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TEMA 1: FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS E
HISTÓRICOS DE LA MATEMÁTICA
Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán
1. ORIGEN DE LA GEOMETRÍA
Introducción .......................................................................................................1
La geometría mesopotámica.............................................................................2
La geometría egipcia .........................................................................................5
La geometría griega ...........................................................................................7
2. GEOMETRÍA EUCLÍDEA Y NO EUCLÍDEA
El quinto postulado..........................................................................................12
La geometría esférica ......................................................................................14
La geometría proyectiva..................................................................................15
1. ORIGEN DE LA GEOMETRÍA
Introducción
En este capítulo vamos a hacer un pequeño apunte de las geometrías mesopotámica,
egipcia (prehelénicas) y helénica (griega), por ser éstas el origen y fundamento de todo el
desarrollo posterior. Las dos primeras estuvieron vinculadas a los sucesivos “periodos
imperiales” que tuvieron lugar en estas regiones, mientras que la helénica se inició en
ciudades-estado independientes, cuando sus comerciantes jónicos se pusieron en contacto
con egipcios y babilonios, y posteriormente se expansionó por la cuenca mediterránea de
influencia. Así surgió la cultura de la Edad Talásica (edad del mar) que, fundamentalmente,
tuvo lugar en las costas orientales del Mediterráneo, aproximadamente, entre el S VII a.C. y
el S VII d.C., cuyo primer período se conoce como cultura helénica (griega). La matemática
y, por ende la geometría, como otros saberes, sufrió esta influencia y en la cultura griega se
consolidó como ciencia y tuvo un enorme desarrollo.
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La palabra geometría procede de dos palabras griegas que significan «tierra» y «medida», lo
que indica que la disciplina tuvo su origen en las mediciones de tierras y otras aplicaciones
prácticas. Así fue en la cultura mesopotámica y en la egipcia. En la cultura helénica la
geometría se consolida como ciencia y se pasa de enunciados de problemas particulares a
enunciados generales y a una geometría axiomática en la que de unos pocos enunciados se
deducen todos los demás mediante “razonamiento universal”. De hecho, esta visión de la
geometría perdurará a través de muchos siglos y solamente nuevos problemas darán lugar
a nuevas geometrías.
La geometría mesopotámica
Mesopotamia es el nombre por que antiguamente se conocía a la zona fértil del actual Irak
ubicada entre los ríos Tigris y Éufrates. Hacia el año 3500 a. C., surgen en Mesopotamia
varias ciudades-estado como Babilonia, Nínive, Ur, Nippur y Lagash. Sus habitantes, los
sumerios, habían inventado la primera escritura, llamada cuneiforme (por su forma de cuña)
que imprimían en “tablillas” de arcilla, además de crear un sistema de numeración posicional
que tomó como base el número sesenta. En torno al año 2400 a.C. las ciudades sumerias
fueron atacadas por un pueblo semita del norte, los acadios, que fundaron el primer imperio
mesopotámico. Los acadios asimilaron la cultura sumeria, a la que añadieron una nueva y
fuerte personalidad. A comienzos del segundo milenio aC., las ciudades-estado se fueron
independizando, al tiempo que surgían diversos intentos por parte de alguna de ellas para
imponer su hegemonía. En torno al 1900 a. C., Babilonia consigue controlar a toda la región
y surge el primer imperio Babilónico (sumerio-acadio) que perduro hasta que la ciudad de
Nínive (imperio asirio), sobre el 885 a.C., ocupara su lugar. En el 612 a. C. los caldeos
crearon el segundo imperio babilonio, imperio que perduró hasta la invasión por Giro el
Grande en año. 539 a.C. La cultura mesopotámica, con mayor o menor esplendor, perdura
bajo el imperio persa, siendo Babilonia el centro de la misma y así perdura hasta la invasión
protagonizada por Alejandro Magno, 312 a.C. Por ser Babilonia la ciudad que más tiempo
tuvo el poder y la cultura de mayor esplendor y durante más tiempo, a la geometría
mesopotámica se la suele conocer como geometría babilónica y, lo mismo que la egipcia,
surge como una necesidad social para resolver problemas de agrimensura.
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Tarea 1. Identificar en el
mapa las ciudades estado que
aparecen en el texto anterior
(actualmente no existen todas
ellas)
La información que se posee sobre la cultura babilónica procede, en su mayoría, del análisis
que se ha ido haciendo del contenido de cerca de un millón de tablillas, la mayoría de arcilla,
que se han encontrado hasta la fecha, con escritura cuneiforme. De ellas, tan sólo unas
quinientas tienen interés matemático, y se encuentran dispersas por museos de Europa y en
alguna universidades de Estados Unidos, aunque los hallazgos más recientes -los de Tell
Harmal y IdI Dhibayi en Irak- se guardan en el Museo lraqui de Bagdad. Los avances más
notables de la geometría babilónica se produjeron en dos áreas en las que pudieron dar
rienda suelta a sus habilidades algebraicas: sus trabajos sobre el teorema de Pitágoras y
sobre los triángulos semejantes, que precedieron a los trabajos de los griegos en estos
temas en más de mil años.
No hay ninguna duda de que los babilonios ya utilizaron el teorema de Pitágoras como se
desprende de los siguientes enunciados en una tablilla encontrada en Telí Dhibayi y en otra
de Tell Harmall. Estos dos enunciados ponen de manifiesto también que los babilonios
también conocían cómo determinar áreas de triángulos y semejanzas.
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Enunciado 1. Hallar la longitud y anchura de un rectángulo dadas su área 0:451 (0´75) y
diagonal 1:15 (1´25).
Para resolver el problema la tablilla sigue los pasos siguientes2:
1. Multiplicar el área por 2: Resultado 1;30 (1´5).
2. Elevar al cuadrado la diagonal: Resultado 1;33,45 (1´5625).
3. Restar (1) de (2): Resultado 0;3,45 (0´0625).
4. Hallar la raíz cuadrada de (3): Resultado 0;15 (0´25).
5. Dividir por 2 (4): Resultado 0;7,30 (0´125).
6. Hallar la cuarta parte de (3): Resultado 0;0,56,15 (0´015625).
7. Sumar el área a (6): Resultado 0;45,56,15 (0´765625).
8. Hallar la raíz cuadrada de (7): Resultado 0;52,30 (0´875).
9. Longitud = Resultado en (5) + Resultado en (8) = 1.
10. Anchura = Resultado en (8) - Resultado en (5) = 0;45 (0´75).
Enunciado 2. Dados los lados del triángulo ABC y las áreas de los triángulos BAD, ADE,
DEF y EFC, como se muestran en la figura, hallar los lados BD, DF, AE y AD.
Tablilla de Tell Harmal y reproducción ampliada de su dibujo
1
Los números utilizados están expresados en forma sexagesimal (base sesenta en la que a,b;c,d
2
significa a·60+b+c/60+d/60 ). Entre paréntesis se expresan en forma decimal.
2
Los resultados se dan en el sistema sexagesimal y en el decimal.
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La resolución para el lado BD, tal como aparece en la tablilla, es la que sigue:
1. Tomar el inverso de 1,0 (60) y multiplicarlo por 45: Resultado: 0;45 (0´75).
2. Multiplicar el resultado por 2: Resultado: 1;30 (1´5).
3. Multiplicar el resultado por el área del triángulo ABD: Resultado: (8,6)(l;30) = 12,9
(486·1´5=729)
4. Hallar la raíz cuadrada de 12,9: Resultado: BD = 27 (27).
Tarea 2. Resolver los ejercicios propuestos en los enunciados anteriores como se haría hoy.
En otras muchas tablillas aparecen problemas de trapecios, circunferencias, círculos, conos
etc., y algunos evidencian que ya utilizaban una aproximación de π.
La geometría egipcia
El primer imperio egipcio (2660- 2180 a.C.) surge por la unificación del Bajo y el Alto Egipto
por el rey del bajo Egipto Menes, que se proclamó primer faraón de Egipto. Sus sucesores,
a lo largo de tres mil años, se distribuyen en 32 dinastías y en varios períodos históricos –la
época Tinita (dinastías I y II), el Imperio Antiguo (dinastías III a VI, 2660-2180), Primer
Período Intermedio (dinastías VII a XI), Imperio Medio (dinastía XII, 1990-1780, ), Segundo
Período Intermedio (dinastía XIII a XVII), el Imperio Nuevo (dinastía XVIII a XX, 1550-1070),
el período persa, el de la dinastía helénica de los Ptolomeos y, por último, el período de
provincia romana- pero el sistema político y social se mantuvo casi inalterable a lo largo de
esos treinta siglos, salvo en las etapas en que Egipto estuvo sometido a otros pueblos.
Las creaciones matemáticas egipcias que
nos
han
llegado,
fundamentalmente,
están contenidas en dos grandes papiros
que se conocen como “papiro de Rhind” o
“papiro de Ahmes” (escriba egipcio) que
se remonta en torno al año 1650 a.C., y el
“papiro de Moscú”, que fue escrito en el S
XVIII a.C. El papiro de Ahmes, que mide
30 centímetros de ancho por 5,5 metros
de
largo,
contiene
un
total
de
87
problemas con sus soluciones y es el más
importante
de
todos.
Le
sigue
en
Recorte del papiro Ahmes
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importancia el de Moscú (8 cm x 5 m), que contiene 25 problemas y los de Reisner que
datan de la misma época. Del análisis de estos problemas se deduce que de la necesidad
de calcular las áreas de las tierras y los volúmenes de los graneros, así como de las
grandes construcciones, nació la geometría egipcia, con su carácter peculiarmente práctico.
Si hubo alguna motivación teórica, permaneció bien escondida tras las reglas del cálculo.
A continuación proponemos un par de enunciados, que se redactan en términos actuales, y
sus soluciones:
Problema 50 del papiro de Ahmes: Un campo circular tiene 9 khets3 de diámetro. ¿Cuál es
su área?
Solución que aparece en el papiro:
1. Restar 1/9 del diámetro, es decir, 1 khet. El resto son 8 khets.
2. Multiplicar 8 por 8, para obtener 64. Contiene, por tanto, 64 setats (khets cuadrados)
de tierra.
Problema 14 del papiro de Moscú: Se nos dice que un tronco de pirámide tiene 6 cúbitos
de altura vertical por 4 cúbitos de base y 2 cúbitos de la parte superior. Calcular el volumen
de esta pirámide (Se debe entender que se trata de una pirámide cuadrada)
Solución que aparece en el papiro:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Elevar este 4 al cuadrado: 16
Elevar este 2 al cuadrado: 4
Tomar 4 dos veces: 8.
Sumar 16, 8 y 4: 28.
Tomar 1/3 de 6: 2
Tomar 28 dos veces: 56 (El resultado es 56)
De estos y otros enunciados se desprende que los egipcios sabían resolver problemas
geométricos de áreas y volúmenes, y también utilizaban una aproximación de π.
Tarea 3: Hacer los ejercicios de los papiros y obtener por medios físicos una aproximación
de π mediante inclusiones de círculos en un cuadrado y en un círculo (coloca varias fichas
circulares formando un cuadrado y reorganízalas para formar un círculo, si no es posible
cambia el número de fichas hasta que encuentres el número adecuado, cuenta entonces
cuántas fichas forman el lado del cuadrado, cuántas el diámetro del círculo y compara las
áreas).
3
Un khet equivalía a 100 úbitos reales, es decir, a 50 metros aproximadamente.
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La geometría griega
Aunque la civilización griega estuvo establecida en el Mediterráneo oriental desde varios
siglos antes, no es hasta el siglo VII a.C cuando entra en la historia de la Ciencia. La
aparición de las Escuelas jónicas constituyó uno de esos acontecimientos de los que se ha
dicho que tienen el valor de un origen o nacimiento: es el instante en que la ciencia griega
deja ya de proponerse exclusivamente la adquisición de saberes, para exigirse, además,
una coordinación de los datos poseídos. Así, mientras que los babilónicos habían prestado
atención al primer elemento esencial del método científico -el registro de datos- los griegos
contribuyeron con el segundo elemento: la propuesta de teorías (hipótesis) para “organizar”
esos datos.
A continuación se muestra
la situación y el nombre de
las
ciudades
donde
se
desarrolló esta cultura y los
matemáticos más ilustres
de cada una de ellas:
Mapa de la Edad Talásica
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ciudad
Siracusa
Crotona
Elea
Roma
Tarento
Cirene
Ellis
Atenas
Estagira
Abdera
Bizancio
Calcedonia
Matemático
Arquímedes
Pitágoras
Parménides, Zenón
Boecio
Pitágoras, Arquitas, Filolao,…
Eratóstenes
Hipías
Platón, Teeto
Aristóteles
Demócrito
Proclo
Xenócrates
Nº
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Ciudad
Cícico
Pérgamo
Chíos
Samos
Esmirna
Mileto
Cnido
Rodas
Perga
Calcis
Gerasa
Alejandría
13
Nicea
Hiparco
26
Siena
Matemático
Calipo
Apolonio
Hipócrates
Pitágoras, Aristarco
Teón
Tales
Eudoxo
Eudemo
Apolonio
Iámblico
Nicómano
Euclides, Herón, Ptolomeo,
Menelao,…
Eratóstenes
Pappus,
Ciudades y matemáticos más importantes de la cultura griega
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El primer gran geómetra griego fue el jonio de ascendencia fenicia Tales de Mileto, (570550 a.C), uno de los siete sabios de Grecia. Se formó en Egipto y, aunque sus
demostraciones buscaran el convencimiento más que el rigor, su aportación consistió en
.
introducir en la geometría la noción de demostración, y, de hecho, demostró los cuatro
teoremas siguientes:
1. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por el diámetro.
2. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
3. Los ángulos opuestos que se forman al cortarse dos
rectas son iguales
4.
(Teorema de Tales). Los lados de los triángulos
semejantes son proporcionales aunque no lo sean sus
áreas (Se suele enunciar que las razones de las
longitudes de los segmentos que determina un haz de
rectas paralelas en dos secantes son iguales).
El siguiente geómetra importante fue Pitágoras, que nació en Samos, viajó por Egipto y
Mesopotamia y se estableció en Crotona, donde
A
fundó una escuela en la que pretendían deducir los
resultados de unos pocos enunciados que se
consideraban o postulados. Surge así la primera
geometría axiomática. Aunque los babilonios ya
F
B
G
E
conocían ternas pitagóricas, Pitágoras formuló el
teorema que lleva su nombre, lo que le llevo a
descubrir números irracionales y las relaciones
métricas del lado del pentágono regular (y de la
estrella de cinco puntas, pentalfa, estrella que se
genera a sí misma) como elemento básico para
C
D
Pentalfa
construir el dodecaedro y el icosaedro, escuela que
también conocía los otros tres cuerpos platónicos (hexaedro, tetraedro y octaedro), todos
ellos se conocen como los cinco cuerpos platónicos y son los únicos poliedros regulares.
Los pitagóricos construyeron el pentágono de manera que el cociente entre la diagonal y el
lado fuera la razón áurea, o relación entre las dimensiones de un rectángulo de lados l y l-x,
tales que:
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El rectángulo grande es
proporcional al que resulta de
eliminar un cuadrado de lado igual
a la dimensión inferior.
La razón áurea también se utilizó en el arte y en la
arquitectura griega (por ejemplo en el Partenón), y
se tomó durante mucho tiempo como canon de
belleza. Hasta nuestra época llega la fascinación
de muchos científicos y artistas por esta curiosa
proporción.
Poco antes del año 400 a.C circularon por Atenas
Imagen del Partenón
tres problemas que han pasado a la historia como “los tres problemas clásicos” cuya
solución debería obtenerse con regla y compás de forma exacta:
•
Duplicación del cubo. Determinar la longitud de la arista de un cubo que duplique el
volumen de otro dado (duplicar el altar de Apolo en Delfos)
•
Trisección del ángulo. Dividir un ángulo dado en tres partes iguales.
•
Cuadratura del círculo. Obtener el lado de un cuadrado cuya área sea la de un
círculo dado.
En el intento de solucionar estos problemas, que
finalmente resultaron ser irresolubles con regla y
compás, muchos matemáticos descubrieron otros
resultados. Así, Hipócrates, tratando de resolver el
primero obtuvo la equivalencia de las áreas las
lúnulas con la del triángulo rectángulo: M+N=ABC.
Lúnulas de Hipócrates
Tarea 4: Deducir la relación entre el área de las lúnulas y la del triángulo rectángulo ABC.
El primer faraón griego, Ptolomeo Soter (general de Alejandro Magno y discípulo de
Aristóteles), fundó la gran biblioteca de Alejandría con el propósito de reunir todo el saber de
la época. Así surge el primer departamento de matemáticas dirigido por Euclides (330-275
a. C.), quien, por encargo de Ptolomeo I, escribe Los Elementos, un compendio de toda la
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geometría que se conocía hasta entonces. El libro consta de 132 definiciones, 5 postulados,
5 axiomas y 465 proposiciones distribuidas en 13 libros: en los cuatro primeros libros se
estudia la geometría plana; en los dos siguientes se trata la teoría de las proporciones; los
libros VII, VIII y IX están dedicados a la aritmética; X, XI y XII se ocupan de la geometría del
espacio y el XIII a los poliedros regulares. La geometría de
Los Elementos es axiomática y ha sido un libro de estudio
obligado en todos los estudios europeos “de alto nivel”
durante 23 siglos. A modo de ejemplo, se presenta el
enunciado del Teorema de Pitágoras, cuestión nº 47 del
Libro I:
En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el lado
opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados
sobre los lados que forman ese ángulo recto.
La demostración surge de una observación directa de la
Teorema de Pitágoras
figura por equivalencia entre las áreas de los cuadrados
sobre los catetos, triángulos y áreas de rectángulos del cuadrado sobre el lado de la
hipotenusa.
Tarea 5: Escribir una demostración del teorema de Pitágoras basada en la figura anterior.
Arquímedes, sin duda, fue el matemático más ilustre de la antigüedad. Es posible que
estudiara en Alejandría (que fue el centro de la actividad matemática más importante de la
época helenística) con algún discípulo de Euclides, pero vivió en Siracusa y murió en
Siracusa (275, 212 a.C.). Arquímedes hace numerosos descubrimientos matemáticos
aplicando a las figuras geométricas la ley de la palanca, principio mecánico que él denomina
“El Método” (La potencia por su brazo equilibra al
peso por el suyo). Arquímedes, entre otras muchas
cosas, descubrió
R
la espiral que lleva su nombre
(lugar geométrico de puntos del plano que, partiendo
del
origen
de
una
semirrecta
se
Q
mueve
uniformemente sobre ella a la vez que ésta gira
uniformemente sobre su
P
origen), trabajó sobre la
medida del círculo y determinó que π debía de estar
comprendido entre 3+10/71 y 3+10/70 áreas de
O
A
B
C
Espiral de Arquímedes
segmentos parabólicos, volúmenes de segmentos
esféricos y de paraboloides,..
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Tarea 6: En la figura anterior se han construido “exactamente” tres puntos (P, Q y R) de la
espiral de Arquímedes. Sin embargo la infinitud de los mismos no permite que se pueda
construir de forma exacta con regla y compás. Explica cómo se han obtenido y dibuja otros
dos puntos de la citada curva, uno entre P y Q y otro entre Q y R.
TRABAJO PARA HACER EN GRUPO: En grupo de 4 o 5 alumnos, elaborar un cartel en
tamaño A3 con un mapa de la Edad Talásica (pg 7), situando sobre el mismo a cinco
matemáticos y las creaciones más importantes de los mismos donde correspondan.
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2. GEOMETRÍA EUCLÍDEA Y NO EUCLÍDEA
El quinto postulado
En la época griega, como se ha visto en el anterior apartado, la geometría se constituyó
como una ciencia en la que se establecían unas premisas, las definiciones y postulados, y
se demostraban resultados o proposiciones. Euclides fue el matemático griego que
consiguió recopilar, en su obra Los Elementos, todas las definiciones, postulados y
proposiciones de la época. Los axiomas, (5 postulados y 5 nociones comunes) adoptados
por Euclides en Los Elementos, se consideraron durante cientos de años verdades
evidentes acerca del espacio físico y de las figuras que hay en él. Su obra ha perdurado
hasta nuestros días pues la geometría que se estudia en la escuela es la geometría
euclídea, pese a que en determinadas épocas se abandonó su enseñanza en las escuelas
(a finales de los años cincuenta, tuvieron lugar varios seminarios y congresos de
matemáticas en los que se discutió sobre la necesidad de introducir la llamada Matemática
Moderna en la enseñanza secundaria. El más famoso fue el de Royaumont (Francia) en
1959, donde tuvo lugar la famosa intervención del matemático francés Jean Dieudonné, que
terminó con estas palabras: “Si todo el programa que propongo tuviera que condensarse en
un sólo eslogan yo diría. ¡Abajo Euclides!”)
Los cinco postulados que enunció Euclides
son:
1. Trazar una línea recta desde un punto
cualquiera a otro punto cualquiera.
2.
Prolongar
continuamente
una
recta
limitada en línea recta.
3. Describir un círculo con cualquier centro y
distancia (radio).
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, al incidir sobre otras dos,
hace los ángulos internos del mismo lado
menores que dos rectos, las dos rectas
prolongadas indefinidamente se encontrarán
en el lado en el que están los ángulos
menores que dos rectos.
La forma de enunciar el quinto postulado
Edición facsimil de Los seis libros primeros de la
Geometría de Euclides, traducida al romance por el
licenciado Rodrigo Zamorano.
resultaba, sin embargo, demasiado complicada y poco elegante en comparación con el resto
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(el mismo Euclides retrasó todo lo que pudo su aplicación). Las geometrías no euclídeas
fueron el resultado de los esfuerzos realizados para eliminar las dudas sobre el dicho
postulado. Desde el tiempo de los griegos se marcan dos caminos:
Reemplazarlo por otro más sencillo y evidente.
Deducirlo de los restantes cuatro axiomas.
Por cualquiera de los dos caminos se llegó al mismo resultado: surgieron multitud de
enunciados equivalentes. Uno de esos enunciados es el conocido por el Axioma de las
Paralelas, que habitualmente se identifica con el quinto postulado:
Axioma de las Paralelas: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo
una paralela a dicha recta.
Otro
de
los
enunciados
que
resultó
equivalente era una conocida propiedad: La
suma de los ángulos de un triángulo es
igual a dos rectos.
Tarea
7:
La
demostración
figura
visual
adjunta
de
la
es
una
propiedad
anterior. Explícala con palabras y señala
donde es necesario el axioma de las
paralelas.
A comienzos del S. XVIII los matemáticos comenzaron a abandonar los propósitos de
demostración directa e intentaron la demostración indirecta por reducción al absurdo. Con la
negación del quinto postulado se empezaron a tejer muchos teoremas no euclídeos sin
llegar a contradicción alguna. Se edificaron así, como producto residual, las geometrías no
euclídeas. Su gran novedad fue caer en la cuenta de que la geometría euclídea no es la
única geometría que describe las propiedades del espacio. Así, si se niega el postulado de
las paralelas, caben dos posibilidades: o bien no existe dicha paralela (se niega la
existencia) o bien dicha paralela no es única (se niega la unicidad). La geometría que surgió
a partir de la primera opción recibió el nombre de Geometría Elíptica, desarrollada a través
de los trabajos de Riemann. La segunda opción dió lugar a la Geometría Hiperbólica, y se
debe a los trabajos de los matemáticos del siglo XIX Lobachevski, Bolyai y Gauss. De esta
manera a finales del S. XIX tenemos tres tipos de geometrías:
Geometría parabólica o de Euclides.
Geometría hiperbólica de Lobachevski y Bolyai.
Geometría elíptica de Riemann.
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Ahora bien, desde nuestra formación en la geometría euclídea nos cuesta imaginar las dos
últimas situaciones. Parece que son invenciones de matemáticos sin ninguna utilidad y, sin
embargo, existen modelos en los que estas geometrías adquieren perfecto sentido.
Veremos el modelo de la esfera que es el más conocido.
La geometría esférica
Para medir distancias en la Tierra no se pueden tomar líneas rectas, puesto que la Tierra no
es plana (aunque para distancias pequeñas se asume que sí lo es), sino que se trabaja con
circunferencias máximas, que son las líneas más cortas sobre dicha superficie. La esfera
nos proporciona un modelo de superficie para la Geometría elíptica, donde el axioma de las
paralelas es de la forma: “Dados en un mismo plano, una recta r y un punto P que no
pertenece a r, entonces no existen paralelas a r que pasan por el punto P”
En este modelo, propuesto por Riemann, hay que entender que
los puntos son los puntos de la esfera y las rectas son las
circunferencias máximas. Los ángulos se miden tomando los
ángulos diedros que los generan (un círculo máximo se obtiene
como corte de un plano con la esfera, así que dos círculos
máximos corresponden a dos planos que forman un ángulo
diedro) o el que forman las tangentes a los círculos máximos que pasan por el vértice.
De esta manera se cumple que (a diferencia de la geometría euclídea):
Dos rectas siempre se cortan.
Una recta no queda dividida en dos partes por un punto.
La suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180º
El área de un triángulo es proporcional al exceso de la suma de sus ángulos.
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Extraído de El Geometricón http://mosaicos.50webs.com/geometricon.html
Al considerar nuestro universo esférico es evidente la importancia que adquiere la geometría
elíptica o esférica en el campo de la astronomía. Algunos problemas de tipo terrestre, como
los de navegación, también emplean sus resultados.
La geometría proyectiva
Si miráramos con detenimiento una fotografía, veríamos que las líneas, que en la realidad
son paralelas, pierden esta condición en la imagen que está representada. Este tipo de
representación es una perspectiva o proyección cónica y las líneas que en la realidad son
paralelas, en la fotografía se cortan en un punto (punto de fuga).
Tarea 8: La figura siguiente es una fotografía del Palacio de Santa Cruz (Valladolid) edificio
fotografiado para resaltar la esquina del mismo. Prolonga las líneas que en la realidad son
paralelas y determina dos puntos de fuga. ¿Podrías encontrar un tercer punto de fuga?
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Cuando se tiene que representar las tres dimensiones del mundo real en las dos
dimensiones de la hoja de papel o del cuadro, de manera que la representación parezca
real, se utiliza el sistema anterior, la perspectiva cónica. El estudio de la perspectiva, iniciada
por los grandes pintores del Renacimiento dio lugar, en el siglo XV, a la creación de las
bases de una nueva geometría, la geometría proyectiva.
La geometría proyectiva equivale a la
proyección sobre un plano de una parte del
espacio en la geometría euclidiana. Las
rectas que salen del ojo del observador se
proyectan
sobre
puntos.
La
geometría
proyectiva parte de que por dos puntos
siempre pasa una recta y todo par de rectas
se cortan en un punto, incluso las paralelas
se cortan, pero en un punto especial, el punto
del infinito. Los puntos del infinito o puntos de
fuga
están todos
sobre
una recta.
El
postulado de las paralelas está implícito ya que, dada una recta y un punto exterior, existirá
una única paralela (el punto dado y el del infinito definen la paralela).
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