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Andrés Macho Ortiz, Mayo de 2016, Valencia
Álgebra de operadores lineales
Dada la importancia que adquieren los operadores lineales en mecánica cuántica analizaremos en este
documento la estructura algebraica que forman junto con sus operaciones habituales de suma y producto.
Dentro del ámbito de la cuántica, podemos definir un operador lineal como un homomorfismo entre dos
espacios vectoriales finita o infinitamente generados. Una vez fijado el conjunto de homomorfismos que
representa a los operadores lineales, podremos definir y analizar leyes de operación interna y externa a
dicho conjunto.
Definición
Sean los espacios vectoriales (A,+A,·KA) y (B,+B,·KB) construidos ambos sobre el cuerpo (K,+K,·K), siendo
+A, +B, +K y ·K leyes de composición interna operando sobre sus respectivos conjuntos, y ·KA y ·KB siendo
leyes de composición externa de A y B con el cuerpo K sobre el que se construyen los espacios vectoriales.
Definimos un operador lineal Ô como la aplicación lineal (u homomorfismo):
Ô : A  B
ˆ  x  : O
ˆx
x O
cumpliendo la propiedad de linealidad:
ˆ   x    y     O
ˆ x   O
ˆ  y
   ,   ,  x , y    K 2  A2 , O
KA
A
KA
KB
B
KB
ˆx  O
ˆy
  KB O
B
KB
El conjunto de operadores lineales de A en B lo denominaremos
 A, B  . Pasemos a definir unas leyes de
composición interna de dicho conjunto para poder trabajar con él y poder dotarlo de alguna estructura
algebraica.
Leyes de composición interna
Suma de operadores:

AB
 A, B 
:
 A, B 

 V,ˆ Wˆ 


 A, B 
AB
 Vˆ , Wˆ  : Vˆ 
AB
ˆ
W
siendo:
ˆ
V
AB
ˆ :A B
W

ˆ
x  V
AB

ˆ  x  : V
ˆ x  W
ˆ x  V
ˆx W
ˆx
W
B
B
Producto de operadores (solo aplicable si A = B):

AB
:
 A, B 
 A, B 


 V,ˆ Wˆ 

 A, B 
AB
 Vˆ , Wˆ  : Vˆ 
AB
ˆ
W
siendo:
ˆ
V
AB
ˆ :A B
W

ˆ
x  V
AB



ˆ  x  : V
ˆ W
ˆ  x   VW
ˆ ˆx
W
En base a la última definición y puesto que los operadores lineales son homomorfismos, el producto de
operadores se identifica con la composición de dichos homomorfismos, los cuales pasan a ser
necesariamente endomorfismos al requerir la definición anterior que A = B. Como en cuántica trabajamos
siempre en un mismo espacio de Hilbert, se cumple de forma implícita la condición anterior.
Andrés Macho Ortiz, Mayo de 2016, Valencia
Ley de composición externa
Producto escalar-operador:
K
AB
 A, B 
:K 
 , Wˆ 
 A, B 

 K
 , Wˆ  :  
AB
K
AB
ˆ
W
siendo:
 K
Ŵ : A  B
AB

x   K
AB

ˆ  x  :   W
ˆ x    W
ˆx
W
KB
KB
Estructuras algebraicas de los operadores
Aunque no lo vamos a demostrar, es fácil comprobar que la terna:
  A, A , 
AA
,
AA

tiene la misma estructura algebraica que los endomorfismos genéricos estudiados en álgebra de grado con
la composición como segunda operación: es un anillo, unitario, no conmutativo y con divisores de cero.
Adicionalmente, la terna:
  A, A , 
AA
, K
AA

construida sobre el cuerpo (K,+K,·K) tiene estructura de espacio vectorial. Su dimensión será por lo tanto:
dim 
Puesto que
 A, A
 A, A   dim  A  dim  A
es simultáneamente espacio vectorial sobre el cuerpo K y anillo (con sus
correspondientes operaciones), se dice que
 A, A tiene estructura de ÁLGEBRA (no conmutativa) sobre
el cuerpo K.
El conjunto de operadores lineales en cuántica tiene estructura de ÁLGEBRA NO CONMUTATIVA
SOBRE EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
En general la notación sobre las leyes de composición interna y externa de los operadores se suele relajar,
de manera que se denota “    ” y “    ”. No obstante, debemos tener cuidado al operar con escalares
AA
AA
y operadores para ser conscientes en todo momento de qué tipo de operación estamos manejando.
Operador hermítico (o adjunto)
Sean dos espacios vectoriales (A,+A,·KA) y (B,+B,·KB) construidos sobre un mismo cuerpo (K,+K,·K), dotados
cada uno de un producto escalar < , >A y < , >B, respectivamente. En general consideraremos que los
productos escalares son aplicaciones diferentes con < , >A ≠ < , >B al ser A ≠ B. Sea Ô   A, B  . Se define
el operador hermítico o adjunto como Ô† 
 B, A cumpliendo por definición:
  x , y   A  B,
ˆ  x, y
O
B
ˆ †  y
 x, O
A
Ejemplo 1 en mecánica cuántica con la notación de Dirac
En mecánica cuántica definimos A = B = H, siendo H un espacio de Hilbert. Ambos espacios vectoriales
tienen definido el mismo F-producto escalar < | > al ser idénticos, de manera que en este caso si
consideramos un operador M̂   H , H  , se define el operador adjunto M̂ †   H , H  (M daga) como:
  x, y   H 2 ,
ˆ x
y M
H
ˆ †  y x
 M
H
ˆ |x
 y|M
Ejemplo 2 en mecánica cuántica con la notación de Dirac
Usando la definición general de operador hermítico (o adjunto) es fácil calcular el operador hermítico de
 : d dx asociado al espacio de Hilbert de las funciones cuadrado integrables, H = L2(R,C):
Andrés Macho Ortiz, Mayo de 2016, Valencia
 f , g   H 2,

ˆf
g A

H


 d

 d *

*
*
 g  x   dx f  x   dx   g  x  f  x      dx g  x   f  x  dx


 d

   dx g  x   f  x  dx 
*
ˆ † g f
A

H
ˆ† 
A
d
dx
Con esta definición es inmediato demostrar que:
 Mˆ   Mˆ
 Mˆ  Nˆ   Mˆ  Nˆ
  Mˆ    Mˆ
 Mˆ  Nˆ   Nˆ  Mˆ
†
i)
†
†
ii)
iii)
iv)
†
†
*
†
†
†
†
†
Note que en estas propiedades hemos relajado la notación de las operaciones internas y externas asociadas
a los operadores, sin incluir los subíndices especificados en secciones anteriores. La demostración de las
cuatro anteriores propiedades no las vamos a realizar dejándolas como ejercicio para el lector. Sin embargo,
ˆ x, y  C   H , H   H 2 :
sí incluimos la demostración de la tercera.   , M,


 

ˆ  x   y M
ˆ  x   * y M
ˆ x  M
ˆ †   * y  x   *M
ˆ †  y  x   *M
ˆ†
y M
 y x
llegando de forma inmediata a demostrar iii).
Leyes adicionales de composición interna
Partimos de nuevo definiendo un espacio vectorial (A,+A,·KA) construido sobre el cuerpo (K,+K,·K), siendo
+A, +K y ·K leyes de composición interna operando sobre sus respectivos conjuntos, y · KA una ley de
composición externa de A con el cuerpo K. Consideramos solo un espacio vectorial para poder trabajar con
el producto de operadores  , definido en la primera página del documento. Definimos las leyes de
AA
composición interna “Conmutator” [ , ] y “Anticonmutator” { , } como:
 A, A
[ , ]:
 A, A


 V,ˆ Wˆ 
 A, A


siendo  Ŵ el operador inverso a Ŵ respecto de la operación 
 ,  :  A, A
 
ˆ W
ˆ  V,
ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
 [ , ] V,
 W  : V  AA W  AA  W 
ˆ W
ˆ W
ˆ V
ˆ
V

 V,ˆ Wˆ 
 A, A
AA
ˆ
V
(operador opuesto). Adicionalmente:
AA
 A, A
ˆ W
ˆ   V,
ˆ W
ˆ  : V
ˆ
  ,   V,

AA
ˆ 
W
AA
ˆ 
W
AA
ˆ
V
ˆ W
ˆ W
ˆ V
ˆ
V
Las duplas ((A,A), [ , ]) y ((A,A), { , }) no forman ninguna estructura algebraica (conocida por mi) dado
que las anteriores leyes de composición interna no tienen ni tan siquiera la propiedad asociativa. Por lo
tanto, no tienen estructura de grupo, la más básica de todas. No obstante, conviene destacar algunas
propiedades interesantes (usando notación relajada):



ˆ W
ˆ  1  V,
ˆ W
ˆ   V,
ˆ W
ˆ
V

2 
ˆ ˆ
 ˆ ˆ
ii)  V,
 W     W, V 
ˆ W
ˆ  W,
ˆ V
ˆ
iii) V,
i)

 

†
ˆ W
ˆ   W
ˆ †, V
ˆ †
iv)  V,




Andrés Macho Ortiz, Mayo de 2016, Valencia
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ
 V,
 W  Z    V, W   Z  W   V, Z 
 ˆ
ˆ 
vi)  V
ˆ ˆ 
i ,  W j     Vi , W j 
i
j
i
j


 ˆ
ˆ 
ˆ ˆ
vii)  V
i ,  W j    Vi , W j
i
j
i
j


v)

