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Pendientes 1º Bachiller MAT I
19ª y 20ª Sesión......................................................Fecha: ….................
Resolución de triángulos cualesquiera
➔ Teorema del seno y Teorema del coseno.
Ejercicios
1. Escribe las fórmulas del teorema del seno del teorema del coseno.
CASO 1: 1 lado a y dos ángulos B y C
2
3
a
b (T. Del seno)
c (T. Del seno)
1 A = 180 – (B +C)
B
C
A
A
a
B
a
B
C
C
CASO 2: 2 lados a y c y el ángulo comprendido B.
A
2 A (T. seno)
a
c
b (T. del coseno)
B
c
3 C = 180 – (B +A)
a
nota: Como arcseno tiene dos soluciones, se empieza calculando Bel
ángulo correspondiente al menor lado. “A menor lado, menor ángulo”.
1
C
CASO 3: 3 lados a b y c.
a
1 A (T. Coseno)
b
2 B (T. Coseno)
c
3 C = 180 – (B +A)
nota: Puesto que arccoseno tiene una soluciones, no
hay problema al seleccionar el ángulo.
c
A
B
b
C
a
CASO 4: 2 lados a y b y 1 ángulo opuesto a uno de ellos B.
1 A (T. seno)
a
b
B
3
c (T. del seno)
2 C = 180 – (B +A)
nota: Como arcseno tiene dos soluciones, se
observa y compara el ángulo y el lado
conocido con el que se está calculando.
Puede haber 2, 1 o ninguna solución. “A
Ba
menor lado, menor ángulo”.
A
A'
B
b
a
b
C
A
b
C
b
B
a
C
Pendientes 1º Bachiller MAT I
Ejercicios
2.
Pág. 134 nº 57
Caso 1: Conocidos dos ángulos y un lado.
Cálculo del ángulo C:
C= 180º – (A+ B) = 180º – (8º 22'' + 67º 23')= 104º 15' = C
Cálculo del lado b: Por el Teorema del seno
a
b
=
sen A sen B
41
b
=
; b ≈ 260,10 m.
sen 8º 22 ' sen 67º 23 '
Cálculo del lado c:
a
c
=
;
sen A sen C
3.
41
c
=
; c ≈ 273,10 m.
sen 8º 22 ' sen 104º15'
a= 41 m
A= 8º 22'
b= 260,10
B= 67º 23'
C= 273,10
C= 104º15'
Pág. 134 nº 55
Caso 2: Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.
Cálculo del lado que falta a por T. del coseno:
2
2
2
a =b +c −2bc · cos A ; a = 4m
Cálculo del ángulo menor. Entre B y C será menor B por corresponderle menor lado.
Por T. del seno
13
4
=
;
sen 14º 15' sen B
b
a
=
;
sen A sen B
B= 53º 7' 48''
Cálculo del otro ángulo C:
C= 180º – (A+ B) = 180º – (14º 15' + 53º 7' 48'')= 112º 37' 12'' = C
4.
a=
A= 14º 15'
b= 13 m
B=
c= 15 m
C=
Pág. 134 nº 54. Resuelve el triángulo.
Caso 3: conocidos 3 lados
Cálculo del ángulo A:
2
2
2
a =b +c −2bc · cos A
cos A = 0,8;
2
2
2
26 =40 +42 −2 · 40 · 42 · cos A
A= arc cos 0,8 = 36º 52' 12''
Pendientes 1º Bachiller MAT I
2
Cálculo del ángulo B:
2
2
b =a +c −2ac · cos B
cos B = 0,3846;
2
2
2
40 =26 +42 −2 · 26 · 42 · cos B
B= arc cos 0,3846 = 67º 22' 48'' = B
Cálculo de C:
C= 180º – (A + B) = 180º – (36º 52' 12'' + 67º 22' 48'')= 75º 44' 59'' = C
5.
a= 26 m
A= 36º 52' 12''
b= 40 m
B= 67º 22' 48''
c= 42 m
C= 75º 44' 59''
Pág. 134 nº 56
Caso 4: Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Cálculo del ángulo B por T. del seno: El lado b= 14 es mayor que lado a=13 le
corresponderá un ángulo mayor que A. Por ello, dado que el arcseno admite dos
soluciones, tendremos que seleccionar la que dé un ángulo B mayor que A=53º 8'.
Por T. del seno
a
b
=
;
sen A sen B
13
14
=
sen 53º 8' sen B
; sen B = 0,8616
B= 59º 29' 38'' y también B=180º – 5 9º 29' 38” = 120º 30' 22''
Por lo tanto habrá dos soluciones:
Cálculo del otro ángulo C:
si B= 59º 29' 38'' ; C= 180º – (A+ B) = 180º – (53º 8'' + 59º 29' 38'')= 67º 22' 22'' = C
Cálculo del lado c:
;
Object 17
13
c
=
sen 53º 8' sen 67º 22 ' 22 ' '
c ≈ 15 m.
si B=120º 30' 22''; C= 180º – (A+ B) = 180º – (53º 8'' + 120º 30' 22'')= 6º 21' 38'' = C
Cálculo del lado c:
a
c
=
sen A sen C
;
13
c
=
sen 53º 8' sen 6º 21 ' 38 ' '
; c ≈ 14 m.
Dos soluciones.
6.
a= 13 m
A= 53º 8'
a= 13 m
A= 53º 8'
b= 14 m
B= 59º 29' 38''
b= 14 m
B= 120º 30' 22''
c= 15
C= 67º 22' 22''
c= 14
C= 06º 21' 38''
Pág. 134 nº 58
Caso 1: similar al anterior.
Pendientes 1º Bachiller MAT I
7.
Pág. 134 nº 64.
Por teorema del coseno:
C
b
A
8.
a= BC= 90 m
a
c
A=
b= AC= 175 m B=
B
c=
C =37º
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos C=
= 902+1752–2·90·175·cos 37º=
= 13567, 98;
c= AB = 116,48 m.
Pág. 135 nº 67.
a= CB
A=80º
b=AC=120
B=
c= AB
C =50º
B= 180º – (A+C) = 50º
Por teorema del seno:
c
b
=
senC senB
c=
b · senC 120 ·sen50º
=
=120 m
senB
sen50º
AB = 120 m
9.
Pág. 136 nº 85.
Pendientes 1º Bachiller MAT I
ángulo ̂
ACB =
180º – (65+ 75)= 40º
Por T. del seno
CB
500
=
;
sen 40 sen75
500· sen75
CB=
sen40
CB= 751,357m
T del coseno:
ángulo ̂
ADB =
d2 = 751,3572 + 419,552 –
180º – (40+ 90)= 60º
Por ser triángulo rectángulo 2·751,357·419,55· cos 25º =
169 165, 27;
DB
; DB=500 · tg40º ; d= 411,3m
tg 40=
500
DB= 419,55m
10. Pág. 135 nº 74
A
B
8
5
C
BO '
5
BO '
=
=19,3185 cm
; CO ' =
sen 15º 0,2588
CO '
8
AO
AO
=
=30,9096 cm
En el triángulo CAO: sen 15º=
; CO=
CO
sen 15º 0,2588
En el triángulo CBO': sen 15º=
OO'= CO – CO' = 30,9096 – 19,3185 = 11,5911 cm.
11. Pág. 136 nº 88
5
15
15
; x=
y el grande: tg 2 α=
.
tg α
x
tg 2 α
2
15(1−tg α)
5
=
; 10 tg α =15 ·tg α ·(1−tg 2 α) ;
tg α
2tg α
En el triángulo pequeño: tg α=
Resulta:
5
15
=
;
tg α
tg 2 α
5
;
x
x=
Pendientes 1º Bachiller MAT I
tg α≠0 ; 2 =3·( 1−tg 2 α) ;
2
3 tg α=1 ;
tg 2 α=
1
3
; tg α= √ ;
3
3
x=
5
15
= =8,6603
tg α √3
12. Pág. 136 nº 80
A
a
b
c
=
=
=2R
sen A sen B sen C
2R
Cálculo de C: C= 180 – (A+B) = 80º
Cálculo del lado a: a= 2R·sen A= 12·sen 40º= 7,71 cm
C
B
Cálculo del lado b: b= 2R·sen B= 12·sen 60º= 10,39 cm
Cálculo del lado c: c= 2R·sen C= 12·sen 80º= 11,82 cm