayectoria circular con período constante. Se cumple que: La velocidad angular aumenta con el tiempo El punto se encuentra sometido a una aceleración nula El punto se encuentra sometido a una aceleración constante El punto se encuentra sometido a una aceleración de módulo constante Respuesta.- d) 32º) Las gráficas del movimiento de tres móviles A, B y C, son las siguientes, ¿cómo es la variación de la posición respecto al tiempo en cada una de ellas? En la gráfica A no hay variación de posición a lo largo del tiempo, está parado. En la gráfica B, la variación de la posición es la misma en los intervalos de tiempos señalados, cada 10 segundos la posición cambia 100 m, el movimiento es uniforme. En la gráfica C, la variación de la posición en los intervalos señalados es distinta . De 0 a 1 segundo, pasa de la posición 0 a la 10; de 1 a 2 segundos, se pasa de la posición 10 a la 25 y de 2 a 3 segundos, de la 25 a la 40. El movimiento es variado. 33º) Las gráficas del movimiento de tres móviles A, B y C, son las siguientes, ¿cómo es la variación de la posición respecto al tiempo en cada una de ellas? En la gráfica A no hay variación de posición a lo largo del tiempo, está parado. En la gráfica B, la variación de la posición es la misma en los intervalos de tiempos señalados, cada 10 segundos la posición cambia 100 m, el movimiento es uniforme. En la gráfica C, la variación de la posición en los intervalos señalados es distinta . De 0 a 1 segundo, pasa de la posición 0 a la 9, de 1 a 2 segundos, se pasa de la posición 9 a la 19 y de 2 a 3 segundos, de la 19 a la 45. El movimiento es variado. 34º) Describe el movimiento realizado por un móvil que está representado en la siguiente gráfica. El móvil parte de la posición 200 m antes del sistema de referencia. Se mueve hasta los 10 segundos, en sentido hacia el punto tomado como sistema de referencia, pasando por éste a los 5 segundos, hasta llegar a la posición 200 m, allí entre el segundo 10 y 15, permanece en reposo. Luego, entre el los segundos 15 y 20, avanza en el mismo sentido hasta la posición 400 m. Desde esta posición cambia de sentido, y entre los segundos 20 y 35, vuelve a la posición inicial, 200 m antes del sistema de referencia, pasando por éste a los 30 segundos, allí entre el segundo 35 y 40 , de nuevo permanece en reposo. En todos aquellos casos en los que existe movimiento éste es rectilíneo y uniforme dado el tipo de gráfica 35º) Describe el movimiento realizado por un móvil que está representado en la siguiente gráfica. El móvil parte de la posición 400 m respecto al sistema de referencia y va hacia él durante los 10 primeros segundos, llegando a la posición 200 m , allí se para del segundo 10 al 20, avanzando en sentido contrario hasta la posición 300 m, entre los segundos 20 y 25. 36º) La gráfica posición – tiempo siguiente, corresponde a una carrera entre dos ciclistas Ay B. a) ¿Qué ventaja le lleva el ciclista A cuando comienza el B ? ¿Cómo lo deduces? b) ¿Alcanza el ciclista B al A? ¿En qué te basas? Si lo alcanza, ¿en qué instante? a) Cuando sale el ciclista B, el A se encuentra en la posición 100 m respecto al sistema de referencia, por tanto, le lleva 100 metros de ventaja. b) Si. Ya que su pendiente es mayor y por tanto su velocidad. Lo alcanza en el instante 25 s, en ese momento la posición de ambos es 300m (punto de corte de las dos rectas). MOVIMIENTO RECTILÍNEO 1º) Indica que tipos de movimientos representan las gráficas. Explica. MRU V Cte (+) Se aleja del Origen MRU Reposo Parado MRUA a (+) Aumenta la V MRU V Cte (+) Se aleja del Origen 2º) Las gráficas siguientes representan a un móvil que se mueve con movimiento uniformemente acelerado. Explica su significado. Gráfica A. MRUA - Representa la variación de la posición con el tiempo, como en tiempos iguales los espacios recorridos por el móvil son distintos, las posiciones se irán distanciando a medida que aumenta el tiempo. La figura es una parábola. Gráfica B. MRUA - Representa la variación de la velocidad con el tiempo, según dicha gráfica en tiempos iguales el aumento de la velocidad es el mismo. (Aumenta la Velocidad). La figura es una recta cuya pendiente es la aceleración. (+) Gráfica C. MRUR - Representa la variación de la velocidad con el tiempo, según dicha gráfica en tiempos iguales la disminución de la velocidad es la misma, hasta llegar a velocidad cero. (La velocidad disminuye). La figura es una recta cuya pendiente es la aceleración, que en este caso es negativa. (-) Gráfica D. MRUA - Representa la variación de la aceleración con el tiempo, según dicha gráfica en cualquier instante la aceleración es la misma. ( + y Cte.). La figura es una recta paralela al eje que representa al tiempo, indicando con esto que la aceleración es constante. 3º) Las siguientes gráficas velocidad – tiempo son las de un móvil desplazándose en un recta ¿Qué clase de movimiento representan? Gráfica A . MRUA - Con velocidad en el instante inicial. Es una recta cuya pendiente es la aceleración . Según dicha gráfica en tiempos iguales el aumento de la velocidad es el mismo. Gráfica B. MRA, no U - Porque la variación de la velocidad no es constante en el tiempo. Gráfica C. Representa un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con velocidad cero en el instante inicial. Es una recta cuya pendiente es la aceleración . Según dicha gráfica en tiempos iguales el aumento de la velocidad es el mismo . Gráfica D. MRU - En todo instante la velocidad es la misma (+ y Cte) Gráfica E. MRUR - Con velocidad en el instante inicial. Es una recta cuya pendiente es la aceleración , que en este caso es negativa. Según dicha gráfica en tiempos iguales la disminución de la velocidad es la misma . 4º) Las gráficas del movimiento de tres móviles A, B y C, son las siguientes, ¿cómo es la variación de la posición respecto al tiempo en cada una de ellas? En la gráfica A no hay variación de posición a lo largo del tiempo, está parado. En la gráfica B, la variación de la posición es la misma en los intervalos de tiempos señalados, cada 10 segundos la posición cambia 100 m, el movimiento es uniforme. En la gráfica C, la variación de la posición en los intervalos señalados es distinta . De 0 a 1 segundo, pasa de la posición 0 a la 10; de 1 a 2 segundos, se pasa de la posición 10 a la 25 y de 2 a 3 segundos, de la 25 a la 40. El movimiento es variado. 5º) Un ciclista ha ido de A hasta B, por el camino curvilíneo. ¿Qué distancia ha recorrido? ¿Cuál ha sido su desplazamiento? La distancia recorrida = 9 . 9 = 81 km. El desplazamiento es la distancia en línea recta, 49 km. 6º) Las posiciones sucesivas de un ciclista que parte de A se indican con los puntos 1, 2, 3. El banderín marca el km "cero" y en él está el sistema de referencia. Indica las posiciones del móvil y la distancia recorrida en cada caso. 1 2 3 posición 30km 15 km 45 km distancia 15 km 60 km 90 km 7º) Las posiciones de un coche que parte del punto A se indican con los números 1,2,3,4. El banderín marca el sistema de referencia. Si un observador está situado en el punto P y otro en el punto R. Indica las posiciones del coche y la distancia recorrida en cada caso, para cada uno de los observadores. Respecto al sistema de referencia P. Posición Distancia recorrida 1 2 50 km. 0 km 50 km 100 km 3 4 50 km 150 km 150 km 250 km Respecto al sistema de referencia R. Posición Distancia recorrida 1 2 3 4 200 km. 150 km 100 km 0 km 50 km 100 km 150 km 250 km 8º) Las posiciones sucesivas de un tren que parte de la ciudad A se indican con los puntos 1, 2, 3. El banderín en la ciudad R es el sistema de referencia. Indica las posiciones del móvil y la distancia recorrida en cada caso. Las posiciones serán : 1 2 3 60 km 60 km 180 km Las distancias recorridas serán : 1 2 ( 60 ( 150)) = 90 km 3 (60 ( 150)) = 210 km (180 ( 150)) = 330 km 9º) ¿Qué posición ocupa el balón en los instantes que se indican? ¿Cuál es la distancia recorrida hasta ese momento? instante 2 instante 3 instante 4 posición instante 1 10 m 40 m 20 m 0m distancia 10 m 40 m 60 m 80 m 10º) Carlos sale de su casa a comprar el periódico en una papelería situada a 120 m de la vivienda y luego regresa a casa. ¿Qué afirmación es correcta? a) Carlos se ha desplazado 120 m b) Carlos se ha desplazado 240 m c) Carlos no se ha desplazado d) Carlos ha recorrido 240 m Es correcta la afirmación c). Porque, al final del recorrido, la posición es la misma que al principio (120 m) 11º) Un coche que se encuentra inicialmente en el km 58 de la carretera Madrid - Zaragoza, se desplaza y llega al km 106. Allí frena, da la vuelta y recorre 12,5 km en sentido contrario. En este momento: a) ¿Cuál es la posición del coche? b) ¿Qué distancia ha recorrido? a) La posición será : 106 km 12,5 km = el km 93.5 b) La distancia recorrida será : e = (106 km – 58 km) + 12,5 km = 48 km + 12,5 km = 60,5 km 12º) Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si su posición final está a 1250 m del punto de referencia, el ciclista inició su recorrido desde una posición situada a: a) 750 m b) 1250 m c) 500 m d) No se puede hallar la posición de partida. e e e o e o e e e o 1250 m 750 m 500 m 13º) Una persona sale de paseo. Recorre 2 km hacia el Norte, después se dirige hacia el Este y recorre 1 km y, por último, se dirige hacia el sur y recorre 4 km. Calcula: a) ¿Qué espacio ha recorrido? b) ¿Cuánto vale el desplazamiento? a) 7 km b) Po P1 r ( 4 2) 2 12 2,24 km 14º) Una persona está sentada en un banco del parque público. En un momento dado decide dar un paseo: recorre 100 m hacia el Oeste, se para y luego recorre 60 m hacia el Este. a) ¿Cuás es la posición final de la persona respecto del banco? b) ¿Cuál es el desplazamiento? c) ¿Qué espacio ha recorrido? a) la posición será: 100 m 60 m = 40 m b) e 40 m hacia el Oeste c) espacio recorrido = 100 m + 60 m = 160 m 15º) El autobús que une Zaragoza con Huesca pasó por el km. 26 a las 10 horas y por el km. 46 a las 10,15 horas. ¿Cuál ha sido la velocidad media en dicho tramos? Exprésala en km / h y en m/ s. Si la distancia entre la dos ciudades es de 72 km, y en todo el trayecto consigue esa velocidad media, ¿qué tiempo le costará? e (46 - 26) km 20 k m km 1 000 m 1 h = 80 km / h 80 · · = 22,2 m/s t 15 minutos 15 / 60 h h 1 k m 3 600 s e 72 km Δt= = = 0,9 horas = 0,9 h · 60 minutos /hora = 54 minutos. v m 80 km/h vm 16º) Un coche que se encuentra inicialmente en el km 58 de la carretera Madrid - Zaragoza, se desplaza durante media hora con la misma velocidad y llega al km 106. Allí frena, da la vuelta y recorre 12,5 km en 9 minutos en sentido contrario. ¿Cuál ha sido la velocidad media del trayecto realizado? La posición será :106 km 12,5 km el km 93,5 La distancia recorrida será : e (106 km 58 km) 12,5 km 48 km + 12,5 km = 60,5 km Δ t 30 min 9 min 39 min. La velocidad media será : v m Δ e 60,5 k m km 1 000 m 1 h = 93,1 km / h 93,1 · · = 25,9 m/s Δ t 39 / 60 h h 1 k m 3 600 s 17º) Un ciclista que se mueve en línea recta, acelera pasando de 15 km/h a 25 km/h en 5 minutos. Calcula: a) La aceleración media del ciclista b) La velocidad media del ciclista c) La distancia recorrida en el tiempo indicado v o 15 km/h 4,16 m/s v 25 km/h 6,94 m/s a) a m = v v o (6,94 4,16) m/s 0,009 m/s 2 t 300 s b) v m = v v o (6,94 4,16) m/s 5,55 m/s 2 2 c) vm vm t 5 min 300 s e 1665 m 5,55 m/s t 300 s e e v m . t 5,55 m/s . 300 s 1665 m t 18º) Halla la velocidad de un móvil que se mueve el línea recta y que se encuentra en la posición – 5 m en el instante 2 segundos y en la posición 10 metros en el instante 5 segundos. ¿Qué posición tendrá en el instante inicial y en el instante 20 segundos? e s 5 s 2 10 ( 5 ) 15 m 5 m/s t 52 3 3s La posición inicial será : s 2 = s 0 + 5 t 5 = s 0 + 5 (2 0 ) s 0 = 15 m v= La posición en el instante 20 será : s 20 = s 0 + 5 t s 20 = 15 + 5 (20 0 ) s 20 = 85 m 19º) Un coche que lleva una velocidad inicial de 2 m/s , acelera durante 10 segundos con aceleración constante de 3 m/s2. ¿Qué velocidad tendrá a los 10 segundos? ¿Qué posición tendrá en dicho instante, si en el instante inicial está en la posición – 3 m? ¿Qué espacio habrá recorrido en dicho tiempo? v = v 0 a t v10 2 m/s + 3 m/s 2 ·10 s v 10 32 m/s 1 2 1 a t s10 3 m + 2 m/s·10 s + . 3 m/s 2 . (10 s) 2 s 10 167 m 2 2 Δ s ( espacio recorrido en 10 segundos) = s10 s 0 = 167 ( 3 ) Δ s = 170 m s10 s 0 + v 0 t + 20º) Un móvil, que tiene movimiento uniformemente acelerado, parte con una velocidad inicial de 10 m/s y duplica su velocidad tras recorrer 250 m. Calcula: a) El tiempo empleado b) La aceleración aplicada v 2 v o 2 2as 20 2 10 2 2. a. 250 a 0,6 m/s 2 v v o a.t 20 10 0,6 . t t 16,7 s 21º) La velocidad de un tren se reduce uniformemente de 108 km/h a 72 km/h. Sabiendo que durante ese tiempo recorre una distancia de 100 m. Calcula: a) La aceleración de frenado. b) La distancia que recorre, si sigue con esa misma aceleración, hasta que se para y el tiempo que tarda en hacerlo. a) Las velocidad es en m/s son :108 km/h = 30 m/s y 72 km/ h = 20 m/s 20 2 30 2 - 500 = 2,5 m/s 2 2·100 200 O bien, resolviend o el siguiente sistema : v2 v 02 = 2 a s a = 100 20 30 10 t = 25 = 4 s a= a t t Δ s = 30 · t + 1 a t 2 100 30 · t + 1 10 t 2 100 = 25 t 10 m/s a = 2,5 m/s 2 2 2 t 4 s b) v2 v 02 = 2 a s Δ s = 0 2 20 2 400 = 80 m 2·( 2,5 ) 5 v vo 0 20 20 t= = 8s a t 2,5 t 2,5 O bien, resolviend o el sistema : Δ s = 20 · t + 1 a t 2 = 20 ·8 1 . 2,5 ·8 2 Δ s = 160 80 = 80 m 2 2 22º) Un automóvil se desplaza a 45 Km/h. y disminuye uniformemente su velocidad hasta 15 Km/h. en 10 s. Calcula : a) La aceleración del móvil. b) La distancia recorrida en los 10 s. c) El tiempo que tardará en detenerse. d) La distancia que recorre hasta detenerse, contando desde que se movía 15 Km/h. vo = 45 Km/h = 12,5 m/s ; v = 15 Km/h = 4,16 m/s v = 12,5 m/s v = 4,16 m/s. ▄ v = 0 m/s ▄ ▄ t = 10 s a) a = v v o (4,16 12,5) m/s = = 0,83 m/s 2 t 10 s v 2 v o2 (12,5 2 4,16 2 ) (m/s) 2 = = 83,7 m 2a 2 . 0,83 m/s 2 v vo v v o 0 12,5 m/s t= = 15 s c) a = t a 0,83 m/s 2 b) v 2 v o2 2 a s s = d) v 2 v o2 2 a s s = v 2 v o2 (0 4,16 2 ) (m/s) 2 = = 10,43 m 2a 2 . 0,83 m/s 2 23º) Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10 m/s2. Calcular : a) La velocidad a los 5 segundos de su partida. b) El espacio recorrido en ese tiempo. c) El espacio recorrido a los 5 segundos siguientes. a = 10 m/s2 ▄ t = 5 s. t=5s ▄ ▄ v o = 0 m/s a) v (5 s) v o a t = 0 10 m/s 2 . 5 s 50 m/s b) s (5 s) = s o v o 1 2 1 a t .10 m/s 2 . (5 s) 2 s o 125 m 2 2 c) v 2 v o2 2 a s s = v 2 v o2 (v 2 50 2 ) (m/s) 2 = 2a 2 .10 m/s 2 v (5 s) v o a t = 50 m/s 10 m/s 2 . 5 s 100 m/s s = (100 2 50 2 ) (m/s) 2 2 .10 m/s 2 375 m 24º) Un tren del metro arranca con una aceleración de de 8 cm/s2. Al cabo de 30 s., el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con velocidad constante. Calcular : a) Cual es esa velocidad. b) El espacio que recorrió el tren en los 30 s. c) Que tiempo transcurrió hasta que el tren llega a otra estación distante de la primera 500 m. a = 8 cm/s2 = 0,08 m/s2 t = 30 s ▄ vcte MRU ▄ ▄ 500 m s1 vo = 0 m/s s1 500 m a) v v o a t = 0 0,08 m/s 2 . 30 s 2,4 m/s b) v 2 v o2 c) v v 2 v o2 (2,4 2 0) (m/s) 2 2as s= = 36 m 2a 2 . 0,08 m/s 2 s s (500 36) m t 193,3 s T = 30 s + 193,3 s = 223,3 s t v 2,4 m/s 25º) Un tren arranca con una aceleración constante de 4 m/s2. Alcanza su máxima velocidad a los 6 minutos, en cuyo instante aplica los frenos y se detiene al minuto y medio. ¿Cuál es la distancia recorrida por el tren? a = () MRUR a = 4 m/s2 ▄ ▄ vo = 0 m/s ▄ t = 6 min t = 7,5 min v=? s1 , 360 s v=0 s2 , 90 s s1 + s2 s1 = s o v o t 1 2 1 a t 0 0 . 4 m/s 2 . (360 s) 2 s1 = 259200 m 2 2 1 2 1 a t 259200 m v o . 90 s a (90 s) 2 2 2 v o v (360 seg) de la etapa anterior v o a t = 0 4 m/s 2 . 360 s 1440 m/s s T = s1 s 2 s o v o t v v o (0 1440 ) m/s = 16 m/s 2 t 90 s 1 s T = 259200 m 1440 m/s . 90 s .16 . (90 s) 2 259200 m 64800 m 324000 m 324 km 2 a= 26º) Un avión recorre 1200 m. a lo largo de una pista antes de detenerse al aterrizar. Suponiendo que la aceleración es constante. Calcula: a) La aceleración en la pista si aterriza a 108 Km/h. b) El tiempo que tarda en pararse desde que aterriza. c) El espacio que recorre en los 10 primeros segundos y la velocidad en ese instante. vo = 108 Km/h = 30 m/s vo = 30 m/s. ▄ v = 0 m/s . ▄ 1200 m. a) v 2 v o2 2 a s a = v 2 v o2 (0 30 2 ) (m/s) 2 = = 0,375 m/s 2 2s 2 .1200 s v vo v vo 0 30 m/s t= = 80 s t a 0,375 m/s 2 b) a= c) s = s o vo t 1 2 1 1 a t s = v o t a t 2 30 m/s .10 s . 0,375 m/s 2 . (10 s) 2 282,5 m 2 2 2 2 v (10) v o a t = 30 m/s 0,375 m/s .10 s 26,25 m/s 27º) Al despegar, un avión recorre 1600 m sobre la pista en 20 seg. Calcula: a) La aceleración con que se mueve supuesta constante. b) La velocidad en el momento del despegue. c) El tiempo que tardará en recorrer la primera mitad de la pista. vo = 0 m/s. ▄ ▄ 1600 m. t 20 s a) s = s o v o t 1 2 1 a t 1600 m = a . (20 s) 2 a 8 m/s 2 2 2 b) v (20) v o a t = 8 m/s 2 . 20 s 160 m/s c) Primera mitad de la pista s = 800 m 1 1 s = so vo t a t 2 800 m = . 8 m/s 2 . t 2 t 14,14 s 2 2 v = ? m/s 28º) Un avión despega de la pista después de recorrer 1 Km. Si la velocidad del avión en el momento de despegar es de 120 Km/h. Calcula: a) La aceleración que tiene en ese momento. b) El tiempo que tarda en despegar. c) La distancia que recorre en el último segundo antes de despegar. v = 120 Km/h = 33,33 m/s. 1 Km. = 1000 m. vo = 0 m/s. t=1s ▄ ▄ 1000 m. ▄ v = 33,33 m/s v 2 v o2 (33,33 2 0) (m/s) 2 = = 0,56 m/s 2 2s 2 .1000 s v vo v v o 33,33 0 m/s t= = 59,5 s b) a = t a 0,56 m/s 2 a) v 2 v o2 2 a s a = c) s (1 s) = s (59,5 s) s (58,5 s) 1 1 1 s (59,5 s) = s o v o t a t 2 s = v o t a t 2 . 0,56 m/s 2 . (59,5 s) 2 991,27 m 2 2 2 1 2 1 s (1 s) = s (59,5 s) s (58,5 s) 1000 v o t a t 1000 . 0,56 m/s 2 . (58,5 s) 2 41,8 m 2 2 29º) Se deja caer un pelota por un plano inclinado de 40 m de longitud con una aceleración de 1,5 m/s2. Al llegar al final del plano, la pelota continúa con movimiento rectilíneo uniforme sobre un plano horizontal hasta que un obstáculo la detiene al cabo de 15 m. Determina: a) La velocidad con que la pelota llega al final del plano inclinado b) El tiempo que estuvo en movimiento a lo largo de todo el movimiento. a) v 2 v o2 2 a s v = 2 a s 2 .1,8 m/s 2 . 40 m 12 m/s b) v v o a t 12 m/s 1,8 m/s 2 . t t 6,67 s c) T en movimiento = t1 (plano inclinado) + t2 (plano horizontal) s s 15 m tiempo en movimiento en el plano horizontal: v = t= = 1,25 s t v 12 m/s T t1 t 2 6,67 s 1,25 s 7,92 s 30º) Sabiendo que la velocidad de un móvil se anula para t = 3 segundos y que el espacio se anula para t = 11 s. Calcular la velocidad inicial y el espacio inicial en un M.U.V., cuya aceleración negativa es de 8 m/s2. v vo (0 v o ) m/s 8 m/s 2 vo = 24 m/s t 3 1 1 s = s o v o t a t 2 0 = s o 24 m/s .11 s . 8 m/s 2 . (11 s) 2 s o 220 m 2 2 a 31º) En un M.U.V., los espacios recorridos a los : t = 1 s., t = 3 s. y t = 5 s., son respectivamente a 55 cm., 225 cm. y 555 cm. Calcular : so, vo, y la aceleración. s = s o vo t 1 2 at 2 1 a .1 2 1 t 3 s 225 = s o v o . 3 a . 9 2 1 t 5 s 555 = s o v o . 5 a . 25 2 t 1 s 55 = s o v o . 1 340 = 4vo + 8a 110 = 2s o 2 v o a 450 = 2s o 6 v o 9 a 1110 = 2s 10 v 25 a o o a = 40 cm/s2 = 0,4 m/s2 so = 30 cm = 0,3 m 1000 = 8vo + 24ª vo = 5 cm/s = 0,05 m/s 32º) En un MRUA, se sabe que un móvil tiene una velocidad de 17 m/s a los 4 segundos de haber comenzado a contar el tiempo, y que en los instantes t = 2 s y t = 4 s, dista del origen 12 y 40 m respectivamente. Calcula la posición inicial, la velocidad incial y la aceleración. 17 = v o 4 a 1 2 v o t a t 12 = s o 2 v o 2 a 2 40 = s 4 v 8 a o o 1 2 vo t a t 2 t 4 s v = vo t a t t 2 s s = so t 4 s s = so s o 4 m v o 5 m/s a 3 m/s 2 33º) ¿Qué información se puede obtener de las siguientes ecuaciones generales del movimiento de dos móviles? a) e = 20 + 2 t b) e = –10 + 3 t c) e = 4 – 5 t d) e = – 53 + 22 t – 2 t 2 Las ecuaciones nos dan información de la posición que ocupa el móvil cuando empieza a contar el tiempo, así: a) La posición inicial, está 20 metros después del sistema de referencia ( considerado como positivo). b) La posición inicial, está 10 metros antes del sistema de referencia ( considerado como negativo). c) La posición inicial, está 4 metros después del sistema de referencia ( considerado como positivo). d) La posición inicial, está a 53 metros antes del sistema de referencia (considerado como negativo) También dan información sobre el módulo de la velocidad y su sentido. a) La velocidad es 2 m/s y sentido hacia el considerado positivo. b) La velocidad es 3 m/s y sentido hacia el considerado positivo. c) La velocidad es 5 m/s y sentido hacia el considerado negativo. d) La velicidad es 22 m/s y sentido hacia el considerado positivo También dan información sobre el módulo de la aceleración d) La aceleración es 2 m/s2 y frenando el cuerpo, siendo un MRUR 34º) Un móvil describe un M.R.U.V. con a = 2 m/s2. Al cabo de 3 segundos su posición es 20 m y su v = 12 m/s. Determina: a) Ecuación del movimiento b) Posición y velocidad al cabo de 10 segundos. a) 1 2 s s o v o t 12 a t 2 20 s o v o . 3 . 2 . 3 2 v vo a t 12 v o 2 . 3 Ecuación del Movimiento: s 25 18 t t 2 b) s (10 seg) 25 18 .10 10 2 55 m v (10 seg) 18 m/s 2 m/s 2 .10 s 2 m/s 29 s o 3 v o s o 25 m v o 18 m/s 35º) Dos móviles A y B se mueven con movimiento uniformemente acelerado. 2 El A, en el instante t = 2 seg, su aceleración, velocidad y posición son: a = 2 m/ s , v = 6 m/s y s = 13 m 2 El B, en el instante t = 3 seg, su aceleración, velocidad y posición son: a = 4 m/ s , v = 10 m/s y s = 5 m Escribe las ecuaciones de la velocidad y de la posición respecto al tiempo de cada uno de ellos. Móvil A Determinamos primero la velocidad en el instante t = 0 s 6 v0 v v0 v 0 = 2 m/ s 2 a= 2 2 t Por tanto, la ecuación de la velocidad será : v = 2 + 2 t Determinamos la posición en el instante t = 0 s s 2 = s 0 + v0 t + 2·22 a t2 s0 5 m 13 = s 0 + 2·2 + 2 2 Por tanto, la ecuación de la posición será : s = 5 + 2 t + t 2 Móvil B Determinamos primero la velocidad en el instante t = 0 s 10 v 0 v v0 v 0 = 22 m/ s 4 a= 3 3 t Por tanto, la ecuación de la velocidad será : v = 22 4 t Determinamos la posición en el instante t = 0s s3 = s 0 + v0 t + 1 1 2 a t 5 = s 0 + 22 . 3 . 4 . 3 2 s 0 = 53 m 2 2 Por tanto, la ecuación de la posición será : s = 53 + 22 t 2 t 2 36º) Determina las ecuaciones de posición en función del tiempo para cada uno de los movimientos que tienen como caracterísiticas las indicadas en el cuadro, y dibuja las gráficas v – t correspondientes. Posición Inicial Instante Inicial Velocidad Inicial Aceleración m s m/s m/s2 Móbil A B C D E 2 0 6 5 10 0 5 1 2 8 20 8 12 0 5 4 6 2 10 0 37º) Dada la gráfica v – t de la figura y sabiendo que la posición inicial del móvil es s o 4 m . Determina la ecuación del movimiento s s o v t 4 2 (t 0) s 4 2 t (m) 38º) a) b) c) El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula: ¿Cuál es la posición inicial? ¿Cuál es la velocidad escalar? ¿Cuál es la ecuación del movimiento? a) s o 1 m s 7 1 b) v = v 1,5 m/s t 4 c) s s o v t 1 1,5 t s 1 1,5 t (m) 39º) a) b) c) En la gráfica v – t dada en la figura. Determina: El valor de la velocidad inicial De que movimiento se trata Si en el instante 0, el móvil se encuentra en el punto de abscisa 30 m. ¿Cuál es la ecuación del movimiento? a) v o 10 m/s v v o (10 (10) m/s 0,5 m/s 2 M.R.U.A. t 40 s 1 1 s s o v o t a t 2 30 10 t . 0,5 . t 2 s 30 10 t 0,25 t 2 (m) 2 2 b) a c) 40º) La gráfica de la figura representa el movimiento de una partícula. Indica cuál es la ecuación del movimiento en el S.I. a) s = 1 + 4t b) s = 1 9t c) s = 9 2t d) s = 9 2,25t e) s = 9 2t s 1 9 2 m/s t 4 s s o v t 9 2 t s 9 2 t (m) v= 41º) En esta gráfica se representa el movimiento de una partícula. ¿Cuál es la ecuación que representa el movimiento? a) s = 1 + t b) s = t c) s = 1 + t d) s = 1 t e) s = 1 t Respuesta.- c) 42º) Dos móviles A y B parten simultaneamente de un mismo punto y caminan sobre la misma trayectoria, con velocidades que puedes observar en la gráfica v – t . La distancia que separa los móviles después de 3 horas es: a) 60 km b) 180 km c) 120 km d) 60 km e) 20 km Móvil A: s A s o v t 20 km/h . 3 h 60 km Móvil B: s B s o v t 40 km/h . 3 h 120 km Distancia = sA sB = 60 km ( 120 km) = 180 km 43º) La gráfica posición – tiempo siguiente, corresponde a una carrera entre dos ciclistas A y B. a) Escribe la ecuación general del movimiento de cada uno. b) ¿Qué significa el punto de corte de las gráficas? c) ¿ Cuál lleva más velocidad? a) La ecuación del móvil A es: s A s o v t 100 8t La posición incial está a 100 m del sistema que se toma de referencia y la velocidad es: v= 300 - 100 = 8 m/s 25 La ecuación del móvil B es: s B s o v t 0 12 t La posición inicial es cero. El móvil está en el O.S.R. y la velocidad es: v = 300 - 0 = 12 m/s 25 b) El punto de corte es la posición en la que se encuentran los dos móviles. Se encuentran a los 25 seg. de empezar el movimiento en la posición 300m c) Lleva más velocidad el móvil B, ya que la recta que representa su movimiento, tiene mayor pendiente 44º) La gráfica posición – tiempo siguiente, corresponde dos móviles A y B. a) Escribe la ecuación general del movimiento de cada uno. b) ¿Qué significa el punto de corte de las gráficas? c) ¿ Cuál lleva más velocidad? a) La ecuación del móvil A es: s A s o v t 100 20 t La posición incial está a 100 m del sistema que se toma de referencia y la velocidad es: v= 300 - 100 = 20 m/s 10 La ecuación del móvil B es: s B s o v t 400 10 t La posición inicial está a 400 m del sistema que se toma como referencia, y la velocidad es: v= 300 400 = 10 m/s (contraria al sentido que se ha tomado como positivo) 10 b) El punto de corte es la posición en la que se encuentran los dos móviles. Se encuentran a los 10 seg. de empezar el movimiento en la posición 300m respecto al sitema tomado como referencia c) Lleva más velocidad el móvil A, ya que la recta que representa su movimiento, tiene mayor pendiente GRÁFICAS 1º) Un vehículo durante los 10 primeros segundos de su recorrido desarrolla una aceleración de 1 m/s2. Sabiendo que partió del reposo desde el origen de referencia: a) Escribe la ecuación posición – tiempo b) Represéntala en un diagrama x – t hasta 10 s. c) Escribe la ecuación velocidad – tiempo d) Representación gráfica v – t en los 10 s. e) Espacio total recorrido por el móvil a) x x o v o t 12 a t 2 12 t 2 (m) v v o a t t (m/s) c) b) d) e) Espacio recorrido: x x o Δx = v o t 12 a t 2 0 m/s .10 s 0,5 m/s 2 . (10 s) 2 50 m 2º) a) b) c) a) Dada la gráfica siguiente. Determina: La velocidad de los tramos A, B y C La velocidad media total del recorrido Representa la gráfica V – t correspondiente vA b) v m c) s 10 m 2,5 m/s t 4s ; s s s o 15 m 2,14 m/s t t 7s Gráfica v – t v B 0 m/s ; vC s 5 m 5 m/s t 1 s 3º) Interpreta, las diferentes partes de la gráfica s – t representada en la figura. Explicando las características de cada etapa: tipo de movimiento, y si existe o no espacio inicial, velocidad, etc.. Calcula la velocidad del móvil en cada una de ellas y representa la correspondiente gráfica v – t. Etapa A: MRU entre 0 y 2 segundos, se aleja del origen con velocidad constante (+) La figura representa una recta cuya pendiente (+), es la velocidad s 50 m s s o s = 50 m s o 0 m s 50 m vA 25 m/s t 2s t = 2 s t 2s t o 0 s Ec. Movimiento: s = s o v t s = 25 t Etapa B: MRU (en reposo – parado) entre 2 y 6 segundos, está parado v = 0 m/s La figura representa una recta horizontal, cuya pendiente nula, es la velocidad s 50 m s s o s = 0 m s o 50 m s 0 m vB 0 m/s t 6 s t = 4 s t 4 s t o 2 s Ec. Movimiento: s = s o v t s = s o 50 Etapa C: MRU entre 6 y 10 segundos, regresa al origen con velocidad constante () La figura representa una recta cuya pendiente (), es la velocidad s0m s s o s = 50 m s o 50 m s 50 m vC 12,5 m/s t 10 s t = 4 s t 4s t o 6 s Ec. Movimiento: s = s o v t s = 50 12,5 t 4º) En el gráfico de la figura se representa el diagrama s – t de un movimiento rectilíneo. Determina: a) Cada uno de los sucesivos desplazamientos y el desplazamiento total efectuado b) La velocidad media correspondiente a cada tramo del movimiento c) La velocidad media en todo el recorrido a) Los Desplazamientos son: s1 20 m 0 20 m s 2 40 m (20) 20 m s 3 30 m (40) 10 m s 4 30 m (30) 0 m s 5 10 m (30) 20 m b) s TOTAL s 20 20 10 0 20 10 m s Posición Final Posición Inicial (10 0) m 10 m TOTAL La Velocidad Media en cada trama es: s 20 m Vm1 1 10 m/s t1 2s s 20 m Vm 2 2 20 m/s t2 1s s 10 m Vm 3 3 5 m/s t3 2s s 0m Vm 4 4 0 m/s t4 1s s 20 m Vm 5 5 20 m/s t5 1s c) La Velocidad Media en todo el recorrido es: s 10 m Vm 1,43 m/s t 7s 5º) Representa la gráfica s – t del movimiento cuya gráfica v – t se representa en la figura, suponiendo que el móvil parte del origen de coordenadas. Calcula el desplazamiento total realizado. Etapa A: MRU entre 0 y 8 segundos, se aleja del origen con velocidad constante de 10 m/s Ec. Movimiento: s = s o v t s = 10 t Posición final Etapa A: s = 10 . 8 = 80 m Espacio Recorrido: s s o s A = v t 10 m/s . 8 s 80 m Posición = Posición Inicial s A 0 80 m 80 m Etapa B: MRU entre 8 y 14 segundos, está parado v = 0 m/s Ec. Movimiento: s = s o v t s = s o Posición final Etapa B = 80 m Espacio Recorrido: s s o s B = v t 0 m Posición = Posición Inicial s B 80 m 0 80 m Etapa C: MRU entre 14 y 20 segundos, se aleja del origen con veloocidad constante de 6 m/s Ec. Movimiento: s = s o v t s = 80 6 t Posición final Etapa C: s = 80 +6 . 6 = 116 m Espacio Recorrido: s s o s C = v t 6 m/s . 6 s 36 m Posición = Posición Inicial s C 80 m 36 m 116 m Desplazamiento total = Espacio total recorrido = Δs Δs A Δs B Δs C (80 0 36) m 116 m El desplazamiento coincide con la distancia recorrida porque la trayectoria es rectilínea y el móvil no retrocede. 6º) Representa la gráfica s – t del movimiento cuya gráfica v – t se representa en la figura, suponiendo que el móvil parte del origen de coordenadas. Calcula el desplazamiento total realizado. Etapa A: MRU entre 0 y 8 segundos, se aleja de origen con velocidad constante de 10 m/s Ec. Movimiento: s = s o v t s = 10 t Posición final Etapa A: s = 10 . 8 = 80 m Espacio Recorrido: s s o s A = v t 10 m/s . 8 s 80 m Posición = Posición Inicial s A 0 80 m 80 m Etapa B: MRU entre 8 y 14 segundos, está parado v = 0 m/s Ec. Movimiento: s = s o v t s = s o Posición final Etapa B: s = 80 m Espacio Recorrido: s s o s B = v t 0 m Posición = Posición Inicial s B 80 m 0 80 m Etapa C: MRU entre 14 y 20 segundos, regresa al origen con velocidad constante de 6 m/s Ec. Movimiento: s = s o v t s = 80 6 t Posición final Etapa C: s = 80 6 . 6 = 44 m Espacio Recorrido: s s o s C = v t 6 m/s . 6 s 36 m (El signo indica que regresa al origen) Posición = Posición Inicial s C 80 m 36 m 44 m Desplazamiento total = Espacio total recorrido = Δs Δs A Δs B Δs C (80 0 36) m 44 m El desplazamiento coincide con la distancia recorrida porque la trayectoria es rectilínea y el móvil no retrocede. 7º) Interpreta la gráfica v – t representada en la figura. a) Tipo de movimiento de cada etapa b) Posición y espacio recorrido en cada etapa c) Espacio total recorrido y Desplazamiento total realizado por el móvil. d) Representa la gráfica s t a) Etapa A: MRUA Representa la variación de la Velocidad con el tiempo En tiempos iguales, el aumento de la velocidad es el mismo. Aumenta la Velocidad (V +) La figura de la etapa representa una recta cuya pendiente es la aceleración (a +) Etapa B: MRU En todo instante la Velocidad es la misma (V Cte) No hay aceleración Etapa C: MRUR Representa la variación de la Velocidad con el tiempo En tiempos iguales, la disminución de la velocidad es la misma, hasta llegar a la velocidad cero Disminuye la Velocidad (V +) La figura representa una recta cuya pendiente es la aceleración (a ) b) Etapa A: 1 2 a t s = 12,5 t 2 2 v v o (50 0) m/s a= 25 m/s 2 t 2s Espacio Recorrido: s s o s A 12,5 m/s 2 . (2 s) 2 50 m Posición = Posición Inicial s A 0 50 m 50 m Ec. Movimiento: s = s o v o t Etapa B: Ec. Movimiento: s = s o v t s = 50 50 t Espacio Recorrido: s s o s B = 50 t 50 m/s . 4 s 200 m Posición = Posición Inicial s B 50 m 200 m 250 m Etapa C: 1 Ec. Movimiento: s = s o v o t a t 2 s = 250 50 t 6,25 t 2 Posición Final Etapa C 2 v v o (0 50) m/s a= 1 2,5 m/s 2 t 4s Espacio Recorrido: s s o s C = 50 m/s . 4 s 6,25 m/s 2 . (4 s) 2 100 m Posición = Posición Inicial s C 250 100 m 350 m c) Espacio total recorrido = Δs Δs A Δs B Δs C (50 200 100) m 350 m Desplazamiento = Posición final Posición Inicial = 350 m 0 m = 350 m El desplazamiento coincide con la distancia recorrida porque la trayectoria es rectilínea y el móvil no retrocede. d) Gráfica s – t 8º) La gráfica v - t representa el movimiento de un móvil en una recta, sabiendo que en el instante incial se encuetra en la posición 0 m. a) Describe el movimiento. b) Calcula la aceleración en cada tramo, el espacio total recorrido y el desplazamiento total realizado por el móvil. c) Representa la gráfica s t a) El móvil pate del instante inicial con velocidad 40 m/s Tramo A: MRUA entre 0 y 10 segundos, disminuye uniformente su velocidad hasta 20 m/s Tramo B: MRU entre los 10 y 20 segundos, lleva velocidad constante de 20 m/s a = 0 Tramo C: MRUA entre los 20 y 25 segundos aumenta uniformente su velocidad hasta 30 m/s b) Tramo A: 1 Ec. Movimiento: s = s o v o t a t 2 s = 40 t t 2 Posición final Etapa A: s = 40.1062 =300 m 2 v v o (20 40) m/s a = 10 2 m/s 2 t 10 s Espacio Recorrido: s s o s A = 40 m/s .10 s 1 m/s 2 . (10 s) 2 300 m Posición = Posición Inicial s A 0 300 m 300 m Tramo B: Ec. Movimiento: s = s o v t s = 300 20 t Posición final Etapa B: s = 300 + 20 . 10 = 500 m Espacio Recorrido: s s o s B = 20 t 20 m/s .10 s 200 m Posición = Posición Inicial s B 300 m 200 m 500 m Tramo C: Ec. Movimiento: s = s o v o 1 2 a t s = 500 20 t t 2 Posición Final Etapa C 2 v v 20 (30 20) m/s a = 25 2 m/s 2 t 5s Espacio Recorrido: s s o s C = 20 m/s . 5 s 1 m/s 2 . (5 s) 2 125 m Posición = Posición Inicial s C 500 125 m 625 m Espacio total recorrido = Δs Δs A Δs B Δs C (300 200 125) m 625 m Desplazamiento = Posición final Posición Inicial = 625 m 0 m = 625 m El desplazamiento coincide con la distancia recorrida porque la trayectoria es rectilínea y el móvil no retrocede. c) Gráfica s – t 9º) En el instante 0, el móvil cuya gráfica está representada en la figura, se encuentra en el punto de abscisa 5 metros. Determina la gráfica s – t correspondiente al movimiento indicado. Ec. Movimiento: s s o v o t 1 2 a t s 5 4 t 0,4 t 2 (m) 2 v v o 3 (4) 0,8 m/s 2 t 9 b 4 vx 5 v y s (5) 5 V (5 , 5) 2a 0,8 a 10º) Dada la gráfica siguiente, realiza sus correspondientes v – t y s – t , sabiendo que en el instante inicial el móvil se encuentra en la posición 5 m y en reposo. ¿Qué espacio recorre en cada tramo?. ¿Cuál será la posición final? Tramo A: MRUA aceleración (+ y Cte.). Aumenta la velocidad entre los 0 y 4 segundos aumenta uniformente su velocidad hasta 12 m/s Ec. Velocidad: v = v o a t v = a t 3 t 3 m/s 2 . 4 s 12 m/s 1 1 Ec. Movimiento: s = s o v o a t 2 s = s o a t 2 5 1,5 t 2 Posición Final Etapa A 2 2 2 Espacio Recorrido: s s o s A = 5 m 1,5 m/s . (4 s) 2 29 m Posición = Posición Inicial s A 5 m 29 m 34 s 5 1,5 . 4 2 34 m Tramo B: MRUR aceleración ( y Cte.). Disminuye la velocidad entre los 4 y 6 segundos disminuye uniformemente la velocidad Ec. Velocidad: v = v o a t v = 12 2 t 12 m/s 2 m/s 2 . 2 s 8 m/s 1 Ec. Movimiento: s = s o v o a t 2 s = 34 12 t t 2 Posición Final Etapa B 2 1 Espacio Recorrido: s s o s B = 12 m/s . 2 s . 2 m/s 2 . (2 s) 2 20 m 2 Posición = Posición Inicial s B 34 m 20 m 54 s 34 m 12 . 2 2 2 54 m Tramo C: MRU a = 0 se mueve con velocidad constante (la alcanzada en la etapa B) v = 8 m/s entre los 6 y los 8 se, se mueve con velocidad constante de 8 m/s Ec. Movimiento: s = s o v t s = 54 8 t Posición Final Etapa C Espacio Recorrido: s s o s C = 8 t 8 m/s . 2 s 16 m Posición = Posición Inicial s C 54 m 16 m 70 s 54 m 8 . 2 70 m Espacio total recorrido = Δs Δs A Δs B Δs C (29 20 16) m 65 m Posición Final s = 70 m Desplazamiento = Posición final Posición Inicial = 70 m 5 m = 65 m El desplazamiento coincide con la distancia recorrida porque la trayectoria es rectilínea y el móvil no retrocede. ENCUENTROS 1º) Dos automóviles circulan por un tramo recto de autopista, con las velocidades respectivas de 36 km/h y 108 km/h. a) Si ambos viajan en el mismo sentido y están separados 1 km, determina el instante y la posición en que el coche que va más rápido alcanza al otro. b) Si se mueven en sentido opuesto, e inicialmente están separados 1km, determina el instante y la posición cuando se cruzan. c) Representa las gráficas s – t , correspondientes al movimiento de los apartados anteriores VA 36 Km/h 10 m/s ; VB 108 Km/h 30 m/s ; s 1 km 1000 m a) Ambos viajan en el mismo sentido con MRU: s s o v t s A 30 t Ecuaciones del Movimiento: A s B s o v t sB 1000 10 t Instante de encuentro en él tienen la misma posición 30 t 1000 10 t t 50 s. Posición de encuentro s B s A 30 m/s . 50 s 1500 m b) Se mueven en sentidos contrarios con MRU: s A s o v t s A 30 t s B s o v t sB 1000 10 t Instante de encuentro en él tienen la misma posición 30 t 1000 10 t t 25 s. Ecuaciones del Movimiento: Posición de encuentro s B s A 30 m/s . 25 s 750 m c) 2º) En una carrera ciclista que se desarrolla por una carretera recta, a las 12 de la mañana, un ciclista A, aventaja a otro B, en 6 km. Si el que va primero, lleva una velocidad constante de 36 km/h y el que va segundo, va a una velocidad constante de 54 km/h, ¿le habrá alcanzado a las 12 y cuarto?. Si no le ha alcanzado, ¿en que momento y en que instante le alcanzará?. Represent la gráfica s – t , correspondiente al movimiento de ambos movimientos. VA 36 Km/h 10 m/s ; VB 54 Km/h 15 m/s ; t 12 h 15 min 12 h 15 min Consideramos como Origen del Sistema de Referencia, la posición (el punto) en el que se encuentra el ciclista B a las 12 h. Sentido positivo es el que llevan los ciclistas. s s o v t s A 6000 10 t Ecuaciones del Movimiento: A s B s o v t sB 15 t Instante de encuentro en él tienen la misma posición 6000 10 t 15 t t 1200 s Tarda en alcalnzarlo: 1200 s = 20 min En 15 min no lo alcanza Lo alcanzará: a los 20 min 5 minutos más tarde a las 12 h 20 min. a 18 km del O.S.R ( de B) Posición de encuentro s A s C 15 m/s .1200 s 18000 m 18 km a 12 km de A 3º) Dos trenes A y B viajan en el mismo sentido por dos vías paralelas encontrándose el tren A, 2 km por delante del B cuando empezamos a contar el tiempo. El tren A lleva una velocidad de 108 km/h y el B, 144 km /h. a) Escribe la ecuación general del movimiento de cada tren. b) Calcula en qué momento alcanzará el tren B al A, y la posición en ese instante. c) Representa gráficamente los dos movimientos. d) Calcula la distancia que existirá entre las máquinas de ambos trenes 5 minutos después de empezar a contar el tiempo. VA 108 Km/h 30 m/s ; VB 144 Km/h 40 m/s Consideramos como Origen del Sistema de Referencia, la posición en la que se encuentra el tren B, cuando se encuentra a una distancia de 2 lm del tren A Sentido positivo es el que llevan los trenes con MRU. a) Ecuaciones del Movimiento: s A s o v t s A 2000 30 t s B s o v t sB 40 t b) Instante de encuentro en él tienen la misma posición 2000 30 t 40 t t 200 s a 8 km del O.S.R ( de B) Posición de encuentro s B s A 40 m/s . 200 s 8000 m 8 km a 6 km de A c) d) t = 5 min = 300 seg. El tren A, estará en la posición : s A = 2 000 + 30 · 300 = 11 000 m. En tren B, estará en la posición : s B = 40 · 300 = 12 000 m. La distancia entre A y B, será : s B – s A = 12 000 – 11 000 = 1 000 m = 1 km. 4º) Dos móviles parten simultáneamente de puntos distantes entre sí 200 Km y se dirigen en línea recta el uno hacia el otro con velocidad constante de 60 km/h y 40 km/h respectivamente. Determina: a) Las ecuaciones del movimiento. b) El Instante y la Posición del encuentro c) Dibuja la gráfica s – t , v – t , correspondiente al movimiento de ambos móviles. a) Se mueven en sentidos contrarios con MRU: s s o v t s A 60 t Ecuaciones del Movimiento, ambas con MRU: A s B s o v t sB 200 40 t b) Instante de encuentro en él tienen la misma posición: 60 t 200 40 t t 2 h Posición de encuentro s B s A 60 km/h . 2 h 120 km c) 5º) Dos móviles A y B, marchan en sentidos contrarios, dirigiéndose el 1º al encuentro de B con velocidades constantes de 3 m/s y 2 m/s respectivamente. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 30 m de la posición de partida del 1º. Determina: a) Las ecuaciones del movimiento b) La distancia inicial entre los móviles al inciar el movimiento y el tiempo transcurrido hasta que se encuentran. a) Ecuaciones del Movimiento, ambas con MRU: sA so v t sA 3 t s B s o v t 25 . (t 10) sB x 2 t b) ¿Cuánto tiempo tarda A en recorrer los 30 m hasta el punto de encuentro? s A 3 t 30 3 t t A 10 s t B En el Instante de encuentro (10 s) Posición de encuentro es la misma s B x 2 t 30 m x 2 m/s . 10 s x 50 m 6º) Un móvil marcha con movimiento uniforme sobre una recta con una velocidad de 15 m/s. Diez segundos después y desde el mismo punto del primer móvil sale en su persecución otro móvil con una velocidad de 25 m/s. Determina la posición y el instante en que lo alcanza. Represéntalo gráficamente. Consideramos como Origen de Sistema de Referencia, el punto por el que pasa el primer móvil. Sentido positivo, el que llevan los móviles. Ambos viajan en el mismo sentido con MRU: Ecuaciones del Movimiento, ambas con MRU: s A s o v t s A 15 t s B s o v t 25 . (t 10) sB 25 t 250 Instante de encuentro en él tienen la misma posición 15 t 25 t 250 t 25 s. Posición de encuentro s B s A 15 m/s . 25 s 375 m 7º) Un ciclista que circula con una velocidad constante de 36 km/h, pasa por un punto a las 10 horas 15 minutos; cuarenta y cinco minutos más tarde pasa por el mismo punto, un coche con una velocidad constante de 108 km/h.. en la misma dirección y sentido. a) ¿Cuándo tardará el coche en alcanzar al ciclista y a qué hora lo hará? b) ¿A qué distancia del punto estarán ambos en el momento que lo alcanza? c) Represent la gráfica s – t , correspondiente al movimiento de ambos movimientos. VC 36 Km/h 10 m/s ; VB 108 Km/h 30 m/s ; 45 min 2700 s Consideramos como Origen de Sistema de Referencia, el punto por el que pasa el ciclista a las 10 h y 15 minutos Sentido positivo, el que llevan los móviles. a) Ecuaciones del Movimiento: s C s o v t s C 10 t s A s o v ( t 2700 ) 30 (t 2700) s A 30 t 81000 Instante de encuentro en él tienen la misma posición 10 t 30 t 81000 t 4050 s. 67,5 min 67 min 30 s t C t 2700 s 4050 2700 1350 s 22,5 min 22 min 30 s El coche alcanzará al ciclista a las 10 h 15 min. + 22,5 min = 10 h 37,5 min = 10 h 37 min 30 s b) Posición de encuentro s A s C 30 m/s . 4050 s 40500 m 40,5 km c) 8º) Deducir las velocidades supuestas constantes, de dos móviles A y B, separados 30 Km, sabiendo que si se mueven en la misma dirección y sentido, se encuentran a 10 km de B, pero si se mueven en sentidos opuestos, tardan 40 minutos en encontrarse. t = 40 min. = 2400 s. ▄ A ▄ 30 Km ▄ B 10 Km E 40 Km s vA tA s v A 30000 10000 tA tB s s vA vB vB tB t v B t ▄ A v A 4 . vB ▄ ▄ E B 30 Km s A v . t v A . 2400 s A s B v A . 2400 v B . 2400 s B v . t v B . 2400 30000 v A . 2400 v B . 2400 v A v B 12,5 Sumando VA 4 . VB VA 10 m/s VA VB 12,5 VB 2,5 m/s 9º) Por un punto pasa un cuerpo con una velocidad constante de 20 m/s. Dos segundos más tarde parte del mismo punto en la misma dirección y sentido otro cuerpo con aceleración constante de 2 m/s2. Calcular: a) El tiempo que tarda el segundo cuerpo en alcanzar al primero. b) A que distancia lo alcanza. c) La velocidad que tiene cada uno en el instante del encuentro. v = 20 m/s A t ■ B a = 2 m/s ■ E t2 s A s o v t s A 20 t a) Ecuaciones del Movimiento, 1 s B s o v ( t 2) a (t 2) 2 sB (t 2) 2 2 Instante de encuentro en él tienen la misma posición t 23,83 s 20 t (t 2) 2 t 0,17 s ( se descarta, pues t 2 seg.) b) Posición de encuentro s B s A 20 m/s . 23,8 s 476,6 m c) v A 20 m/s v B v o a (t 2) 0 2 m/s 2 . 21,83 s 43,7 m/s 10º) Dos móviles A y B, separados por una distancia de 2 km, salen simultaneamente en la misma dirección y sentido, ambos con MRUV, siendo la aceleración del más lento, el B, de 0,32 cm/s 2. El encuentro se realiza a 3,025 km de distancia del punto de partida de B. Calcula: a) El tiempo invertido por ambos móviles en encontrarse b) La aceleración de A c) La velocidad de ambos en el instante del encuentro a) Ecuaciones del Movimiento: 1 2 1 a t sA a t2 2 2 1 1 s B s o v o t a t 2 2000 . 0,0032 . t 2 s B 2000 0,0016 t 2 2 2 sA so vo t Instante de encuentro en él tienen la misma posición : s A s B 5025 m s A s B 5025 2000 0,0016 t 2 t A t B 1375 s b) s A 1 2 1 a t 5025 m . a . (1375 s) 2 a A 0,0053 m/s 2 2 2 c) v A v o a t 0,0053 m/s 2 .1375 s 7,29 m/s v A v o2 2 a s v = 2 . 0,0053 m/s 2 . 5025 m 7,29 m/s v B v o a t 0,0032 m/s 2 . 1375 s 4,4 m/s v B v o2 2 a s v = 2 . 0,0032 m/s 2 . 3025 m 4,4 m/s 11º) Un hombre corre con la mayor velocidad que puede, 6 m/s, para alcanzar un tren que está a punto de partir. Cuando se encuentra en el andén a 32 m del tren, éste arranca con una aceleración constante de 0,5 m/s2. ¿Conseguirá el hombre alcanzar al tren?. En caso afirmativo, determina la velocidad de cada uno en el instante del encuentro. Dibuja las gráficas s – t y v – t del movimiento. Ecuaciones del Movimiento: s H s o v t sH 6 t 1 2 1 1 2 2 s T s o v o t a t . 2 . t s T 32 .t 2 2 4 Instante de encuentro en él tienen el Hombre y el Tren tienen la misma posición : s H s T t 8 s s H s T 48 m Cuando los dos móviles tienen el mismo sentido 1 6 t 32 t 2 t A t B 4 t 16 s s H s T 96 m Cuando el Tren regresa a la posición de partida El Hombre alcanza al Tren a los 8 segundos Velocidad en el instante del encuentro: v H 6 m/s v T v o a t 0,5 m/s 2 . 8 s 4 m/s vT vo2 2 a s v = 2 . 0,5 m/s 2 . (48 32) 4 m/s 12º) Un automóvil y un camión parten del reposo en el mismo instante, hallándose inicialmente el automóvil a cierta distancia del camión. Si el coche tiene una aceleración de 3 m/s2 y el camión de 2 m/s2, y el coche alcanza al camión cuando éste ha recorrido 60 m. Calcula: a) El tiempo que tarda el coche en alcanzar al camión. b) La distancia inicial entre ambos. c) La velocidad de cada uno en el instante del encuentro. a) Ecuaciones del Movimiento: 1 2 3 a t s A 60 x a t 2 2 2 1 1 s C s o v o t a t 2 x . 2 . t 2 sC x t 2 2 2 sA so vo t Instante de encuentro en él tienen la misma posición : s A s C 60 x x t 2 t A t B 7,75 s b) Posición de encuentro: s C s A (a los 7,75 s) Distancia Inicial = x = (90 – 60) = 30 m 3 m/s 2 (7,75 s) 2 90 m 2 c) v A v o a t 3 m/s 2 . 7,75 s 23,25 m/s vA vo2 2 a s v = 2 . 3 m/s 2 . 90 m 23,25 m/s v C v o a t 2 m/s 2 . 7,75 s 15,5 m/s vB vo2 2 a s v = 2 . 2 m/s 2 . 60 m 15,5 m/s 13º) Un automóvil y un camión parten del reposo en el mismo instante, hallándose inicialmente el automóvil a cierta distancia del camión. El camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s2 y el automóvil de 1,8 m/s2. Sabiendo que el coche alcanza al camión después de que éste ha recorrido 45 m. Calcular : a) El tiempo que tarda el automóvil en alcanzar al camión. b) A que distancia se encontraba inicialmente el automóvil detrás del camión. c) Cual es la velocidad de cada uno cuando se hallan emparejados. t a = 1,8 m/s2 ▄ A SA vo = 0 m/s ( separación inicial de C) ▄ ▄ C a = 1,2 m/s 2 E vo = 0 m/s 45 m. ,, t a) s C s o v t 1 2 1 a t 45 .1,2 . t 2 t C t A 8,7 s 2 2 1 2 1 a t s A .1,2 . 8,7 2 s A 68,12 m 2 2 S separación = S (A) a los 8,7 s S(C) a los 8,7 s = 68,12 m 45 m = 23,12 m b) s A s o v t c) v A v o a t 1,8 m/s 2 . 8,7 s 15,7 m/s v A v o2 2 a s v = 2 .1,8 m/s 2 .68,12 m 15,7 m/s v C v o a t 1,2 m/s 2 . 8,7 s 10,44 m/s v C v o2 2 a s v = 2 .1,2 m/s 2 . 45 m 10,39 m/s 14º) Un motorista ve pasar por su lado un vehículo que circula con velocidad constante de 108 Km/h. El motorista arranca y consigue alcanzar en 15 s. una velocidad de 140 Km/h. acelerando constantemente. Calcular : a) La distancia que separa el coche de la moto a los 15 s. b) El tiempo que tardará el motorista en alcanzar al coche y cual será su posción en ese instante. c) La velocidad en el instante del encuentro. VCoche = 108 Km/h = 30 m/s VMotorista = 140 Km/h = 38,9 m/s a) SC ( a los 15 s ) s = ( distancia separación ) C VC = 30 m/s MRU ▄▄ ▄ M Vo = 0 m/s tM = 15 s ( arranca ) vC s t VC = 30 m/s. C (a los 15 s) ▄ ▄▄ Encuentro VM = 38,9 m/s s C v t 30 m/s .15 s 450 m 1 2 1 1 a t . a . (15 s) 2 . 2,6 m/s 2 . (15 s) 2 292,5 m 2 2 2 v v o (38,9 0) m/s a 2,6 m/s 2 t 15 s sM so v t S separación = SC SM = 450 292,5 = 157,5 m. s C s o v t s C 30 t b) Ecuaciones del Movimiento, 1 1 s M s o v o t a t 2 . 2,6 . t 2 s M 1,3 t 2 2 2 Instante de encuentro en él tienen la misma posición t 23,08 s 30 t 1,3 t 2 t 0 ( se descarta,pues t 0 seg.) Posición de encuentro s M s C 30 m/s . 23,08 s 692,5 m c) v Coche 30 m/s v Motorista( a los 23,08 s) v o a t 2,6 m/s 2 . 23,08 s 60 m/s v Motorista( a los 23,08 s) v o2 2 a s v = 2 . 2,6 m/s 2 . 692,5 m 60 m/s 15º) Dos móviles se desplazan siguiendo una trayectoria rectilínea entre dos puntos A y B cuya distancia entre sí es de 110 m. El primero sale de A partiendo del reposo y se dirige hacia B con una aceleración constante de 4 m/s2. El segundo parte de B dos segundos más tarde y se dirige hacia A con una velocidad constante de 20 m/s. Determina: a) Donde se se cruzarán los citados móviles y velocidad en ese instante b) Gráficas s – t y v - t 1 sA so vo t a t 2 sA 2 t2 a) Ecuaciones del Movimiento: 2 s B s o v t 110 20 . (t 2) sB 150 20 t En el Instante de encuentro Posición de encuentro es la misma sA = sB t 5 s 2 t 2 150 20 t t 15 s ( se descarta, pues t 0 seg.) Posición de encuentro s B s A 2 m/s 2 . (5 s) 2 50 m de A v A v o a t 4 m/s 2 . 5 s 20 m/s v B v o 20 m/s v A v o2 2 a s v = 2 . 4 m/s 2 . (100 50) m 20 m/s b) 16º) Dos ciudades A y B se encuentran a una distancia de 100 m. Por A pasa un vehículo hacia B con una deceleración de 0,5 m/s2. A la misma hora sale de B otro vehículo hacia A con una aceleración de 1,5 m/s2. Calcular : a) El tiempo que tarda en pararse el primer vehículo. b) El espacio que habrá recorrido cada vehículo hasta que se encuentran. c) La velocidad de cada vehículo en el instante en que se encuentran. 100 m x ▄ ▄ A E ▄ 100 x a = 0,5 m/s2 B vo = 0 m/s a = 1,5 m/s2 vo = ? t t a) Los tiempos transcurridos hasta el encuentro, son iguales tA = tB xx 1 1 2 s A x s o v o t a t 2 0,5 t 2 . 0,5 t 2 x 0,25 t 2 2 0,25 t 100 0,75 t 2 2 t 10 s 1 1 s B s o v o t a t 2 100 x .1,5 t 2 x 100 0,75 t 2 2 2 v v o a t 0 v o 0,5 t v o 0,5 t b) s (A10 s) 0,25 m/s 2 . (10 s) 2 25 m s B) 100 x (100 25) m 75 m c) v A 0 m/s Está parado cuando el vehículo B, se encuentra con él v B v o a t 0 1,5 m/s 2 .10 s 15 m/s 15 m/s (Regresand o hacia el O.S.R.) v B v o2 2 a s v = 2 .1,5 m/s 2 . 75 m 15 m/s CHOQUES - REACCIÓN 1º) Un conductor cometiendo una grave infracción de tráfico, va por una carretera a 144 km/h, en un instante dado, ve un obstáculo a 75 m de distancia y frena con aceleración de 8 m/s2. a) ¿Se detendrá antes de chocar? b) Si hubiera ido a 90 km/h, ¿qué hubiera pasado? v = 144 Km/h = 40 m/s. 75 m ▀ v o = 40 m/s v = 0 m/s a = 8 m/s2 a) ¿Qué tiempo tarda en alcanzar la aceleración de frenada? Tiempo que tarda en pararse v vo v v o (0 40) m/s a= t= = 5s t a 0,8 m/s 2 ¿Qué espacio recorre el móvil en 5 segundos? 1 1 s (5 s) = s o v o t a t 2 s = 40 m/s . 5 s . 0,8 m/s 2 . (5 s) 2 100 m 2 2 Como 100 m > 75 m chocará b) Si hubiera ido a v =90 km/h = 25 m/s ¿Qué tiempo tarda en alcanzar la aceleración de frenada? Tiempo que tarda en pararse v vo v v o (0 25) m/s a= t= = 3,125 s t a 0,8 m/s 2 ¿Qué espacio recorre el móvil en 5 segundos? 1 2 1 a t s = 25 m/s . 3,125 s . 0,8 m/s 2 . (3,125 s) 2 39,06 m 2 2 Como 39,06 m < 75 m no chocaría s (3,125 s) = s o v o t 2º) Un automóvil que circula a 72 Km/h., frena bruscamente a la vista de un obstáculo situado a 12 m de distancia. Si su aceleración de frenada es de 4 m/s2. Determinar si chocará o no contra el obstáculo. v = 72 Km/h = 20 m/s. 12 m. ▀ v = 20 m/s a = 4 m/s2 ¿Qué tiempo tarda en alcanzar la aceleración de frenada? Tiempo que tarda en pararse v vo v v o (0 20) m/s a= t= = 5s t a 4 m/s 2 ¿ Qué espacio recorre el móvil en 5 segundos ? 1 1 s (5 s) = s o v o t a t 2 s = 20 m/s . 5 s . 4 m/s 2 . (5 s) 2 50 m 50 m > 12 m CHOCA 2 2 3º) Un automovilista que marcha a una velocidad de 72 Km/h., observa como un semáforo situado a 240 m. delante de él se pone rojo. El semáforo está regulado para permanecer en rojo 15 s. Si el automovilista desea cruzar el semáforo en el momento en que se ponga en verde sin detenerse. Calcular : a) La aceleración (supuesta constante) del coche, necesaria para ello. b) La velocidad del coche cuando cruza el semáforo. Vo = 72 Km/h. = 20 m/s. vo = 20 m/s MRUR a=? ■ t = 15 s ■ 240 m a) s = s o v o 1 2 1 a t 240 m = 20 m/s .15 s . a . (15) 2 a 0,57 m/s 2 2 2 b) v 2 vo2 2 a s 2 v = (20 m/s) 2 2 . 0,57 m/s 2 . 240 m 11,24 m/s 4º) El tiempo de reacción de un conductor es de 0,8 s. Si dicho conductor ve un obstáculo en la carretera a 50 m. cuando va a una velocidad de 90 Km/h., y el freno del coche le produce una deceleración de 6 m/s2. Calcular : a) Si podrá detenerse a tiempo para evitar el choque, o chocará. b) La distancia de seguridad que debe guardar con otro vehículo que le precede (va delante), para evitar el choque. V = 90 Km/h. = 25 m/s. s1 t = 0,8 s. s2 a = 6 m/s2 ▀ ▀ v = 25 m/s MRU vo = 25 m/s. MRUR 50 m. a) ¿Qué espacio recorre (s1) durante el tiempo de reacción ? s v = 1 s1 = v . t 25 m/s . 0,8 s 20 m t ¿Qué espacio recorre (s2) hasta que se para en la frenada ? v 2 v o2 (0 25 2 ) (m/s) 2 52 m 2a 2 . 6 m/s 2 50 m – 20 m (recorridos hasta que empieza a frenar) = 30 m Como 52 m > 30 m CHOCA No se detiene a tiempo v 2 v o2 2 a s 2 s 2 = b) distancia (seguridad) = s1 + s2 = 20 m + 52 m = 72 m. 5º) El tiempo de reacción de un conductor es de 0,7 s. Su deceleración es de 4,8 m/s 2. Calcular a que distancia debe mantenerse del coche que le precede (va delante) para no chocar si circula a 108 Km/h. VA = 108 Km/h. = 30 m/s. A s1 s2 t = 0,7 s. a = 4,8 m/s2 v = 30 m/s MRU B vo = 30 m/s. MRUR a) ¿Qué espacio recorre (s1) durante el tiempo de reacción ? s v A = 1 s1 = v A . t 30 m/s . 0,7 s 21 m t ¿Qué espacio recorre (s2) hasta que se para en la frenada ? v 2 v o2 2 a s 2 s 2 = v 2 v o2 (0 30 2 ) (m/s) 2 93,75 m 2a 2 . 4,8 m/s 2 distancia (seguridad) = s1 + s2 = 21 m + 93,75 m = 114,75 m. b) OTRA FORMA ¿Qué tiempo tarda en alcanzar la aceleración de frenada? Tiempo que tarda en pararse v vo v v o (0 30) m/s a= t= = 6,25 s t a 4,8 m/s 2 s (Seguridad ) = s o s (6,25 s) 21 m v o t 1 2 1 a t 21 m 30 m/s . 6,25 s . 4,8 m/s 2 . (6,25 s) 2 114,75 m 2 2 6º) Suponiendo que la aceleración de frenado de un coche es de 3 m/s 2. Determinar la distancia mínima a la que debe mantenerse un coche del que le precede (va delante), si circula a 108 Km/h., y el tiempo de reacción del conductor es de 0,4 s. V = 108 Km/h. = 30 m/s. A ▀ s1 t = 0,4 s. s2 a = 3 m/s2 B ▀ v = 30 m/s MRU vo = 30 m/s. MRUR a) ¿Qué espacio recorre (s1) durante el tiempo de reacción ? s v A = 1 s1 = v A . t 30 m/s . 0,4 s 12 m t ¿Qué espacio recorre (s2) hasta que se para en la frenada ? v 2 v o2 v 2 v o2 (0 30 2 ) (m/s) 2 2 a s2 s2 = 150 m 2a 2 . 3 m/s 2 distancia (seguridad) = s1 + s2 = 12 m + 150 m = 162 m. b) OTRA FORMA ¿Qué tiempo tarda en alcanzar la aceleración de frenada? Tiempo que tarda en pararse v vo v v o (0 30) m/s a= t= = 10 s t a 3 m/s 2 s (Seguridad ) = s o s (10 s) 12 m v o t 1 2 1 a t 12 m 30 m/s .10 s . 3 m/s 2 . (10 s) 2 162 m 2 2 7º) Un coche lleva una velocidad de 72 km/h. y los frenos que posee son capaces de producirle una deceleración máxima de 6 m/s2. El conductor tarda 0,8 s. en reaccionar desde que ve un obstáculo hasta que frena. Calcular la distancia a que ha debe estar el obstáculo para que el conductor pueda evitar el choque. V = 72 Km/h = 20 m/s A ▀ s1 t = 0,8 s. s2 a = 6 m/s2 ▀ v = 20 m/s MRU vo = 20 m/s. MRUR ¿Qué espacio recorre (s1) durante el tiempo de reacción ? s v A = 1 s1 = v A . t 20 m/s . 0,8 s 16 m t ¿Qué espacio recorre (s2) hasta que se para en la frenada ? v 2 v o2 2 a s 2 s 2 = v 2 v o2 (0 20 2 ) (m/s) 2 33,3 m 2a 2 . 6 m/s 2 distancia (seguridad) = s1 + s2 = 16 m + 33,3 m = 49,4 m. B 8º) Un conejo corre hacia su madriguera a la velocidad de 72 km/h. Cuando se encuentra a 200 m. de ella, un perro, situado 40 m. más atrás, sale en su persecución, recorriendo 90 m. con una aceleración de 5 m/s2. y continuando luego con velocidad constante. a) Determinar si salvará su piel el conejo. b) Razonar que sucedería si la madriguera del conejo estuviera 100 m. más lejos. VC = 72 Km/h. = 20 m/s. (V. Cte. ) 40 m . ▀ P a = 5 m/s2 MRUR 90 m. 200 m C v = 20 m/s ▀ VP = Cte. MRU a) Calculando los tiempos invertidos por el Conejo y el Perro en llegar a la madriguera, sabremos si el perro alcanzará al conejo. Como el conejo corre a una V. Cte. de 20 m/s su movimiento es uniforme s s 200 m vC = tC = = 10 s tC = 10 s t v 20 m/s El Perro, en la 1ª etapa de su movimiento (90 m), corre con una a = 5 m/s2, y empleará t segundos 1 1 1 s = s o v o t a t 2 a t 2 90 m = . 5 m/s 2 . t 2 t 6 s tP1 = 6 s 2 2 2 Al cabo de los 6 s., el perro continúa corriendo con una V. Cte de ¿ m/s ? v (6 s) = v o a t 0 5 m/s 2 . 6 s v P 30 m/s El Perro en la 2ª etapa, recorre un espacio de : s = 240 m 90 m = 150 m., con un V Cte = 30 m/s, invirtiendo en recorrer los 150 m un tiempo de ¿ t2 ? t P2 = 240 90 30 t P2 = 5 s tP2 = 5 s El tiempo que emplea el perro en todo su recorrido es : tP = t1 + t2 = 6 s + 5 s tP tP = 11 s > tC El conejo se salvará. b) El razonamiento es similar al del apartado anterior : 40 m 300 m C v = 20 m/s . ▀ P a = 5 m/s2 MRUR s 300 m = 15 s v 20 m/s t P1 = 6 s VP = Cte. MRU 90 m. tC = ▀ tC = 15 s t P = t 1 t 2 = 6 s 8,33 s 14,33 s 340 90 t P2 = t P2 = 8,33 s 30 Como tP < tC El conejo será capturado por el perro tP = 14,33 s
