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Análisis de sensibilidad
Es muy común en los ejercicios o problemas que los cálculos se efectúen de una
manera determinista, es decir, tratando a la totalidad de las variables como constantes
conocidas. Sin embargo, la realidad es que pocas veces se conocen los valores exactos de
las variables: en la mayoría de las situaciones, se trabaja con estimaciones de las
condiciones medias o conservadoras, e inclusive, del peor de los casos.
Cuando se mide repetidamente un parámetro físico o químico, o cuando se efectúan
estudios de campo sobre fenómenos de naturaleza económica o social, lo que en realidad
se obtiene es un conjunto de valores más o menos parecidos, con un rango de variación que
depende de muchos factores, tales como la precisión del instrumental, la pericia del
analista, el tamaño de la muestra etc. De este modo, el valor obtenido se convierte en un
evento fortuito o aleatorio. Así que en rigor, al repetir la medición o el ensayo, más que el
valor exacto de una variable se obtiene un conjunto de valores que puede adoptar esa
variable, cada uno de ellos con una probabilidad asociada, la cual indica cuan posible es
que ese valor se obtenga si se repiten las mediciones. Decimos entonces que se trata de una
variable aleatoria. Es posible construir tablas o gráficas donde se coloquen los distintos
valores de “x” y sus probabilidades asociadas, e inclusive construir fórmulas que permitan
vincular el valor y su probabilidad. Esas tablas, gráficas o fórmulas se conocen como
distribuciones de probabilidad.
No por simple y conocido deja de ser útil el ejemplo de la moneda: si arrojo al aire
una moneda legal y descarto que caiga de canto, tendré un 50% de probabilidades de caiga
cara o cruz. Así que tengo dos resultados posibles para el experimento, cada uno con su
probabilidad asociada.
Lamentablemente, los acontecimientos reales son mucho más complejos y difíciles
de representar a través de modelos teóricos con simples cálculos de probabilidad. El
estadístico razona desde la población conocida a la muestra desconocida. En cambio, quien
intenta representar el mundo real parte normalmente de muestras, e intenta sacar
conclusiones acerca de la población. Por ejemplo se hace una muestra de la intención de
voto con la idea de predecir los resultados de las elecciones.
La extrapolación desde una pequeña realidad conocida a un mundo desconocido
debe fundamentarse de alguna manera que supere a la mera intuición, y es ahí donde se
hace necesaria la intervención de la Estadística, una ciencia que suele resultar de difícil
abordaje y más bien antipática a menos que se realice un decidido esfuerzo por entender el
significado de las herramientas de análisis que brinda.
Ante todo es importante tener en claro para que se la emplea, evitando caer en el
error de aplicar mecánicamente fórmulas o “recetas” que validen el resultado de
experiencias o ensayos sin saber muy bien que se está haciendo.
Si se acumula un gran número de datos que luego se utilizan para describir y
extraer información, estamos frente a la estadística descriptiva, relativamente sencilla de
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utilizar y comprender. Pero si se usan las herramientas que permiten formular inferencias
acerca de una población partiendo de una muestra estamos frente a la estadística
inferencial que es la que suele generar mayores problemas de comprensión. Sin embargo
su utilidad es enorme y permite que innumerables decisiones se tomen sobre bases más
sólidas que la sola experiencia práctica.
Una herramienta de uso casi permanente en la estadística inferencial son las
distribuciones de probabilidad teóricas las cuales son en definitiva funciones
matemáticas presentadas en forma de gráficos o tablas que establecen una relación entre un
valor x y su probabilidad f(x) de producirse.
Estas distribuciones, aunque teóricas, no son caprichosas. No se desarrollaron
porque sí, ni se las elige sin análisis previo. Tienen que ver con el patrón de
comportamiento que quieren representar.
Antes que nada debemos tener claro el tipo de variable a utilizar: si el número de
valores que puede tomar es contable, se trata de una variable discreta; en cambio, si la
variable puede tomar un infinito número de valores dentro de un cierto rango, es una
variable continua. El número de personas dentro de un avión o el número de pedidos
nuevos recibidos en una fábrica son ejemplo de variables discretas. Por el contrario, los
tiempos de espera en la caja de un supermercado o en el peaje de una autopista, así como la
altura o el peso de una persona son variables continuas porque tienen infinitos decimales.
En cuanto a la naturaleza del evento analizado, también hay diferencias.
Supongamos que al realizar una encuesta de mercado, buscando determinar las
preferencias de la población por la bebida A en competencia con la B, obtendremos como
resultado un cierto número de personas que optan por A, y el resto optan por B. Se parece
al caso de tirar la moneda. Hay muchos sondeos a nivel social, industrial y en educación
que presentan este comportamiento. O sea: n ensayos con dos posibles resultados: éxito
(favorable a mis intereses), fracaso (desfavorable). En este caso la distribución teórica
aplicable es la Binomial.
Consideremos ahora el caso de medir la estatura de todos los empleados de una
empresa. Dependiendo de la precisión con que se lo haga, la distribución de valores
obtenidas se acercará a una variable continua, que presenta una tendencia central, y cierta
dispersión en los resultados obtenidos, ya que son menos frecuentes las personas muy bajas
o muy altas. Lo mismo ocurre con los resultados de los análisis de laboratorio, las
mediciones de rendimiento o calidad de equipos, los ingresos medios de la población etc.
Para estos casos, la más conocida y utilizada es la Distribución de Probabilidad Normal,
cuyo gráfico es una curva en forma de campana, simétrico a ambos lados del valor central.
Muchos acontecimientos de la vida real se comportan aproximadamente en forma
“normal”.
La forma más común de medir el valor central es la media (promedio de todos los
datos), y la dispersión a través de la desviación estándar, cuyas formas de cálculo figuran
en cualquier texto de estadística. Estos datos son los necesarios para calcular los límites de
confianza del valor estimado, que serán más distantes cuanto mayor sea el grado de
certidumbre que pretendo tener.
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Hasta aquí se han desarrollado conceptos estadísticos básicos que luego aparecerán
en la aplicación de algunas herramientas del software utilizado.
Pero no nos olvidemos que los parámetros que se utilizan en un modelo de
simulación dinámica constituyen las mejores estimaciones de sus valores reales. Por
ejemplo, el margen de rentabilidad de un producto puede estar basado en las mejores
estimaciones del precio de venta y del costo variable por unidad, lo cual supone ciertos
costes salariales, tiempos esperados de proceso y costos de materiales. Por otra parte, la
calidad de la información tiene un costo que, lógicamente, es mayor cuanto más exactitud
se pretenda. Y las empresas tienen límites a veces bastante modestos en cuanto a lo que
quieren invertir en estudios de mercado, sondeos o recopilación de datos históricos.
Nuestro problema es que tenemos un modelo construido, probado e incluso
calibrado. Ahora bien, ¿cómo responde ante cambios en los parámetros utilizados? Es decir
¿cuán sensibles resultan los resultados del modelo a los cambios en esos parámetros sobre
los cuales tenemos dudas?. Este análisis posterior a la construcción y ajuste del modelo se
conoce como Análisis de Sensibilidad.
Si tenemos un modelo con parámetros que son variables continuas distribuidas en
forma normal, podemos preguntarnos si será necesario ejecutar el programa un número
infinito de veces, cambiando cada vez los valores. Esto es imposible de llevar a la práctica.
Por suerte la respuesta a esa pregunta es negativa. Lo que si se puede hacer, con menos
costo y en tiempos razonables es simular el proceso un gran número de veces (aunque
finito) adoptando cada vez valores diferentes en los parámetros. A la técnica de simular un
proceso que contiene elementos aleatorios repitiendo el proceso una y otra vez para ver
cómo se comporta se le llama Método de Montecarlo y es de aplicación usual en estudios
empresariales y científicos.
En el caso concreto de los modelos de simulación dinámica, el análisis de
sensibilidad por el Método de Montecarlo está incorporado como una herramienta del
software, de modo que lo importante es saber que datos alimentar a la simulación y cómo
interpretar los resultados.
Consideremos la siguiente situación: un fabricante de cervezas se encuentra con
problemas para programar su producción. No conoce su participación exacta en el
mercado, lo afecta la estacionalidad del consumo, desconoce la capacidad máxima de
consumo del mercado al cual dirige su producto. Encarga un estudio, y le informan que el
máximo consumo ronda el 1.000.000 de litros diarios, y que un estudio sobre 500 personas
que probaron la bebida comparando con su principal competidor, 350 han elegido su
producto. Sus asesores le dicen que sería adecuado formular un modelo de simulación
sobre el cual se haga un análisis de sensibilidad considerando que la variable “consumo” se
comporta según una Distribución Binomial. Así que un muy sencillo modelo de
simulación dinámica, que considere una producción, un nivel de stock y un consumo le
darán una primera aproximación rápida de cómo programar su producción. Este mismo
modelo podrá luego ir completándose a efectos de considerar otras variables que afecten el
consumo (estacionalidad, poder adquisitivo, aparición de nuevos productos, búsqueda de
nuevos mercados...).
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Una vez que se ha construido y probado el modelo, la elección de la herramienta de
Análisis de Sensibilidad abre un cuadro que requiere definir algunos datos, dependiendo de
la distribución que se elija. Las opciones son varias, si bien las más comunes son la
distribución uniforme, que asigna a todos los valores igual probabilidad, y la distribución
normal. En este ejemplo hemos elegido la binomial. Seleccionamos como variables
aleatorias las que creemos que influyen de forma más decisiva en el comportamiento del
sistema. Donde debemos poner mayor cuidado es cuando elegimos la distribución. En el
caso de la binomial hemos de definir 6 parámetros. Se nos pide un valor mínimo, uno
máximo, una probabilidad, el número de simulaciones, la media y la desviación estándar.
Los dos primeros tienen que ver con la situación real, y pueden elegirse aprovechando los
datos del ensayo. Los cuatro últimos tienen que ver con la distribución y para nuestro
ejemplo del fabricante de cerveza serían 0.7, 500, 350 y 10.25.
Así que completados los datos y ejecutado el análisis, veremos un gráfico que cubre
una superficie y además presenta en su parte superior una referencia que dice 50%, 75%,
95% y 100%.
25%
50%
75%
100%
Estos son los límites de confianza. Sin entrar en detalles estadísticos, estos límites
nos dan idea de la probabilidad de acertar en el análisis, razón por la cual el gráfico
correspondiente a un 50% es más estrecho que el de 75%, y éste que el de 95%. Es decir,
con un menor porcentaje obtenemos una predicción más centrada y precisa, pero tenemos
mayor riesgo de equivocarnos.
Más allá de la exactitud de las estimaciones, un análisis de sensibilidad, que podría
también efectuarse simplemente cambiando varias veces el valor de un parámetro y
observando lo que ocurre, nos muestra aquellas variables cuyos cambios afectan más el
comportamiento del sistema, razón por la cual serán las que reciban mayor atención.
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Caso 13. El equipo de ventas
El modelo de ventas que se comenta a continuación contiene un ciclo de
realimentación positivo principal, en el que un mayor número de vendedores pueden
generar más ventas, incrementando el beneficio y permitiendo contratar más vendedores.
Existe además un ciclo de realimentación negativo que ajusta la fuerza de ventas mediante
la contratación o los despidos. Crear el modelo ventas.mdl .
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Para dibujar el signo + del ciclo, pulsar en el icono Comment
y en la
ventana que se abre desplegar el menú a la derecha de Image (en blanco) y seleccionar el
símbolo +. Después marcar la opción de Loop Clkwse.
Para dibujar un flujo de doble sentido, activar el
icono de la mano, pulsar en el pequeño círculo del flujo
con el botón derecho del ratón y marcar la opción
Arrowhead
Ecuaciones
Los parámetros temporales se pueden definir al hacer File – New Model o bien
desde Model – Settings, son:
INITIAL TIME = 0
FINAL TIME = 60
TIME STEP = 0.25
Unidades de Tiempo: Mes
(01)contratación neta= (vendedores deseados - Vendedores) /
plazo de ajuste
Units: personas/Mes
(02)pedidos= Vendedores * productividad de vendedores
Units: unidad/Mes
(03)Facturación= pedidos * precio del artículo
Units: $/Mes
(04)plazo de ajuste= 6
Units: Mes
(05)precio del artículo=100+step(10,20)
Units: $/unidad
(06)presupuesto de ventas=Facturación * % a ventas
Units: $/Mes
(07)productividad de vendedores = Vendedores
lookup
(10,200),(50,200),(100,120)
Units: unidad/(personas*Mes)
(08)salarios= 2000
Units: $/(personas*Mes)
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(09) Vendedores= contratación neta
initial value = 50
Units: personas
ATENCION: Revisar el signo, que
puede ser negativo si el flujo de dos
direcciones se dibujó de salida y luego
se añadió la flecha de entrada
(10) vendedores deseados= presupuesto de ventas / salarios
Units: personas
(11) % a ventas= 0.1
Units: Dmnl
(Dmnl= sin dimensiones)
Simulación base
Primero simularemos el modelo que se comporta de forma estable hasta el periodo
20 en el que incrementamos el precio del artículo de 100 a 110 para observar su
comportamiento.
- En la caja de edición del nombre de la simulación escribir baserun y pulsar Intro.
- Pulsar en el icono Simulate.
- Pulsar dos veces en Vendedores y pulsar después en el icono de Gráfico. Repetir esta
operación para la variable Facturación . Se observa que ambas variables crecen a
partir del periodo 20 y luego se estabilizan.
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- Pulsar alternativamente en los iconos
bien las dos salidas graficas.
para ver el diagrama del modelo o
- Seleccionar en el Panel de Control el icono de Datasets y pulsar dos veces en baserun
para dejarlo inactivo.
Incertidumbre en múltiples parámetros
Este modelo contiene cuatro constantes que podemos variar para examinar su
efecto en la salida de la simulación. Son: precio del artículo, plazo de
ajuste, salarios, y el % a ventas.
Supongamos que conocemos los valores exactos para dos constantes: precio
del artículo y % a ventas, porque son decisiones políticas que los gerentes
pueden realmente definir. Los parámetros inciertos son plazo de ajuste y
salarios. Seleccionaremos estos dos últimos elementos y les asignaremos los valores
máximos y mínimos que creemos pueden tener, y también la distribución de probabilidad
que pueden tener, para finalmente observar su impacto en el comportamiento del modelo.
Observe que podríamos seleccionar sólo un parámetro si quisiéramos observar la
sensibilidad del comportamiento del modelo a ese parámetro en especial.
Inicio del análisis de sensibilidad
- En la caja de nombre de la simulación teclear sensibilidad como el nombre de la nueva
simulación (actualmente es baserun).
- Pulsar en el icono Monte Carlo
para que se abra el menú:
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- Asegúrese que está señalada la opción de Multivariate y que el número de simulaciones
(Number of Simulations) esté en 200. El Método de Montecarlo trabaja probando un
conjunto de números dentro de un cierto rango. Para realizar un análisis multivariable hace
una muestra aleatoria de valores de la distribución para cada elemento especificado y los
valores resultantes son el resultado de una simulación. Cuando el Número de
Simulaciones es 200 este proceso se repetirá 200 veces.
- Pulsar en el botón Parameter y se abrirá una caja de diálogo que mostrará todos los
parámetros (elementos que son constantes) del modelo, que son los elementos que pueden
seleccionarse para el análisis. Pulsar en plazo de ajuste y después en OK.
Distribuciones estadísticas
Distribución Uniforme Aleatoria
Para hacer un análisis de sensibilidad es necesario definir qué tipo de distribución
de probabilidad se elije para cada parámetro. La distribución más simple es la Distribución
Uniforme Aleatoria, en la que existe la misma probabilidad de que ocurra cualquier
número entre el valor mínimo y máximo. Esta distribución es aplicable para la mayoría de
los análisis de sensibilidad y se selecciona por omisión. Otra distribución comúnmente
usada es la Distribución Normal (Campana de Gauss) en la que los valores cercanos a la
media son más probables que ocurran que los valores lejos de la media.
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Las distribuciones normalmente usadas son Uniforme, Normal y las distribuciones
Triangulares. Si no tiene ningún motivo para seleccionar una distribución determinada, es
conveniente elegir una Distribución Uniforme.
Los valores mínimo y máximo se escogen para limitar el rango de cada parámetro.
Observe que el valor real del esta variable en el modelo, que es 6, se indica debajo del
botón Parameter – Model Value.
- Pulsar en la caja Minimum Value (Valor Mínimo) y teclear 3. Pulsar en la caja
Maximum Value (Valor Máximo) y teclear 12. Estos números son asimétricos alrededor
del valor 6 del modelo; creemos que el valor podría ser un poco más bajo o mucho más
grande. Pulsar en el icono Add Editing (Añadir Edición).
- Pulsar en el icono Parameter (Parámetro), escoger salarios y pulsar en OK.
Distribución Aleatoria Normal
Para salarios escogeremos una distribución RANDOM NORMAL cuyos
valores se obtienen según una Distribución Normal y se han de indicar los límites máximo
y mínimo, así como una media y desviación estándar.
- En la caja de Distribution seleccionar la opción RANDOM NORMAL de la lista.
- Pulsar en la caja del Minimum Value (Valor Mínimo) y teclear 1800. Pulsar en la caja
de Maximum Value (Valor Máximo) y teclear 2200. Pulsar en la caja Mean (Media) y
teclear 2000. Pulsar en la caja Standard Deviation (Desviación Estándar) y teclear 100.
Pulsar en la caja Add Editing (Añadir Edición). La pantalla debe aparecer similar a la
imagen siguiente.
- Pulsar en el
icono Next
(Siguiente).
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Resultados. Variables de especial interés
Los análisis de sensibilidad generan una cantidad muy grande de datos, por lo que
es necesario limitar los datos guardados a esas variables en las que estamos muy
interesados. Debemos guardar sólo valores para las variables que son de interés real;
intentar guardar los valores del análisis sensibilidad para todas las variables en el modelo
consume mucho tiempo y una gran cantidad de espacio en disco.
- Pulsar en el botón Select (Seleccionar), se abrirá un menú mostrando todas las variables
del modelo. Escoja Facturación y pulse en OK. Pulsar en el botón Add Editing
(Añadir Edición).
- Pulse en el icono Select (Seleccionar) y escoger Vendedores luego pulse en el icono
de OK. Pulse en el icono Add Editing (Añadir Edición).
NOTA podríamos simplemente teclear estos nombres individualmente en la caja de
edición y pulsar en el icono Add Editing (Añadir Edición).
El resultado debe ser como el siguiente:
- Pulsar en el icono de Finish (Terminar).
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Análisis de sensibilidad
El modelo se simulará y luego realizará 200 simulaciones adicionales mientras
cambia automáticamente los parámetros plazo de ajuste y salarios. La
simulación contiene el comportamiento estándar para todas las variables con los valores de
las constantes originales del modelo, y un rango de valores para las variables
Facturación y Vendedores generada por las 200 simulaciones.
- Pulsar dos veces en la variable Facturación en la pantalla para seleccionarla.
Límites de confianza
- Pulsar en el icono Sensitivity Graph (Gráfico de Sensibilidad).
Se genera un
gráfico que muestra los límites de confianza para todos los valores de Facturación
que se generaron cuando los dos parámetros se modificaron al azar alrededor de sus
distribuciones estadísticas.
Los límites exteriores de incertidumbre (100%) muestran los valores máximos de
aproximadamente 1,2 millones y un valor del mínimo de aproximadamente 750.000 al
final de la simulación. Observe la posibilidad de una disminución en el Facturación.
La simulación original (con los valores de las constantes definidos en el modelo) se dibuja
como una línea azul indicada en la parte superior con el nombre de baserun.
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Escalas de los gráficos
Se puede ajustar la escala para mostrar con más detalle el rango inferior de los
valores de la incertidumbre. Vamos a ver ampliada la zona de Facturación entre
500.000 y 1.5 M.
- Poner el puntero en la línea horizontal del gráfico que muestra el Facturación en 1.5
M. Mantenga apretada la tecla Ctrl y luego pulse con el botón del ratón. Arrastre el ratón
para que el cursor se mueva a la línea que muestra el Facturación igual a 500.000.
Suelte el botón del ratón. No se observa ningún cambio en la pantalla hasta que pulsa
en el icono Sensitivity Graph Percentiles. Obtenemos una gráfica con la zona 500.000 a
1.500.000 ampliada.
- Poner el puntero en la línea vertical del gráfico que muestra el periodo 15. Mantener
apretada la tecla Mayúsculas y luego pulsar con el botón del ratón. Arrastrar el ratón para
que el cursor se mueva a la línea del periodo 24. Soltar el botón del ratón. No se observa
ningún cambio en la pantalla hasta que pulsa el icono Sensitivity Graph Percentiles.
Obtenemos una grafica similar a la siguiente en función de los puntos exactos donde
hayamos pulsado en la gráfica y donde hayamos soltado el ratón.
Pulsando el icono Sensitivity
200 trayectorias que se han simulado.
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podemos ver una representación de las
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Los resultados del análisis de sensibilidad pueden mostrarse en forma de
histograma. Éstos proporcionan una sección transversal de valores en un periodo de tiempo
en particular. Los histogramas muestran el número de simulaciones para los que la variable
estaba en un rango dado en el momento determinado. Los histogramas proporcionan un
mecanismo para observar la distribución de los valores de una variable sobre todas las
simulaciones realizadas y en un momento determinado.
En Vensim PLE Plus el gráfico de barras está configurado para mostrar la
sensibilidad en un periodo determinado. En otras versiones es posible definir los
parámetros de la gráfica.
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Ejercicio práctico. Kaibab
El de modelo de los ciervos de la reserva del Kaibab (*) se presta a realizar un
análisis de sensibilidad centrado en la evolución del número de ciervos. Tómelo para
realizar un análisis de sensibilidad con total libertad en la selección de parámetros y en el
tipo de distribución estadística.
Considere que podemos modificar el área de la Reserva entre 500.000 y 1.200.000
acres, dividiéndola en dos y confinando los ciervos en una parte, o bien ampliando el
parque con una zona adyacente. Considere una distribución Random Uniform.
Realice ambas simulaciones por separado. En una de ellas, tomando entre 500.000
y 1.000.000 acres, que es el valor inicial, ha de obtener este resultado.
Comente los resultados obtenidos, y analice el impacto de utilizar otras
distribuciones estadísticas.
(*) Libro “Teoría y ejercicios Prácticos de Dinámica de Sistemas” ISBN 84-607-9304-4 Capitulo 5.2
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