Download informe. Fuerza centripeta. Metodos II

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias
Licenciatura en Ciencias Exactas
Fuerza centrípeta en
un movimiento
circunferencial
Nombre: Jacky Moreno
Profesora: Orfa Reyes
Curso: Métodos Experimentales II
Carrera: Licenciatura en Ciencias Exactas
Fecha: 29 marzo de 2011
I.
Resumen
En el presente informe, se busca estudiar la fuerza centrípeta en un movimiento circular,
para esto atamos un hilo con una masa cilíndrica constante a un sensor que dispusimos
para medir la tensión cuando soltábamos nuestro péndulo a distintas alturas. Además
dispusimos de un fotosensor que situamos justo en la línea de equilibrio para así medir
la rapidez con la que el objeto pasa por ese punto.
Luego con los datos entregados por ambos sensores, y mediante las ecuaciones a
utilizar, comparamos las aceleraciones de gravedad teórica y experimental, para así
corroborar la veracidad de la ecuación final dada.
De esta forma la aceleración de gravedad experimental nos dio un valor de
= 9,4572
± 0,5035 [m/s²] y la aceleración de gravedad teórica sabemos que es = 9,8 [m/s²],
teniendo un error porcentual de 3,4980%
II.
Introducción
En mas de una ocasión en nuestra vida cotidiana nos hemos topado con sistemas
naturales que podemos llevar a un laboratorio, como lo es el análisis de un auto al tomar
una curva con rapidez constante, ahora bien, supongamos que atamos una pelota con
una cuerda y la hacemos girar en círculo a velocidad angular constante. La pelota se
mueve en una trayectoria circular porque la cuerda ejerce sobre ella una fuerza
centrípeta.
Cuando un cuerpo gira en un plano vertical está sometido a dos fuerzas, su peso y la
tensión en la cuerda. Si el cuerpo se encuentra en el punto más alto, el peso que actúa
verticalmente hacia abajo, suma su efecto al de la tensión de la cuerda para dar origen a
la fuerza centrípeta. En cambio, cuando se encuentra en el punto más bajo la tensión de
la cuerda ha de anular el peso del cuerpo, y, además, producir la fuerza centripetal, la
cual va dirigida hacia el centro de la trayectoria curvilinea.
III.
Marco Teórico
Para determinar la relación existente entre la tensión y la fuerza centrípeta, se aplica el
modelo teórico obtenido a través del sistema que se observa en la figura 1.
Figura 1: Diagrama de las fuerzas presentes en el sistema.
Observando el diagrama de cuerpo libre, y realizando la sumatoria de fuerza, por la
segunda ley de Newton tenemos que:
(1)
(2)
(3)
T : Tensión del hilo
m : Masa constante
g : Aceleración de gravedad
: Aceleración tangencial
: Aceleración centrípeta
Donde la aceleración en el eje x es la aceleración tangencial en el punto más bajo de la
trayectoria. Así mismo, la aceleración en el eje y es la aceleración radial en el mismo
punto.
Ahora bien, sabemos que la expresión para la aceleración centrípeta es:
: Aceleración centrípeta
v : Velocidad tangencial
L : Largo del hilo
Reemplazando en la ecuación (3):
(4)
Como nos interesa en el punto de equilibrio, es decir cuando
tensión de la ecuación (4) quedando finalmente:
(5)
(6)
, despejamos la
IV.
Procedimiento
Experimental
Se dispone de un sistema como el que se muestra a continuación en la figura 2.
Soporte Universal
Hilo
Masa constante
Balanza
Guincha de medir
Fotosensor
Sensor de Fuerza
Computador con programa Data Studio
Se ubica un soporte universal, del cual sujetamos un sensor de fuerza para medir la
tensión del péndulo en el eje vertical, asimismo colocamos el fotonsensor en la línea de
equilibrio del péndulo para medir la rapidez con que el objeto pasa por ese punto; ambas
maquinas están conectadas al computador en el programa Data Studio. Luego
amarramos un hilo de masa despreciable al tensor del cual cuelga una masa cilíndrica
constante igual a m = 0,03325 ± 0,0001 [Kg] en su extremo.
Si pensamos en las variables dentro del experimento, se encuentra la masa y el largo del
hilo, en este caso decidimos variar el largo del hilo 3 veces y dejar la masa constante.
Después de haber dispuesto el equipo, se prepara la realización del experimento,
tomamos la masa unida al hilo y la dejamos caer, medimos la velocidad y la tensión
cuando el péndulo pasa por el eje vertical obteniendo los siguientes datos:
= 0,548 ± 0,001[m]
Tensión [N]
Velocidad [m/s]
0,36
1,08
0,36
0,99
0,35
0,97
0,33
0,69
0,33
0,66
0,31
0,35
0,30
0,28
0,30
0,17
Tabla 1: Tensión y velocidad experimental para primer largo
= 0,760 ± 0,001[m]
Tensión [N]
0,38
0,37
Velocidad [m/s]
1,17
1,15
0,36
0,35
0,35
0,33
0,33
0,32
0,94
0,81
0,78
0,64
0,41
0,28
Tabla 2: Tensión y velocidad experimental para el segundo largo
= 0,923 ± 0,001[m]
Tensión [N]
0,36
0,36
0,35
0,35
0,34
0,34
0,32
0,32
Velocidad [m/s]
1,11
0,97
0,95
0,80
0,72
0,50
0,30
0,17
Tabla 3: Tensión y velocidad experimental para el tercer largo
Tomar en cuenta que el sensor de fuerza mide la tensión en todo instante de la
oscilación. Pero nos interesa el valor de la tensión experimental justamente en el punto
donde mismo es registrada la velocidad.
V.
Análisis de
Resultados
Con los datos entregados por el programa Data Studio, procedemos a calcular las
velocidades al cuadrado y la tensión/masa para cada largo obteniendo las siguientes
tablas:
= 0,548 ± 0,001[m]
Tensión/Masa[N/Kg]
Velocidad²[m²/s²]
10,83
1,17
10,82
0,98
10,53
0,94
9,93
0,48
9,92
0,44
9,32
0,12
9,02
0,08
9,01
0,03
Tabla 1.1: Tensión/Masa y velocidades²
= 0,760 ± 0,001[m]
Tensión/Masa[N/Kg]
Velocidad²[m²/s²]
11,43
1,37
11,13
1,32
10,82
0,88
10,53
0,66
10,53
0,61
9,93
0,41
9,92
0,17
9,62
0,08
Tabla 2.1: Tensión/Masa y velocidades²
= 0,923 ± 0,001[m]
Tensión/Masa[N/Kg]
Velocidad²[m²/s²]
10,83
1,23
10,82
0,94
10,53
0,90
10,52
0,64
10,23
0,52
10,22
0,25
9,63
0,09
9,62
0,03
Tabla 3.1: Tensión/Masa y velocidades²
Con los datos obtenidos, podemos establecer una comparación entre la ecuación final
(6) y la ecuación de la recta y= mx +n, de modo que notamos similitud en la forma de
las ecuaciones, por lo tanto graficamos T/m versus v² asociando 1/L como la pendiente
y la aceleración de gravedad (g) como el intercepto, resultando así los siguientes
gráficos para cada largo:
Grafico tabla (1.1)
Grafico tabla (2.1)
Grafico tabla (3.1)
Aplicando una regresión lineal por el método de mínimos cuadrados obtenemos:
Experimental
Pendiente (1/L) [1/m]
Intercepto (g) [m/s²]
[m]
1,6548 ±0,09
9,0501 ±0,11
[m]
1,278 ±0,16
9,6108 ±0,41
[m]
1,027 ±0,08
9,7106 ±0,23
Luego se calcula el promedio junto a la desviación estándar dando un resultado de:
= 1,3199 ± 0,2580 [1/m]
= 9,4572 ± 0,5035 [m/s²]
Por otro lado si analizamos la teoría de acuerdo a la ecuación final (6) tenemos:
Teórico
Pendiente (1/L) [1/m]
Intercepto (g) [m/s²]
[m]
1,8248 ± 0,001
9,8
[m]
1,3158 ± 0,001
9,8
[m]
1,0834 ± 0,001
9,8
Por lo tanto nos queda:
= 1,4080 ± 0,001 [1/m]
= 9,8 [m/s²]
Finalmente, se realiza la comparación de los resultado experimentales con los teórico,
cuyo porcentaje de error fue de 3,4980 % para la aceleracion de gravedad.
VI.
Conclusión
A través de la observación, estudio y posterior análisis de la experiencia física descrita
en este informe, ha sido posible concluir que la expresión mostrada por la ecuación (),
es una manera consistente de describir el movimiento que experimenta una partícula
bajo las condiciones de este experimento, ya que para corroborar que los resultados
obtenidos experimentalmente fueran fiables y que realmente describen lo expuesto en la
teoría, se ha obtenido el valor de la aceleración de gravedad cuyo valor fue de
=
9,4572 ± 0,5035 [m/s²], con un error porcentual de 3,4980%, lo cual implica que los
resultados son bastante satisfactorios.
Ahora bien, resulta necesario razonar las posibles causas de este porcentaje de error,
dentro de las cuales es posible considerar una falla en el sistema utilizado para tomar las
mediciones del largo del hilo como también del peso de la masa o bien puede estar dado
por errores humanos, tales como darle una velocidad inicial al soltar la masa del
péndulo.
VII.
Bibliografía
Física, Vol. I: Mecánica, por Marcelo Alonso & Edward J. Finn; Addison-Wesley
1967, Parte 1, capítulo 5, páginas 104 a la 105.
VIII.
Apéndice
Regresión lineal (Ajuste de los mínimos cuadrados)
La regresión lineal es un método de análisis de los datos que sirve para poner en
evidencia las relaciones que existen entre una variable independiente X y una variable
dependiente Y.
Los resultados que se obtienen de la regresión lineal son la pendiente, el intercepto, el
coeficiente de correlación, el error de la pendiente y el error del intercepto, para lo cual
se usan las siguientes expresiones:
Pendiente
Intercepto
Coeficiente de Correlación
Error en el intercepto
Error en la pendiente
Desviación Estándar
La desviación estándar es una medida de dispersión que nos dice cuán alejados están los
valores puntuales del promedio en una distribución, es decir el promedio de la distancia
de cada punto respecto del promedio.