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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMÁTICAS
CÁLCULO Y ÁLGEBRA LINEAL
PRÁCTICA DE INDUCCIÓN Y RELACIONES DE RECURRENCIA
I
Use el método de inducción matemática para demostrar las siguientes igualdades.
n ∈ IN , n ≥ 0 ó n ≥ 1 según corresponda.
1.
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
n(n + 1)
2
2.
3 + 11 + 19 + ... + (8n − 5) = 4n2 − n
3.
2 + 5 + 8 + ... + (3n − 1) =
4.
1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 8 + ... + n · 2n = 2 + (n − 1)2n+1
5.
13 + 23 + 33 + ... + n3 =
6.
13 + 33 + 53 + ... + (2n − 1)3 = n2 (2n2 − 1)
7.
1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n+1 − 1
2 2
2
2
1
+ +
+ ... + n = 1 − n
3 9 27
3
3
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
1·3 3·5 5·7
(2n − 1) · (2n + 1)
2n + 1
8.
9.
n(3n + 1)
2
n2 (n + 1)2
4
10.
ln an = nln a , a > 0
11.
a + ar + ar2 + ... + arn−1 =
a(1 − rn )
, r 6= 1
1−r
II
Use el método de inducción matemática para demostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas para todo n ≥ 1
1.
n4 + 2n3 + n2
2.
n3 + 11n
3.
32n+1 + 2n+2
4.
32n − 1
es divisible por 4
es divisible por 6
es divisible por 7
es divisible por 8
1
5.
3n + 7 n − 2
6.
4n + 15n − 1
es divisible por 8
es divisible por 9
10n + 3 · 4n+2 + 5
7.
es divisible por 9
Si x 6= 1, demuestre que xn − 1
8.
es divisible por x − 1
Nota: Divisible signica que xn − 1 = (x − 1)Q(x)
para algún polinomio Q(x)
III
Utilice el método de inducción matemática para demostrar la validez de las siguientes desigualdades:
1 1
1
n
+ + ... + ≤ + 1, n ≥ 1
2 3
n
2
1.
1+
2.
1 + 2 + 3 + ... + n ≤
3.
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + (n − 1)n <
4.
n < 2n
5.
12 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 <
(2n + 1)2
, n≥1
8
n2 (n + 1)
, n≥2
3
n3
, n≥2
3
IV
Para cada una de las siguientes sucesiones denidas por recurrencia, determine la fórmula explícita
y pruébala por inducción.
1. an = 3an−1 + 1, a1 = 5
2. an = an−1 + 5, a1 = 3
V
1. Considere an = 5an−1 − 6an−2 , n ≥ 2, con a0 = −1, a1 = 0
Utilice esta fórmula para encontrar a4 y a7
2
2. Considere la relación An , donde An es el número de regiones en que queda divido un plano al trazar
n rectas ninguna de ellas paralelas , de modo que tres o más de ellas no se corten en un mismo
punto.
a ) Obtener una relación de recurrencia para An
Nota: Observe que A1 = 2 ,A2 = 4 ,A3 = 7 ,A4 = 11
b ) Encuentre una forma explícita para An
3. Considere la siguiente suceción de números: 1,-1,-5,-11,-19,...
a ) Determine una fórmula de recurrencia para la sucesión dada.
b ) Encuentre la fórmula explícita para la relación de recurrencia.
VI
Considere la sucesión de Fibonacci Fn = Fn−1 + Fn−2 ∀n ≥ 3, con F1 = F2 = 1 como condiciones
iniciales.
Encuentre el valor de F4 y F10
3