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Liceo Marta Donoso Espejo
III. Guía de estudio
Curso: 3º medio
Tema: Probabilidades, 3ª parte.
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Números combinatorios.
Para resolver algunos problemas de cálculo de probabilidades, en especial aquellos
donde están involucrados números muy grandes, los números combinatorios
constituyen una herramienta muy eficaz.
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Pero, ¿Qué es un número combinatorio?
Imaginemos a un complicado D.T. de Básquetbol que cuenta con 12 jugadores, cuya
capacidad para desempeñarse en todos los puestos del juego es similar. Cómo
sabemos, en este deporte pueden jugar solamente 5 jugadores. ¿De cuántas formas
distintas puede este D.T. conformar el quinteto inicial?
La respuesta que daría en forma inmediata un basquetbolista dedicado a las
⎛12 ⎞
Matemáticas sería el nº combinatorio ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝5 ⎠
Cálculo del valor del nº combinatorio:
⎛12 ⎞ 12! 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
⎜⎜ ⎟⎟ =
=
=
= 792
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
⎝ 5 ⎠ 5!⋅7!
Por lo tanto, es posible formar 792 quintetos distintos.
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Observación: La expresión n! se denomina n factorial y su significado es:
n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ K ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
0! = 1
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Ejercicios. Usando número combinatorio, resolver los siguientes problemas:
1) Número de equipos distintos de voleibol que se pueden formar con 10 jugadores.
2) Número de manos de póker distintas que se pueden repartir con el naipe inglés.
3) Número de triángulos distintos que se pueden trazar con 20 puntos del plano
tales que ningún trío de ellos está en línea recta.
4) Número de diagonales que se pueden trazar en un decágono convexo.
5) Número de comités de 4 personas que se pueden formar con 9 personas.
6) Número de comités de 5 personas que se pueden formar con 9 personas.
7) Número de juegos distintos que se podrían seleccionar en el LOTO.
8) Número de juegos distintos que se podrían seleccionar en el KINO
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Aplicaciones de los números combinatorios al cálculo de probabilidades.
Problema. De un grupo de 10 cartas numeradas del 1 al 10, se seleccionan 2 cartas
al azar. ¿cuál es la probabilidad de que ambas cartas correspondan a
números primos?
Solución: El número total de pares que se pueden formar con 10 cartas es el nº
⎛10 ⎞
combinatorio ⎜⎜ ⎟⎟ . Por otra parte, en el grupo de 10 cartas hay exactamente 4
⎝2 ⎠
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números primos (2,3,5,7). Por lo tanto, el número de pares de primos que se puede
⎛ 4⎞
formar es ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ 2⎠
⎛ 4⎞
⎜⎜ ⎟⎟
2
6
La probabilidad pedida es entonces P = ⎝ ⎠ =
⎛10 ⎞ 45
⎜⎜ ⎟⎟
⎝2 ⎠
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Ejercicio. Usando números combinatorios, calcular las probabilidades siguientes:
Al recibir una mano de póker ( 5 cartas ), la probabilidad de recibir:
1)
2)
3)
4)
5)
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Sólo tréboles.
Sólo cartas rojas.
Dos ases y tres K
Tres J, una Q y una K
Un as, dos 7 y dos 8
Propiedades de las probabilidades.
Las propiedades que se estudiaron para las frecuencias relativas se conservan para
las probabilidades.
Sean A, B, C tres sucesos y A ⊂ C.
I) 0 ≤ p ( A) ≤ 1
II) p( A c ) = 1 − p ( A)
III) p( A ∪ B) = p ( A) + p( B) − p( A ∩ B)
IV) p ( A − B) = p ( A) − p( A ∩ B)
V) Si A ⊂ B entonces p( A) ≤ p( B)
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En un grupo formado por 12 fichas numeradas del 1 al 12, se consideran los
siguientes sucesos:
A = { números pares }
B = { números primos }
C = { números múltiplos de 3 }
1) Calcule las probabilidades de los sucesos dados.
2) Calcule las probabilidades de los sucesos siguientes:
a) A c
e) A ∩ B
b) B c
f) B − C
c) C c
g) ( B ∪ C ) c
d) A ∪ B
h) ( B ∪ C ) − ( B ∩ C )
3
1
, p ( A ∩ B) = . Calcular p( A − B)
5
6
5
2
3
4) Sea p ( A ∪ B) = , p ( A) = y p ( B) = . Calcular p( A ∩ B)
8
5
4
4
5) Sea p ( A ∩ B) = . Calcular p ( A c ∪ B c )
9
3) Sea p( A) =