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ÁLGEBRA Eduardo Carpinteyro Vigil Rubén B. Sánchez Hernández PRIMERA EDICIÓN EBOOK México, 2014 GRUPO EDITORIAL PATRIA Para establecer comunicación con nosotros puede utilizar estos medios: Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Correo: Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, C. P. 02400, México, D. F. Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Perla Alejandra López Romo Ilustraciones: Jorge Antonio Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez Fotografías: Thinkstock e-mail: [email protected] ÁLGEBRA Serie Bachiller Fax pedidos: Derechos reservados: © 2014, Eduardo Carpinteyro Vigil, Rubén B. Sánchez Hernández © 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V. ISBN ebook: 978-607-744-055-0 (0155) 5354 9109 • 5354 9102 Sitio web: www.editorialpatria.com.mx Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico Teléfono: (0155) 53 54 91 00 ii Primera edición ebook: 2014 Presentación La misión de la ciencia consiste en sustituir las apariencias con los hechos y las impresiones con las demostraciones. John Ruskin Entre las razones que hemos tenido para la elaboración de este libro están: 1. C ompartir con otros profesores una didáctica personal acerca de la enseñanza de las matemáticas en el nivel medio superior, en la que se involucra nuestra experiencia como docentes en bachillerato. 2. O frecer a nuestros estudiantes de matemáticas información sobre el desarrollo histórico de esta ciencia, tal es el caso de la resolución de problemas de aplicación cotidiana de los conceptos que se van estudiando, para transformar la falsa imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemáticas por parte de algunos docentes y la mayoría de los alumnos de secundaria y bachillerato que pasan por nuestras aulas. 3. A unque en forma general, el estudiante ubica las matemáticas como una de las herramientas básicas utilizadas por cualquier ciencia, y vive en forma cotidiana los beneficios logrados en nuestra época, sobre todo en el campo de las comunicaciones, no es poco común escuchar en los salones de clases la interrogante natural del estudiante sobre la utilidad práctica del estudio que realiza, por lo que deseamos provocar la reflexión personal del mismo joven acerca de la construcción de su conocimiento matemático. Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarrón en el que el profesor puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia. Al llegar a este nivel de estudios, cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos; es por esta razón que la exposición que hemos hecho a lo largo del texto, toma en cuenta ambos aspectos, para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren estructurados, y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos, y por lo tanto, han caído en el olvido. Estamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de información global que encontrará un amplio interés de parte de los estudiantes de bachillerato, quienes serán en un futuro muy cercano, los ciudadanos que decidan y apoyen los programas ambientales y energéticos de nuestro país, y cumplamos así los compromisos de sustentabilidad en el ambiente y la energía, que México ha firmado y debe cumplir, en el concierto de las naciones. Los autores Grupo Editorial Patria v Álgebra a los alumnos A manera de reflexión queremos que pienses que ninguna persona inicia una actividad, llámese negocio, deporte o estudios, con la idea de fracasar, siempre tiene en mente que va a lograr las metas propuestas, si se aplica con dedicación y constancia en su esfuerzo por conseguirlas. Tú no vas a emprender tus estudios de matemáticas sintiéndote incapaz; si éste es tu caso, ya alcanzaste tu objetivo, has fracasado desde el momento de pensarlo. ¡Vence este temor!, no te contentes con ir siguiendo a tu profesor en el curso escolar, ¡anticípate a él! preparando la lección antes de recibirla, desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento. Tu profesor es un medio, no la causa de que domines la asignatura, y en cambio tú eres el que aprende, el actor principal para el cual el proceso de enseñanza tiene un fin preciso, el que te apropies del conocimiento. Los autores descripción de la obra La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripción de este texto es darte las gracias por permitirnos acompañarte en tu esfuerzo por alcanzar un nivel más de preparación, el cual se inicia en este primer año de bachillerato. Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temáticas, correspondientes a la asignatura de Matemáticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Preparatoria de la unam. En cada una de las unidades encontrarás una reseña histórica, que tiene como finalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la evolución de la ciencia. No queremos que consideres esta sección como la adquisición de un conocimiento enciclopédico, sino que aprendas que las matemáticas no han sido siempre iguales, nuestro conocimiento matemático se ha enriquecido con las aportaciones y también, por qué no decirlo, con las dudas y errores de personas como tú, quizás hasta con mayores limitaciones, las cuales han sido producto de sus creencias y de la época en que vivieron. vi Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje, la cual deseamos que intentes resolver con tus propios conocimientos. Estas actividades pueden ser resueltas con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio, pero si no te es posible hacerlo, no te desanimes, sigue avanzando en tu estudio y encontrarás en los temas de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solución pedida. Como diría un pintor “pinta y borra, pinta y borra, hasta que al fin ¡zas¡ tienes la obra maestra que te deja la satisfacción de que es creación tuya”. Los márgenes han sido diseñados para que tengas el espacio necesario y puedas rehacer tus operaciones, y cuando lo creas necesario, anotar en ellos observaciones, las cuales podrás consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes para lograr la comprensión del tema tratado. Un elemento más con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diálogo, como los siguientes: meros ¿Entre qué nú 636? es divisible 6 ¿Cómo se inte rpreta el hecho de q ue un polinomio ten ga un menor número de raíces que el grado del mismo? en los cuales te proponemos que realices una actividad o algún aspecto a investigar y que propicia la reflexión sobre el concepto sobre el que se está trabajando, o aclara y proporciona una indicación especial de algún algoritmo que se desarrolle. La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades, parte de un enfoque en el que se desarrolla la intuición y poco a poco se va formalizando por medio del simbolismo matemático correspondiente, y una ejemplificación del concepto y su demostración. En cada unidad encontrarás el número de ejercicios necesarios para comprender y reafirmar cada uno de los temas tratados; éstos los presentamos en forma de problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero, la relación de columnas, los ejercicios de complementación, los enunciados verbales y, por último, las secciones de Comprueba tu aprendizaje, una por cada unidad, y a las que les hemos dado el valor de comprobación y puedes utilizar como una forma de poner a prueba los conocimientos que has hecho tuyos. Grupo Editorial Patria vii Álgebra recomendaciones de estudio Una de las preguntas más frecuentes que los padres de los alumnos que no obtienen un buen resultado en esta asignatura, nos hacen a los profesores de matemáticas, es: “¿Qué puedo hacer para que mi hijo tenga éxito en su curso de matemáticas?” No es poco común una afirmación como la siguiente: “No entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen, soy testigo de que se pasa tardes y noches completas haciendo ejercicios y aun así reprueba.” Muchas veces nos ha tocado ver a los padres más preocupados que a los propios muchachos, quienes ven “normal” reprobar matemáticas, y hasta llegan a competir con sus amigos para obtener la calificación más baja. La intención de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para lo que te puede suceder durante este curso, sino expresar que esta preocupación también es nuestra, y representa parte de nuestra realidad educativa. También entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte “consejos” o “fórmulas de éxito” para tus estudios. Quizá lo que menos quieres escuchar es lo que siempre te han dicho que debes hacer. Así que cambiaremos de estrategia y te proponemos cuatro reglas de lo que sí es indispensable que realices para no tener éxito en matemáticas. viii Cómo ser un alumno deficiente en cualquier curso Sigue estas cuatro reglas: 1. Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor. 2. No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto. 3. No realices las tareas. 4. Estudia un día antes del examen, la noche es larga; el estudio sin organización y sin planes es una de las mejores técnicas; hacer ejercicios sin entenderlos nos asegura la nota reprobatoria. Si tu método de estudio responde en forma afirmativa a dos o más de estas reglas, puedes estar seguro de que reprobarás el curso. Pero si estás dispuesto a romper con esto, realiza lo contrario de lo que indican las anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso. A continuación escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado. Mi plan para ser un excelente estudiante de matemáticas 1. 2. 3. 4. Éste es tu nuevo compromiso, al cumplirlo estarás trabajando para aprender y aprobar matemáticas. De manera que sé constante en tu esfuerzo y no olvides tu compromiso. Grupo Editorial Patria ix Álgebra CONTENIDO Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Descripción de la obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Recomendaciones de estudio . . . . . . . . . . . . VIII 2.3 2.4 Unidad 1 Conjuntos 2 1.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Idea intuitiva de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 1.3 Cardinalidad de un conjunto. . . . . . . . . . . . . . 9 Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tipos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjuntos finitos e infinitos. . . . . . . . . . . . . Conjuntos iguales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjuntos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto universal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subconjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 10 11 11 12 12 13 1.5 Operaciones con conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . Unión de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intersección de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . Mínimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . Complemento de un conjunto . . . . . . . . . . Diferencia entre dos conjuntos. . . . . . . . . . 14 14 15 16 16 18 19 1.6 Diagramas de Venn-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Producto cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8 Plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Localización de puntos en el plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 37 nidad 2 Sistemas U de numeración 34 40 2.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2Sistemas de numeración de la Antigüedad. . . Sistema de numeración babilonio. . . . . . . . Sistema de numeración egipcio . . . . . . . . . 45 45 49 x 2.5 2.6 Sistema de numeración romano. . . . . . . . . Sistema de numeración maya. . . . . . . . . . . Sistema decimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notación desarrollada. . . . . . . . . . . . . . . . . Proyecto de trabajo grupal. . . . . . . . . . . . . Sistemas de numeración con diferentes bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conversión de un número decimal a otra base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conversión a decimal de un número con otra base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con otras bases . . . . . . . . . . . . . Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 50 52 54 58 59 60 62 63 65 73 nidad 3 Números U reales 3.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Propiedades de las operaciones binarias . . . . Operación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operación binaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres especiales de algunas estructuras numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Números naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4Algoritmo de Euclides para la obtención del máximo común divisor. . . . . . . . . . . . . . . . Reglas prácticas para la obtención del mcm y del MCD de dos o más números. . . . . . . 3.5 Números enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Números racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las razones geométricas. . Decimales periódicos infinitos. . . . . . . . . . . Orden en los números racionales. . . . . . . . Operaciones con números racionales. . . . . Densidad de los números racionales. . . . . . Las proporciones y sus propiedades. . . . . . 3.7 Números irracionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de números irracionales. . . . . 3.8 Números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedad de tricotomía. . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Números imaginarios y complejos . . . . . . . . . Representación de números complejos . . . 3.10 Valor absoluto de números reales. . . . . . . . . . 3.11 Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Leyes de los exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . 76 78 80 80 81 83 83 86 88 91 95 96 99 100 103 108 111 112 116 119 121 122 123 125 128 132 Dos aplicaciones usando exponentes. . . . . 138 3.13 Notación científica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.14 Logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Leyes fundamentales de los logaritmos . . Obtención de logaritmos comunes mediante el uso de tablas. . . . . . . . . . . . . . Operaciones con logaritmos. . . . . . . . . . . . 144 146 147 151 3.15 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 152 nidad 4 Monomios U y polinomios 156 4.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.2 Monomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . Grado de un término. . . . . . . . . . . . . . . . . . Clases de términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 159 161 161 4.3Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grado de un polinomio. . . . . . . . . . . . . . . . Clases de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . Términos semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . Reducción de términos semejantes . . . . . . Signos de agrupación. . . . . . . . . . . . . . . . . 162 162 163 166 166 167 4.4 Adición de monomios y polinomios . . . . . . . . 169 Resta de monomios y polinomios. . . . . . . . 170 4.5 Multiplicación de monomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Multiplicación de monomios. . . . . . . . . . . . 173 Multiplicación de monomios por polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.6Factor común en un polinomio. . . . . . . . . . . . 178 4.7 División de monomios y polinomios. . . . . . . . Monomio entre monomio. . . . . . . . . . . . . . Polinomio entre monomio. . . . . . . . . . . . . . Polinomio entre polinomio. . . . . . . . . . . . . Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . División sintética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 180 180 181 182 184 4.8 Valor numérico de un polinomio. . . . . . . . . . . 185 4.9 Polinomios como funciones. . . . . . . . . . . . . . . Funciones polinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . Evaluación de una función. . . . . . . . . . . . . . Operaciones con funciones. . . . . . . . . . . . . 187 189 189 191 4.10 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 193 nidad 5 Productos U notables y factorización 196 5.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2Factor común en un polinomio. . . . . . . . . . . . 5.3Cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . Trinomio al cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4Factorización de trinomios cuadrados perfectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorización parcial de trinomios de segundo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5Cubo de un binomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Factorización de un cubo perfecto. . . . . . . . . 5.7Producto de binomios con un término común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8Factorización de trinomios de segundo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso en que el coeficiente del término cuadrático es 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso en que el coeficiente del término cuadrático es distinto de 1. . . . . . . . . . . . . . . 5.9Producto de binomios conjugados. . . . . . . . . 5.10Factorización de diferencia de cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11Factorización por agrupación de términos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Factorización de una suma o diferencia de dos potencias iguales. . . . . . . 5.13Mínimo común múltiplo de dos o más polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 Otros tipos de factorizaciones. . . . . . . . . . . . . 5.15Binomio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 198 200 201 204 204 207 209 211 213 215 216 218 220 222 224 227 230 232 234 237 247 nidad 6 Operaciones U con fracciones y radicales252 6.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2Teoremas del residuo y del factor. . . . . . . . . . Teorema del residuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo Editorial Patria 254 256 256 259 xi Álgebra 6.3 Operaciones con fracciones algebraicas. . . . . Simplificación de fracciones . . . . . . . . . . . . Multiplicación y división de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de fracciones algebraicas . . . Fracciones complejas algebraicas. . . . . . . . Simplificación de fracciones complejas. . . . Conversión entre fracciones comunes y fracciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raíz n-ésima principal. . . . . . . . . . . . . . . . . Exponente fraccionario. . . . . . . . . . . . . . . . Sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplificación de un radical. . . . . . . . . . . . . Modificación del radicando para la simplificación del radical. . . . . . . . . . . . . . . Simplificación del radical cuando el radicando no sufre modificación. . . . . . . Suma y resta de radicales. . . . . . . . . . . . . . Multiplicación y división de radicales. . . . . Multiplicación de radicales simples. . . . . . . Multiplicación de radicales compuestos. . . División de radicales simples. . . . . . . . . . . . Racionalización del denominador de una fracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . División de radicales compuestos. . . . . . . . 6.5 Números imaginarios y complejos (continuación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Número imaginario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de números imaginarios . . . . Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de números complejos . . . . . Multiplicación de números complejos. . . . . División de números complejos . . . . . . . . . 6.6 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . nidad 7 Ecuaciones U y desigualdades 7.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2Igualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las igualdades. . . . . . . . . . 7.3 Ecuaciones de primer grado. . . . . . . . . . . . . . xii 263 263 264 268 272 272 277 284 285 286 286 287 287 290 293 296 296 297 298 299 300 308 308 309 310 311 313 313 314 315 318 320 322 325 326 330 Ecuaciones literales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Más problemas verbales. . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones que contienen valores absolutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones que contienen logaritmos . . . . 7.4Desigualdades de primer grado. . . . . . . . . . . Desigualdades racionales. . . . . . . . . . . . . . 7.5 Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . Despeje de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por factorización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Completando un trinomio cuadrado perfecto (TCP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por fórmula general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Más sobre ecuaciones de segundo grado . Ecuaciones racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones con radicales. . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones literales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Desigualdades de segundo grado . . . . . . . . . 7.7Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . nidad 8 Sistemas U de ecuaciones y desigualdades 8.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2Sistemas de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación lineal en dos variables. . . . . . . . . 8.3 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eliminación por suma o resta . . . . . . . . . . . Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . Método de igualación. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4Sistemas de ecuaciones lineales con tres o más variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de eliminación gaussiana . . . . . . . Método por determinantes. . . . . . . . . . . . . Los sistemas de ecuaciones lineales como matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación del método de eliminación gaussiana en la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . 341 344 358 361 365 372 375 376 377 379 381 384 388 389 390 391 391 396 399 402 404 406 406 414 416 417 420 428 432 437 440 444 444 446 Cálculo de un determinante. . . . . . . . . . . . Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 453 454 Gráfica de una desigualdad lineal con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . Programación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 478 480 484 490 ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Guía de estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SECCIÓN DE PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los ejercicios. . . . . . . . . . . . . RESPUESTAS A LA GUíA DE ESTUDIO . . . . . . . . . SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE. . Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 496 503 505 533 539 547 454 8.5 Sistemas de ecuaciones no lineales. . . . . . . . . Sistema de una ecuación cuadrática y una ecuación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de dos ecuaciones cuadráticas sin términos lineales ni término mixto en xy. Sistema de dos ecuaciones cuadráticas sin términos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 463 467 471 8.6 Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . . . 477 Desigualdad lineal con dos variables . . . . . 477 Grupo Editorial Patria 1 1 unidad Conjuntos Descripción de la unidad En esta unidad, estudiarás los conceptos fundamen tales de la teoría de conjuntos que será utilizada co mo un elemento fundamental del lenguaje necesario para el manejo de conceptos matemáticos en la com prensión de unidades de estudio posteriores. Propósitos de la unidad: Conocer la noción de conjunto. Comprender las operaciones entre conjuntos. Resolver problemas relacionados con estas operaciones. A dquirir los conocimientos del lenguaje matemático básicos para el desarrollo de contenido en temas posteriores. Contenidos de estudio: Idea intuitiva de conjunto. Cardinalidad de un conjunto. T ipos de conjuntos. Operaciones con conjuntos. Diagramas de Venn-Euler. Multiplicación de conjuntos o producto cartesiano. Plano cartesiano. Álgebra 1.1 Breve reseña histórica Uno de los conceptos que han llamado la atención de matemáticos y filósofos en el transcurso de las diferentes épocas en las que se ha ido conformando el conoci miento, es el infinito. Algunos matemáticos han rechazado la idea de colecciones infinitas de elementos, apoyándose en que la correspondencia biunívoca entre dos agrupaciones infinitas conduce a resultados que no coinciden con la razón. Para ejemplificar este punto de vista, reflexiona y trata de dar una respuesta a las si guientes preguntas: Considera la serie de números enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,…, n, n + 1,… Ahora, piensa en la serie de sus cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 ,…, n2, (n + 1)2,… Si relacionas los números de las dos series responde: 1.¿Qué serie tiene más números? 2.¿Qué serie está contenida en la otra? 3.¿Una de las partes puede tener la misma extensión que el todo del cual es parte integrante? Preguntas como las anteriores son las que crearon polémica entre los matemáti cos que vivieron antes del siglo xix, cuya actitud general era ignorar aquello que no podían resolver, considerándolo sólo como paradójico, aunque con frecuencia lo utilizaran en la resolución o en la investigación de otros problemas, tal es el caso de las series numéricas. Georg Cantor. 4 A los matemáticos del siglo xix les interesó la discusión de problemas como la continuidad de una función en el plano cartesiano, lo finito y lo infinito, y les pareció que las bases en las que se fundamentaban las matemáticas no eran firmes e iniciaron un movimiento destinado a dar una cimentación más sólida a cada una de las ramas de su ciencia. Muchos matemáticos aportaron su talento y trabajo en este movimiento de axiomatización de las matemáticas, entre ellos destaca Georg Cantor (1845-1918) creador de la teoría de conjuntos, con la que in troduce en las matemáticas conceptos como: clase, clase derivada, clase cerrada, clase perfecta, pertenencia a una clase, punto límite, número cardinal, número ordinal y tipo de orden, con la finalidad de congeniar una base más firme y ló gica al problema de la continuidad de una función en el plano. Las aportaciones de Cantor, como veremos más adelante, proporcionaron a las matemáticas una herramienta para poder estudiar las relaciones existentes entre un todo y sus partes, al mismo tiempo que sentaron las bases que posteriormente usaron otros brillantes matemáticos para simplificar definiciones de conceptos que resulta ban más complejas. UNIDAD 1 Conjuntos Problema eje En el grupo de Miguel hicieron una encuesta sobre los deportes que más se practicaban en la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su deporte favorito. Al recolectar la información que obtuvieron encontraron lo siguiente: 1.Completa la tabla siguiente, para ello distribuye la información anterior. Número de personas Deporte que practican 35 Futbol americano 34 Futbol soccer 33 Básquetbol 13 Futbol americano y futbol soccer 18 Futbol soccer y básquetbol 15 Futbol americano y básquetbol 10 Practican los tres deportes Futbol americano Futbol soccer Básquetbol 13 Futbol americano 18 Futbol soccer Soccer 15 2.Contesta las preguntas y copia la información en el diagrama. a)¿Cuántos alumnos practican futbol americano o soccer? b)¿Cuántos alumnos practican los tres deportes? c)¿Cuántos alumnos practican básquetbol, pero no practican ni futbol soccer, ni americano? d)¿Cuántos alumnos no practican ninguno de los tres deportes? e)¿Cuántos alumnos no practican futbol americano? Americano Soccer Básquetbol Grupo Editorial Patria 5 Álgebra 1.2 Idea intuitiva de conjuntos Inicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas. 1.¿Cuál es el nombre de tus tres mejores amigos? 2.¿Cuál es el número de alumnos presentes en la clase de matemáticas? 3.Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificación mayor que en su curso anterior. 4.¿Cuántos de tus compañeros están dispuestos a trabajar para acreditar este curso? Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupación o de conjun to. Es un concepto intuitivo, no tiene una definición formal, así que se acepta como un concepto primitivo de esta rama de las matemáticas. En geometría puedes citar otro ejemplo de concepto primitivo, que no se define y es el punto; no obstante, es un elemento fundamental de esta rama. Cita otros ejemplos de conceptos primitivos en otras ramas matemáticas. Conjunto Una descripción informal de la idea de agrupación o conjunto puede ser la siguiente: Conjunto es una colección de objetos diferentes donde a los objetos que lo conforman se les llama elementos del conjunto. Escribe y nombra dos conjuntos; luego enumera sus elementos utilizando el símbolo de pertenencia. Por lo general, se denota a los conjuntos con letras mayúsculas y a sus elementos con minúsculas, b [ B, se interpreta como “el elemento b pertenece al conjunto B”; y b B se lee como “el elemento b no pertenece al conjunto B”. Un conjunto puede ser presentado en forma analítica, listando todos sus elemen tos cuando es posible, separados cada uno por medio de una coma y encerrándolos entre llaves { }, a esta forma se le llama enumeración o extensión; también puede ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que tienen sus elementos, descripción por comprensión; por medio de una forma gráfi ca mediante un dibujo, diagrama de Venn-Euler, una tabla o un diagrama de árbol para representar ciertas relaciones entre dos o más conjuntos. Escribe dos ejemplos de conjuntos en cada una de las formas descritas. En ocasiones, para listar todos los elementos de algunos conjuntos se requiere de mucho espacio y tiempo, o simplemente no es posible hacerlo; por ejemplo: “El conjunto A formado por los números enteros pares mayores que 20 y menores que un millón.” 6 ¿Cuánto s elem entos tiene e l conju nto A? UNIDAD 1 ros s núme ¿Cuánto ores que s men entero 5 hay? Conjuntos “El conjunto B formado por los enteros menores que 5.” En estos casos se citan algunos de los elementos del conjunto, ya sean los primeros o los últimos, seguidos (o antecedidos) del símbolo “...”. Estos tres puntos indican que conoces la sucesión de esos números. Así, en estos ejemplos, los conjuntos descritos por enumeración o extensión pueden tomar la siguiente forma: A = {22, 24, 26, 28,…, 999 998} B = {…, 0, 1, 2, 3, 4} Condición más general del conjunto Escribe por extensión los siguientes conjuntos: C = Tipo de elementos del conjunto {Números enteros positivos impares, mayores que 10} Propiedades específicas de los elementos {Números enteros, múltiplos de tres, menores que –4} Límites, si es que existen C = D = D = T = {Números enteros positivos, múltiplos de 12 menores que 31 401} T = Cuando se puede describir un conjunto por comprensión se sigue un camino en forma de embudo, empezando por la condición general del conjunto, hasta la pro piedad más específica de los elementos del mismo. Ejemplos Límites inferior y superior. 1. A = {x/x [ N, x es impar, 7 x 14} … descripción por comprensión Tipo de número. Pregunta a tu profesor el significado de los símbolos que desconozcas en esta expresión. Característica específica. Con x se representa cualquier elemento. La lectura de la expresión anterior es: “A es el conjunto de todas las x, tales que pertenezcan a los números enteros positivos, impares mayores que 7 y menores que 14.” Grupo Editorial Patria 7 Álgebra 2. B = {12, 15, 18, 21, 24, 27}… descripción por enumeración o extensión. Observa atentamente los elementos del conjunto B y contesta las preguntas: 1.¿Qué tipo de números hay en el conjunto B? 2.¿Cuál es la característica de sus elementos? 3.¿Cuáles son sus límites? Una forma de describir por comprensión el conjunto B es: B = {x/x [ N, x es múltiplo de 3, 11 x 28} EJERCICIO 1 1.Dados los siguientes conjuntos por enumeración, exprésalos por comprensión. a)C = {7, 8, 9, 10,…}: • ¿Qué tipo de números hay en el conjunto C? • ¿Cuál es la característica de sus elementos? • ¿Cuáles son sus límites? b)E = {26, 28, 30, 32} • ¿Qué tipo de números hay en el conjunto E? • ¿Cuál es la característica de sus elementos? • ¿Cuáles son sus límites? c)M = {90, 99, 108, 117, 126, 135}: d)B = {…, –5, –3, –1}: { } 1 1 1 1 e)T = 1, , , , 3 9 27 81 2.Dados los siguientes conjuntos por comprensión, exprésalos por enumeración. f )D = {x/x es un dígito del número 2011} D= g)G = {x/x [ N, x es impar, 12 < x} G= h)S = {x/x [ N, x es múltiplo de 5, x ≤ 13} S= 8 UNIDAD 1 Conjuntos i)N = {x/x [ N, x ≥ 11} N= j)P = {x/x [ N, x es una solución de la ecuación x2 – 5x + 6 = 0} P= Las descripciones por comprensión de conjuntos con una gran cantidad de elemen tos se indican en forma general, con el fin de obtener cualquier elemento del con junto dado y su sucesor. Ejemplos 1. N = {x/x [ N, x ≥ 11} 2. N = {11, 12, 13, 14,…, n, (n + 1), …} Recuerda que el sucesor de un número entero es ese número más la unidad. 3. B = {…, –5, –3, –1} 4. B = {x/x = –2n + 1, n [ ≥ N} 1.3 Cardinalidad de un conjunto Cardinalidad Es el número de elementos distintos que tiene un conjunto. Para representar la idea de cardinalidad de un conjunto se utiliza la letra n (inicial de número), encerrando entre paréntesis la letra mayúscula que le da nombre al conjunto n(A) que se lee “cardinalidad del conjunto A”. EJERCICIO 2 Indica la cardinalidad de cada conjunto del ejercicio 1. a) n(C) = e) n(D)= b) n(E)= f ) n(G)= c) n(M) = g) n(S) = d) n(T) = h) n(P)= Como habrás notado, en los conjuntos C y G no es posible determinar el número de elementos que conforman a cada uno de ellos, lo que nos lleva a nuestro siguiente tema. Grupo Editorial Patria 9 Álgebra 1.4 Tipos de conjuntos Conjuntos finitos e infinitos Un conjunto es finito cuando tiene n elementos, siendo n un número entero positivo; en el caso contrario, al conjunto se le llama infinito. Ejemplos 1. A = {x/x es un país del continente americano} 2. B = {x/x es un número racional menor o igual que 100} En estos ejemplos, como puedes observar, el conjunto A es finito, ya que se puede concebir un número entero positivo que nos indique su cardinalidad; mientras que el conjunto B es infinito, ya que no puedes determinar el número de elementos que lo conforman. Expresado de otra forma, en un conjunto finito el proceso de numerar sus elemen tos siempre tiene un fin, es decir, es numerable y siempre tiene un último elemento; mientras que en un conjunto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se detiene, o en otros casos no es posible realizar este proceso, por lo que a estos conjun tos se les nombra como conjunto infinito numerable o infinito no numerable. Ejemplos 1. B = {3, 6, 9, 12,…, 3n, 3(n + 1),…} 2. C = {Las rectas que pasan por un punto dado} Tanto el conjunto B como el C son infinitos, la diferencia entre ellos es que los ele mentos del conjunto B se pueden ir numerando, aunque este proceso nunca termi ne, y los elementos del conjunto C no puedes numerarlos. D = {x/x es un ser humano} E = {1, 3, 5,…, 2n + 1, 2(n + 1) + 1,…} Conjuntos iguales Dos conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A es un elemento de B y viceversa Esta igualdad se expresa: A=B 10
