Download vinculación de contenidos básicos de geometría evaluados

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
LOS USOS DE EXCALE PARA LA MEJORA EDUCATIVA
VINCULACIÓN DE CONTENIDOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
EVALUADOS POR EXCALE
Justificación
Objetivos
E
l análisis de resultados en evaluaciones resientes
por Excale, PISA y ENLACE son la base de la
siguientes propuesta. La secundaria técnica No. 38,
institución en donde se desarrolló este trabajo, ha
obtenido índices bajos en Matemáticas y Español, y de
acuerdo a Excale, la modalidad de secundarias técnicas
presenta, en general, índices de eficiencia más bajos
que secundarias generales y privadas (Excale, 2008)1
. Estos resultados fueron analizados en una reunión
institucional (autoridades estatales, regionales, de la
institución y docentes). El colectivo quedó muy sensible
ante los datos presentados, varias acciones se pusieron
en marcha con el fin de mejorar la calidad educativa,
tales como el trabajo con padres de familia, hacer
conciencia sobre la importancia del estudio colectivo
e individual con los estudiantes, análisis académico en
las asignaturas de Matemáticas y Español, entre otras.
De las acciones anteriores presentamos el aspecto
académico en el caso de Matemáticas. Del análisis de
los ejemplos de reactivo de Excale construimos una
propuesta para mejorar el aprendizaje de contenidos
curriculares específicos y desarrollo de habilidades
en Geometría, por ser un tema que puede vincular
bastante contenidos de Matemáticas y atender los
bajos índices de respuestas correctas.
Mejorar el aprendizaje de contenidos específicos y
desarrollo de habilidades en Geometría al vincular
contenidos de ésta qué consideramos pueden
asociarse en una forma secuencial, de acuerdo a un
acercamiento de construcción de conocimientos
con base en aprendizajes previos.
Diseñar una secuencia de actividades que tome en
cuenta los aprendizajes previos de los estudiantes
en Geometría con apoyo de ejemplos de reactivo
como acciones de introducción y como base para
realizar ejercicios.
Participantes
La propuesta es individual debido a que presenta sólo
la parte académica en la asignatura de Matemáticas, la
cual fue responsabilidad del profesor de tal asignatura,
y por ser el único profesor de tercer grado en la
institución. Así, el profesor ponente fue el responsable
de poner en marcha la propuesta en el presente
ciclo escolar con los alumnos de tercer grado. Las
actividades fueron supervisadas por la coordinación
académica de la Institución, con un seguimiento por
las autoridades educativas.
Explorador de Excale
A continuación presentamos una tabla con los contenidos
del área de Geometría que fueron consultados en el
explorador1. La información consultada fue:
Valois Nájera Morales
Profesor
Secundaria Técnica
Morelos
[email protected]
www.valois.com.mx
a) El porcentaje de aciertos por modalidad y entidad:
conocer el porcentaje de aciertos fue fundamental para
seleccionar los contenidos; sobre todo los contenidos
que se refieren a cálculos con triángulos rectángulos,
los cuales tienen un porcentaje de aciertos muy
bajo (21%, 23% y 26 %). En la tabla identificamos los
contenidos que los estudiantes deberían dominar para
poder resolver ejercicios y problemas cuya solución
involucra triángulos rectángulos.
1 Consulta en http://www.inee.edu.mx/explorador/muestraDificultad.php
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ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
b) Ejemplo de reactivo: por un lado se tomaron
como punto de partida para introducir el contenido
estudiado, y por otro lado como ejemplo para
desarrollar ejercicios de reforzamiento; también son la
base para diseñar actividades didácticas y la secuencia
que conduce finalmente al estudio de los contenidos
LOS USOS DE EXCALE PARA LA MEJORA EDUCATIVA
con más bajo porcentaje de aciertos.
c) Descripción del contenido: la descripción de contenido
funcionó como una fuente de consulta durante la
decisión de qué actividades poner en práctica.
ESPECIFICACIÓN GENERAL COMO APARECE EN LA TABLA DE CONTENIDOS
PORCENTAJE DE
ACIERTOS %
• Reconocer que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°
• Calcular el perímetro de una figura compuesta de semicircunferencias
• Aplicar propiedades de los ángulos inscritos en una semicircunferencia
• Reconocer la equivalencia del área de triángulos no semejantes que mantienen la misma base y altura
• Calcular la medida de un cateto a partir de la medida de la hipotenusa y del otro cateto
• Reconocer instrucciones para la construcción de un círculo
• Identificar las instrucciones para trazar una perpendicular a un segmento por uno de sus extremos
• Aplicar propiedades de ángulo central e inscrito en una circunferencia
• Identificar las instrucciones para la construcción de la tangente a una circunferencia por un punto exterior a ella
• Identificar las instrucciones para la construcción de la tangente a una circunferencia por un punto sobre ella
• Resolver problemas que implican calcular razones trigonométricas
• Expresar con un irracional la medida de un cateto calculado a partir de la hipotenusa y del otro cateto
• Calcular el área de regiones formadas por la intersección de círculos y cuadrados
54
43
40
39
37
37
34
33
27
27
26
23
21
Propuesta de mejora
El potencial de la comprensión del círculo y el
triángulo es lo que más se destaca en esta propuesta,
puesto que son las figuras básicas que funcionan
como mediadores para el aprendizaje de nuevas
relaciones, tales como el teorema de Pitágoras y
funciones trigonométricas, los cuales cuentan con
características del círculo y el triángulo. Esta propuesta
brinda una importancia suprema a la construcción
manual de las figuras geométricas involucradas;
pero, también emplea tecnología como un apoyo
para el aprendizaje de los contenidos estudiados. El
programa utilizado principalmente es Cabri Géometre
de geometría dinámica, aunque también empleamos
una hoja de cálculo y un procesador de palabras.
Para elaborar la secuencia didáctica nos basamos
en la idea teórica de la evolución y construcción de
significados a través de sus representaciones (Peirce,
C. 1987)2 , la cual plantea que un objeto, i.e. un objeto
matemático como un triángulo, se conoce por medio
de sus representaciones y por la experiencia con las
mismas, es decir los estudiantes deben operar con
representaciones conocidas para acercarse a otras
nuevas. Por eso la secuencia didáctica iniciará con la
construcción de un círculo, evolucionará a triángulos
inscritos y finalizará con cálculos en triángulos
rectángulos (Pitágoras y Relaciones trigonométricas).
La idea fundamental es que el estudiante elabore
mentalmente un encadenamiento de representaciones
y significados (Saenz, 2002)3 que evoluciona hacia la
comprensión de un contenido matemático.
2 Pierce, C. S. (1987). Obra lógico-semiótica. Edición de Armando Sercovich. Madrid: Taurus.
3 Sáenz, Adalira (2002), Sign as a Process of Representation: A Pericean Perspective, pp. 277-296. Representations and Mathematics Visualization, Edited By Fernando Hitt,
Cinvestav-PME-Working Group 1998-2002).
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Secuencia didáctica propuesta
Etapa I. Construcción de círculos con diferentes áreas y diámetros. A los alumnos se les proporciona una serie de
perímetros y áreas de círculos, partiendo de esos datos deben calcular el radio y diámetro, y dibujar con el
compás el círculo correspondiente. Se procede en forma contraria a lo tradicional.
Perímetro
Radio
Diámetro
5 cm
8 cm
12 cm
15 cm
20 cm
25 cm
Área
Radio
Diámetro
5 cm2
12 cm2
20 cm2
30 cm2
35 cm2
40 cm2
Tabla con perímetros y áreas
Etapa II. Construcción de paralelas y perpendiculares. Con respecto a un punto p colocado sobre la circunferencia. Se
proporciona a los estudiantes las secuencias indicadas en las respuestas a (paralela) y c (perpendicular) del reactivo
de ejemplo: Identificar las instrucciones para trazar una perpendicular a un segmento por uno de sus extremos.
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Etapa III. Construcción de triángulos con base y altura común. Con base en lo
anterior, en una circunferencia construir una paralela y una perpendicular
que pase por “p”, después prolongar el segmento PE, y con al menos los
puntos P, E y F (agregado), construir los triángulos APB; AEB; AFB. Se conoce
el diámetro del círculo el cual es la base del triángulo y se mide la altura de
los triángulos, que es la misma para todos, y se calcula el área de cada uno. Se
propone realizar una discusión grupal sobre los resultados.
Para comprobar los conocimientos se aplica a los estudiantes el ejemplo de reactivo Reconocer la equivalencia
del área de triángulos no semejantes que mantienen la misma base y altura. Además puede desarrollarse el
ejemplo de reactivo: identificar las instrucciones para la construcción de la tangente a una circunferencia por un
punto exterior a ella.
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Etapa IV. Ángulo central e inscrito en una circunferencia. Se desarrolla la propuesta didáctica Juguemos con la 24ava
letra “X”. (Nájera, Pronap, 2005):
a) En Cabri construye la siguiente figura:
La clave en la construcción de la figura es nombrar los puntos con las literales
a, p, b, y o. Otro paso importante es agregar los comentarios apb= y aob= y
asignarles los valores de los ángulos correspondientes
b) Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y arrastra el punto p en varias
posiciones y completa la tabla:
N
Ángulo apb
Ángulo aob
1
2
•
•
15
c) Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y arrastra el punto a y el punto b en varias posiciones y completa la tabla:
N
Ángulo apb
Ángulo aob
1
2
•
•
20
d) Contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Existe alguna relación entre los ángulos apb y aob?
2. Si tu respuesta es afirmativa escribe (en el cuaderno) ¿que tipo de relación hay entre los ángulos apb y aob?
3. ¿De qué depende que varíen los ángulos de la figura?
Estas últimas preguntas deben ser discutidas en forma grupal, se espera que los estudiantes distingan la relación
entre los ángulos, y propongan una expresión algebraica que represente tal relación. Para conocer la comprensión
del contenido se pone en discusión el ejemplo de reactivo: aplicar propiedades de ángulo central e inscrito en una
circunferencia.
Etapa V. Reconocimiento de figuras en un círculo y relación de la suma de ángulos
en un triángulo. Con base en lo anterior:
a) Dibujar un círculo con una determinada área, e.g. 113.1 cm2, los alumnos
encontrarán como resultado un radio de 6 cm. y un diámetro de 12 cm.
b) Colocar al azar ocho puntos sobre la circunferencia y, con el procedimiento
de la etapa dos, construir perpendiculares con respecto al diámetro que
pasen por los puntos marcados.
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c) Posteriormente dibujar los ángulos centrales con respecto a los ocho puntos marcados, para ello se traza un
segmento entre el punto central del círculo y cada uno de los ocho puntos. El profesor promueve una discusión
grupal con el objetivo de que los estudiantes distingan la formación de un triángulo.
d) Se miden y suman los ángulos de cada triángulo, la suma resultante es 180°.
Perpendiculares
Ángulos centrales
Medir ángulos centrales
Por ejemplo, el triángulo con vértice D, tiene un ángulo central de 50.4°, un ángulo recto y otro de 39.6°, el
resultado de la suma de los ángulos es 180°. Este procedimiento se repite para cada triángulo formado. Para
verificar la comprensión se aplica el ejemplo de reactivo: “Reconocer que la suma de los ángulos interiores de un
triángulo es 180°; Calcular el perímetro de una figura compuesta de semicircunferencias”; y “aplicar propiedades
de ángulo central e inscrito en una circunferencia”, éste último pone en juego la relación entre el ángulo central e
inscrito en un círculo y la suma de los ángulos internos de un triángulo.
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Etapa VI. Construcción de triángulos inscritos en un círculo.
a) Definir los triángulos construidos anteriormente, al colorear cada
triángulo y medir sus lados. El profesor promoverá una discusión grupal
con la finalidad de identificar que se tratan de triángulos rectángulos.
b) Construir una tabla con las medidas de los lados de cada triángulo
Triángulo
a*a
b*b
Triángulo
Lado 1
Lado 2
H=
Hipotenusa
Medir los lados
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c) Con los triángulos construidos comprobar la relación establecida en el teorema de Pitágoras
H2=a2 + b2
Se espera que los alumnos descubran que la hipotenusa es la misma para todos los triángulos.Así, los estudiantes
se darán cuenta de si existe o no, un error en sus cálculos, porque la respuesta esperada es conocida de antemano.
Para reforzar lo aprendido se pueden aplicar ejercicios como el ejemplo de reactivo: “Calcular la medida de un
cateto a partir de la medida de la hipotenusa y del otro cateto”. Por otro lado de acuerdo a Excale, la raíz cuadrada
es un contenido con un índice de respuesta muy bajo y esta etapa brinda una oportunidad de practicar la raíz
cuadrada con el algoritmo, por aproximación y con la calculadora. Por su puesto se deben plantear ejercicios
de aplicación.
Etapa VII. Relaciones trigonométricas. Aquí, el ángulo central es el punto de
referencia para efectuar las razones entre los catetos e hipotenusa de los
triángulos inscritos en el círculo de la etapa V. El objetivo principal es que los
estudiantes conozcan el origen de una razón trigonométrica. Por ejemplo,
cuando el ángulo central mide 50°, con las medidas de los lados del triángulo
se efectúan las divisiones para seno, coseno y tangente.
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Se propone que esta actividad se realice primero manualmente, incluso las
Medidas del triángulo (50º)
divisiones; sin embargo, toda esta secuencia puede ser reconstruida en Cabri,
o cualquier otro software de geometría dinámica. Una vez construido el
triángulo rectángulo en el círculo, en Cabri, se arrastra el punto P sobre la circunferencia. Conforme se actualizan
los valores del ángulo central, de los catetos, y la hipotenusa, se efectúan las divisiones correspondientes.
Si se realiza de manera sistemática se puede construir una tabla de razones trigonométricas, la cual posteriormente
servirá para consultas futuras.
Esta etapa merece una atención especial y se desarrollará con más detalle en otro documento. Finalmente se
puede extraer un triángulo rectángulo y se realizan ejercicios diversos.
Triángulo
Ángulo
Seno
Co/H
Coseno
Ca/H
Tangente
Co/Ca
1
50
4.6÷6.0=
3.86÷6.0=
4.6÷3.86=
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VIII. Solución de ejercicios y problemas de trigonometría.
a) Un paso importante en la solución de triángulos rectángulos es identificarlos en otras figuras, tales como
cuadrados, rectángulos, triángulos isósceles, y otras. Los triángulos rectángulos construidos en las etapas previas
pueden combinarse para construir figuras diferentes, por ejemplo un triángulo isósceles:
Efectuar una reflexión axial para
construir un isósceles con dos
triángulos rectángulos.
Triángulo isósceles
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Para ilustrar, previo a esta construcción, o posteriormente según lo considere
el profesor, se puede plantear el ejemplo de reactivo: Resolver problemas que
implican calcular razones trigonométricas, en donde imaginar un triángulo
isósceles, y saber que puede descomponerse en dos triángulos rectángulos
es clave para encontrar la solución al problema4 de trigonometría de calcular
la distancia de un satélite a la tierra.
b) Otras figuras que pueden descomponerse en triángulos rectángulos son
las siguientes:
Un cuadrado
Un triángulo escaleno
Un rectángulo
Tomado de Excale
c) Resolver ejercicios cuya solución se encuentre por el teorema de Pitágoras o razones trigonométricas. Para
buscar diversos ejemplos podemos recurrir a instrumentos aplicados como Excale, PISA 2000, 2003, 2006
proporcionados en la página del INEE5, en las fuentes sugeridas de la descripción de contenidos en cada ejemplo
4 http://www.inee.edu.mx/explorador/archivos_esp/E-MS304GMC201.pdf
5 http://www.inee.edu.mx/
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de reactivo, en los textos del curso y sobre todo los que el profesor invente o adecue de acuerdo al avance con
el grupo, esto, por otro lado, puede ayudar a los estudiantes a familiarizarse con diferentes tipos de evaluación y
ejercicios. Finalmente es el profesor frente a grupo quien decide cómo y qué se puede mejorar en una secuencia
didáctica para tener éxito en un aprendizaje. Por ejemplo, se recomienda trabajar en equipo y sobre todo
promover una discusión grupal para socializar significados.
Construcción de círculos
a partir de un área dada
Construyendo triángulos
rectángulos
Relación del ángulo central
e inscrito en un círculo
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Construcción de tablas con
el teorema de Pitágoras y
relaciones trigonométricas
Ejercicios de aplicación
Trabajando en el centro de computo de la E.S.T No.38
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
Reflexiones finales
La comprensión de un contenido matemático no es
inmediata, requiere de un periodo de asimilación y
maduración para conocer sus características; esta
propuesta pretende apoyar a los estudiantes para
que sus conocimientos previos funcionen como
mediadores en el aprendizaje de nuevos contenidos.
El conocer datos palpables acerca de evaluaciones
sobre aprendizajes de contenidos de Matemáticas,
como los que se pueden consultar en Excale, INEE,
PISA, y ENLACE es muy impactante, tal es así, que esta
propuesta surge de la necesidad de abatir los bajos
índices de respuestas correctas y de mejorar la calidad
educativa, esto puede ser aprovechado también como
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punto de partida para buscar estrategias didácticas
y de gestión escolar con el mismo propósito, pero a
nivel local y estatal. Esta propuesta puede ser de ayuda,
o puede dar ideas a otros profesores para proponer
nuevas cadenas de estudio de contenidos matemáticos
y de otras asignaturas. También es importante qué
el profesor desarrolle habilidades en el uso de la
tecnología tradicional y computacional, y en cómo
ocuparlas conjuntamente; otra habilidad que también
debe desarrollar el profesor es la profundización en el
dominio de los contenidos matemáticos que enseña
y la resolución de problemas. Se espera que ésta y
otras propuestas sirvan para motivar a docentes y
autoridades de nuestro país a mejorar día con día su
labor cotidiana.
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