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Determinación y análisis de las principales deficiencias en la identificación de
números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos: N, Z, Q, I o R,
en alumnos ingresantes a FACENA en 2001. II. Análisis por columna.
Porcel, Eduardo - Ramírez Arballo, María Gloria
Facultad de Cs. Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE.
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ANTECEDENTES
En el presente trabajo se desarrolla un estudio preliminar acerca de las principales deficiencias y dificultades de
alumnos ingresantes en la identificación de números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos: N, Z, Q, I o R.
Es parte del proyecto “Análisis de factores que inciden en el rendimiento académico y desgranamiento de alumnos de
FACENA” ( Secyt-Unne Pid 506), dado que uno de los factores que inciden en el bajo rendimiento es la falta de los
conocimientos matemáticos necesarios para cursar las materias de la carrera seleccionada, especialmente las de primer
cuatrimestre de primer año, momento de mayor desgranamiento en todas las carreras de la Facultad.
MATERIALES Y METODOS
En la prueba de diagnóstico de conocimientos previos que se tomó en marzo de 2001 a los alumnos que ingresaron ese
año a la FACENA- (U.N.N.E.) (pretest) se incluyó el siguiente ejercicio con el objetivo de observar la identificación de
elementos de R y de sus distintos subconjuntos numéricos por parte de los alumnos:
Dada la siguiente tabla, coloca una cruz en él o los casilleros correspondientes a todos los conjuntos numéricos a
los cuales pertenece cada uno de los números dados:
2
3/2 -3/4
-2
2 -1,5 − 49
N (Naturales)
Z (Enteros)
Q (Racionales)
I (Irracionales)
R (Reales)
La forma de recolección de información por medio de una tabla de doble entrada, permite plantear el análisis y la
interpretación de la matriz de datos, al menos desde los siguientes puntos de vista: I) Análisis de las 35 variables
dicotómicas que constituyen el vector que se generó por cada alumno, es decir, la descripción e interpretación de los
datos del cuadro por celda. II) Análisis por columnas de los datos contenidos en la tabla de doble entrada, es decir,
centrando la atención en el reconocimiento de cada número, de acuerdo con los distintos tipos propuestos. III) Análisis
por filas de los datos de la misma tabla, lo cual equivale a decir centrar la atención en los conocimientos acerca de los
conjuntos numéricos: N, Z, Q, I y R. La matriz de datos originales obtenidos se recodificó de manera que se asignó un
1(uno) a la presencia de error en la respuesta y 0 (cero) cuando la respuesta era correcta. En el análisis estadístico de los
resultados se utilizaron técnicas de estadística descriptiva y el análisis de conglomerados (cluster).
La realización de la tarea de señalar los números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos que se pidió en el
ejercicio, implicó la ejecución por parte de los alumnos del proceso cognitivo de identificar, proceso que H. Hernández
[1989, 1990, 1993] y C. Delgado Rubí [1995] incluyen entre las habilidades conceptuales, es decir, aquéllas que operan
directamente con los conceptos, al describir el sistema básico de las habilidades que consideran imprescindibles para el
quehacer matemático. Estos autores definen la identificación como el proceso de “distinguir el objeto de estudio
matemático sobre la base de sus rasgos escenciales; determinar si el objeto pertenece a una determinada clase de
objetos que presentan ciertas características distintivas”. Sostienen que esta habilidad matemática posibilita un
dominio adecuado de los conceptos y disminuye la comisión de errores en el quehacer matemático de los estudiantes y
que la formación de esta habilidad complementa al sujeto de un recurso teórico insustibuible para la toma de decisiones
y la resolución de problemas contribuyendo, por lo tanto, a la formación de un pensamiento matemático riguroso,
reflexivo y profundo. Asimismo, consideran que el proceso de identificar es, en cierto modo, el proceso inverso del de
definir que definen como establecer mediante una proposición las características necesarias y suficientes del objeto de
estudio. Sostienen que este proceso, presupone precisar el objeto a definir y referir los atributos que lo caracterizan y
contribuye a la formación de la habilidad de identificar. Desde este punto de vista resulta pertinente conocer la
capacidad de los alumnos de identificar números naturales, enteros, racionales, irracionales o reales, por cuanto estaría
vinculada a su posterior rendimiento académico.
En el presente trabajo, desarrollaremos el análisis por columnas, es decir, centrando la atención en la identificación de
cada número, de acuerdo con los distintos tipos propuestos.
A los fines del análisis por columna, la clasificación que realizó cada alumno de los números entre los distintos
conjuntos numéricos se resumió en las siguientes cinco categorías:
1. No contesta: Ninguna cruz en la columna.
2. Respuesta correcta: Marcó todas las cruces correctas en la columna y ninguna otra.
3. Una sola cruz: Marcó una sóla cruz en la columna.
4. Omite alguna inclusión: Hay por lo menos dos cruces en la columna, corresponden exclusivamente a conjuntos a los
cuáles pertenece ese número, pero no a todos ellos. (Es decir, que el alumno omitió consignar alguna/s de las cruces
correctas y no agregó ninguna cruz incorrecta)
5. Otros errores.
DISCUSION DE RESULTADOS
Del análisis por columnas surge que los porcentajes de respuestas correctas son bajos, oscilan entre el 5,1 y el 17,4%,
excepto en la columna de − 49 , en que se registró sólo el 0,6% de respuesta correcta (Tabla 1).
Se observa que hay alumnos que han dejado algún o algunos números sin identificar, es decir, que no han señalado
ninguna cruz en esa columna. Salvo para el número 2, en que la ausencia de cruz es del 0,5%, con relación a todos los
otros números del ejercicio, hay entre el 10 y el 17 % de la población en estudio que no señala que pertenezcan a
alguno de los conjuntos numéricos, alcanzando los porcentajes más altos de ausencia de cruz las columnas de los
números –3/4 y –1,5, ambos números racionales y negativos, lo que da cuenta de la existencia de una franja que va del
10% y llega hasta casi el 20% que, denotan ausencia de conocimientos acerca de la caracterización de N, Z, Q, I y R, o
bien no comprendieron la consigna.
Tabla 1: Alumnos categorizados según identificación de cada número como elemento de los
distintos conjuntos numéricos. (Cifras porcentuales)
NO CONTESTA
RESPUESTA CORRECTA
N (Naturales)
Z (Enteros)
UNA SOLA
Q (Racionales)
CRUZ
I (Irracionales)
R (Reales)
TOTAL
OMITE ALGUNA INCLUSION
OTROS ERRORES
TOTAL
2
0,5
7,2
27,6
9,0
0,0
0,0
0,5
37,1
52,6
3,2
100,0
3/2
10,8
17,4
2,8
9,4
29,6
3,3
8,0
53,1
0,0
18,7
100,0
-3/4
17,0
13,9
1,3
6,4
23,9
13,8
6,2
51,6
0,0
17,5
100,0
-2
11,1
5,1
9,6
22,4
3,0
4,2
7,5
46,7
15,6
21,5
100,0
2
14,0
13,2
1,3
1,8
16,8
26,0
12,1
58,0
0,0
14,8
100,0
-1,5
17,6
9,5
5,3
7,8
13,4
12,0
12,6
51,1
0,0
21,8
100,0
−
49
13,9
0,6
1,0
2,8
12,2
30,1
0,4
46,5
1,4
37,6
100,0
Se advierte también que, en las distintas columnas, se ha registrado que entre el 35 y el 60% de la población en estudio
ha señalado una única cruz en esa columna, de lo que se infiere que un gran número de alumnos o bien por
desconocimiento o bien, por limitaciones en la comprensión de la consigna, no han tomado en cuenta las reglas de
inclusión N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R e I ⊂ R y consideraron a los grupos de conjuntos N,Z,Q y R e I y R como disjuntos.
En la identificación de 2 marcando una sóla cruz, se alcanza el mayor porcentaje (58,0 %), dando cuenta de que es un
error frecuente no considerar que I ⊂ R. Le siguen, la identificación de que 3/2, -3/4 y –1,5 pertenecen a un solo
conjunto numérico, con porcentajes similares ( 53,1%, 51,6% y 51,1%) y luego las de –2 y − 49 , también con valores
similares entre sí (46,7 % y 46,5 %). De lo que se infiere que, o existieron dificultades en la comprensión de la
consigna o, por lo menos, alrededor de la mitad de la población en estudio realiza la identificación considerando a los
conjuntos numéricos como disjuntos entre sí, a excepción de la identificación del número 2 en que marca una sola cruz
sólo el 37,1% de la población en estudio.
A los fines de explorar la clase de los alumnos que dentro de una misma columna, consideran a las casillas como
disjuntas, desagregamos en la tabla anterior, la clase de los alumnos que han señalado una sóla cruz. Dentro de este
grupo, dado que estos alumnos señalaron que un determinado número pertenece a sólo uno de los conjuntos: N,Z,Q,I o
R, consignamos también en la tabla el conjunto que se señaló como aquél al que pertenece el número identificado.
Resulta interesante prestar atención al conjunto que mayoritariamente han señalado para cada número como aquél al
que pertenecía el número identificado. En el caso del 2, lo identificaron únicamente como número natural el 27,6% de
la población total; el 9%, solamente como número entero y sólo el 0,5 %, únicamente como número real. En cuanto a la
identificación de los números 3/2, –3/4 y –1,5, se han registrado porcentajes bastante similares en las columnas de 3/2 y
–3/4, resultando llamativo que, si bien para ambos números la elección más frecuente del único conjunto al que ese
número pertenece es el conjunto de los números racionales (29,6% y 23,9%, respectivamente), lo cual es correcto, sin
embargo, aparecen porcentajes diferentes en uno y otro en tanto sólo el 3,3% de la población señala erróneamente que
3/2 ∈ I, en tanto que el 13,8%, es decir, más de un 10% más que el grupo anterior, señala - también erróneamente- que
–3/4 ∈ I. Por otra parte, en la identificación de que –1,5 ∈ Q se ha registrado un porcentaje (13,4%) marcadamente
inferior al de los que señalaron como única opcción que los otros dos números son racionales (29,6 y 23,9%),
distribuyéndose en forma bastante pareja la elección del único conjunto al que pertenece este número para este grupo de
alumnos entre el conjunto de los números racionales (13,4%), los irracionales (12%) y los reales (12,6% ). Esto lleva a
pensar con relación a estos números, 3/2, –3/4 y –1,5 que si bien a los tres les correspondía el mismo patrón de
solución correcta por columna, en tanto los tres pertenecen exclusivamente a Q y a R, parecerían presentar entre ellos
algunos rasgos diferenciales que dificultan para algunos alumnos su correcta identificación. La cuestión se articula con
la incidencia de las distintas representaciones semióticas de los números acerca de la cual hay estudios en los que se
señala la confusión objeto representación y representación definición (Socas Robayna, M.[2001]; Pinto, M. & Tall, D.
[1996]). Algo similar, pero con diferencias más acentuadas puede haber sucedido en la identificación de los números –2
y − 49 ya que, si bien ambos también tienen el mismo patrón de respuesta correcta por columna por cuanto
pertenecen, exclusivamente, a Z, Q y R, sin embargo, de acuerdo con los datos de la tabla anterior, si bien se han
registrado porcentajes similares de una sóla cruz en ambas columnas, la diferencia está en que, en la identificación de -2
un 30% de la población se reparte entre señalar que es entero o natural y sólo el 3% señala que es racional, en cambio,
un 30% de la población en estudio coincide en señalar que − 49 es irracional, el 12% en que es racional y para sólo el
3,8%, − 49 es entero o natural. De este hecho se infiere la incidencia de la representación semiótica de − 49
dificultando el proceso de identificación la que, incluso, podría estar dando cuenta también de la concepción errónea de
los alumnos de asociar la idea de “irracional” con la de “radical”, lo cual podría dar lugar a una profundización del
análisis acerca de este punto en futuras investigaciones.
Asimismo, dado que, de la clasificación en estas cinco categorías, surgió que el 52,6% de la población omitió de
considerar alguna de las reglas de inclusión N ⊂ Z, Z ⊂ Q o Q ⊂ R en la columna que corresponde a la identificación
del 2, exploramos también esa clase de respuestas erróneas para caracterizarla, siendo dentro de ese grupo los dos
subgrupos más numerosos el de quienes han omitido de considerar Z ⊂ Q, que concentra el 25,2% del total de alumnos
y el de quienes no tuvieron en cuenta las inclusiones Z ⊂ Q y Q ⊂ R, que agrupa el 16,3% de la población en estudio
(Tabla 2).
Tabla 2: Alumnos clasificados según la regla de inclusión que omiten en la identificación del número 2
2
OMITE ALGUNA INCLUSION
Z ⊂ Q Z ⊂ Q ∧ Q ⊂ R Otras
25,2
16,3
11,1
TOTAL
52,6
Y, con el mismo criterio, tratamos de determinar los errores más frecuentes dentro del 37,6% de los alumnos que ha
presentado otro tipo de errores en la identificación de − 49 , todos ellos caracterizados por la inclusión de, por lo
menos, una cruz incorrecta en esa columna. La clase está integrada por dos grupos: el de quienes señalan que − 49 es
irracional, que concentra al 22,5% de la población, que incluye a los alumnos que consignan que − 49 es natural y
racional (14,3%); el otro grupo está integrado por el 14,9% de los alumnos que señalan que − 49 ∉ I, dentro del
cual el subgrupo más numeroso consigna que − 49 es natural, racional y real (8,6%) (Tabla 3).
Tabla 3: Alumnos clasificados según errores que cometen en la identificación de
−
−
−
49
49
∈I
14,3
8,2
22,5
−
−
49
49
OTROS ERRORES
∈ N,Q e I Otros Total
−
49
49
TOTAL
∉I
∈ N,Q y R Otros Total
8,6
6,3
14,9
37,6
Para analizar la similitud entre los números en función de los patrones de errores cometidos por los alumnos, se aplicó
el análisis de conglomerados (cluster) utilizando la distancia chi-cuadrado y utilizando los métodos de agrupamiento
simple, completo y promedio ponderado y no ponderado. En todos ellos, se agruparon a bajos valores de distancia 2 y
- 49 y, en otro grupo, -3/4, -1.5 y 3/2. La proximidad de estos últimos es previsible ya que estos tres números
pertenecen exclusivamente a Q y a R. Mientras que en el otro caso, se agrupan 2 que es irracional con - 49 que es
entero y racional; este resultado refuerza la idea de la incidencia de las distintas representaciones como un obstáculo a
la correcta identificación de los números, cuestión a la que ya habíamos hecho referencia. Se incluye a modo de ejemplo
el dendrograma obtenido por el método de agrupamiento promedio no ponderado con distancia chi-cuadrado (Figura 1.)
CONCLUSIONES
De no deberse a dificultades en la comprensión de la consigna, de este análisis se concluye que:
1) Menos del 18% de la población en estudio consignó las respuestas correctas por columna, apareciendo como
de mayor dificultad la columna del − 49 .
2) Los porcentajes de alumnos que no consignan ninguna cruz en las distintas columnas oscilan entre el 10 y el
17%, salvo en la columna del 2 en que es sólo del 0,5%, denotando insuficiencia de conocimientos acerca de
los distintos conjuntos numéricos.
3) En las distintas columnas entre el 35% y el 60% de la población en estudio ha señalado una única cruz por
columna, denotando que en sus concepciones visualizan a los conjuntos numéricos como disjuntos, es decir
que omiten considerar algunas de las reglas de inclusión. Entre ellas, surge como uno de los errrores más
frecuentes no considerar que I está contenido en R.
4) Para 3/2 y –3/4, la elección entre los alumnos de una única cruz por columna es que señalan que ambos son
racionales, en cambio, en cuanto a –1,5 la elección se reparte casi por igual en afirmar que es racional,
irracional o real Ambas cuestiones pueden estar dando cuenta de la incidencia de las distintas representaciones
semióticas de los números, en coincidencia con los resultados de estudios en los que se señala la confusión
objeto/representación y representación/definición (Socas Robayna, M.[2001]; Pinto, M. & Tall, D. [1996]).
5) Algo similar, pero con diferencias aún más acentuadas aparece en las columnas de -2 y − 49 , si bien los dos
son elementos de Z, Q y R, exclusivamente, advertimos que, entre los que consignan una única cruz por
columna, un 30 % de la población en estudio señala que − 49 es irracional, aunque el número no lo es, el 12
% que es racional y sólo el 2,8 % que es entero. Esto podría estar dando cuenta de la concepción erronea de
asociar la idea de “irracional” con “radical”, lo cual podría dar lugar a una profundización del análisis acerca
de este punto.
6) Los agrupamientos obtenidos en el análisis de conglomerados, refuerzan aún más la idea de la incidencia de las
distintas representaciones semióticas de los números como un obstáculo para su correcta identificación.
BIBLIOGRAFIA
* Hernández, H. 1990 “Saltar a la vista lo evidente” , Revista Cubana de Educación Superior, Vol. X, Nº1, La Habana,
Cuba.
* Hernández, H. 1993 “Estructurando el conocimiento matemático”, Didáctica de la Matemática, Artículos para el
debate. E.P.N. Quito, Ecuador.
* Hernández, H. (1993) “Sistema Básico de Habilidades Matemáticas”, Didáctica de la Matemática, Artículos para el
debate, E.P.N., Quito Ecuador.
* Delgado, J.C. (1995) “Un sistema de habilidades para la enseñanza de la Matemática” –Memorias de la IX Reunión
Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa – La Habana –
Cuba
* Socas Robayna, Martín - “Problemas didácticos entre el objeto matemático y su representación semiótica. Estudio con
números decimales”, En Revista “Formación del Profesorado e investigación en Educación Matemática”, Univ. de La
Laguna, Tenerife, España, Vol. III, 2001, pp. 298-318.
* Pinto, Marcia y David Tall - “Student Teachers’ Conceptions of the Rational Numbers”- Procedimientos de PME 20,
Valencia, (1996), vol. 4, pp. 139–146.